Physique 3 Vibrations Linéaires Et Ondes Mécaniques: Leçon N°7: Systèmes Soumis À Une Force Sinusoïdale (2 Partie)
Physique 3 Vibrations Linéaires Et Ondes Mécaniques: Leçon N°7: Systèmes Soumis À Une Force Sinusoïdale (2 Partie)
Physique 3 Vibrations Linéaires Et Ondes Mécaniques: Leçon N°7: Systèmes Soumis À Une Force Sinusoïdale (2 Partie)
Leçon n°7 :
Systèmes soumis à une force
sinusoïdale (2ième partie)
Leçon n°7 : Systèmes soumis
à une force sinusoïdale (2ième partie)
• Mouvement sinusoïdal de la base
• Systèmes forcés avec amortissement sec
• Système amorti avec déséquilibre de rotation
• Analyse de la stabilité d’un système
Réponse d’un système amorti soumis à un
mouvement sinusoïdal de la base
Y k 2
2
•
xp t sin t 1
k m
2 2 2
1/ 2
où 1 tan 1 2
k m
Réponse d’un système amorti soumis à un
mouvement sinusoïdal de la base (3)
xp t sin t 1 X sin t
k m
2 2 2
1/ 2
1/ 2 1/ 2
X k 2 1 2 r 2
2
où
Y k m
2 2 2
1 r 2r
2 2 2
1 m3 1 2 r 3
et tan tan
1 4 1 r
2 2
k k m 2
2
• Td X transmissibilité du déplacement
Y
Réponse d’un système amorti soumis à un
mouvement sinusoïdal de la base (4)
où
m2 Y r2
Z Y
k m
2 2 2
1 r 2 r
2 2 2
et 1 2 r
1 tan 1 tan 2
k m
2
1 r
Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement
sinusoïdal de la base, mouvement relatif, (suite)
1 1
X 1 2r 1 2 0,5 1,5933
2 2 2 2
d’où 0,8493
Y 1 r 2 2 2r 2
1 1,59332 2 0,5 1,5933 2
2
Solution
(1) la raideur des fondations est égale à
P 3000
k 40000 N / m
St 0 , 075
On peut noter que X=0,01m, Y=0,0025 m et Z=0,0098 m. Ce qui veut dire que
Z≠X-Y. Ceci est due aux différences de phases entre x, y, et z.
Exemple 3 : Instruments séismiques (1)
Le dispositif mécanique ci-dessus est un instrument
séismique qui consiste en une masse (m), un ressort (k), un
amortisseur (α) et traceur qui donne le mouvement de la
masse m en fonction du temps. Soit x(t) le mouvement de
la masse m et y(t) le mouvement de la base que l’on
suppose de la forme y(t)=Ysint.
1) y t Y sin t
m x x y k x y 0
z x y m z z kz m y
m z z kz m 2 Y sin t
2) z t Z sin t
Y2 r 2Y
Z
k m
2 2
2 1/ 2
1 r
2 2
2r
2
1/ 2
1 1 2r
tan 2
tan 2
k m 1 r
avec r et
n 2mn
Exemple 3 : Instruments séismiques (3)
Z Z
3) On voit d’après le graphe : 3, 1 z t Y sin t
Y n Y
en comparant z(t) et y(t), on voit qu’on peut lire directement y (après un temps
t’=/) sur le graphe.
r 2Y
4) z t Z sin t ; Z
1 r 2 2
2r
2
1/ 2
z t
1
Y sin t
1 r
2 2
n 1/ 2
2 2
2r
2
1
Qui montre que si 1 (ça veut dire r<<1)
1 r 2r
2 2 2
1/ 2
z t 2n Y 2 sin t
On sait que y t Y 2 sin t doncz(t)
2 donne l’accélération de la
n
y base exception faite du retard de phase (t’=/).
Les accéléromètre sont moins lourds car leur n est plus petit.
Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol
La bâtisse schématisée sur la figure (a) est soumise
à une accélération harmonique du sol.
1) Trouver le mouvement subit par la dalle
supérieure de masse m.
