L3 Physique et Applications - Structure de la matière Claire Laulhé

– Chapitre V –
Interaction rayons X / Matière - Diffraction des rayons X

Les rayons X correspondent à un rayonnement électromagnétique de longueur d’onde 𝜆

comprise entre 0.1 et 100 Å. L’énergie 𝐸 des photons associés à ce rayonnement, donnée
par l’expression 𝐸 = ℎ𝑐 ⁄𝜆, est comprise entre 0.1 et 100 keV. Le rayonnement X est
particulièrement adapté à l’étude de la matière condensée (phases liquides et solides),
d’une part parce que la longueur d’onde du rayonnement correspond à l’ordre de grandeur
des distances interatomiques, et d’autre part car l’énergie des photons correspond à
l’énergie de liaison des électrons de cœur au sein des atomes. Ainsi, l’interaction des rayons
X avec la matière se décline dans une grande variété de processus permettant de déterminer
la composition chimique, les états électroniques et la structure atomique de l’échantillon.

Les photons peuvent être absorbés par les atomes (effet photoélectrique). Cet effet donne
lieu à la fluorescence et à l’effet Auger (Figure 1), dont l’analyse en énergie permet
d’identifier les éléments chimiques constituant le matériau1.

Les photons peuvent subir une diffusion inélastique. Il existe deux types de diffusion
inélastique :
- Diffusion inélastique avec création/annihilation de phonons : dans ce cas, le transfert
d’énergie E permet de modifier l’état vibratoire de la matière. L’énergie des modes
propres de vibration étant de quelques meV, celle des photons X étant de quelques keV, on
constate que le changement relatif en énergie E/E est très petit, de l’ordre de 10-6. Seules
deux expériences dans le monde permettent d’étudier ce phénomène2.
- Diffusion Compton : dans ce cas, il y a un transfert d’énergie depuis le photon X vers un
électron libre ou faiblement lié (Figure 2). L’étude de la diffusion Compton permet de
caractériser les fonctions d’ondes électroniques.

Enfin, les photons peuvent être diffusés élastiquement, c’est-à-dire déviés de leur
trajectoire initiale sans perte d’énergie (Figure 3a). Les ondes diffusées élastiquement ont
toutes la même longueur d’onde, et peuvent donc interférer entre elles. La figure
d’interférences dépend directement de la distribution des électrons dans l’échantillon, et
donc de la structure atomique. Nous introduirons dans ce chapitre le phénomène de
diffraction, qui n’est autre que la manifestation des interférences à grande distance de
l’échantillon, puis nous verrons comment l’étude de la diffraction des rayons X permet de
remonter à la structure atomique de l’échantillon.

1
Ce point fait l’objet du TP « Interaction rayons X – matière, spectres de fluorescence » [UE « Ondes, Matière
et Rayonnement »].
2
Dans le cadre de ces expériences, l’analyse en énergie du rayonnement diffusé par l’échantillon se fait à l’aide
d’un cristal analyseur, sur le même principe qu’exposé lors de votre TP « Spectre d’émission d’un tube à
rayons X » [UE « Ondes, Matière et Rayonnement »]. La très haute résolution est obtenue en utilisant de très
grands angles d’incidence sur le cristal analyseur ( 90°), ainsi qu’en régulant sa température à quelques
-6
millikelvins près de sorte que la valeur du paramètre de maille puisse être contrôlée à 10 Å près.

1
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Figure 1 : Représentation du phénomène d’absorption des rayons X par effet photoélectrique. Un photon est
annihilé en provoquant l’ionisation d’un électron de cœur. L’atome retrouve son état fondamental par une
cascade de processus de fluorescence et d’effet Auger.

Figure 2 : Représentation du processus de diffusion Compton. Le photon incident transfère une partie de son
énergie et de son impulsion à un électron faiblement lié.

