Lie-algebra

A Lie-algebrák algebrai struktúrák, melyek főleg geometriai objektumok, mint például differenciálható sokaságok és Lie-csoportok vizsgálatánál hasznosak. Eredetileg az infinitezimális transzformációk vizsgálatánál használták őket. A Lie-algebra elnevezést Hermann Weyl vezette be az 1930-as években Sophus Lie /liː/ után. Régebbi szövegekben még az ,,infinitezimális csoport" elnevezés is szerepelhet.

Adott egy V vektortér valamely F test felett és egy kétváltozós művelet [., .]

${\displaystyle [.,.]:V\times V\to V}$

melyet kommutátornak vagy Lie-zárójelnek is neveznek és eleget tesz a következő tulajdonságoknak:

• Bilinearitás

${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$

minden a, b skalárra és minden x, y, z vektorra.

• Antikommutativitás vagy ferde szimmetria

${\displaystyle [x,y]=-[y,x]\,}$

minden x, y vektorra. Ha F karakterisztikája kettő, akkor egy szigorúbb feltételre is szükség van:

${\displaystyle [x,x]=0}$

minden ${\displaystyle x\in V}$ vektorra.

• A Jacobi-azonosság

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\quad }$

minden x, y, z vektorra.

Ha A asszociatív algebra, akkor konstruálható hozzá egy L(A) Lie-algebra. Vegyük A-t, mint vektorteret, és lássuk el a

${\displaystyle [a,b]=a*b-b*a.\ }$

Lie-zárójellel, ahol * az A-beli szorzást jelöli. Ennek asszociatív voltából következnek a Lie-zárójel fent említett tulajdonságai. Nevezetesen, egy F-fel jelölt test fölötti n × n-es mátrixok a ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$ általános lineáris algebrát adják. Ismert, hogy minden Lie-algebra beágyazható egy asszociatív algebrából származtatható Lie-algebrába.

A Lie-zárójel nem asszociatív, vagyis ${\displaystyle [[x,y],z]}$ nem mindig egyenlő ${\displaystyle [x,[y,z]]}$-vel. A terminológia mégis egyezik az asszociatív gyűrűk, vagy algebrák esetével. Egy ${\displaystyle U\subseteq V}$ altér Lie-részalgebra, ha zárt a Lie-zárójelre. Ha egy ${\displaystyle I\subseteq V}$ eleget tesz a

${\displaystyle [V,I]\subseteq I,}$

feltételnek, akkor I ideál V-ben. Az antikommutativitás miatt ugyanazok lesznek a jobb- illetve a balideálok, ezért csak ideálokról beszélünk.

Egy Lie-algebra egyszerű, ha benne a kommutátor nem azonosan nulla, és nincsenek valódi ideáljai. Ugyanazon test fölötti Lie-algebrák közötti homomorfizmus egy olyan lineáris leképezés, ami illeszkedik a Lie-zárójelhez:

${\displaystyle f:V\to V',\quad f([x,y])=[f(x),f(y)],}$

minden x, y eleme V-re. A homomorfizmusok magjai éppen az ideálok. Ha I ideál a V Lie-algebrában, akkor képezhető a V/I faktoralgebra, és teljesül az első izomorfizmustétel. Két Lie-algebra, V és V' direkt összege ${\displaystyle V\oplus V'}$, ahol a direkt összeg elemei az ${\displaystyle {\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in V,x'\in V'}$ párok, és a Lie-zárójel:

${\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),\quad x,y\in V,\,x',y'\in V'.}$

• Egy vektorteret az azonosan nulla Lie-zárójellel ellátva Lie-algebrához jutunk. Ezek a Lie-algebrák Abel-félék. Az egydimenziós Lie-algebrák mind Abel-félék.
• A háromdimenziós euklideszi tér a vektoriális szorzással Lie-csoport.
• A Heisenberg-algebra szintén háromdimenziós Lie-algebra, aminek generátorai:

${\displaystyle x=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right),\quad z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad }$

és a generátorok kommutátorai:

${\displaystyle [x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0.\,}$

Ez a szigorúan felső háromszögmátrixok Lie-algebrája.

• A ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$ általános lineáris algebra részalgebrája azokat a mátrixokat tartalmazza, amiknek a nyoma nulla.
• Minden Lie-csoport, G definiál egy hozzá tartozó ${\displaystyle V={\mbox{Lie}}(G)}$ Lie-algebrát. Valós test fölötti mátrixok esetén ez a mátrixok exponenciális leképezésének felhasználásával definiálható.

A ${\displaystyle V}$ Lie-algebrát azok az X mátrixok alkotják, amik előállnak, mint:

${\displaystyle \exp(tX)\in G\,}$

minden valós t-re. A ${\displaystyle V}$ Lie-algebra Lie-zárójelét a mátrixok kommutátora adja.

Konkrét példaként vegyük az SL(n,R) speciális lineáris csoportot, ami az 1 determinánsú n × n-es, valós számok fölötti mátrixok alkotnak. Ez egy Lie-csoport, ami azt a Lie-algebrát adja, ami a 0 nyomú n × n-es, valós számok fölötti mátrixokból áll.

• Az n × n-es ferdén szimmetrikus mátrixok halmaza zárt a kommutátorképzésre, és valós Lie-algebrát alkot. Ez az ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$ Lie-algebra az U(n) egységcsoport Lie-algebrája.

