Exercices Le Produit Scalaire Dan Espace 3 1bac Biof
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Le produit scalaire
Exercice 1
Une unité de longueur a été choisie.
ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3, B’ est le milieu de [AC] et D le point défini par la relation :
4AD AB 3BC
1. a) Démontrer que D est le barycentre du système : (A,3) ; (B,-2) ; (C,3)
b) En déduire que D appartient à la médiatrice du segment [AC].
2. Démontrer que BD
ÝÝÑ1
ÝÝÑ 3 BB
2
3. Calculer DA2 et DB2
4. Déterminer l’ensemble (E) des points M vérifiant la relation : 3 MA2 - 2 MB2 + 3 MC2 = 12
Vérifier que le centre de gravité G du triangle ABC appartient à (E).
Exercice 2
On considère dans le plan un triangle ABC tel que : AB = 7 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.
Soit I le milieu de [BC].
?
1. Montrer que AI = 33 cm.
Exercice 3
Écrire une équation cartésienne du plan P, sachant que le projeté orthogonal de l’origine sur P est le point
A(1 ; 5 ; 7).
Exercice 4
Écrire une équation de la sphère de centre I(3 ; 1 ; -4), passant par le point A(4 ; 2 ; 1).
Exercice 5
Vérifier que A(4 ; -1 ; 2) est un point de la sphère S ; écrire une équation du plan tangent en A à S.
S : x2 y 2 z 2 6x 2y 4z 3 0.
Exercice 6
Calculer la distance d du point A à la droite D sachant que :
la droite D a pour équation x 4y 2 0 ;
et le point A a pour coordonnées (-1 ; 3).
1
PROF: ATMANI NAJIB
Exercice 7
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal O;~i, ~j, ~k , on considère les points A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ;
0 ; 1) et D(0 ; -1 ; 0).
Exercice 8
ABCD est un tétraèdre, tel que AB = CD = a. On appelle I, J, K et L les milieux respectifs de [AD], [BC],
[AC] et [BD].
ÝÑ ÝÑ ÝÑ ÝÑ ÝÑ ÝÑ
1. Montrer que AB DC 2 IJ et que AB DC 2KL.
2. Montrer que (IJ) et (KL) sont sécantes et orthogonales.
3. Quelle est la nature du quadrilatère IKJL ? Calculer la longueur de ses côtés en fonction de a.
4. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que IKJL soit un carré.
Exercice ?9 ? ? ?
Soit ~u 2 1; 1; 2 1 et ~v 1; 2 1; 4 2 2 .
Calculer ~u ~v ; qu’en déduit-on pour ~u et ~v ?
Vérifier ce résultat par un autre calcul.
Exercice 10
ÝÑ ÝÑ
Soient A, B, C, D quatre points quelconques du plan.
Démontrer que (AB2 + CD2) - (AD2 + CB2) = 2DB AC à l’aide de relations de Chasles judicieusement
choisies dans le premier membre.
Exercice 11
ÝÝÑ ÝÑ ÝÝÑ ÝÑ ÝÝÑ ÝÑ
1. Soit ABC est triangle. Pour tout point M du plan, montrer l’égalité : MA BC MB CA MC AB 0.
2. Application : montrer que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Indication : On appelle H le point d’intersection de deux hauteurs. Montrer que H appartient aussi à la
troisième hauteur.
2
PROF: ATMANI NAJIB
Correction
Exercice 1
ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ
1. a) Le point D est défini par la relation suivante : 4AD AB 3BC donc :
Ý
Ý4ÝÑÝ
Ñ ÝÝ
Ñ
AD AB 3BC 0
ÝÝ
Ñ Ñ
Ý
ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÑ
4DA AD DB 3BD 3DC 0
Ý ÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÑ
3DA 2DB 3DC 0
D’où : D est le barycentre du système (A,3) ; (B,-2) ; (C,3)
1. b) On sait que :
D est le barycentre du système (A, 3) (B, -2) (C, 3),
B’ est le milieu du segment [AC], donc B’ est le barycentre de (A, 3) (C, 3).
D’après le théorème d’associativité du barycentre, D est le barycentre de (B’, 6) (B, -2).
D appartient donc à la droite (BB’), médiatrice du segment [AC] (car ABC est un triangle équilatéral).