2
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(a) (b)
Figure 3 : (a) Représentation d’un processus de diffusion élastique, aussi appelée diffusion Thomson, sous
l’aspect corpusculaire. (b) Représentation de la diffusion Thomson sous son aspect ondulatoire. Les lignes
représentent les fronts d’ondes, c’est-à-dire le lieu des points présentant une phase identique. La phase est
⃗⃗⃗⃗
donnée par 𝑒 −𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑖.𝑟 ) pour l’onde incidente plane progressive, et par 𝑒 −𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑑 𝑟) pour l’onde sphérique
diffusée par un électron.

I. Mécanisme de la diffusion élastique : cas d’un électron isolé

Le processus de diffusion élastique peut se comprendre dans le cadre de la théorie classique

de l’électromagnétisme. Le faisceau incident est assimilé à une onde électromagnétique
plane progressive. Sous l’influence du champ électrique de l’onde, les électrons s’animent
d’un mouvement oscillatoire de fréquence 𝜈 = 𝐸 ⁄ℎ où 𝐸 est l’énergie des photons
incidents. Ceux-ci peuvent alors être assimilés à des dipôles oscillants, qui génèrent à leur
tour un rayonnement sous la forme d’une onde sphérique de fréquence 𝜈 : les photons
diffusés ont alors la même énergie 𝐸 = ℎ𝜈 que les photons incidents. Nous donnons dans la
suite de ce paragraphe les étapes du raisonnement permettant d’aboutir à cette description
de la diffusion Thomson.

On suppose que l’onde incidente se propage suivant 𝑦, les champs électrique et magnétique
étant dirigés suivant 𝑧 et 𝑥, respectivement (Figure 3b) :

⃗⃗⃗ 𝑢𝑧 𝑒 −𝑖(𝜔𝑡−𝑘⃗⃗⃗𝑖 .𝑟)

𝐸𝑖 (𝑟, 𝑡) = 𝐸𝑖0 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
{ 𝑘𝑖 ∥ ⃗⃗⃗⃗
𝑢𝑦
⃗⃗⃗ 𝑢𝑥 𝑒 −𝑖(𝜔𝑡−𝑘⃗⃗⃗𝑖 .𝑟)
𝐵𝑖 (𝑟, 𝑡) = 𝐵𝑖0 ⃗⃗⃗⃗

Les champs ⃗⃗⃗

𝐸𝑖 (𝑟, 𝑡) et ⃗⃗⃗
𝐵𝑖 (𝑟, 𝑡) exercent une action mécanique sur les électrons présents
3
dans le milieu , via la force de Lorentz. L’accélération subie par un électron s’écrit :
−𝑒
𝑎𝑒 =
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (𝑟, 𝑡) + 𝑣
(𝐸 ⃗⃗⃗𝑒 ∧ ⃗⃗⃗
𝐵𝑖 (𝑟, 𝑡))
𝑚𝑒 𝑖
−𝑒 −𝑖(𝜔𝑡−𝑘⃗⃗⃗ .𝑟) 0
𝑎𝑒 =
⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑖 𝑢𝑧 + 𝐵𝑖0 ⃗⃗⃗
(𝐸𝑖 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑥 )
𝑣𝑒 ∧ ⃗⃗⃗⃗
𝑚𝑒

3
On suppose ici que les équations des champs ⃗⃗⃗ 𝐸𝑖 (𝑟, 𝑡) et ⃗⃗⃗
𝐵𝑖 (𝑟, 𝑡), valables dans le vide, le sont aussi à
l’intérieur de l’échantillon. Cette approximation est raisonnable dans la mesure où l’on peut démontrer que les
indices optiques des rayons X dans la matière sont toujours très proches de 1.

