M 3 16 Cor
M 3 16 Cor
M 3 16 Cor
com
om
P N ma
La projection de cette expression dans la base cylindro-polaire s’écrit :
r r 2 N cos
(1) suivant u r : m
(2) suivant u : m r 2r m
1 d 2
r dt
r 0
b.c
(3) suivant u z : mz N sin mg
Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme on a :
r cte r 0 et r 0
cte 0
z cte z 0 et
z0
Les équations précédentes s’écrivent maintenant :
tan = 2 o2 2
a o
1
o
tan
2. Expression de la constante.
D’après l’équation (2’) : r 2 Cte
w.
r t 0 t 0 a 2 a 2 o Cte
2
ww
On reconnait ici la loi des aires : en effet dans le plan u r , u le mouvement est à force centrale
N cos u r .
3. Equation différentielle.
On exprime l’énergie mécanique de la particule :
Em Ec E p
1
2
m r 2 r 2 2 z 2 mgz constante
2
r 2 a 2 o 1
Or : z ; r a o
2 2
et o
tan r
2
tan
1 2 2 a 2 o r 2 mgr
2
om
Em m r r constante
2 r 2 tan 2 tan
1 mgr
Em m r 2 1 o4 2 a 4 2o2
1
constante
2 r tan
r 1 o4 2 a 4 2o2 gr o2
1 2 1 constante
2 2r m
b.c
Comme g ao2 , on obtient :
1 a 2 2 2 r
r 1 o4 a 2o2
1 2
o Cte '
2
2 2 r a
Energie cinétique
suivant r Energie potentielle dite effective E p eff
1 a 2 2 r
E p eff a 2o2
2 r
2
o2
r
a
r 0 E p eff
a
we
ola
On recherche les extremums de la fonction E p eff :
2
dE p eff 1 2 2 3
a 2o2 a 2 2 3 o 0 r
dr 2 r a o
kh
w.
ww
On peut déduire de cette étude graphique que : r1 r r2 .
4. Evolution de r.
Comme à t = 0, r 0 0 pour r a , l’une des deux positions limites r1 ou r2 doit être égale à a.
2
om
3
D’autre part comme la position d’équilibre r a est nécessairement comprise entre r1 et r2 , on peut
o
en déduire que si :
o r1 a et r2 a
o r2 a et r1 a
b.c
we
ola
kh
w.
ww