Licence ELN 3 Transformée de Laplace 2020-2021

1 Introduction
La transformée de Laplace (𝑇𝐿) joue un rôle très important dans l’étude et l’analyse des systèmes
linéaires invariants dans le temps. C’est un outil très utile qui facilite énormément la résolution des
équations différentielles linéaires à paramètres constants. Par conséquent, cela permettra de
déterminer la réponse de tels systèmes à n’importe quelle excitation (signal d’entrée) pourvu que la
réponse du système à une excitation de Dirac soit connue. Ceci est le fait du théorème de la
convolution qui conduit à la notion de fonction de transfert d’un système. L’importance de la 𝑇𝐿 pour
les systèmes linéaires invariants est ce que la transformée de Fourier (𝑇𝐹) est pour les signaux. La 𝑇𝐿
est une transformée qui agit sur l’intervalle [0, ∞] et non pas, comme la transformée de Fourier qui
opère sur l’intervalle [−∞, ∞]. Pour cette raison, la TL est utile pour résoudre les problèmes
dépendants de conditions initiales, tel que la théorie des circuits électriques, dont le comportement
est décrit par l’instant 𝑡 = 0 de fermeture des interrupteurs et la valeur initiale 𝑓(0) d’une grandeur
(courant, tension,...) spécifiée.

2 Définition
La 𝑇𝐿 est une généralisation de la transformée de Fourier en ce qui concerne le domaine de définition
de la variable 𝜔 étendu au domaine complexe de la variable 𝑝. D’autre part, on admet que la fonction
à transformer est causale, c'est-à-dire 𝑛𝑢𝑙𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 < 0. La transformée de Fourier est un cas
particulier de la transformée de Laplace définie sur l’axe imaginaire 𝑗𝜔 , c'est-à-dire en posant 𝑝 =
𝑗𝜔 .

La transformée de Laplace 𝐹(𝑝) d ‘une fonction 𝑓(𝑡) 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑙𝑒 est définie par :
+∞ +∞
𝓣𝓛
𝒇( 𝒕 ) → 𝓣𝓛[𝒇(𝒕)] = 𝑭(𝒑) = ∫ 𝒇(𝒕) 𝒆− 𝒑𝒕 𝒅𝒕 = ∫ 𝒇(𝒕) 𝒆− 𝝈𝒕 𝒆− 𝒋𝝎𝒕 𝒅𝒕
𝟎 𝟎

, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑝 = 𝜎 + 𝑗𝜔 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒

𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑒 −𝜎𝑡 𝑒𝑡 𝜎 > 0

𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑙 ′ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 ∀ 𝑡 ≥ 0

Si cette intégrale converge, on dira que la transformée de Laplace existe, ce qui est
généralement le cas pour un domaine de convergence. Dans ce domaine, 𝐹(𝑝) existe lorsque
𝜎 = 𝑅𝑒(𝑝) = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑝 > 𝛾 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑟é𝑒𝑙 ,

𝑖𝑙 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡 𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒 𝑝 = 𝜎 + 𝑗𝜔 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒.

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La 𝑇𝐿 est une fonction complexe analytique de la variable complexe 𝑝 (dérivable) et sa dérivée

est donnée par :
+∞ +∞ +∞
𝑑𝐹 (𝑝) 𝑑
= ( ∫ 𝑓(𝑡) 𝑒 − 𝑝𝑡 𝑑𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡) (−𝑡𝑒 − 𝑝𝑡 ) 𝑑𝑡 = ∫ −𝑡 𝑓(𝑡) 𝑒 − 𝑝𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑝 𝑑𝑝
0 0 0

 Exemple de Transformée de Laplace des signaux usuels :

+∞
𝓣𝓛
𝐼𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐷𝑖𝑟𝑎𝑐 𝛿(𝑡) → 𝓣𝓛[𝜹(𝒕)] = 𝐹(𝑝) = ∫ 𝛿(𝑡) 𝑒 − 𝑝𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 − 𝑝𝑡 |𝑡 =0 = 1
0

𝓣𝓛
𝜹(𝒕) → 𝟏
+∞
𝑡 =∞
𝓣𝓛 1 1 1
𝑒𝑐ℎ𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡é 𝑢(𝑡) → 𝓣𝓛[𝒖(𝒕)] = ∫ 𝑒 − 𝑝𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑒 − 𝑝𝑡 | = 0 − (− ) =
𝑝 𝑡 =0
𝑝 𝑝
0

𝓣𝓛 𝟏
𝒖(𝒕) →
𝒑

𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑é𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡):

+∞ +∞
𝓣𝓛
𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡) → 𝓣𝓛[𝑒 −𝑎𝑡 𝒖(𝒕)] = ∫ 𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 − 𝑝𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒 − (𝑝+𝑎)𝑡 𝑑𝑡 =
0 0

