ENSA Tétouan

Filière Génie Civil

Dynamique des structures

Cours 2:
Réponse d’un système élastique à deux degrés de liberté

Abdellatif Khamlichi

2019/2020 1
 Plan

• Equation de mouvement
• Oscillations libres non amorties
• Modes propres
• Réponses harmonique forcée (sans amortissement)
• Réponse forcée sous force quelconque (sans amortissement)

2
Système à 2 degrés de liberté
Equations de mouvement

F1 (t) F2 (t)

c1 c2 c3
G1 G2

x
k1 k2 m2 k3
m1

x1 (t) x 2 (t)
Origines de x1 (t) et x 2 (t): positions d'équilibre statique

m1

x1 + c1x
1 − c2 (x
2 − x
1 ) + k1x1 − k 2 (x 2 − x1 ) = F1 (t)


m 2


x 2 + c2 (x
2 − x
1 ) + c3 x
2 + k 2 (x 2 − x1 ) + k 3 x 2 = F2 (t)

3
Système à 2 degrés de liberté
Equations de mouvement

m1

x1 + c1x
1 − c2 (x
2 − x
1 ) + k1x1 − k 2 (x 2 − x1 ) = F1 (t)


m 2


x 2 + c2 (x
2 − x
1 ) + c3 x
2 + k 2 (x 2 − x1 ) + k 3 x 2 = F2 (t)

+ CX
MX
+ KX = F

; C=  1 2
−c 2 
; K= 1 2
−k 2 
M= 1
m 0 c +c k +k
 0 m 2   −c 2 c 2 + c3   − k 2 k 2 + k 3 

X =  1 ; F =  1 
x (t) F (t)
x 2 (t) F2 (t)

4
Système à 2 degrés de liberté

Oscillations libres non amorties

F = 0 C = 0 0
0 0 0

+ KX = 0
MX Modes propres

k1 + k 2 − k 2  X1  2 m1 0  X1 
=ω
x1 = X1eiωt et x 2 = X 2eiωt  − k 2 k 2 + k 3    0 m 2 
 X 2  X 2 

Problème généralisé aux valeurs

propres

5
Système à 2 degrés de liberté
Modes propres

k1 + k 2 − k 2  X1  2 m1 0  X1 
=ω λ =ω2
 − k 2 k 2 + k 3 X 
 2  0 m 2 
X 2 

 −1

  m1 0   k1 + k 2 −k 2  1 0    X1  0 

0 m   −k k + k  − λ 0 1    X  = 0  ΓX =λX
 
2  2
 2
3    2   
 Γ 

−1
 m1 0   k1 + k 2 −k 2 
Γ=
0 m 2   − k 2
 k 2 + k 3 
  
M −1 K

(Γ−λI)X = 0
Γ = M −1K
Problème aux valeurs propres
6
Système à 2 degrés de liberté
Modes propres

−1
0  k1 + k 2 −k 2 
Γ−λI =  1
m
−λI
 0 m 2   − k 2 k 2 + k 3 

1 
m 0 
Γ−λI =  1 k1 + k 2 −k 2 

1  − k 2 k 2 + k 3 
−λI
0 
 m 2 

 k1 + k 2 k2 
 m −λ −
m1 
Γ−λI =  Matrice non symétrique
k2 + k3 
1
k
 − 2 −λ
 m2 m2 

7
Système à 2 degrés de liberté

Modes propres

k1 + k 2 k2
−λ −
m1 m1
det(Γ−λI) = =0
k k 2 + k3
− 2 −λ
m2 m2

 k1 + k 2  k 2 + k 3  k 22
det(Γ−λI) =  −λ  −λ  − =0
 m 1  m 2  m m
1 2

2  k1 + k 2 k 2 + k 3  ( k1 + k 2 )( k 2 + k 3 ) − k 22
λ − + λ+ =0
 m 1 m 2  m m
1 2

8
Système à 2 degrés de liberté

Modes propres

2  k1 + k 2 k 2 + k 3  ( k1 + k 2 )( k 2 + k 3 ) − k 22
λ − + λ+ =0
 m1 m2  m1m 2
2
 k1 + k 2 k 2 + k 3   ( k1 + k 2 )( k 2 + k 3 ) − k 22 
∆ = +  − 4 
 m 1 m 2   m 1m 2 

∆=
1
(m1m 2 )
2 { 2
}
m 2 ( k1 + k 2 ) − m1 ( k 2 + k 3 ) + 4m1m 2 k 22 > 0

m 2 ( k1 + k 2 ) + m1 ( k 2 + k 3 ) − m1m 2 ∆
λ1 = >0
2m1m 2

m 2 ( k1 + k 2 ) + m1 ( k 2 + k 3 ) + m1m 2 ∆
λ2 = >0
2m1m 2
9
Système à 2 degrés de liberté

