ECOLE POLYTECHNIQUE

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2023

MERCREDI 19 AVRIL 2023

08h00 - 12h00
FILIERE MPI - Epreuve n° 5

PHYSIQUE MPI (X)

Durée : 4 heures
L’utilisation des calculatrices n’est pas
autorisée pour cette épreuve
 CO2 et réchauffement climatique

Le but de ce problème est d’étudier quelques aspects physiques du réchauffement climatique

qu’entraîne l’augmentation rapide, constatée au cours des dernières décennies, de la concentration
de dioxyde de carbone dans l’atmosphère terrestre. La première partie étudie les vibrations de
la molécule de CO2 . La deuxième se consacre à la modélisation de l’interaction du CO2 avec
une onde électromagnétique. La troisième partie discute l’impact de la présence de CO2 sur la
température de la Terre. Les trois parties peuvent en grande partie être traitées indépendamment.

On se contentera de réponses courtes, sauf lorsque l’énoncé demande de justifier un résultat.

I – Vibrations de la molécule de dioxyde de carbone

Une molécule est animée de mouvements de vibration, caractérisés par des oscillations des
centres de masse des atomes autour de leur position d’équilibre. Nous étudions d’abord les vibra-
tions longitudinales de la molécule de CO2 , dans lesquelles les centres de masse des trois atomes
restent alignés à tout instant. On note mO la masse de l’atome d’oxygène, mC celle de l’atome
de carbone, et x1 (t), x2 (t) et x3 (t) les déplacements des centres de masse des atomes par rapport
à leurs positions d’équilibre respectives le long de l’axe de la molécule à l’instant t (voir figure
ci-dessous).

1. Nous modélisons les oscillations en traitant chacun des atomes comme une masse ponctuelle,
en décrivant la liaison entre un atome de carbone et un atome d’oxygène par un ressort de raideur
k. Écrire les équations du mouvement.
2. Que peut-on dire du mouvement du centre de masse des trois atomes ?
3. Montrer qu’il existe une solution telle que x2 (t) = 0, x1 (t) et x3 (t) oscillant à la même
pulsation. Déterminer cette pulsation, qu’on notera ωs .
4. Montrer qu’il existe une solution telle que x1 (t) = x3 (t), les trois masses oscillant à la même
pulsation. Déterminer sa pulsation, qu’on notera ωa .
5. Rappeler l’expression de la longueur d’onde λ d’une onde électromagnétique monochromatique
plane de pulsation ω se propageant dans le vide à la vitesse c.
6. On ne mesure pas directement les pulsations ωs et ωa , mais les longueurs d’onde associées
définies dans la question précédente. On les caractérise en général par le nombre d’onde spec-
troscopique, noté n, qui est l’inverse de la longueur d’onde, n = 1/λ, exprimé en cm−1 . Les
valeurs de n associées à ωs et ωa sont ns = 1388 cm−1 et na = 2349 cm−1 . Si vous disposiez
d’une calculatrice pour cette épreuve, quelle vérification numérique effectueriez-vous pour tester
la validité de la modélisation faite ci-dessus ?
7. On suppose qu’il existe un troisième ressort de raideur k 0 reliant directement les deux atomes
d’oxygène. Écrire l’expression de l’énergie mécanique du système.
8. Justifier que cette modélisation est la plus générale pour décrire les oscillations longitudinales
de faible amplitude de la molécule de CO2 .
9. Déterminer les expressions de ωs et ωa , définies comme dans les questions 3 et 4, pour ce
nouveau système. Quel est qualitativement l’effet du terme supplémentaire ?
Il existe, enfin, un troisième mode de vibration dans lequel l’atome de carbone se déplace
perpendiculairement à la ligne formée par les deux atomes d’oxygène. La valeur de n correspon-

1
dante est nf = 667 cm−1 . Ce mode joue un rôle crucial dans l’effet de serre, comme on le verra
plus bas dans la partie III.

II – Interaction avec une onde électromagnétique

Dans cette partie, nous étudions l’absorption du rayonnement électromagnétique par les mo-
lécules, qui est le principal mécanisme microscopique à l’origine du réchauffement climatique.

Approximation dipolaire
10. Une molécule est placée dans le champ électromagnétique d’une onde plane progressive
monochromatique. Si sa longueur d’onde est beaucoup plus grande que la molécule, montrer que
la résultante de la force exercée par le champ électrique sur l’ensemble de la molécule (électrons
et noyaux) est, à tout instant, proportionnelle à la projection de son moment dipolaire sur le
vecteur d’onde. On pourra prendre l’exemple d’une onde plane polarisée linéairement, développer
la variation spatiale du champ électrique au premier ordre au voisinage d’un point quelconque
de la molécule, choisi pour origine du système de coordonnées, et justifier ce développement.
11. Cette approximation est-elle vérifiée si la longueur d’onde appartient au spectre de la lumière
visible ? Si elle appartient au domaine infrarouge ?
12. Que peut-on dire du moment dipolaire électrique de la molécule de CO2 en l’absence de
vibration ?
13. Parmi les trois modes de vibration définis dans la première partie, lesquels entraînent une
variation du moment dipolaire de la molécule de CO2 ? Qu’en est-il pour les vibrations des
molécules N2 et O2 , qui composent l’essentiel de l’atmosphère ?