𝑡=∞
1 − 𝑝𝑡
1 1
− 𝑒 | = 0 − (− )= , 𝑅𝑒(𝑝 + 𝑎) > 0 → 𝑅𝑒 (𝑝) > −𝑎
𝑝 +𝑎 𝑡=0
𝑝 +𝑎 𝑝 +𝑎

𝓣𝓛 𝟏
𝒆−𝒂𝒕 𝒖(𝒕) →
𝒑 +𝒂

3 Propriétés de la Transformée de Laplace

Soient 𝑋 (𝑝), 𝑋1 (𝑝), 𝑋2 (𝑝) 𝑒𝑡 𝑌(𝑝) les transformées de Laplace desdes signaux 𝑥 (𝑡), 𝑥 1 (𝑡),
𝑥 2 (𝑡) 𝑒𝑡 𝑦(𝑡) 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡, 𝑒𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 , 𝑎1 𝑒𝑡 𝑎2 𝑑𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑠, on a les propriétés
suivantes très utiles pour le calcul de la transformée de Laplace :

 Linéarité :

𝑠𝑖 𝒙(𝒕) = 𝒂𝟏 𝒙𝟏 (𝒕) + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 (𝒕) 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑿(𝒑) = 𝒂𝟏 𝑿𝟏 (𝒑) + 𝒂𝟐 𝑿𝟐 (𝒑)

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 Translation ou retard fréquentiel (ou multiplication par une exponentielle) :

𝓣𝓛
𝒆𝒂𝒕 𝒙(𝒕) → 𝓣𝓛[𝒆𝒂𝒕𝒙(𝒕)] = 𝑿(𝒑 − 𝒂)

 Translation ou retard temporel :

𝓣𝓛
𝒚(𝒕) = 𝒙 (𝒕 − 𝝉) → 𝓣𝓛[𝒙(𝒕 − 𝝉)] = 𝒀(𝒑) = 𝒆−𝝉𝒑 𝑿(𝒑)

 Changement d’échelle :
𝓣𝓛 𝟏 𝒑
𝒚(𝒕) = 𝒙 (𝒂𝒕) → 𝓣𝓛[𝒚(𝒕) = 𝒙(𝒂𝒕)] = 𝒀 (𝒑) = 𝑿 ( )
𝒂 𝒂

𝑑𝑥(𝑡)
 Dérivation : 𝑦(𝑡) = 𝑑𝑡

𝒅 𝓣𝓛
𝒚(𝒕) = 𝒅𝒕 𝒙(𝒕) → 𝓣𝓛[𝒚(𝒕) = 𝒙̇(𝒕)] = 𝒀(𝒑) = 𝒑𝑿(𝒑) − 𝒙(𝟎)

Démonstration :
+∞ +∞

𝓣𝓛[𝒚(𝒕) = 𝒙̇ (𝒕)] = ∫ 𝒙̇(𝒕) 𝑒 − 𝑝𝑡 𝑑𝑡 = [𝑥 (𝑡)𝑒 − 𝑝𝑡 ]+∞ ( ) − 𝑝𝑡 𝑑𝑡 =

𝑡=0+ + 𝑝 ∫ 𝒙 𝒕 𝑒
0 0

𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒 𝒀(𝒑) = 𝒑 𝑿(𝒑) − 𝒙(𝟎)

𝑑2 𝑥(𝑡)
Pour la dérivée seconde = 𝑥̈ (𝑡) on a, en intégrant par partie :
𝑑𝑡2

+∞ +∞

𝓣𝓛[𝒙̈(𝒕)] = ∫ 𝒙̈(𝒕) 𝑒 − 𝑝𝑡 𝑑𝑡 = [𝑥̇ (𝑡)𝑒 − 𝑝𝑡 ]+∞ ( ) − 𝑝𝑡 𝑑𝑡 =

𝑡=0+ + 𝑝 ∫ 𝒙̇ 𝒕 𝑒
0 0

𝓣𝓛[𝒙̈(𝒕)] = 𝒑𝟐 𝑿(𝒑) − 𝒑 𝒙(𝟎) − 𝒙̇ (𝟎)

En général, pour une dérivée 𝑑’𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑛 𝑑𝑒 𝑥(𝑡) on a :

( 𝒏) 𝒅𝒏 𝒙 (𝒕)
𝓣𝓛[𝒙 (𝒕) = ]=
𝒅𝒕𝒏

= 𝒑𝒏 𝑿(𝒑) − 𝒑𝒏−𝟏 𝒙(𝟎) − 𝒑𝒏−𝟐 𝒙̇(𝟎) … . −𝒑𝒙(𝒏−𝟐) (𝟎)– 𝒙 (𝒏−𝟏) (𝟎)

 Intégration de x(t) :
𝑡 𝑡
𝑿(𝒑)
𝑠𝑖 𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏) 𝑑𝜏 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝓣𝓛[𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏) 𝑑𝜏 ] = 𝒀(𝒑) =
𝒑
0 0