Modes propres

Pulsations propres

m 2 ( k1 + k 2 ) + m1 (k 2 + k 3 ) − m1m 2 ∆
ω1 =
2m1m 2

m 2 ( k1 + k 2 ) + m1 ( k 2 + k 3 ) + m1m 2 ∆
ω2 =
2m1m 2

2
 k1 + k 2 k 2 + k 3   ( k1 + k 2 )( k 2 + k 3 ) − k 22 
∆ = +  − 4 
 m 1 m 2   m m
1 2 

10
Système à 2 degrés de liberté

Modes propres

1 m 2 ( k1 + k 2 ) + m1 ( k 2 + k 3 ) − m1m 2 ∆
Fréquence du premier mode: f1 =
2π 2m1m 2

Fréquence du deuxième mode: 1 m 2 ( k1 + k 2 ) + m1 ( k 2 + k 3 ) + m1m 2 ∆

f2 =
2π 2m1m 2

11
Système à 2 degrés de liberté

Modes propres

λ = λ1 ou bien λ = λ 2

Vecteur propre

 k1 + k 2 k2 
 m −λ −
m1  φ1  0
(Γ−λI)Φ = 0 ⇒  1k k 2 + k 3  φ0  0
=
 − 2 −λ
 m2 m2 

(ω1 , Φ1 ) et (ω2 , Φ 2 ) Modes propres du système

Φ1 et Φ 2 ne sont pas orthogonaux

12
Système à 2 degrés de liberté

Modes propres

 k1 + k 2 k2 
 m −λ −
m1 
 1
 Φ r = 0 ⇒ ( M −1K −λI)Φ r = 0 ⇒ ( K −λM )Φ r = 0 ⇒ KΦ r =λMΦ r
k k2 + k3 0
 − 2 −λ
 m2 m2 
  
−1
0  k1 + k 2 − k2 
Γ=  1
m
 0 m 2   − k 2 k 2 + k 3 

Φ st KΦ r =λΦ st MΦ r λ≠0

Φ st KΦ r = λ r Φ st MΦ r
 t t
⇒
 Φ st KΦ r = Φ st MΦ r = 0
Φ s KΦ r = λs Φ s MΦ r r ≠ s et λ r ≠λs

Les modes propres sont orthogonaux par rapport à la matrice de raideur

et par rapport à la matrice de masse. Ils ne sont pas orthogonaux tout cours.

13
Système à 2 degrés de liberté

Modes propres

On pose:
Φ st KΦ s = κs Raideur modale
κs
ωs =
µs
Φ st MΦ s =µs Masse modale

On peut normaliser les modes propres en posant:

Φ st KΦ s =1 ou Φ st MΦ s =1 ou Φ st Φ s =1

14
Système à 2 degrés de liberté

Réponse harmonique forcée (sans amortissement)

+ KX = F eiωt
MX 0

−1
X = X 0e ⇒ X 0 = ( K −ω M ) F0
iωt 2

−1
(K −ω M)
2
Résolvante ou matrice des coefficients
d'influence dynamique du système

15
Système à 2 degrés de liberté

Réponse harmonique forcée (sans amortissement)

−1 a11 (ω2 ) a12 (ω2 )

R(ω) = ( K −ω M )
2
= 2 2 
a
 21 ( ω ) a 22 ( ω )

a rs (ω2 ) amplitude du ddl xr lorsqu’une amplitude vibratoire

unitaire de pulsation ω est imposée au ddl xs

2
X 0 = ∑βs Φ s
s=1

16
Système à 2 degrés de liberté

Réponse harmonique forcée (sans amortissement)

−1 2 2
X 0 = ( K −ω M ) F0 = ∑βs Φ s ⇒ ( K −ω M )∑βs Φ s = F0
2 2

s=1 s=1

∑β (Φ KΦ −ω Φ MΦ ) =Φ F
s=1
s
t
r s
2 t
r s
t
r 0 βr (Φ rt KΦ r −ω2Φ rt MΦ r ) =Φ rt F0

Φ rt F0 Φ rt F0
βr = =
κ r −ω2µ r µ r (ω2r −ω2 )

2
Φ st F0 2
Φ s Φ st
X0 = ∑ Φs = ∑ F0 Superposition modale
s=1 µ s ( ωs −ω ) s=1 µ s ( ωs −ω )
2 2 2 2

17
Système à 2 degrés de liberté

Réponse harmonique forcée (sans amortissement)

−1 a11 (ω2 ) a12 (ω2 ) 2 Φ s Φ st

R(ω) = ( K −ω M) 2  =∑
2
=
a
 21 ( ω2
) a 22 ( ω ) s=1 µs (ωs2 −ω2 )

Les coefficients d'influence dynamiques du système se calculent

explicitement dès lors que l'on a déterminé les modes du système.