3
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A ce stade, il est intéressant de comparer les ordres de grandeur des termes 𝐸𝑖0 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑧 et
0 3
𝐵𝑖 ⃗⃗⃗
𝑣𝑒 ∧ ⃗⃗⃗⃗
𝑢𝑥 . La résolution des équations de Maxwell dans le vide nous donne tout d’abord la
relation 𝐵𝑖0 = 𝐸𝑖0 ⁄𝑐 . Reste à estimer la vitesse des électrons au sein des cortèges
électroniques des atomes. Ceux-ci sont soumis aux forces électrostatiques exercées par les
protons du noyau, qui sont des forces conservatives. Le théorème du Viriel peut donc
s’appliquer : l’énergie cinétique moyenne de l’électron égale l’opposé de la moitié de son
énergie de liaison 𝑒𝑙 . En prenant une énergie de liaison typique de -1 keV, on obtient
𝑣𝑒 = √−𝑒𝑙 ⁄𝑚𝑒 = 1.3 107 𝑚. 𝑠 −1. On obtient finalement :

𝐸𝑖0 𝑣𝑒 1.3 107

𝐵𝑖0 𝑣𝑒 = ∼ 𝐸𝑖0 = 4 10−2 𝐸𝑖0
𝑐 3 108

On en conclut que 𝐵𝑖0 𝑣𝑒 est petit devant 𝐸𝑖0 , et que l’on peut réduire le problème à
l’interaction de l’électron avec le champ électrique de l’onde incidente.

Le principe fondamental de la dynamique laisse alors apparaître très facilement l’équation

du mouvement de l’électron suivant 𝑧 :

𝑑 2 𝑧 𝑒𝐸𝑖0 −𝑖𝜔𝑡
+ 𝑒 =0
𝑑𝑡 2 𝑚𝑒

On cherche les solutions 𝑧(𝑡) correspondant au régime des oscillations forcées. On pose
donc 𝑧(𝑡) = 𝑧0 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 , et l’équation du mouvement devient :

𝑒𝐸𝑖0 𝑒𝐸𝑖0
−𝜔2 𝑧0 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 + 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 = 0, d’où 𝑧0 = 𝑚 2
𝑚𝑒 𝑒𝜔

Le moment dipolaire 𝑝 associé à l’électron se calcule comme le produit de sa charge par le

vecteur le liant à l’origine :
−𝑒 2 𝐸𝑖0 −𝑖𝜔𝑡
𝑝(𝑡) = −𝑒 𝑧(𝑡) ⃗⃗⃗⃗
𝑢𝑧 = 𝑒 𝑢𝑧
⃗⃗⃗⃗
𝑚𝑒 𝜔 2

L’onde diffusée élastiquement par un électron correspond au champ rayonné par le

dipôle 𝒑⃗ . On peut montrer qu’à une distance suffisamment grande de l’échantillon
(𝑟 ≫ 2𝑧0 ) l’onde diffusée peut être considérée comme sphérique. L’expression du champ
électrique dans le repère de coordonnées sphériques (𝑢
⃗⃗⃗⃗𝑟 , ⃗⃗⃗⃗
𝑢𝜏 , ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑢𝜑 ) [Figure 3] est alors :

1 𝑒 𝑖𝑘𝑑 𝑟 𝑒 2 𝐸𝑖0 𝑘𝑑2 𝑒 −𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑑 𝑟)

⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑑 = − 2
𝑝 𝑘𝑑 sin 𝜏 ⃗⃗⃗⃗
𝑢𝜏 = sin 𝜏 ⃗⃗⃗⃗
𝑢𝜏
4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑚𝑒 𝜔 2 𝑟

En remarquant que 𝑘𝑑 ⁄𝜔 = 1⁄𝑐, on obtient l’expression finale de l’onde diffusée par un

électron de la matière :

𝒆𝟐 𝒆−𝒊(𝝎𝒕−𝒌𝒅𝒓)
⃗⃗⃗⃗⃗𝒅 (𝒓, 𝝉, 𝒕) =
𝑬 𝑬 𝟎
𝐬𝐢𝐧 𝝉 ⃗⃗⃗⃗
𝒖𝝉
𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒎𝒆 𝒄𝟐 𝒊 𝒓

4
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L’amplitude de l’onde diffusée élastiquement est directement proportionnelle à l’amplitude

𝑒2
de l’onde incidente. Le terme 𝑟𝑒 = 4𝜋𝜀 2
, homogène à une longueur, est appelé « rayon
0 𝑚𝑒 𝑐
classique de l’électron » et indique la probabilité de diffusion élastique d’un photon par
l’électron.