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 Multiplication de 𝒙(𝒕) 𝒑𝒂𝒓 𝒕𝒏 ∶

𝒅𝒏 𝑿(𝒑)
𝑠𝑖 𝑦(𝑡) = 𝑡 𝑛 𝑥 (𝑡) 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝓣𝓛[𝑦(𝑡) = 𝑡 𝑛 𝑥 (𝑡)] = 𝒀 (𝒑) = (−𝟏)𝒏
𝒅𝒑𝒏

 Théorème de la valeur initiale :

𝐥𝐢𝐦 𝒙(𝒕) = 𝒙 (𝟎) = 𝐥𝐢𝐦 𝒑 𝑿(𝒑)

𝒕→𝟎 𝒑→+∞

 Théorème de la valeur finale :

𝒍𝒊𝒎 𝒙(𝒕) = 𝒙(+∞) = 𝒍𝒊𝒎 𝒑 𝑿(𝒑)

𝒕→+∞ 𝒑 →𝟎

 Théorème de Convolution :

La transformée de Laplace d’un produit de convolution dans le domaine temps devient un

produit dans le domaine de Laplace et vice versa.
𝑡 𝑡

𝑠𝑖 𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥 (𝑡) = ∫ ℎ (𝜏) 𝑥 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = ∫ ℎ(𝑡 − 𝜏) 𝑥 (𝜏)𝑑𝜏

0 0

𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝓣𝓛 [ 𝒚(𝒕) = 𝒉(𝒕) ∗ 𝒙(𝒕)] = 𝒀(𝒑) = 𝑿(𝒑). 𝑯(𝒑)

4 Transformée de Laplace Inverse

On détermine la transformée de Laplace inverse 𝑥(𝑡) 𝑑𝑒 𝑋(𝑝) à partir de la transformée de
Fourier inverse de 𝑋 (𝜎 + 𝑗𝜔) et qui est 𝑥 (𝑡)𝑒 −𝜎𝑡 en effet :

en posant 𝑝 = 𝜎 + 𝑗𝜔 dans l’intégrale de Laplace de 𝑋(𝑝) il vient que :

+∞ +∞

𝑿(𝜎 + 𝑗𝜔) = ∫ 𝒙(𝒕) 𝒆− (𝜎+𝑗𝜔)𝒕 𝒅𝒕 = ∫ 𝒙(𝒕) 𝒆− 𝝈𝒕 𝒆− 𝒋𝝎𝒕 𝒅𝒕

𝟎 𝟎

En admettant que 𝜎 , 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑝, appartienne à l’intervalle

de convergence de 𝑋(𝑝), on peut dire que 𝑿(𝜎 + 𝑗𝜔) , fonction de 𝝎 , représente la
transformée de Fourier de 𝑥 (𝑡)𝑒 −𝜎𝑡 .

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La transformée de Fourier inverse est ainsi donnée par :

+∞
1
𝑥 (𝑡)𝑒 −𝜎𝑡 = ∫ 𝑿(𝜎 + 𝑗𝜔) 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔
2𝜋
−∞

D’où on tire :
+∞ +∞
+𝜎𝑡
1 1
𝑥 (𝑡) = 𝑒 ∫ 𝑿(𝜎 + 𝑗𝜔) 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 = ∫ 𝑿(𝜎 + 𝑗𝜔) 𝑒 (𝜎+𝑗𝜔 )𝑡 𝑑𝜔
2𝜋 2𝜋
−∞ −∞

Ce qui conduit à :
+∞
𝟏
𝓣𝓛−𝟏 [𝑿(𝒑)] = 𝒙(𝒕) = ∫ 𝑿(𝝈 + 𝒋𝝎) 𝒆(𝝈+𝒋𝝎)𝒕 𝒅𝝎
𝟐𝝅
−∞

1
𝑝𝑢𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑝 = 𝜎 + 𝑗𝜔 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑑𝑝 = 𝑗 𝑑𝜔 → 𝑑𝜔 = 𝑑𝑝,
𝑗
+∞
𝟏
𝓣𝓛−𝟏 [𝑿(𝒑)] = 𝒙(𝒕) = ∫ 𝑿(𝒑) 𝒆𝒑𝒕 𝒅𝒑
𝟐𝝅𝒋
−∞

Cette expression définit la transformée de Laplace inverse. Pour déterminer la transformée

de Laplace inverse de X(p) on utlise souvent la table des transformées de Laplace de fonctions
usuelles connues ou bien en décomposant X(p) sous forme d’une somme d’éléments plus
simples que l’on peut facilement utiliser à l’aide des tables de transformées.