ÝÝÑ DB
2. On sait que D est le barycentre de (B’, 6) (B, -2). Donc :
6DB 1 2Ý
ÝÝÑ ÝÑ0
ÝÝ
Ñ ÝÑ1 2DB
ÝÝÑ Ñ
Ý0
ÝÝ
Ñ
6DB 6BB
4DB 6BB 1
ÝÝÑ
ÝÝÑ 3 ÝÝÑ
BD BB 1
2
3. ÝÝÑ ÝÝÑ
DA2 pDB 1 B 1 Aq2
DB 12 2DB ÝÝÑ1 BÝÝ1ÑA B 1 A2
DB 12 2 0 B 1 A2 pcarDappartientàlamédiatricedusegmentrAC sq
2 2
12 BB 1 1
AC
? 2 ?
2
4 2
1 3 3 1 2 1
3 Rappel : lahauteurd untriangleéquilateraldecoteaestégalea 2
a 3
4
63
16
ÝÝÑ 3 ÝÝÑ
Comme BD BB 1 , alors :
2
2
DB 2
3
BB 12
? 2
2
DB 2
9 3 3
4 2
DB 2 243
16
4.
3M A2 2M B 2 3M C 2 12
ðñ 3pM ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ
D DAq2 2pM D DB q2 3pM D DC q2 12
ÝÝÑ ÝÝ
Ñ
ðñ 3M D ÝÝÑ6MÝÝDÑ DA 3DA 2M D 4M
2 2 2 ÝÝÑ ÝÝÑ
D DB 2DB 2
6M D DC 3DC 12
ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ
2 2
3M D
ðñ 4M D2 2M D p3DA 2DB 3DC q 3DA2 2DB 2 3DC 2 12
ÝÝÑ Ñ
Ý
ðñ 4M D 2M D 0 3DA2 2DB 2 3DC 2 12
2
3
PROF: ATMANI NAJIB
2 ? 2
Comme ABC est un triangle équilatéral, alors GA = GB = GC, donc :
3GA 2GB
2 2
3GC 4GB 4
2 2 2
BB 1 4 3 2 12
2 3 3
3
G appartient à l’ensemble (E).
Exercice 2 ?
1. Montrons que AI = 33 :
Première méthode :
BC2
D’après le théorème de la médiane, on a : AB2 AC2 2AI2 2
Donc :
BC2
AB2 AC2
AI2 2
2
42
72 52
AI2 2
2
49 25
16
AI2 2
2
AI2
66
2
AI2 33 ?
D’où : AI = 33 cm.
Deuxième méthode :
Remarquons d’abord que (AI) est la médiane du triangle ABC issue de A.
Identité du parrallélogramme :
Pour tous vecteurs ~u et ~v du plan, on a :||~u||2 ||~v ||2 ||~u ~v ||2 ||~u ~v ||2
1
ÝÝÑ ÝÑ
En prenant ~u AB et ~v AC, on a :
2
ÝÝÑ AC
||~u ~v|| ||AB ÝÑ|| 2||AI
ÝÑ|| et ||~u ~v|| ||ÝAB
ÝÑ AC
ÝÑ|| ||BC
ÝÝÑ||.
L’identité du
parrallèlogramme devient alors :
Ý
Ñ ÝÝÑ||2 ||AC
||AI ||2 2 ||AB
1 ÝÑ||2 1 ||BC ||2
2
L’application numérique donne : AI 2 72 52 42 33
1 1
? 2 2
D’où : AI = 33 cm.
ÝÝÑ Ý ÝÑ ÝÝÑ Ý
Ñ0
ÝÑ
Donc mM A M B M C est indépendant du point M si et seulement si m = -2.
On obtient alors : ~u 2IA.
2. b) Déterminons l’ensemble F des points M du plan tels que -MA2 + MB2 + MC2 = -25 :
Transformons -MA2 + MB2 + MC2 afin de faire apparaı̂tre le point
I.
M A M B M C M I pIA IB IC q 2M I IA
2 2 2 2 2 2 2 Ý
ÝÑ ÝÑ IB
ÝÑ IC
ÝÑ
looooooooooomooooooooooon
Ý
Ñ0
M I 2 2MÝÝÑI IA
ÝÑ IA2 p2IA2 IB 2 IC 2 q
ÝMÝÑI IA
ÝÑ 2 p2IA2
IB 2 IC 2 q
Or, on remarque que -25 = -33 + 22̂ + 22̂ = -IA2 + IB2 + IC2, donc :
M A2 M B2 M C2
25 ðñ M ÝÑ
ÝÝÑI IA 2
p2IA2 IB 2 IC 2 q IA2 IB 2 IC 2
4
PROF: ATMANI NAJIB
ðñ M ÝÝÑI IA
ÝÑ 2 IA
ÝÑ2 0
ÝÝÑI M
ðñ M
ÝÝÑI 2IA
ÝÑ 0
ÝÑ
Soit J le point du plan tel que IJ 2IA
ÝÑ
ÝÝÑ ÝÝÑ
On a donc que M A2 M B 2 M C 2 25 ðñ M I M J 0.