Oscillations forcées et absorption du rayonnement

Pour comprendre les oscillations d’une molécule placée dans le champ d’une onde électro-
magnétique, nous étudions le cas plus simple de l’oscillation d’un de ses composants, particule
ponctuelle de charge électrique q en mouvement sur un axe x, soumise à un champ électrique
E cos(ωt), également dirigé suivant l’axe x.
14. Supposons que la particule effectue des oscillations forcées sous l’effet du champ. Le dépla-
cement par rapport à sa position d’équilibre s’écrit alors x(t) = Ceiωt , où nous introduisons la
représentation complexe x(t) = Re(x(t)), et où C désigne l’amplitude complexe du mouvement.
Montrer que la puissance exercée par la force électrique sur la particule, moyennée sur une pé-
riode, est proportionnelle à la partie imaginaire de C, avec une constante de proportionnalité
qu’on déterminera.
15. On note m la masse de la particule. On modélise sa dynamique par l’équation du mouvement

m(ẍ + αẋ + ω02 x) = Fe (t), (1)

où Fe (t) représente la force exercée par le champ électrique, dont on précisera l’expression.
Commenter la signification physique de chacun de ses termes. Quel est le signe de α ?
16. Déterminer l’amplitude complexe C du mouvement forcé. On écrira le champ électrique en
représentation complexe sous la forme E cos(ωt) = E Re(eiωt ).
17. En utilisant le résultat de la question 14, déterminer l’expression de la puissance moyenne
exercée par le champ sur la particule.
18. Comment peut-on déduire de ce résultat que l’onde électromagnétique perd de l’énergie en
interagissant avec la particule, autrement dit, qu’elle est partiellement absorbée ?
19. À quelle condition sur le coefficient de frottement α peut-on dire que l’amortissement est
faible ? Dans cette limite d’un amortissement faible, tracer le spectre d’absorption, c’est-à-dire
la variation de la puissance moyenne absorbée avec la pulsation ω.

2
Effet des collisions entre molécules
Nous allons maintenant modéliser l’effet des collisions entre molécules, qui est crucial pour
décrire l’absorption du rayonnement par l’atmosphère. Le physicien néerlandais Hendrik Lorentz
(1853–1928) a été le premier à étudier ce phénomène dans son ouvrage intitulé “The theory of
electrons”, paru en 1915, et nous retraçons son raisonnement.
20. On reprend le modèle dynamique défini par l’équation (1), dans laquelle on pose α = 0.
Chercher une solution x(t) = Re(x(t)), avec x(t) fonction complexe de la forme

x(t) = Aeiωt + Beiω0 t (2)

où A et B sont des coefficients complexes, et déterminer la valeur de A.

21. Lorentz suppose que lors d’une collision, le déplacement par rapport à l’équilibre est en
moyenne remis à zéro. Déterminer les coefficients A et B tels que x(t − θ) = 0, où θ ≥ 0
représente le temps écoulé entre la dernière collision et l’instant t. Mettre la solution sous la
forme x(t) = Ceiωt , et donner l’expression de C.
22. Sous des conditions de température et de pression données, la probabilité pour qu’une mo-
lécule donnée entre en collision avec une autre molécule de l’atmosphère pendant un temps
infinitésimal dt vaut dt/τ , où τ est un temps caractéristique de collision. On note P (θ)dθ la
probabilité d’avoir une valeur donnée de θ à dθ près. Justifier que P (θ) = (1/τ )e−θ/τ , avec θ ≥ 0.
23. Moyenner le résultat de la question 21 sur θ avec cette loi de probabilité.
24. En utilisant le résultat de la question 14, calculer la puissance moyenne exercée par le champ
sur la particule. Quel est son signe ?
25. Montrer que si τ est suffisamment grand et si ω est proche de ω0 en valeur relative, alors
l’expression de la puissance moyenne coïncide avec celle obtenue à la question 17, dans laquelle
on remplace α par une fonction de τ qu’on précisera.
26. Quel terme manque-t-il, dans l’équation (2), pour obtenir une solution générale de la repré-
sentation complexe de l’équation (1) avec α = 0 ?
27. Lorentz, dans son étude, résout cette équation en représentation complexe avec les conditions
x(t − θ) = 0 et ẋ(t − θ) = 0. Effectuer cette résolution, et justifier que l’équation (2) représente
une bonne approximation de la solution si ω est proche de ω0 .
28. On admet que le raisonnement ci-dessus, fait pour une particule chargée ponctuelle, s’applique
aussi à la molécule entière, où ω0 est la pulsation d’un de ses modes de vibration. Expliquer
qualitativement l’effet des collisions sur le spectre d’absorption de la molécule.