4.1 Décomposition de la 𝑻𝑳 en somme de fractions simples

Dans le cas où X(p) est une fraction rationnelle propre, c'est-à-dire , le rapport de deux polynomes en
p tel que l’ordre du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur alors on peut
factoriser ce dernier et exprimer X(p) sous forme :

𝑁 (𝑝) 𝑏𝑚 𝑝 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑝 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑝 1 + 𝑏0 𝑁 ( 𝑝)

𝑋(𝑝) = = = , 𝑛> 𝑚
𝐷 ( 𝑝) 𝑎𝑛 𝑝 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑝 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑝 1 + 𝑎0 ∏𝑛𝑖=1(𝑝 − 𝛼𝑖 )

𝑙𝑒𝑠 𝛼𝑖 𝑟𝑒𝑝𝑟é𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑝ô𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑋(𝑝), 𝑜𝑢 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑢 𝑑é𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 𝐷(𝑝)

Deux cas de catégories de pôles possibles pour 𝑋 (𝑝):

- pôles simples

- pôles multiples

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 Décomposition de X(p) ayant uniquement de pôles simples : 𝜶𝒊 ≠ 𝜶𝒋 ∀ 𝒊 ≠ 𝒋

Dans ce cas on peut décomposer X(p) sous forme de somme de fractions simples propres
d’ordre 1 en p de la façon suivante :
𝒏
𝑵(𝒑) 𝑵 ( 𝒑) 𝑨𝒊
𝑿(𝒑) = = 𝒏 = ∑
𝑫(𝒑) ∏𝒊=𝟏(𝒑 − 𝜶𝒊 ) (𝒑 − 𝜶𝒊 )
𝒊=𝟏

𝒙(𝒕) = ∑ 𝑨𝒊 𝒆𝜶𝒊 𝒕 𝒖(𝒕)

𝒊=𝟏

Calcul des coefficients 𝑨𝒊 :

Les coefficients 𝐴𝑖 sont déterminés en évaluant le produit (𝑝 − 𝛼𝑖 )𝑋(𝑝) au point 𝑝 =

𝛼𝑖 , 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑖 = 1 … 𝑛

𝑵(𝜶𝒊 )
𝑨𝒊 = (𝒑 − 𝜶𝒊 )𝑿(𝒑)| = 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒊 = 𝟏 … 𝒏
𝒑=𝜶𝒊 ∏𝒏𝒌=𝟏(𝜶𝒌 − 𝜶𝒊 )
𝒌≠𝒊

 Exemple :

soit à calculer la 𝑇𝐿 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒 de :

𝑁(𝑝) 1
𝑋 ( 𝑝) = = 2
𝐷(𝑝) 𝑝 + 7 𝑝 + 10

Solution :

On écrit 𝐷(𝑝) sous forme de produit de facteurs en cherchant les racines de ce polynôme,
c'est-à-dire les pôles de 𝑋(𝑝) :

𝐷 (𝑝) = 𝑝 2 + 7 𝑝 + 10 = (𝑝 + 2)(𝑝 + 5),

𝐷 (𝑝) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛ô𝑚𝑒 𝑑’𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 2 , 𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝛼1 = −2 𝑒𝑡 𝛼2 = −5

On peut donc décomposer X(p) sous la forme suivante :

𝑁(𝑝) 1 𝐴1 𝐴
𝑋(𝑝) = = 2 = + 2
𝐷(𝑝) 𝑝 + 7 𝑝 + 10 𝑝+2 𝑝+5

 Calcul des coefficients 𝑨𝟏 et 𝑨𝟐 :

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( 𝑝 + 2) 1 𝟏
𝑨𝟏 = (𝑝 + 2)𝑋(𝑝)| = = =+
𝑝=−2 (𝑝 + 2)(𝑝 + 5)| −2 + 5 𝟑
𝑝=−2

(𝑝 + 5) 1 𝟏
𝑨𝟐 = (𝑝 + 5)𝑋(𝑝)| = = =−
𝑝=−5 (𝑝 + 2)(𝑝 + 5)| −5 + 2 𝟑
𝑝=−5

Ce qui nous permet d’écrire :

𝑁 ( 𝑝) 1 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝑿(𝒑) = = 2 =+ −
𝐷 (𝑝) 𝑝 + 7 𝑝 + 10 𝟑 𝒑+ 𝟐 𝟑𝒑+ 𝟓

En utilisant la table des transformées la TL inverse 𝑥(𝑡) est donc:

2
1 −2𝑡 1
𝑥 (𝑡) = ∑ 𝐴𝑖 𝑒 𝛼𝑖 𝑡 𝑢(𝑡) = 𝑒 𝑢(𝑡) − 𝑒 −5𝑡 𝑢(𝑡) =
3 3
𝑖 =1

𝟏
𝒙(𝒕) = (𝒆−𝟐𝒕 − 𝒆−𝟓𝒕 ) 𝒖(𝒕)
𝟑

 Décomposition de X(p) ayant des pôles multiples de multiplicité r

Soit le cas d’un pôle multiple 𝛼1 𝑑’𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑟 ;

𝑋(𝑝) 𝑝𝑜𝑠𝑠è𝑑𝑒 1 𝑝ô𝑙𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑’𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑟 𝑒𝑡 (𝑛 − 𝑟) 𝑝ô𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 :

𝑁 ( 𝑝) 𝑁 ( 𝑝)
𝑋 ( 𝑝) = = ,
𝐷 (𝑝) (𝑝 − 𝛼1 ) ∏𝑛𝑖=𝑟+1 (𝑝 − 𝛼𝑖 )
𝑟

𝑋(𝑝) 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒 ∶ 𝑚 < 𝑛 , 𝑁(𝑝) → 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑚 𝐷(𝑝) → 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑛

𝑁 ( 𝑝) 𝑁 ( 𝑝)
𝑋 ( 𝑝) = =
𝐷 (𝑝) (𝑝 − 𝛼1 )𝑟 (𝑝 − 𝛼𝑟+1 )(𝑝 − 𝛼𝑟+2 ) … (𝑝 − 𝛼𝑛 )

L’expansion de 𝑋(𝑝) donne :

𝑵(𝒑) 𝑨𝟏𝒓 𝑨𝟏(𝒓−𝟏) 𝑨𝟏(𝒓−𝒊) 𝑨𝟏𝟐

𝑿(𝒑) = = + + ⋯+ +⋯+
𝑫( 𝒑 ) ( 𝒑 − 𝜶 𝟏 ) 𝒓 ( 𝒑 − 𝜶𝟏 ) 𝒓−𝟏 (𝒑 − 𝜶𝟏 ) 𝒓−𝒊 ( 𝒑 − 𝜶𝟏 ) 𝟐
𝑨𝟏𝟏 𝑨𝒓+𝟏 𝑨𝒏
+ + + ⋯+
( 𝒑 − 𝜶𝟏 ) 𝟏 (𝒑 − 𝜶𝒓+𝟏 ) ( 𝒑 − 𝜶𝒏 )

Les coefficients des racines ou poles multiples de X(p) s’obtiennent en utilisant les formules
suivantes :

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𝑨𝟏(𝒓−𝒊) 𝟏 𝒅𝒊 𝑵(𝒑)
→ 𝑨𝟏(𝒓−𝒊) = [ 𝒊 {(𝒑 − 𝜶𝟏 )𝒓 }] , 𝒊 = 𝟎, 𝟏, … 𝒓 − 𝟏
(𝒑 − 𝜶𝟏 )𝒓−𝒊 𝒊 ! 𝒅𝒑 𝑫(𝒑) 𝒑=𝜶
𝟏

 Exemple :

soit à calculer la TL inverse de X(p) donnée par :

𝑁 ( 𝑝) 1
𝑋 ( 𝑝) = = 2
𝐷 ( 𝑝) 𝑝 ( 𝑝 + 1 )

𝑋 (𝑝) , 𝑑 ′ 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒3, 𝑝𝑜𝑠𝑠è𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝ô𝑙𝑒 𝑚𝑢𝑡𝑙𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑 ′ 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑟 = 2 𝑎𝑢 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝜶𝟏 = 0

𝑒𝑡 𝑢𝑛 𝑝ô𝑙𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑎𝑢 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝜶𝟑 = −1 .

La décomposition de X(p) nous donne :

𝑁(𝑝) 𝑨𝟏𝟐 𝑨𝟏𝟏 𝑨𝟑

𝑋 ( 𝑝) = = 𝟐 + +
𝐷 ( 𝑝) 𝒑 𝒑 𝒑+ 𝟏

 Calcul de 𝑨𝟏𝟐 , 𝑨𝟏𝟏 𝒆𝒕 𝑨𝟑

1
𝑨𝟏𝟐 = 𝑝 2 𝑋 (𝑝)| = | =𝟏
𝑝=0 𝑝 + 1 𝑝=0

1 𝑑 2 𝑑 1 1
𝑨𝟏𝟏 = [𝑝 𝑋(𝑝)] = [ ] =− | = −𝟏
1! 𝑑𝑝 |
𝑝=0 𝑑𝑝 𝑝 + 1 | (𝑝 + 1)2 𝑝=0
𝑝=0

1
𝑨𝟑 = (𝑝 + 1)𝑋(𝑝)| = | =𝟏
𝑝=−1 𝑝 2 𝑝=−1

Ce qui permet d’écrire :

𝟏 𝟏 −𝟏 𝟏
𝑿(𝒑) = = + +
𝒑𝟐 ( 𝒑 + 𝟏 ) 𝒑 𝟐 𝒑 𝒑 +𝟏

𝑻𝑳 −𝟏
𝑿(𝒑) → 𝒙(𝒕) = 𝒕. 𝒖(𝒕) − 𝒖(𝒕) + 𝒆−𝒕 𝒖(𝒕)