18
Système à 2 degrés de liberté

Réponse harmonique forcée (sans amortissement)

Les coefficients d'influence statiques du système s'obtiennent en prenant

la limite lorsque la fréquence d'excitation tend vers 0 (statique).

2
Φ s Φ st
Sta(ω) = ∑
s=1 κs

19
Système à 2 degrés de liberté

Réponse forcée sous force quelconque (sans amortissement)

+ KX = F(t)
MX
2
On pose: X(t) = ∑q s (t)Φ s
s=1

2 2

∑

q (t)MΦ + ∑q (t)KΦ

s=1
s s
s=1
s s = F(t)

2 2

∑

q (t)Φ MΦ + ∑q (t)Φ KΦ

s=1
s
t
r s
s=1
s
t
r s =Φ rt F(t)

q r (t) + κ r q r (t) =Φ rt F(t) ⇒ q r (t)

µ r

On obtient: X(t) = ∑q s (t )Φ s 20
s=1
Système à 2 degrés de liberté

Réponse harmonique forcée (avec amortissement)

+ KX = F eiωt


+ CX
MX 0

X = X 0e rt ⇒ (K + rC + r 2 M )X 0e rt = F0eiωt

r = iω et ( K + iωC −ω2 M )X 0 = F0

21
Système à 2 degrés de liberté

Réponse harmonique forcée (avec amortissement)

Problème aux valeurs propres complexes

det ( K + iωC −ω2 M ) = 0 → ω Fréquence complexe

( K + i ω C −ω2
M )Φ = 0 → Φ Mode complexe

Méthode peu utilisée dans la pratique!

22
Système à 2 degrés de liberté

Réponse forcée sous force quelconque (avec amortissement de Rayleigh)

C = aK + bM Amortissement proportionnel
Hypothèse de Basile


+ CX
MX
+ KX = F(t)
2
X(t) = ∑q s (t)Φ s
On pose: s=1

2 2 2

∑

q (t)MΦ + ∑q
(t)CΦ + ∑q (t)KΦ

s=1
s s
s=1
s s
s=1
s s = F(t)
2 2 2

∑

q (t)Φ MΦ + ∑q
(t)Φ CΦ + ∑q (t)Φ KΦ

s=1
s
t
r s
s=1
s
t
r s
s=1
s
t
r s =Φ rt F(t)

q r (t) + γ r q
r (t) + κ r q r (t) =Φ rt F(t) ⇒ q r ( t )

µ r

X(t) = ∑q s (t )Φ s
 s=1
=aκ r + bµ r

Les modes propres réels servent dans ce cas de Rayleigh! 23

Système à 2 degrés de liberté

Réponse forcée sous force quelconque (avec amortissement modal)

 2µ ξ ω 0 
C= 1 1 1 Amortissement modal
 0 2µ 2ξ 2ω2 

2
On pose: X(t) = ∑q s (t)Φ s
s=1

2 2 2

∑s



q
s=1
(t) Φ MΦ s ∑ s
t
+
r


q (t) Φ C Φ
s=1
s ∑ s
+ q (t) Φt
r
t
r KΦ s =Φ t
r F(t)
s=1

q r (t) + 2µ r ξ r ωr q
r (t) + κ r q r (t) =Φ rt F(t) ⇒ q r (t)

µ r

X(t) = ∑q s (t )Φ s
s=1

Les modes propres réels servent aussi dans le cas modal!

24
Système à 2 degrés de liberté

Réponse forcée sous force quelconque (avec amortissement modal)

On peut identifier l'amortissement modal

à partir de Rayleigh en posant:

2µ r ξ r ωr = aκ r + bµ r

κr µ
ξr = a +b r
2µ r ωr 2µ r ωr

1 b
ξr =  aωr + 
2 ωr 

Comportement de l'amortissement modal

pour le cas particulier du modèle de Rayleigh 25
Système à 2 degrés de liberté

Réponse harmonique forcée (avec amortissement modal)

( K + i ω C −ω2
M )X 0 = F0
2
X 0 (ω) = ∑ Zs (ω)Φ s
s=1

Φ st F
Zs (ω) =
µs (ωs2 −ω2 + 2iξs ωω j )

2
Φ s Φ st
X 0 (ω) = ∑ F
s=1 µ s ( ωs −ω + 2iξs ωω j )
2 2

Superposition modale
26