L’amplitude de diffusion dépend fortement de l’angle d’émission. En effet, le vecteur

amplitude du champ électrique incident 𝐸𝑖0 ⃗⃗⃗⃗
𝑢𝑧 se projette dans le plan perpendiculaire à la
direction de propagation, réduisant l’amplitude de l’onde diffusée d’un facteur sin 𝜏, où 𝜏
est l’angle entre le champ électrique incident et la direction de propagation de l’onde
diffusée. sin 𝜏 est appelé facteur de polarisation de l’onde diffusée.

Il est à noter que les protons, autres particules chargées de la matière, sont également à
l’origine d’une onde diffusée élastiquement. Le développement calculatoire est exactement
le même que pour les électrons, pour peu que l’on remplace la charge −𝑒 par une charge 𝑒
et la masse 𝑚𝑒 par la masse 𝑚𝑝 . En remarquant que la masse du proton (1.6 10-27 kg) est
environ 1000 fois supérieure à la masse de l’électron (9.1 10-31 kg), on peut cependant se
convaincre que la contribution des protons à l’onde diffusée élastiquement est négligeable
devant celle des électrons.

Dans la suite, nous nous intéresserons à la manière dont les ondes diffusées élastiquement
par les électrons interfèrent pour former la figure de diffraction d’un échantillon.

II. Diffraction par une assemblée quelconque d’atomes

II-1. Diffusion Thomson : une TF de la densité électronique

Soit (𝑉) un volume quelconque contenant 𝑁 atomes et leurs 𝑁𝑍 électrons, chaque électron
étant repéré par un vecteur ⃗𝑟𝑗 . Ce volume est soumis à un faisceau de rayons X incident de
𝑘𝑖 , modélisé par l’onde plane ⃗⃗⃗⃗
vecteur d’onde associé ⃗⃗⃗ 𝐸𝑖0 𝑒 −𝑖(𝜔𝑡−𝑘⃗⃗⃗𝑖 .𝑟) . Dans ce paragraphe,
nous cherchons à déterminer l’expression de l’onde diffusée par l’ensemble des électrons
de (𝑉) au point 𝑀 [Figure 4], lors du processus de diffusion Thomson (𝑘𝑖 = 𝑘𝑑 = 2𝜋⁄𝜆 = 𝜔⁄𝑐 ).

Lors du processus de diffusion élastique, chaque électron de la matière émet une onde
sphérique de rayonnement X. On suppose que le point 𝑀 se situe à une distance du
volume (𝑉) très grande devant ses dimensions caractéristiques. Cette approximation dite
approximation de Fraunhofer permet les simplifications suivantes [Figure 4ab] :
1- Les fronts d’ondes interceptés dans la direction (𝜏, 𝜑) sont considérés comme plans.
2- L’ensemble des droites liant un point de (𝑉) à 𝑀 sont considérées comme parallèles.
La première simplification permet d’écrire l’expression de l’onde diffusée par l’électron situé
𝐸𝑑 (𝑟, 𝜏, 𝑡) ≈ ⃗⃗⃗⃗
à l’origine 𝑂 sous la forme ⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑑0 𝑒 −𝑖(𝜔𝑡−𝑘⃗⃗⃗⃗⃗𝑑 .𝑟) . La deuxième simplification permet
de considérer que les ondes émises par chacun des électrons de (𝑉) au point 𝑀 ont toutes
le même vecteur de diffusion ⃗⃗⃗⃗
𝑘𝑑 .