III – Effet de serre

29. La modélisation de l’effet de serre passe par celle de l’atmosphère terrestre. Nous traitons
celle-ci, de manière simplifiée, comme un gaz parfait de masse molaire M = 30 g mol−1 , dont
la pression P et la température T ne dépendent que de l’altitude z. Nous faisons en outre
l’approximation que le gradient de température vertical est constant, dT (z)/dz = −Γ, avec
Γ = 6 K km−1 . Le poids de l’atmosphère fait augmenter sa pression lorsque l’altitude diminue,
et nous admettons que le gradient de pression, qui s’obtient en effectuant un bilan de forces,
est donné par dP (z)/dz = −M gN (z), où N (z) est la concentration molaire à l’altitude z, et
g = 10 m s−2 est l’accélération de la pesanteur. En éliminant z entre ces deux équations, montrer
que la température est une fonction de la pression de la forme T (z)/T (0) = (P (z)/P (0))β , où
β est une constante dont on déterminera l’expression en fonction de Γ, M , g, et de la constante
des gaz parfaits R = 8 J mol−1 K−1 .
30. Calculer la valeur numérique de β et représenter la variation de la température en fonction
de la pression.
31. On note Φ la puissance surfacique moyenne reçue du Soleil par la Terre, dont une fraction α

3
est réfléchie vers l’espace. Quelle est la température TE d’un corps noir qui rayonne une puissance
surfacique identique à celle absorbée par la Terre ?
On note x la fraction molaire de CO2 dans l’atmosphère, supposée uniforme et très faible, et
µ(z) le nombre de moles de CO2 par unité de surface horizontale au-delà de l’altitude z, obtenu en
intégrant la densité volumique. On suppose pour simplifier que l’atmosphère au-delà de l’altitude
z est opaque au rayonnement de corps noir si µ(z) > µc , et transparente si µ(z) < µc , où µc
est un seuil qui ne dépend que des propriétés de la molécule de CO2 . L’altitude h à laquelle
le rayonnement de corps noir de température TE est émis est alors déterminée par la condition
µ(h) = µc , et la température TE est celle de l’atmosphère à l’altitude h.
32. Exprimer µ(z) en fonction de P (z), x, M et g. En déduire la pression P (h) à l’altitude h.
33. Déterminer comment varie la température au sol en fonction de la fraction x de CO2 dans
l’atmosphère.
Dans ce qui précède, nous avons fait l’approximation implicite que le coefficient d’absorption
du CO2 ne dépend pas de la longueur d’onde. En réalité, comme on l’a vu dans les deux premières
parties, cette hypothèse est fausse, ce que l’on constate sur la figure 1, où le CO2 a une bande
d’absorption centrée sur le mode nf mentionné à la fin de la partie I.

0.45
atmosphere
0.4 T=290 K
T=260 K
0.35 T=230 K
dΦ/dn [W m-2 cm]

0.3
0.25
0.2
0.15
H2O CO2
0.1 ozone
0.05
0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
-1
n [cm ]

Figure 1 – Variation avec le nombre spectroscopique n de la puissance rayonnée par unité de

surface et de n. Les lignes pointillées sont des spectres de corps noir à différentes températures.
La ligne pleine est le spectre calculé du rayonnement émis de la Terre vers l’espace, tel que le flux
total équilibre celui reçu du Soleil. Dans ce calcul, la température de la surface de la Terre est
288 K. L’atmosphère est transparente pour des valeurs de n comprises entre 800 et 1000 cm−1 .
En revanche, dans d’autres intervalles de n, la vapeur d’eau, le CO2 ou l’ozone absorbent la
lumière émise par la surface. Dans ces intervalles, la lumière émise vers l’espace semble provenir
d’une région atmosphérique plus froide, donc de plus haute altitude. [Le calcul a été réalisé au
moyen du modèle MODTRAN http://climatemodels.uchicago.edu/modtran/.]

34. Quelle est la dépendance en température de l’aire sous un spectre de corps noir ?
35. Comment varie la position du maximum nmax du spectre de corps noir en fonction de T ?
36. À partir de la figure 1, estimer numériquement la puissance que la Terre rayonne vers l’espace
par unité de surface.
37. En préservant l’équilibre avec le flux reçu du Soleil, comment est modifié le spectre émis par
la Terre si on augmente la teneur de l’atmosphère en CO2 ?