TD1 Prepa2

École polytechnique de Libreville
Jeudi 22 02 2023
Travaux dirigés N°1
Module : électromagnétisme 2 (Prépa 2)
Exercice 1
Seuil photoélectrique du potassium
On éclaire la cathode d’une cellule photoélectrique avec une lumiére monochromatique, de

longueur d’onde λ = 546, 1 nm (raie verte du mercure). La photocathode est en rubidium
et son travail de sortie est 2, 20 eV. Calculer la longueur d’onde du seuil photoélectrique et
l’énergie cinétique maximale des électrons que peut extraire un tel rayonnement de la cathode.
En déduire la vitesse maximale des électrons arrachés.
Exercice 2
On rappelle le principe de l’effet photoélectrique. Un photon d’énergie suffisamment importante
peut être absorbé par un métal lors d’une collision qui en éjecte un électron. Le métal doit pour
cela recevoir une énergie minimale, nommée travail d’extraction et notée W .
1. Exprimer la conservation de l’énergie entre l’état initial : photon + électron lié au métal ;
et l’état final électron extrait du métal. En déduire une relation entre la constante de
Planck, la vitesse de la lumière c, la longueur du photon absorbé λ, le travail d’extraction
W et l’énergie cinétique de l’électron extrait Ecin .
2. On envoie sur du potassium, une radiation de longueur d’onde λ1 = 253, 7 nm ; l’énergie
maximale des électrons extraits est 3, 14 eV. Elle est 0, 36 eV pour λ = 589 nm.
(a) Retrouver la valeur de la constante de Planck.
(b) Calculer le travail d’extraction W des électrons du potassium.
(c) Calculer la longueur d’onde maximale λmax des radiations provoquant l’effet photo-
électrique sur le potassium.
3. Comparer la quantité de mouvement d’un photon λmax et celle de l’électron extrait. En
déduire que l’ensemble de l’échantillon de potassium acquiert lui-aussi une quantité de
mouvement. Doit-on pour autant en tenir compte dans le bilan d’énergie ?
Exercice 3
L’américain Arthur Compton a réalisé en 1923 l’expérience suivante : il a envoyé des rayons
X sur une mince feuille de graphite. Derrière cette feuille, il a place un détecteur de rayons X
qu’il peut faire tourner d’un angle θ par rapport à la direction des rayons incidents.
Il constate alors : (a) que des électrons sont arrachés de la cible ; (b) que les rayons X
0
incidents sont diffusés (déviés) dans toutes les directions avec une longueur d’onde λ différente
de la longueur d’onde λ des rayons incidents, et dépendant de l’angle θ. Il établit la relation
0
entre les longueurs d’onde du rayonnement incident et du rayonnement diffusé : λ − λ =
h
me c
(1 − cos θ)
1
1. Montrer que mhe c est homogéne à une longueur λC,e (appelée longueur d’onde Compton
de l’électron) et la calculer.
2. Pourquoi cette expérience est-elle intéressante spécialement avec des rayons X ?
3. Comment évolue l’énergie du photon dans cette expérience ?
4. Pour des rayons X tels que λ = 7, 08.10−11 m, Compton a observé des rayons X diffusés
à 90°. Quelle est la longueur d’onde λ0 des photons diffusés avec une énergie différente des
photons incidents ?
5. Quelle est l’énergie perdue par un photon ? Qu’en déduire sachant qu’une énergie d’ioni-
sation est de l’ordre de la dizaine d’électronvolts ?
6. Sur la figure du spectre de rayonnement diffusé à θ = 90, comment interpréter la présence
du plus petit pic, à gauche, qui correspond à un photon diffusé, mais sans perte d’énergie ?
7. En quoi cette expérience a-t-elle conforté l’idée que le rayonnement est constitué de par-
ticules, les photons ? Elle valut à Compton le prix Nobel de physique en 1927.
Exercice 4
On sait que l’atome d’hydrogène est constitué d’un électron (masse me ) en interaction électro-
magnétique avec un proton (masse mp ).
1. En s’appuyant sur des équations aux dimensions, trouver une énergie caractéristique de
e2
l’atome á partir de h, qe2 = 4π 0
et me . Calculer sa valeur.
2. Même question pour une vitesse caractéristique. Commenter, sachant qu’on peut négliger
les effets relativiste dans la théorie quantique pour v < 0, 1c. En déduire un ordre de
grandeur de l’énergie cinétique de l’électron.
3. Longueur d’onde de de Broglie : En considérant que la vitesse de l’électron est de

2.106 m.s−1 .
Évaluer la longueur d’onde de de Broglie correspondante. Les aspects quantiques sont-ils
importants ? Quelles en sont les conséquences expérimentales ?
2
4. Inégalité d’Heisenberg : L’électron d’un atome d’hydrogène est confiné dans une zone de
taille a u 10−10 m autour du proton. 4) D’après l’inégalité d’Heisenberg, retrouver l’ordre
de grandeur de la vitesse de l’électron.
Exercice 5
1. Décrire l’expérience qui a permis de déterminer le spectre d’émission de l’atome d’hydro-
gène. Donner l’expression de la relation de Ritz.
2. Donner l’expression de l’énergie En (en eV) et définir un spectre d’énergie.
3. Si la longueur d’onde d’une des transitions de Balmer est égale à 658,3 nm, calculer alors
la valeur de n2 .
Exercice 6 (particule dans un puits de potentiel infini)

Une particule de masse m est astreinte à se déplacer librement sur un axe Ox entre deux points
O et A distants de a l’un de l’autre. Cela revient à dire que la particule est enfermée dans une
”boı̂te” de longueur a avec des murs infiniment hauts.
1. Tracer l’énergie potentielle souvent appelée potentiel et notée V (x), et en déduire l’énergie
E de la particule en fonction de son énergie cinétique Ek .
2. Justifier que le confinement spatial de la particule conduise à une énergie minimale Emin ,
à évaluer en fonction de ~, m et a ; commentaires.
3. Déduire des conditions aux limites que l’état associée à la particule est une superposition
d’ondes stationnaires ; quelle analogie est-il possible d’invoquer ?
4. Déterminer l’énergie En du niveau n en fonction de E1 , énergie du niveau fondamental (à
exprimer en fonction des données) et de n ; commentaires. Comparer Emin et E1 .
Exercice 7
Un atome en interaction avec un puits d’énergie potentielle infiniment profond de largeur L = 2
nm, se trouve dans un état stationnaire d’énergie E. On admet que sa fonction d’onde ψ(x, t)
est de la forme :ψ(x, t) = ψ(x) · exp(−iωt). L’amplitude complexe ψ(x) de la fonction d’onde
de probabilité, associée à son état est choisie réelle :

 A. sin 3π Lx pour : 0 < xL
ψ(x) = 
0 ailleurs
1. Représenter graphiquement ψ(x) et ψ 2 (x)
2. Comment s’exprime la probabilité de trouver l’objet quantique entre x et x + dx ? Quelle
est la probabilité de trouver l’objet quantique entre x = 0 et x = L ? entre les abscisses
x = 0 et x = L3 ?
3. En déduire la constante A en précisant son unité ainsi que la fonction d’onde ψ(x, t).
4. Comment se comporterait une particule classique qui se trouverait dans un puits de
potentiel infini ?

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On éclaire la cathode d’une cellule photoélectrique avec une lumiére monochromatique, de

3. Longueur d’onde de de Broglie : En considérant que la vitesse de l’électron est de

Exercice 6 (particule dans un puits de potentiel infini)

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