2) Trouver le déplacement horizontal de la dalle
(masse m) de la bâtisse quand l’accélération du
sol est donnée par x g 100 sin t mm / s ;
on
suppose les données suivantes : m=2000 kg,
x g MN/m,
k=0,1 t 0 x=25
g t 0 x t 0 x t 0 0
rad/s, et
La solution est :
mA
z t cos t
k m 2
m 1
x t z t y t 2
A cos t
k m
2
Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol (3)
2) mA A
x t sin t sin t
k m 2
2
100
200
1000 100 1
sin 25 t sin 25 t
0,1.10 2000 25 1000 25
6 2 2
200 1
x t sin 25 t 3,3391 10 4
sin 25 t m
1,15 10
6
6250
2 /
2 Z 2 sin 2
t 1 dt Z 2
t 0
Puisque Z
m Y 2
E
m 2 4 Y 2
k m
2 2 2
2 2
k m
2 2
Pour le maximum d’énergie, dE
0
d
k m
2 2
2 2 5 m 2 Y 5 y 2 2 0 k m 2
k m 2 2
2 2
Réponse d’un système amorti avec un déséquilibre de rotation
• Les machines tournantes (moteurs, turbines, machines à laver …) peuvent être le
siège de vibrations importantes. Un modèle simplifié est montré dans la figure.
• Masse totale de la machine M
• 2 petites masses en rotation dans des directions opposées
• Force centrifuges me2/2 pour chaque masse
• La force d’excitation a seulement une composante verticale
F t me 2 sin t Mx x kx me2 sin t
Réponse d’un système amorti avec un déséquilibre de rotation
• Mx x kx me2 sin t
Même équation que celle du mouvement relatif d’un système amorti soumis à un
mouvement sinusoïdal de la base. k
n , , c 2Mn
M c
me 2
• xp t
;
k M2 2
2 1/ 2
tan 1 2
k m
MX r2
;
me
1 r 2 r
2 2 2
1
2
2 r
1
tan 2
1 r
Exemple 5 : compresseur à air avec un déséquilibre de rotation (1)
Un compresseur à air monocylindre de masse 100 kg est monté sur les supports en
caoutchouc, comme le montre la figure . Les constantes d’élasticité et
d’amortissement des supports en caoutchouc sont : 10 6 N/m et 2000 N.s/m,
respectivement. Si le déséquilibre de rotation du compresseur est équivalent à une
masse de 0,1 kg localisée à la fin de l’essieu de 3000 rpm. Supposer r=10 cm et ℓ=40
cm.
Exemple 5 : compresseur à air avec un déséquilibre de rotation (2)
L’équation du mouvement est mx x kx me2 sin t
3000 2
Où 314,16 rad / s, M 100 kg , 2000 N.s / m ,
60
k 10 6 N / m , m 0,1 kg et e r 0,1m
La réponse est x t X sin t où X me 2
p
k M
2 2 2
1/ 2
0,1 0,1 314,16 2
10 100314,16 2000 314,16
6
X 1/ 2
110 ,9960 10 m 0,11mm
6 2 2 2 2
1 1 2000 314,16
tan 2
tan 6 2
0,07072rad 4,0520
k M 10 100 314,16
Exemple 6 : la turbine à eau de Francis (1)
Le diagramme schématique d’une turbine à eau de Francis est donné dans la figure
L’eau à travers le passage A dans les palettes B et descend par le canal C. Le rotor a un
masse de 250 kg et un déséquilibre de rotation (me) de 5 kg.mm. La turbine opère dan
une plage de fréquence de 600 à 6000 rpm. L’arbre d’acier supportant le rotor peut êtr
supposé fixé à l’essieu (aux roulements, voulant dire qu’il ne vibre pas en haut )
Déterminer le diamètre de l’arbre pour que le rotor ne touche pas le stator à toutes le
vitesses de rotation auxquelles opère la turbine. Supposer que l’amortissement es
négligeable et que l’arbre d’acier peut-être assimilée à une poutre supportant une mass
avec k=3EI/ℓ3 où I=πd4/64=moment d’inertie de surface de l’arbre et E=2,07×10 11
module d’Young de l’acier
Exemple 6 : la turbine à eau de Francis (2)
me 2 me2
0 X
k M2 k 1 r 2
me 5kg.mm , M 250 kg , X 5mm ,
600 2
600 6000 rpm ; 20 rad / s et 6000 rpm 200 rad / s
60
k k
n 0,625 k rad / s
M 250
20 2 k 10 5 2
k 1
0,004 k
200 2 k 10
7 2
k 1
0 , 004 k
On sait que pour avoir les plus petite amplitude de vibration, on doit avoir r=/n>>1, donc n
petit donc k est le plus possible, on prend k = 10,04 × 104π2
3EI 3E d 2 64k3 64 10,04 10 4 2 23
k 3 3 d
4
2,6005 10 4 m 4
64 3E 3 2,07 10
11
d 0,1270 m 127 mm
Vibrations forcées avec amortissement sec
• Equation du mouvement
m x k x N F t F0 sin t
où le signe de la force d’amortissement est positif ou négatif suivant le
mouvement se fait de gauche à droite ou de droite à gauche, respectivement.
