Polynomes de Bernstein

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POLYNOMES DE BERNSTEIN ET APPLICATIONS

Document proposé par Daniel Agier (dan.agier@wanadoo.fr)
I PRESENTATION DU PROBLEME
Soit x un nombre fixé dans l’intervalle ]0 ; 1[. On choisit au hasard n points dans [0 ; 1]. On admet que
pour chaque point choisi la probabilité que ce point appartienne à l’intervalle [0 ; x] est x et que les points
sont choisis indépendamment les uns des autres.
On désigne par X la variable aléatoire qui mesure le nombre de points, parmi les n, appartenant à
l’intervalle [0 ; x].
1. Quelle est la loi suivie par X ?
2. Soit f une fonction définie sur [0 ; 1], dérivable sur [0 ; 1], dont la dérivée f ’ est elle même continue sur
X
[0 ; 1] et vérifie [∀ x ∈ [0 ; 1] f ’(x) < M]. Soit Y la variable aléatoire définie par Y = f( ).
n
Donner la loi de probabilité de Y.
k=n
3. Montrer que E(Y) =
∑ k ⎛n ⎞
f( ) ⎜⎝ k ⎟⎠ xk ( 1 – x ) n – k.
n
k=0
4. On réalise N fois l’expérience qui conduit à mesurer X.
On obtient ainsi N valeurs pour X : x1, …, xN (on désignera par x leur moyenne arithmétique) et les N
x x x
valeurs correspondantes pour Y : f( 1 ) , f( 2 ) , …, f( N ).
n n n
a. Expliquer pourquoi x est proche de n x.
X x(1–x)
b. Quel est l’écart type de X ? En déduire que l’écart type de est .
n n
X x x x
Si n est grand, puisque l’écart type de est faible, les valeurs 1, 2, ..., n sont donc très peu
n n n n
x
dispersées autour de leur valeur moyenne . Donc si les variations de f sont faibles, les valeurs
n
x x x
f ( 1 ) , …, f ( n) sont très peu dispersées autour de f ( ) et on peut donc admettre que la moyenne des
n n n
x x x
valeurs de f ( 1 ) , …, f ( n) est proche de f ( ) donc proche de f(x). On obtient donc que E(Y), qui est
n n n
x
proche de la moyenne des valeurs de f( 1 ), …, f (xn), est aussi proche de f(x).
n n
II DEFINITIONS ET QUELQUES PROPRIETES
Soit n un entier fixé, n > 2, on définit alors les polynômes de Bernstein d’ordre n par :
⎛n⎞
Pour k ∈ [0 ; n] ∩ N, Bk(x) = ⎜ ⎟ xk ( 1 – x )n – k .
B
⎝k ⎠
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k=n
1. Montrer que ∑ Bk(x) = 1.
k=0
⎛n⎞ ⎛ n − 1⎞
2. Montrer que k ⎜ ⎟ = n ⎜ ⎟ pour 1 < k < n.
⎝k ⎠ ⎝ k − 1⎠
k=n
3. En déduire que ∑ k Bk(x) = n x.
k=0
⎛n⎞ ⎛ n − 2⎞
4. Montrer que k ( k – 1 ) ⎜ ⎟ = n ( n – 1 ) ⎜ ⎟ pour 2 < k < n.
⎝k ⎠ ⎝ k − 2⎠
k=n
5. En déduire que ∑ k ( k – 1 ) Bk(x) = n ( n – 1 ) x².
k=0
k=n
6. En déduire que ∑ ( k – n x )² Bk(x) = n x ( 1 – x ).
k=0
III APPROXIMATION D’UNE FONCTION SUR [0 ; 1]
Soit f une fonction définie et dérivable sur [0 ; 1], dont la dérivée f ’ est elle même continue sur [0 ; 1] et
vérifie [∀ x ∈ [0 ; 1] f ’(x) < M]. On sait que sous ces hypothèses on a :
∀ x ∈ [0 ; 1] ∀ y ∈ [0 ; 1] f(x) – f(y) < M x – y .
k=n
On pose alors Pn (x) =

∑
k=0
k
f( ) Bk (x). On dit que Pn est le polynôme de Bernstein d’ordre n associé à f.
n
Soit m un entier naturel non nul.

k=n
1. Montrer que [∀ x ∈ [0 ; 1] f(x) – Pn (x) <

∑k=0
k
f(x) – f( ) Bk(x)].
n
Pour x fixé dans [0 ; 1], on pose :

k
A(x) = {k / k est un entier compris entre 0 et n et x – < 10 – m} et
n
k
B(x) = {k / k est un entier compris entre 0 et n et x – > 10 – m}.
n
2. Montrer qu’alors
∑
k ∈ A(x)
k
f(x) – f( ) Bk(x) < M 10 – m.
n
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3. On admet que f admet, sous les hypothèses fixées, un maximum sur [0 ; 1] et on le désigne par K.
Si k ∈ B(x), on peut remarquer que ⎛⎜

nx–k⎞2
– m⎟ > 1. En déduire, en utilisant II-6, que
⎝ 10 ⎠
n
∑ k 2K 2K
f(x) – f( ) Bk(x) < 2 K ∑ Bk(x) < – 2 m n x (1 – x) < .
n k ∈ B(x)
n² 10 n 10 – 2 m
k ∈ B(x)
2K
4. En déduire que f(x) – Pn (x) < M 10 – m + .
n 10 – 2 m
5. En déduire que l’on peut choisir n suffisamment grand pour que :
∀ x ∈ [0 ; 1] f(x) – Pn (x) < 2 M 10 – m.
On peut donc approcher la fonction f d’aussi près que l’on veut par le polynôme Pn pourvu que l’on
choisisse n suffisamment grand.
IV UN EXEMPLE
Voici un exemple obtenu par Maple :

> with(plots):f:=x->sin(Pi*x);
Warning, the name changecoords has been redefined
> s:=NULL:for i from 2 to 30 by 5 do p:=plot(bernstein(i,f,x),x=-0.20..1.2):

s:=s,p:end do :s:=s,plot(f(x),x=0..1,color=black):display(s);

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POLYNOMES DE BERNSTEIN ET APPLICATIONS

1. Quelle est la loi suivie par X ?

II DEFINITIONS ET QUELQUES PROPRIETES

III APPROXIMATION D’UNE FONCTION SUR [0 ; 1]

On pose alors Pn (x) =

Soit m un entier naturel non nul.

1. Montrer que [∀ x ∈ [0 ; 1] f(x) – Pn (x) <

Pour x fixé dans [0 ; 1], on pose :

Si k ∈ B(x), on peut remarquer que ⎛⎜

∀ x ∈ [0 ; 1] f(x) – Pn (x) < 2 M 10 – m.

Voici un exemple obtenu par Maple :

> s:=NULL:for i from 2 to 30 by 5 do p:=plot(bernstein(i,f,x),x=-0.20..1.2):

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