𝒙(𝒕) = (𝒕 − 𝟏 + 𝒆−𝒕 ) 𝒖(𝒕)

5 Résolution des Equations Différentielles Linéaires

Il ressort du résultat général donné par la propriété de dérivation que 𝑇𝐿 {𝑑 𝑛 𝑦(𝑡)⁄𝑑𝑡 𝑛 }
dépend de 𝑌(𝑝) = 𝑇𝐿 {𝑦(𝑡)} et des (𝑛 − 1) dérivées de 𝑦 (𝑡) évalué au temps 𝑡 = 0. Cette
propriété rend la transformée de Laplace parfaitement adaptée pour résoudre des problèmes
linéaires avec conditions initiales dans lesquels l'équation différentielle est à coefficients
constants. Une telle équation différentielle est simplement une combinaison linéaire de
termes 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛−1) , 𝑦 (𝑛) :

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𝑑𝑛𝑦 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑦
𝑎𝑛 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 + 𝑎0 𝑦 = 𝑥 (𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑒𝑡 𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑦(0) = 𝑦0 , 𝑦 ′ (0) = 𝑦1 , … , 𝑦 (𝑛−1) (0) = 𝑦𝑛−1

𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑖 , 𝑖 = 0 … 𝑛, 𝑒𝑡 𝑦0 , 𝑦1 , … 𝑦𝑛−1 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑠

Par la propriété de linéarité, la transformée de Laplace de cette combinaison linéaire est une
combinaison linéaire de transformées de Laplace:

𝑑𝑛𝑦 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑦
𝑎𝑛 𝑇𝐿 { 𝑛 } + 𝑎𝑛−1 𝑇𝐿 { 𝑛−1 } + ⋯ + 𝑎1 𝑇𝐿 { } + 𝑎0 𝑇𝐿 {𝑦(𝑡)} = 𝑇𝐿{𝑥 (𝑡)}
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

En appliquant la propriété de la TL des signaux dérivés on obtient l’expression suivante :

𝑎𝑛 [𝑝 𝑛 𝑌(𝑝) − 𝑝 𝑛−1 𝑦(0) − ⋯ − 𝑦 (𝑛−1) (0)]

+ 𝑎𝑛−1 [𝑝 𝑛−1 𝑌(𝑝) − 𝑝 𝑛−2 𝑦 (0) − ⋯ − 𝑦 (𝑛−2) (0)] + ⋯ + 𝑎0 𝑌(𝑝) = 𝑋(𝑝)

En d'autres termes, la transformation de Laplace d’une équation différentielle linéaire à

coefficients constants devient une équation algébrique en 𝑌(𝑝). Si nous résolvons cette
équation générale transformée pour 𝑌(𝑝), nous obtenons alors :

[𝒂𝒏 𝒑𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒑𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟎 ]𝒀(𝒑)

= [[𝑎𝑛 𝑝𝑛−1 + 𝑎𝑛−1 𝑝 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 ]𝑦(0)
+ [𝑎𝑛 𝑝 𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 𝑝 𝑛−3 + ⋯ + 𝑎2 ]𝑦 ′ (0) + ⋯ + [𝑎𝑛 𝑝 1 + 𝑎𝑛−1 ]𝑦 (𝑛−2) (0)
+ 𝑎𝑛 𝑦 (𝑛−1) (0)] + 𝑿(𝒑)

C'est-à-dire, on obtient l’expression compacte suivante :

𝑫( 𝒑 ) 𝒀 ( 𝒑 ) = ⏟ 𝑸 (𝒑) + ⏟ 𝑿(𝒑)
𝒕𝒆𝒓𝒎𝒆 𝒅û 𝒆𝒙𝒄𝒊𝒕𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏
𝒂𝒖𝒙 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒐𝒖 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒂𝒍 𝒅′𝒆𝒏𝒕𝒓é𝒆

𝑜ù 𝐷(𝑝) = [𝑎𝑛 𝑝 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑝 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 ]

𝑄 (𝑝) = [[𝑎𝑛 𝑝 𝑛−1 + 𝑎𝑛−1 𝑝 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 ]𝒚(𝟎) + [𝑎𝑛 𝑝 𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 𝑝 𝑛−3 + ⋯ + 𝑎2 ]𝒚′ (𝟎)

+ ⋯ + [𝑎𝑛 𝑝 1 + 𝑎𝑛−1 ]𝒚(𝒏−𝟐) (𝟎) + 𝑎𝑛 𝒚(𝒏−𝟏) (𝟎)]

Ce qui permet d’écrire :

𝑸(𝒑) 𝑿(𝒑)
𝒀(𝒑) = +
𝑫(𝒑) 𝑫(𝒑)