• A kvantummechanikában a perdület x, y, és z koordinátái közötti felcserélési reláció háromdimenziós komplex Lie-algebrát alkot, ami az SO(3) háromdimenziós forgatáscsoport komplex kiterjesztése:

${\displaystyle [L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z}}$

${\displaystyle [L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x}}$

${\displaystyle [L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y}}$

• A végtelen dimenziós Lie-algebrák egyik osztálya a differenciáltopológiából ered. Ha M differenciálható sokaság, akkor a rajta vett sima vektormezők Lie-algebrát adnak, ahol is a Lie-zárójel megegyezik a vektormezők kommutátorával. Jelölje f deriváltját az X irány mentén L_X(f)! Ekkor az [X,Y] Lie-zárójel:

${\displaystyle L_{[X,Y]}f=L_{X}(L_{Y}f)-L_{Y}(L_{X}f).\,}$

Ado tétele szerint minden valós, vagy komplex véges dimenziós Lie-algebra ábrázolható mátrixokkal. Lie alaptétele összekapcsolja a Lie-csoportokat és a Lie-algebrákat: minden Lie-csoporthoz tartozik egy egyértelműen meghatározott Lie-algebra, de a Lie-algebra csak lokális izomorfia erejéig határozza meg a Lie-csoportot, feltéve, hogy az összefüggő. Például, az SO(3) speciális ortogonális csoport és az SU(2) speciális unitér csoport ugyanazt a Lie-algebrát adja. Ez izomorf a vektoriális szorzással ellátott háromdimenziós valós vektortérrel. SU(2) egyszerűen összefüggő kétszeres fedése SO(3)-nak.

A csoportokhoz hasonlóan definiálhatók az Abel, a feloldható és a nilpotens tulajdonságok.

Egy V Lie-algebra Abel, ha a Lie-zárójel azonosan nulla, vagyis [x,y] = 0 minden x, y elemre. Ezek a kommutatív Lie-csoportokból származtathatók. Ilyenek az azonosan nulla Lie-zárójellel ellátott vektorterek.

Egy Lie-algebra nilpotens, ha a kommutátorok minden véges sorozata eltűnik. Azaz:

${\displaystyle V>[V,V]>[[V,V],V]>[[[V,V],V],V]>\cdots }$

egy idő után nullává válik. Engel tétele szerint egy Lie-algebra akkor és csak akkor nilpotens, ha u eleme V-re a

${\displaystyle \operatorname {ad} (u):V\to V,\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}$

kísérő endomorfizmus nilpotens.

A feloldható Lie-algebrák egy még bővebb osztályt adnak. Egy Lie-algebra feloldható, ha a

${\displaystyle V>[V,V]>[[V,V],[V,V]]>[[[V,V],[V,V]],[[V,V],[V,V]]]>\cdots }$

sorozatok egy idő után nullává válnak.

Minden véges dimenziós Lie-algebrának van egy legbővebb feloldható ideálja; ez a radikálja. A Lie-megfeleltetésben a nilpotens és a feloldható Lie-algebráknak rendre nilpotens és feloldható Lie-csoportok felelnek meg.

Egy Lie-algebra egyszerű, ha nem Abel, és nincsenek nem triviális ideáljai. Féligegyszerű, ha a nullideálon kívül nincsenek Abel-féle ideáljai. Ekvivalensen, radikálja a nullideál. Egy egyszerű Lie-algebra féligegyszerű is. Megfordítva: belátható, hogy minden féligegyszerű Lie-algebra egyszerű minimális ideálok direkt összege.

A Lie-algebrák féligegyszerűsége kapcsolódik ábrázolásaik teljes reducibilitásához. Ha az alaptest karakterisztikája 0, a V Lie-algebra féligegyszerűsége ekvivalens a véges dimenziós ábrázolások teljes reducibilitásával. Az állítás első bizonyításai kompakt csoportokat használtak, de később csak algebrai eszközökkel is belátták.

A féligegyszerű és a feloldható Lie-algebrák a Lie-algebrák két véglete. Minden Lie-algebra felbontható feloldható radikáljának és egy féligegyszerű Lie-algebrának szemidirekt összegére. Az algebrailag zárt test fölötti féligegyszerű Lie-algebrákat már osztályozták, ellenben a feloldható Lie-algebrák osztályozása nehéz feladat.

A Cartan-kritérium feltételeket ad arra, hogy egy Lie-algebra mikor nilpotens, feloldható, vagy féligegyszerű. Az osztályozás egy, az adott Lie-algebrán definiált szimmetrikus kvadratikus alakon, a Killing-formán múlik:

${\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),}$

ahol a tr jel a nyom operátort jelöli. Egy V Lie-algebra akkor és csak akkor féligegyszerű, ha Killing-formája nem elfajult. Feloldható akkor és csak akkor, ha ${\displaystyle K(V,[V,V])=0.}$

A kategóriaelmélet nyelvén a Lie algebra egy A objektum a vektorterek kategóriájában a [.,.]: A ⊗ A → A morfizmussal, ahol

• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau _{A,A})=0}$
• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0}$

ahol τ (a ⊗ b) := b ⊗ a és σ ciklikus permutáció.

Diagramon:

• Hall, Brian C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
• Kac, Victor G. et al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, https://web.archive.org/web/20070131211842/http://www-math.mit.edu/~lesha/745lec/
• O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Sophus Lie, MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lie.html
• O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Wilhelm Killing, MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Killing.html
• Steeb, W.-H. Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra, second edition, World Scientific, 2007, ISBN 978-981-270-809-0
• Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lie algebra című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.