4N
4NX eq X 2 eq
X
Vibrations forcées avec amortissement sec (suite)
Vibrations forcées avec amortissement sec (suite)
1
2
n n
4N
2
eq eq
0
arctg
2
arctg arctg kX 2
k m 2 1
1 2 2n
n
avec
eq eq 4N 2N
eq
c 2mn 2mn X mn X
Vibrations forcées avec amortissement sec (suite)
Ce qui donne une limite à notre approximation de la force de friction qui doit
être petite devant F0 :
2. <0 pour /0 >1 , pour >0 pour /0<1 et est discontinue pour =0,
on peut écrire :
4N
F0
arctg 1/ 2
4N
2
1
F0
Exemple : Système masse-ressort avec
amortissement de coulomb
Enoncé : Soit un système masse-ressort avec m=10 kg et k=4000N/m,
oscillant sur une surface horizontale. Le coefficient de friction est
égal à 0,12. Quand sujette à une force harmonique de fréquence 2Hz,
la masse vibre avec une amplitude de 40 mm. Trouvez l’amplitude de
la force harmonique appliquée à la masse.
Trouver F0.
Exemple (suite) : Système masse-ressort avec
amortissement de coulomb
4N
1
L’amplitude des vibrations s’écrit : X F 0 F 0
2
k
2
1
n
1
4 0 ,12 98 ,1
2 2
1
F0 F
C’est à dire : 0 , 04 0
4000
1 0 , 6283 2
2
k
mx x kx 0 ; si x t Ce t s 2 s 0
m m
1/ 2
1 k
2
s1, 2 4
2m 2 m m
Force auto-générée et analyse de la stabilité
d’un système (suite)
k
1. Réelles et positives, évité si et 0
m m
2. Complexes conjuguées avec des parties réelles positives dans ce cas :
k
s1 p iq, s 2 p - iq s - s1 s s 2 s 2 s1 s 2 s s1s 2 s 2 s 0
m m
k
s1 s 2 2p, s1s 2 p 2 q 2
m m
Exemple 8 : Instabilité d’un
système masse-ressort sur une
ceinture mouvante
• Considérons le système de la figure. On
suppose que le coefficient de friction varie
avec la vitesse relative de friction comme le
montre la courbe (b). Quand la vitesse
relative augmente, le coefficient de friction
diminue à partir de sa valeur statique pour
ensuite augmenter à partir d’une vitesse
relative de transmission vq. En supposant que
la vitesse relative de friction est inférieure à
vq, nous avons :
a
0 v
W
x 1 x 2
k k
x 2 x 2 x1 y y
m m m m
avec c 2 km 2 0,5 4 10 1200 , y 0,5 sin 29,0887t
5
• La solution MATLAB
Exemple 9 : Réponse d’un système à une
excitation de la base utilisant MATLAB (suite)
Exemple 10 : Réponse d’un système forcé
avec amortissement sec (1)
• En utilisant MATLAB, faire la figure représentant la réponse d’un système forcé
avec amortissement de Coulomb pour les données suivantes : m= 5 kg, k=2000
N/m, =0,5, F(t)=100sin 30 t N, x0=0,1 m, x 0,1 m / s
que l’on peut écrire comme un système de deux équations différentielles du premier
ordre en utilisant : x1 x et x 2 x , comme :
x 1 x 2
F0 k
x 2 sin t x1 g.sigma x 2
m m
Exemple 10 : Réponse d’un système forcé avec
amortissement sec (2)
• Le programme :
• La solution MATLAB
Exemple 10 : Réponse d’un système forcé
avec amortissement sec (3)