En passant à la transformée de Laplace inverse de Y(p) on obtient la solution générale 𝑦(𝑡)

de l’équation différentielle et dont l’expression est la suivante :

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𝑄 ( 𝑝) 𝑋 ( 𝑝)
𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙𝑒 𝒚(𝒕) = 𝑻𝑳−𝟏 {𝑌(𝑝)} = 𝑻𝑳−𝟏 { } + 𝑻𝑳−𝟏 { }
⏟ 𝐷 ( 𝑝) ⏟ 𝐷 ( 𝑝)
𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒊è𝒓𝒆
𝒍′é𝒒𝒖𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒈è𝒏𝒆 𝒅û𝒆 à 𝒍′𝒆𝒙𝒄𝒊𝒕𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏

La solution générale de l’équation différentialle est composée de la combinaison de deux

parties, à savoir, la solution de l’équation homogène (sans excitation, 𝑥 (𝑡) = 0) qui est dûe
aux conditions initiales non nulles(𝑦 (𝑖) (0) ≠ 0) , et la solution particulière qui elle est dûe
uniquement à l’éffet de l’éxcitation 𝑥 (𝑡) avec conditions initiales nulles (𝑦 (𝑖) (0) = 0 ∀𝑖).

La procédure de résolution est résumée dans le diagramme suivant :

Chercher l’inconnue Appliquer la transformée L’éq. différentielle

𝒚(𝒕) de l’éq. diff. de Laplace en 𝒚(𝒕) devient une
avec conditions éq. algébrique en
𝑻𝑳
initiales 𝒀(𝒑)

Appliquer la transformée
Solution 𝒚(𝒕) de Résoudre l’éq.
de Laplace inverse
l’éq. différentielle
algébrique pour 𝒀(𝒑)
de départ 𝑻𝑳−𝟏

Exemple

Utiliser la transformée de Laplace pour résoudre l’équation différentielle suivante :

𝒅𝒚
+ 𝟑𝒚 = 𝟏𝟑 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒕) , 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒚(𝟎) = 𝟔
𝒅𝒙
Solution

tout d’abord on applique la Tℒ aux deux membres de l’équation différentielle :

𝑑𝑦
𝑇ℒ { } + 3 𝑇ℒ{𝑦} = 13 𝑇ℒ{sin(2𝑡)}
𝑑𝑥

A partir de la propriété de la transformée de la dérivée on a :

𝑑𝑦
𝑇ℒ { } = 𝑝 𝑌(𝑝) − 𝑦(0) = 𝑝 𝑌(𝑝) − 6
𝑑𝑥

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2
𝑇ℒ {𝑦} = 𝑌(𝑝) 𝑒𝑡 𝑇ℒ{sin(2𝑡)} =
𝑝 2 + 22

D’où l’équation algébrique en fonction de Y(p) :

2
𝑝 𝑌(𝑝) − 6 + 3𝑌(𝑝) = 13
𝑝2 + 4

26
( 𝑝 + 3 ) 𝑌 ( 𝑝) − 6 =
𝑝2 + 4

26
( 𝑝 + 3) 𝑌 ( 𝑝) = 6 +
𝑝2 + 4

La résolution de cette équation algébrique donne :

𝟔 𝟐𝟔 𝟔𝒑𝟐 + 𝟓𝟎
𝒀(𝒑) = + =
(𝒑 + 𝟑) (𝒑 + 𝟑)(𝒑𝟐 + 𝟒) (𝒑 + 𝟑)(𝒑𝟐 + 𝟒)

𝑌(𝑝) étant une fonction rationelle propre, ayant un pôle simple 𝛼0 = −3 et deux pôles
complexes conjugués 𝛼1,2 = ±2𝑗 on peut la décomposer en fractions simples de la manière
suivante :

𝟔𝒑𝟐 + 𝟓𝟎 𝑨 𝑩𝒑 + 𝑪
𝒀(𝒑) = = +
(𝒑 + 𝟑)(𝒑𝟐 + 𝟒) (𝒑 + 𝟑) ( 𝒑𝟐 + 𝟒 )

Calcul des coefficients 𝐴, 𝐵, 𝑒𝑡 𝐶:

En mettant sous dénominateur communs les deux termes de droite :

6𝑝 2 + 50 𝐴 (𝑝 2 + 4) + (𝐵𝑝 + 𝐶 )(𝑝 + 3)
𝑌 ( 𝑝) = =
(𝑝 + 3)(𝑝 2 + 4) (𝑝 + 3)(𝑝2 + 4)

Par égalité des deux numérateurs on a :

6𝑝 2 + 50 = 𝐴(𝑝 2 + 4) + (𝐵𝑝 + 𝐶 )(𝑝 + 3)

Si on prend 𝑝 = −3 , il vient directement que :

𝑝 = −3 → 𝑨= 𝟖

Par identification des coefficients en 𝑝 2 𝑒𝑡 𝑝 on obtient les relations suivantes :