F est donc le cercle de diamètre [IJ].
Exercice 3
Ecrivons une équation cartésienne du plan P, sachant que le projeté orthogonal de l’origine
ÝÑ
sur P est le point A(1 ; 5 ; 7) :
ÝÝÑ ÝÑ
Le vecteur OA est un vecteur normal au plan P, c’est-à-dire que pour tout point M(x ; y ; z) du plan P,
AM .OA 0
ÝÝÑ ÝÑ
M appartient au plan P ðñ AM OA 0
ðñ px 1q p1 0q py 5q p5 0q pz 7q p7 0q 0
ðñ x 5y 7z 65 0.
D’où l’équation du plan P.
Exercice 4
Ecrivons une équation de la sphère de centre I(3 ; 1 ; -4), passant par le point A(4 ; 2 ; 1) :
Calculons le rayon de la sphère : R2 = AI2 = (3 - 4)2 + (1 - 2)2 + (-4 - 1)2 = 27.
On en déduit l’équation de la sphère : (x - 3)2 + (y - 1)2 + (z + 4)2 = 27.
Exercice 5
Vérifions que A(4 ; -1 ; 2) est un point de la sphère S :
Transformons l’équation de S :
x2 y 2 z 2 6x 2y 4z 3 0 ðñ x2 6x y 2 2y z 2 4z 3 0
ðñ px 3q2 py 1q2 pz 2q2 3 32 12 22
ðñ px 3q2 py 1q2 pz 2q2 17
Regardons si les coordonnées de A vérifient l’équation de S :
(4 - 3)2 + (-1 + 1)2 + (2 + 2)2 = 12 + 02 + 42 = 17.
Donc le point A appartient à la sphère S.
Exercice 6
Calculons la distance d du point A à la droite D :
Distance d’un point à une droite dans le plan :
On considère la droite D : ax + by + c = 0, avec pa, b, cq P R3 et pa, bq p0, 0q.
M(x M ; yM ; zM ) est un point du plan.
La distance dpM, Dq vaut ainsi : dpM, Dq
|axM? byM c|
a 2 b2
En appliquant la formule, il vient : d
|axA? byA c|
a 2 b2
5
PROF: ATMANI NAJIB
?
D’où, d
| 1 p1q 4 3 2|
a ? 17
11 11 17
p1q2 42 17
Remarque : Quand on a oublié la formule, on la redémontre...
Soit H(x H ; yH ) le projeté orthogonal de A sur D.
On note D1 la perpendiculaire à la droite D passant par A.
~upa; bq est un vecteur directeur de D1 (car c’est un vecteur normal de D)
|ÝAB
ÝÑ ~u| ||AH
ÝÝÑ|| ||~u|| d ||~u||
Soit B(x B ; yB ) un point de D
|ÝAB
ÝÑ ~u| |pxB xA q a pyB yA q b|
D’autre part, avec l’autre formule du produit scalaire,
Exercice 7
1. Vérifions que le triangle ABC est?équilatéral : ?
On a facilement que AB BC CA 12 12 02 2 donc le triangle ABC est équilatéral.
ÝÝÑ ÝÝÑ
2. Les droites (AD) et (BC) sont-elles orthogonales ?
On a : AD BC p0 1q p0 0q pp1q 0q p0 1q p0 0q p1 0q 1
Donc les droites (AD) et (BC) ne sont pas orthogonales.
3. Calculons
ÝÑ ÝÑ
CI CJ :
; ; 0 , donc :
1 1 1 1
On a I ; ; 0 et J
ÝÑ ÝÑ 2 2 2 2
CI CJ pxI xC q px J xC q pyI yC q pyJ yC q pzI zC q pzJ zC q
2 2 2 12 p1q2
1 1 1
1
z :
ÝÑ ÝÑ
Déduisons-en une mesure de l’angle ICJ
CJ
cospICJ
zq Ý ÑCI|||| ÝÑ|| .
||CI CI??
Ý
Ñ ÝÑ
Or, ||CI || ||CI ||
2 3
3
, donc ;
2 2
cospICJ
zq b 1 b 2 .
2
3
3 3
2
z
Avec la calculatrice, on obtient : ICJ 48 .