5
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(a) (b)

(c)

Figure 4 : En se plaçant dans les conditions de l’approximation de Fraunhofer [‖𝑟‖ grand devant les dimensions
de (𝑉)], on peut considérer que les fronts d’onde de l’onde diffusée par un électron sont plans (a), et que
l’ensemble des droites reliant un point de (𝑉) à M sont parallèles (b). Le panneau (c) permet de visualiser les
différences de chemin optique entre le faisceau passant par 𝑂 et celui passant par un autre point 𝑃 de (𝑉). Le
vecteur de diffusion 𝑞 = ⃗⃗⃗⃗
𝑘𝑑 − ⃗⃗⃗
𝑘𝑖 est également représenté.

Pour calculer la contribution de l’onde diffusée à partir de l’électron placé en 𝑃 et repéré

par ⃗𝑟𝑗 , il faut tenir compte des déphasages accumulés par l’onde incidente et l’onde diffusée
[Figure 4c] :
⃗⃗⃗
 𝑒 𝑖𝑘𝑖 .𝑟⃗⃗⃗𝑗 est le déphasage de l’onde incidente accumulé en 𝑃 par rapport au point 𝑂.
⃗⃗⃗⃗⃗
 𝑒 −𝑖𝑘𝑑 .𝑟⃗⃗⃗𝑗 est le déphasage de l’onde diffusée à partir de 𝑃 par rapport à l’onde diffusée à
partir de 𝑂.
L’onde diffusée par l’électron repéré par ⃗𝑟 s’écrit finalement : ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑗 𝐸 0 𝑒 −𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑑 .𝑟−𝑘𝑖 .𝑟⃗⃗⃗𝑗+𝑘𝑑 .𝑟⃗⃗⃗𝑗)
𝑑

L’expression de l’onde diffusée par le volume (𝑉) s’obtient en sommant les contributions de
tous les électrons :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑑 (𝑟, 𝜏, 𝑡) = ⃗⃗⃗⃗
(𝑉) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
𝐸𝑑0 𝑒 −𝑖(𝜔𝑡−𝑘⃗⃗⃗⃗⃗𝑑 .𝑟) × ∑ 𝑒 −𝑖[𝑘𝑑 −𝑘𝑖].𝑟⃗⃗⃗𝑗
𝑗

6
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L’onde diffusée est le produit de l’onde diffusée par un électron seul et d’un terme
d’interférences dépendant de la répartition des électrons et, par suite, des positions
atomiques dans le volume (𝑉). Le terme d’interférences est appelé amplitude de diffusion
et noté 𝐴(𝑞 ), où 𝑞 = ⃗⃗⃗⃗
𝑘𝑑 − ⃗⃗⃗
𝑘𝑖 est le vecteur de diffusion. L’intensité diffusée 𝐼(𝑞 ) est
donnée par le module au carré de l’amplitude de diffusion.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
𝐴(𝑞 ) = ∑ 𝑒 −𝑖[𝑘𝑑 −𝑘𝑖].𝑟⃗⃗⃗𝑗 = ∑ 𝑒 −𝑖𝑞⃗.𝑟⃗⃗⃗𝑗
𝑗 𝑗

𝐼(𝑞 ) = |𝐴(𝑞 )|2 = 𝐴∗ (𝑞 ) 𝐴(𝑞 )

On introduit à présent la densité électronique 𝜌(𝑟) de l’échantillon. Le volume élémentaire

𝑑𝑉 centré autour d’un point 𝑃 repéré par 𝑟 contient 𝜌(𝑟)𝑑𝑉 électrons. Ceux-ci émettent
des ondes portant le déphasage 𝑒 −𝑖𝑞⃗.𝑟 . Ces considérations permettent d’écrire 𝐴(𝑞 ) sous la
forme d’une intégrale :

⃗ ) 𝒆−𝒊𝒒⃗.𝒓⃗ 𝒅𝑽
⃗ ) = ∫ 𝝆(𝒓
𝑨(𝒒
(𝑽)

On constate que l’amplitude de diffusion se calcule comme la transformée de Fourier de la

densité électronique.

