Salé : 2021/2022 2ème BAC SMf (a&B)

les intégrales (3)

Exercice 01 : Exercice 03 :
A l’aide des sommes de Riemann d’une fonction soit la fonction F définie sur  0;  par :
Convenable, calculer la limite de la suite  un n1 dans les  2x 1  e
t

 F  x   x dt : x 0
cas suivants :  t 2

 F  0    ln 2
n
k2 1 n k3 
un   un  
k 1 n n  k3
23 3 n k 1
n 2
 k2 
3
C  sa courbe dans un repère orthonormé  O; i ; j  .
1. a)En utilisant une intégration par parties montrer
n 1
nk 1 n 1
k
un   un   que :  x
e 2 x  1 e x  1 2 x et
0 F  x    
k 0 n  k nk
2 2
n n dt
k 0 2x x x t
1
b) Montrer que :  x 0  e x ln 2  x dt  e 2 x ln 2
t
2x e
1 n  n  k  k  n2
un  n
n  k  un     1    t
n k 1  k 1  n  
  2x e
t
c) Calculer lim x dt puis déduire que F est
Exercice 02 : x 0 t
x 1
1 continue à droite en 0.
On considère la fonction F définie par : F  x    ln t
e dt 1  ex
x 2. a) Montrer que :  x 0 F  x   .

1. Monter que : t  0;   et  t  1 et ln t  t  1
F  x
2x

2. Vérifier que le domaine de définition de F est : b) Calculer lim F  x  et lim puis interpréter
x  x  x
D  1;  graphiquement ce résultat.
1 1 3. a)Montrer que F est dérivable sur 0;  et que :
3. a)Montrer que :  x 1 : e  F  x  e
ln  x 1 ln x
2
1  ex 1 
b)En déduire lim F  x  puis interpréter  x 0 F   x      .
x 
2 x 
graphiquement ce résultat. b)Dresser le tableau de variations de F .
4. a)En utilisant la question 1) montrer que :  x 1 4. a)Montrer que :
0   c  0; x  F  x   F  0    xe 2c
1
1 x 1 x 1 1  x   x
F  x  1   dt et  dt  ln  . 2
x ln t x ln t  x 1  ( on applique le théorème des accroissements finis
b)En déduire lim F  x  puis interpréter deux fois de suite)
x 1 b)En déduire que :
graphiquement ce résultat. 1 F  x   F  0 1
5. a) Montrer que la fonction F est dérivable sur D et  x 0   e2 x   .
2 x 2
calculer F '  x  c)En déduire que F est dérivable à droite en 0 et
b) Dresser le tableau de variations de F . 1
que : Fd  0    .
c) Tracer la courbe de F dans un repère orthonormé 2

O; i ; j  . 5. a) Dresser le tableau de variations de F .

b)Tracer C  .