4. Calculons les coordonnées du point H :
6
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Exercice 8
ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ
1. Montrons que AB DC 2IJ et que AB DC 2KL :
ÝÝÑ ÝÝ
Ñ ÝÑ Ý
Ñ ÝÑ ÝÑ
AB DC pAI IJ JB q pDI IJ JC q
Ý
Ñ ÝÑ
ÝÑ ÝÑ
2IJ pIA ÝÑ ÝÑ
IDq pJB
looomooon
ÝÑ
JC q
loooomoooon
ÝÑ ÝÑ0 ÝÑ0
2IJ
ÝÝÑ ÝÝÑ
De même,
ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÑ ÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ
AB DC pAK KL LB q pDL LK KC q
ÝÝÑ pKA
2KL Ýlooooomooooon
ÝÑ KC ÝÝÑq pLB
ÝÑ ÝÑ
LDq
loooomoooon
ÝÝÑ Ý
Ñ0 Ý
Ñ0
2KL
ÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ
2. Montrons que (IJ) et (KL) sont sécantes et orthogonales :
IJ KL pAB DC q pAB DC q ||AB ||2 ||DC ||2 a2 a2 0.
Donc (IJ) et (KL) sont orthogonales.
ÝÝÑ ÝÝÑ
On note P le plan engendré par les vecteurs ABet DC passant par I.
ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ
Ainsi M appartient au plan P ðñ Il existe deux réels α et β tels que IM αAB β DC.
ÝÑ ÝÝÑ DC,
Or, IJ AB
1 1 ÝÝÑ donc J P P.
2 2
ÝÑ ÝÑ ÝÝÑ 1 DA
IK IA AK
ÝÝÑ ACÝÑ 1 DC,ÝÝÑ donc K P P.
2 2
ÝÑ ÝÑ ÝÑ 1 AD
IL ID DL
ÝÝÑ DBÝÝÑ 1 AB,
ÝÝÑ donc L P P.
2 2 ÝÑ ÝÝÑ
Donc, les points I, J, K et L sont coplanaires. De plus, IJ et KL sont non colinéaires, donc les droites (IJ)
et (KL) sont sécantes.
Exercice 9
Calculons? ~u ~v : ? ? ?
~u ~v 21 1 1 2 1 p 2 1q p4 2 2q 0
7
PROF: ATMANI NAJIB
Exercice 10
Démontrons que AB 2 CD 2
AD 2
CB 2
ÝÝÑ ÝÑ
2DB AC :
AB 2
CD AD
2 2
CB 2
AB 2
CD 2
pAB 2 ÝÝÑ ÝÝÑ
BD2 2AB BD CD2 DB 2 2CD DB q
ÝÝÑ ÝÝÑ
2 BD2 AB
ÝÝÑ CDÝÝÑ BD
ÝÝÑ
ÝÝÑ ÝBA
2 DB ÝÑ CD
ÝÝÑ BD
ÝÝÑ
ÝÑ BD
2CA ÝÝÑ
ÝÝ
Ñ ÝÑ
2DB AC
Exercice 11
ÝÝÑ ÝÑ
1. Soit ABC est triangle. Pour tout point M du plan, montrer l’égalité : MA BC
ÝÝÑ ÝÑ MC
MB CA
ÝÝÑ AB
ÝÑ 0.
2. Application : montrer que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Indication : On appelle H le point d’intersection de deux hauteurs. Montrer que H appartient aussi à la
troisième hauteur.
ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ
1. Montrons, pour tout point M du plan, l’égalité : MA BC MB CA MC AB 0 :
ÝÝÑ ÝÝÑ M
M A BC
ÝÝÑ ÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ Ý ÝÑ ÝÑ
B CA M C AB M A BC CA AB
ÝÝÑÆ AB
looooooooomooooooooon
ÝÝÑ CA
ÝÑ AC
ÝÑ AB
ÝÝÑ Ý
Ñ0 .
Ý
Ñ0
2. Montrons que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes :
Soit H le point d’intersection de la hauteur issue de A et de celle issue de B. Montrons que H appartient à la
hauteur issue de C.
ÝÝÑ ÝÝÑ
Pour cela, on doit montrer que HC AB 0.
ÝÝÑ Ý
ÝÑ
HC AB HA
ÝÝÑ Ý
ÝÑ ÝÝ
BC HB
loooomoooon
Ñ ÝÑ
CA 0.
loooomoooon
0 0
D’où : le point H appartient à la hauteur issue de C. Les trois hauteurs d’un triangle sont donc concourantes.