II-2. Facteur de diffusion atomique

Dans cette partie, on cherche à écrire 𝐴(𝑞 ) en fonction des positions atomiques. On
𝑟𝑛 repérant les atomes d’indice 𝑛, et 𝜌𝑛 (𝑟 − ⃗⃗⃗
introduit pour cela les vecteurs ⃗⃗⃗ 𝑟𝑛 ), la densité
𝑟𝑛 . L’expression de 𝐴(𝑞 ) devient :
électronique de l’atome 𝑛 placé en ⃗⃗⃗
𝑁

𝑟𝑛 ) 𝑒 −𝑖𝑞⃗.𝑟 𝑑𝑉
𝐴(𝑞 ) = ∫ ∑ 𝜌𝑛 (𝑟 − ⃗⃗⃗
(𝑉) 𝑛=1
𝑁 𝑁

𝐴(𝑞 ) = ∫ ∑ 𝜌 𝑛 (𝑟
𝑟𝑛 )
− ⃗⃗⃗ 𝑒 −𝑖𝑞⃗.(𝑟−𝑟⃗⃗⃗⃗𝑛) 𝑒 −𝑖𝑞⃗.𝑟⃗⃗⃗⃗𝑛 𝑟𝑛 ) 𝑒 −𝑖𝑞⃗.(𝑟−𝑟⃗⃗⃗⃗𝑛 ) 𝑑𝑉
𝑑𝑉 = ∑ 𝑒 −𝑖𝑞⃗.𝑟⃗⃗⃗⃗𝑛 ∫ 𝜌𝑛 (𝑟 − ⃗⃗⃗
(𝑉) 𝑛=1 𝑛=1 (𝑉)

⃗ ) = ∑ 𝒇𝒏 (𝒒) 𝒆−𝒊𝒒⃗.𝒓⃗⃗⃗⃗𝒏
𝑨(𝒒
𝒏=𝟏

Le facteur 𝑓𝑛 (𝑞) n’est autre chose que la transformée de Fourier de la densité électronique
de l’atome 𝑛 : on l’appelle facteur de diffusion atomique. On le trouve tabulé dans les tables
internationales de cristallographie en fonction du numéro atomique et du degré d’ionisation.
Dans l’hypothèse d’une répartition sphérique des électrons autour de l’atome, il ne dépend
que du module du vecteur de diffusion 𝑞. Il correspond à l’amplitude de diffusion par
l’atome 𝑛. Le facteur 𝑒 −𝑖𝑞⃗.𝑟⃗⃗⃗⃗𝑛 permet de prendre en compte les déphasages entre les ondes
diffusées par les différents atomes de la structure.

7
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III. Diffraction par un cristal

Nous commençons par considérer le cas simple d’un cristal unidimensionnel formé par une
succession de motifs atomiques également espacés de la distance 𝑎 (Figure 5a). Nous
introduisons la fonction 𝜌𝑚 (𝑥) décrivant la densité électronique d’un motif atomique centré
sur l’origine. La densité électronique dans le cristal s’écrit alors :

𝜌(𝑥) = ∑ 𝜌𝑚 (𝑥 − 𝑛𝑎)
𝑛

Cette expression peut se mettre sous la forme d’un produit de convolution entre 𝜌𝑚 (𝑥) et
un peigne de Dirac de période 𝑎 (Figure 5b) :
+∞

𝜌(𝑥) = ∫ 𝜌𝑚 (𝑥 − 𝑥 ′ ) ∑ 𝛿(𝑥 ′ − 𝑛𝑎) 𝑑𝑥 ′ = 𝜌𝑚 (𝑥) ∗ 𝑅(𝑥)

−∞ 𝑛

Le terme dans l’intégrale n’est non nul que pour 𝑥 ′ = 𝑛𝑎, rendant effectivement les deux
expressions ci-dessus équivalentes. Le peigne de Dirac 𝑹(𝒙) = ∑𝒏 𝜹(𝒙 − 𝒏𝒂) représente ici
le réseau cristallin, valant 0 partout sauf sur les nœuds du réseau.

