Pythagore

PYTHAGORE !
VOUS AVEZ DIT

THEOREME DE
PYTHAGORE
ACTIVITE PREPARATOIRE
Construire un triangle ABC rectangle en A tel que
AB = 7 cm et AC = 4 cm
C
A B
Mesurer la longueur BC : BC  8 cm
Calculer BC2 et AB2 + AC2 :
BC2  64 cm2
BC2  AB2 + AC2
AB2 + AC2 = 49 + 16 = 65 cm2
CLIQUEZ ICI :
GEOPLANW
UTILITE DU THEOREME DE
PYTHAGORE
Le théorème de PYTHAGORE permet de

déterminer la longueur du coté d’un triangle
rectangle connaissant la longueur des deux
autres cotés.
B
A C
UTILITE DU THEOREME DE
PYTHAGORE
Exemple :
soit le triangle ABC rectangle en A,
si je connais les longueurs AC et BC,
je vais pouvoir déterminer la longueur AB.
B
A C
L’HYPOTENUSE ?
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
C’est toujours le côté le plus long.
B
BC est l’hypoténuse
C
A
ENONCE DU THEOREME DE
PYTHAGORE
Si un triangle ABC est rectangle en A
Alors le carré de l’hypoténuse est égal à la
somme des carrés des deux autres cotés.
B
A C
ENONCE DU THEOREME DE
PYTHAGORE
Si un triangle ABC est rectangle en A
Alors : BC2 = BA2 + AC2

B
A C
APPLICATION 1
Soit le triangle ABC rectangle en B.
On donne AB = 4 cm et BC = 3 cm
Calculer AC.
C
A B
APPLICATION 1
C
AC = ? BC = 3 cm
A B
AB = 4 cm
APPLICATION 1
C
AC = ? BC = 3 cm
A B
AB = 4 cm
Le triangle ABC est rectangle en B. D’après
l’énoncé du théorème de PYTHAGORE on
peut écrire :
AC2 = AB2 + BC2
APPLICATION 1
C
AC = ? BC = 3 cm
A B
AB = 4 cm
AC2 = AB2 +BC2
AC2 = 42 + 32
AC2 = 16 + 9
APPLICATION 1
C
AC = ? BC = 3 cm
A B
AB = 4 cm
AC2 = 25
APPLICATION 1
C
AC = ? BC = 3 cm
A B
AB = 4 cm
AC2 = 25
AC = 25
APPLICATION 1
C
AC = ? BC = 3 cm
A B
AB = 4 cm
AC2 = 25
AC = 25
AC = 5 cm
APPLICATION 2
Soit le triangle ABC rectangle en B.

On donne AB = 3 cm et AC = 7 cm.
Calculer BC. B A
C
APPLICATION 2
AB = 3 cm
B A
BC = ?
AC = 7 cm
C
APPLICATION 2
AB = 3 cm
B A
Le triangle ABC est
rectangle en B. D’après
l’énoncé du théorème
BC = ? de PYTHAGORE :
AC = 7 cm
AC2 = AB2 + BC2
C
APPLICATION 2
AB = 3 cm AC2 = AB2 + BC2

B A
72 = 32 + BC2
49 = 9 + BC2
BC = ? 49 - 9 = BC2
AC = 7 cm
40 = BC2
BC2 = 4O
C
APPLICATION 2

B A
72 = 32 + BC2
49 = 9 + BC2
BC = ? 49 - 9 = BC2
AC = 7 cm
40 = BC2
BC2 = 4O
BC = 40
C
APPLICATION 2

B A
72 = 32 + BC2
49 = 9 + BC2
49 - 9 = BC2
BC = ?
AC = 7 cm 40 = BC2
BC2 = 4O
BC = 40
BC  6,32 cm
C
APPLICATION 3
Soit la grue ci dessous :
détermination de la longueur du tirant d’une
grue
A
D B
C
APPLICATION 3
Soit la grue ci dessous :
détermination de la longueur du tirant d’une
grue
A
D B
C
On donne
AD = 3 m, CD =2 m
BC = 12,5 m
CALCULER AB
APPLICATION 3
A
3m AB = ?
D
B
2m C
12,5 m
On calcule d’abord AC
APPLICATION 3
A
3m
AC = ?
D 2m C
Le triangle ACD est rectangle en C, on peut

appliquer le théorème de Pythagore :
AD2 = DC2 + AC2
APPLICATION 3
A
3m
AC = ?
D 2m C
AD2 = DC2 + AC2