6 = 𝐴 + 𝐵, 𝑒𝑡 0 = 3𝐵 + 𝐶

𝐴= 8 → 𝑩 = 6 − 𝐴 = 6 − 8 = −𝟐

𝑒𝑡 𝑝𝑎𝑟 𝑙à 𝑜𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑡 𝑪 = 0 − 3𝐵 = −3𝐵 = −3 × ( −2) = 𝟔

Les coefficients sont alors :

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Licence ELN 3 Transformée de Laplace 2020-2021

𝑨=𝟖, 𝑩 = −𝟐, 𝒆𝒕 𝑪 = 𝟔

Ainsi :

6𝑝 2 + 50 8 −2𝑝 + 6 8 𝑝 6
𝑌 ( 𝑝) = = + = −2 2 + 2
(𝑝 + 3)(𝑝 + 4) (𝑝 + 3)
2 ( 𝑝 + 4) ( 𝑝 + 3)
2 ( 𝑝 + 4) ( 𝑝 + 4)

En passant à la transformée de Laplace pour chaque terme de droite on obtient la solution

suivante pour 𝑦(𝑡) :

8 𝑝 6
𝑦(𝑡) = 𝑇ℒ −1 {𝑌(𝑝)} = 𝑇ℒ −1 { } − 2𝑇ℒ −1 { 2 } + 𝑇ℒ −1 { 2 }
( 𝑝 + 3) ( 𝑝 + 4) ( 𝑝 + 4)

8
Sachant que : 𝑇ℒ −1 {(𝑝+3)} = 8𝑒 −3𝑡

𝑝
𝑑𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 − 2𝑇ℒ −1 { } = −2 cos(2𝑡)
(𝑝 2 + 4)

6 2
𝑒𝑡 𝑇ℒ −1 { 2 } = 3𝑇ℒ −1 { 2 } = 3 sin(2𝑡)
( 𝑝 + 4) ( 𝑝 + 4)

On obtient donc la solution :

𝒚(𝒕) = = 𝑻𝓛−𝟏 {𝒀(𝒑)} = 𝟖𝒆−𝟑𝒕 − 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒕) + 𝟔 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒕)

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Table de quelques transformées de Laplace

Fonction causale Transformée de Laplace

𝒙(𝒕)𝒖(𝒕) 𝑿(𝒑) = 𝑻𝑳{𝒙(𝒕)}
Impulsion de Dirac
𝜹(𝒕) 𝟏

Echelon unité 𝟏
𝒖(𝒕) 𝒑
Echelon retardé 𝒆−𝝉𝒑
𝒖(𝒕 − 𝝉) 𝒑
Signal retardé
𝒙(𝒕 − 𝝉)𝒖(𝒕 − 𝝉) 𝑿(𝒑) 𝒆−𝝉𝒑
Signal rampe 𝟏
𝒕 . 𝒖(𝒕) 𝒑𝟐
𝒏
𝒕 . 𝒖(𝒕) , 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 …. 𝒏!
𝒑𝒏+𝟏
Signal Exponentiel 𝟏
𝒆𝒂𝒕 𝒖(𝒕) 𝒑− 𝒂
Multiplication par Exponentielle
𝒆𝒂𝒕 𝒙(𝒕) 𝑿(𝒑 − 𝒂)

𝒕𝒏 . 𝒆𝒂𝒕 , 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 …. 𝒏!
(𝒑 − 𝒂) 𝒏+𝟏
Signal sinusoide 𝝎
𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 𝒑 + 𝝎𝟐
𝟐

𝒆−𝒂𝒕. 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 𝝎
(𝒑 + 𝒂) 𝟐 + 𝝎𝟐
𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 𝒑
𝒑 + 𝝎𝟐
𝟐

𝒆−𝒂𝒕 .𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) 𝒑+ 𝒂
(𝒑 + 𝒂) 𝟐 + 𝝎𝟐
Multiplication par 𝒕 𝒅
− 𝑿 (𝒑)
𝒕 . 𝒙(𝒕) 𝒅𝒑
𝒕 𝐬𝐢𝐧(𝝎 𝒕) 𝟐𝝎𝒑
(𝒑 + 𝝎𝟐)𝟐
𝟐

𝒕 𝐜𝐨𝐬(𝝎 𝒕) 𝒑𝟐 − 𝝎𝟐
(𝒑𝟐 + 𝝎𝟐)𝟐
Multiplication par 𝒕𝒏 𝒅𝒏
(−𝟏) 𝒏 𝒏 𝑿 (𝒑)
𝒕𝒏 . 𝒙(𝒕) 𝒅𝒑

La transformée de Laplace est définie pour les signaux causaux, = 𝟎 ∀ 𝒕 < 0 .

On obtient un signal causal en le multipliant par l’échelon unité 𝒖(𝒕).

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