L’amplitude de diffusion du cristal se calcule comme la transformée de Fourier de 𝜌(𝑥) et

sera donc donnée par le produit de la transformée de Fourier de 𝜌𝑚 (𝑥) par la transformée
de Fourier de 𝑅(𝑥)4.

Intéressons-nous maintenant à la transformée de Fourier de la fonction réseau 𝑅(𝑥) :

+∞

𝑅𝐹 (𝑞𝑥 ) = ∫ ∑ 𝛿(𝑥 − 𝑛𝑎) 𝑒 −𝑖𝑞𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = ∑ 𝑒 −𝑖𝑞𝑥 𝑛𝑎

−∞ 𝑛 𝑛

Cette expression peut être simplifiée en utilisant la relation ∑𝑛 𝑒 −𝑖2𝜋𝑞𝑛 = ∑ℎ 𝛿(𝑞 − ℎ) 5.

2𝜋
Posons 𝑞𝑥 = 𝑎 𝑞𝑥′ . On vérifie alors :
′
𝑅𝐹 (𝑞𝑥′ ) = ∑ 𝑒 −𝑖2𝜋𝑞𝑥 𝑛 = ∑ 𝛿(𝑞𝑥′ − ℎ)
𝑛 ℎ

4
On utilise ici le fait que la transformée de Fourier d'un produit de convolution s'obtient par multiplication des
transformées de Fourier des fonctions.
5
Cette expression se démontre dans le cadre de la théorie des décompositions en séries de Fourier.
Soit la fonction 𝑓(𝑞) = ∑ℎ 𝛿(𝑞 − ℎ). Il s’agit d’une fonction de période 1, développable en série de Fourier :
′ 0.5 ′ 0.5 ′
𝑓(𝑞) = ∑𝑢′ 𝐶𝑢′ (𝑓) 𝑒 𝑖2𝜋𝑢 𝑞 avec 𝐶𝑢′ (𝑓) = ∫−0.5 ∑ℎ 𝛿(𝑞 − ℎ) 𝑒 −𝑖2𝜋𝑢 𝑞 𝑑𝑞 = ∑ℎ ∫−0.5 𝛿(𝑞 − ℎ) 𝑒 −𝑖2𝜋𝑢 𝑞 𝑑𝑞 .
′
L’intégrale ne peut prendre de valeur non nulle que dans le cas où ℎ = 0. On a alors 𝐶𝑢′ (𝑓) = 𝑒 −𝑖2𝜋𝑢 ×0 = 1.
′
D’où finalement : 𝑓(𝑞) = ∑ℎ 𝛿(𝑞 − ℎ) = ∑𝑢′ 𝑒 𝑖2𝜋𝑢 𝑞 = ∑𝑢 𝑒 −𝑖2𝜋𝑢𝑞 (On a posé u = -u’).

8
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On s’aperçoit que 𝑅𝐹 (𝑞𝑥′ ) n’est non nulle que pour des valeurs entières de 𝑞𝑥′ . Ainsi, 𝑅𝐹 (𝑞𝑥 )
2𝜋
est non nulle aux points tels que 𝑞𝑥 = ℎ × 𝑎 , et vaut 0 sinon. La transformée de Fourier du
réseau cristallin 𝑅(𝑥) est donc un autre réseau dans l’espace des vecteurs de diffusion,
𝑅𝐹 (𝑞𝑥 ), appelé réseau réciproque (Figure 5c). Comme transformée de Fourier du réseau
cristallin, le réseau réciproque donne l’ensemble des fréquences de répétition spatiales du
motif atomique dans le cristal.