32 = 22 + AC2
9 = 4 + AC2
APPLICATION 3
A
3m
AC = ?
D 2m C
9 - 4 = AC2
5 = AC2
AC2 = 5
APPLICATION 3
A
3m
AC = ?
D 2m C
9 - 4 = AC2
5 = AC2
AC2 = 5
AC = 5
APPLICATION 3
A
3m
AC = ?
D 2m C
9 - 4 = AC2
5 = AC2
AC2 = 5
AC = 5
AC  2,24 m
APPLICATION 3
A
5 m
B
C 12,5 m
Le triangle ACB est rectangle en C, on peut

utiliser le théorème de Pythagore :
AB2 = BC2 + AC2

APPLICATION 3
A AB = ?
5 m
B
C 12,5 m
AB2 = BC2 + AC2

AB2 = 12,52 +5
AB2 = 156,25 + 5
AB2 = 161,25
APPLICATION 3
A AB = ?
5 m
B
C 12,5 m
AB2 = BC2 + AC2

AB2 = 12,52 +5
AB2 = 156,25 + 5
AB2 = 161,25
AB = 161,25
APPLICATION 3
A AB = ?
5 m
B
C 12,5 m
AB2 = BC2 + AC2

AB2 = 12,52 +5
AB2 = 156,25 + 5
AB2 = 161,25
AB = 161,25
AB  12,7 m
POUR EN SAVOIR PLUS
Pour démontrer le théorème de Pythagore
on peut utiliser la méthode suivante :
Soit deux carrés de

cotés différents placés
comme indiqué sur la
figure ci-contre :
POUR EN SAVOIR PLUS
a b
La surface du carré
c
bleu est :
POUR EN SAVOIR PLUS
a b
La surface du carré
c
bleu est :
S = c2
POUR EN SAVOIR PLUS
a
Cette surface peut
b c
également se calculer
à l’aide de l’aire du
carré gris et celles
des quatre triangles
de cotés a,b,c.
POUR EN SAVOIR PLUS
a b
Surface du carré gris :
b c
POUR EN SAVOIR PLUS
a b
b c
(a + b)2 =
POUR EN SAVOIR PLUS
a b
b c
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
POUR EN SAVOIR PLUS
a b
b c
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Surface des quatre triangles :

POUR EN SAVOIR PLUS
a b
b c
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

4(ab)2 =
POUR EN SAVOIR PLUS
a b
b c
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

4(ab)2 = 2ab
POUR EN SAVOIR PLUS
a b
Surface du carré bleu :
b c
S = a2 + b2 + 2ab - 2ab
S = a 2 + b2
POUR EN SAVOIR PLUS
a b
Conclusion : b c
a2 + b2 = c2

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Le théorème de PYTHAGORE permet de

Alors : BC2 = BA2 + AC2

Soit le triangle ABC rectangle en B.

AC2 = AB2 + BC2

AB = 3 cm AC2 = AB2 + BC2

AB = 3 cm AC2 = AB2 + BC2

AB = 3 cm AC2 = AB2 + BC2

Le triangle ACD est rectangle en C, on peut

AD2 = DC2 + AC2

Le triangle ACB est rectangle en C, on peut

AB2 = BC2 + AC2

AB2 = BC2 + AC2

AB2 = BC2 + AC2

AB2 = BC2 + AC2

Soit deux carrés de

Surface des quatre triangles :

Surface des quatre triangles :

Surface des quatre triangles :

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