On peut d’ores et déjà conclure que l’amplitude de diffusion, produit de 𝑅𝐹 (𝑞𝑥 ) par la
transformée de Fourier de 𝜌𝑚 (𝑥), n’est non nulle que pour les vecteurs de diffusion
2𝜋
𝑞𝑥 = ℎ × 𝑎 correspondant au réseau réciproque. La figure de diffraction d’un cristal est
donc formée de points distincts correspondant chacun à un nœud du réseau réciproque
(Figure 6).

(a)

(b)

(c)

(d)

Figure 5 : (a) Cristal unidimensionnel présentant un motif de deux atomes, et représentation de la fonction
𝜌𝑚 (𝑥) décrivant la densité électronique d’un motif centré sur l’origine. (b) Visualisation de la densité
électronique du cristal 𝜌(𝑥) comme produit de convolution entre 𝜌𝑚 (𝑥) et la fonction du réseau
cristallin 𝑅(𝑥). (c) Gauche : représentation de la transformée de Fourier du réseau cristallin : le réseau
réciproque 𝑅𝐹 (𝑞𝑥 ). Droite : transformée de Fourier de 𝜌𝑚 (𝑥), 𝜌𝐹 𝑚 (𝑞𝑥 ). (d) L’amplitude de diffusion 𝐴(𝑞𝑥 ) est
donnée par le produit de 𝑅𝐹 (𝑞𝑥 ) et 𝜌𝐹 𝑚 (𝑞𝑥 ).

9
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(a) (b)
Figure 6 : (a) Vue d’un diffractomètre au centre duquel est monté un échantillon (rectangle blanc). Le montage
de l’échantillon sur un lasso est détaillé dans l’insert. Le faisceau de rayons X incident de vecteur d’onde ⃗⃗⃗𝑘𝑖 est
représenté à l’aide d’un trait jaune épais. Les faisceaux diffractés (flèches en pointillé jaune), en nombre fini,
présentent un vecteur d’onde ⃗⃗⃗⃗ 𝑘𝑑 tel que le vecteur de diffusion 𝑞 = ⃗⃗⃗⃗
𝑘𝑑 − ⃗⃗⃗
𝑘𝑖 vérifie la condition de diffraction
𝑞 = ℎ𝑎 ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ + 𝑘𝑏 + 𝑙𝑐⃗⃗⃗ . (b) Le cliché de diffraction correspond à l’intersection des faisceaux diffractés avec le
∗ ∗ ∗

détecteur plan (« caméra CCD ») : une série de taches de diffraction apparait, chacune correspondant à un
nœud du réseau réciproque de coordonnées (ℎ, 𝑘, 𝑙). Figure réalisée à partir de photos présentées sur la page
web http://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/ressource/Diffraction-rayons-X-techniques-determination-
structure.xml

III-1. Le réseau réciproque, transformée de Fourier du réseau cristallin

III-1-a. Définitions mathématiques

Soit un réseau cristallin (réseau direct) et les vecteurs de base (𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 ) de la maille associée.
On définit les vecteurs de base (𝑎⃗⃗⃗⃗∗ , ⃗⃗⃗ 𝑐 ∗ ) de la maille du réseau réciproque par6 :
𝑏 ∗ , ⃗⃗⃗

𝑏⃗ ∧ 𝑐 𝑐∧𝑎 𝑎 ∧ 𝑏⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎∗ = 2𝜋 ⃗⃗⃗
𝑏 ∗ = 2𝜋 𝑐⃗⃗⃗∗ = 2𝜋
𝑉 𝑉 𝑉
Dans ces expressions, 𝑉 = 𝑎. (𝑏⃗ ∧ 𝑐) est le volume de la maille cristalline.

Une autre définition du réseau réciproque peut être donnée comme suit :
⃗⃗⃗⃗
𝑎∗ . 𝑎 = 2𝜋 ⃗⃗⃗
𝑏∗. 𝑎 = 0 𝑐⃗⃗⃗∗ . 𝑎 = 0
𝑎∗ . 𝑏⃗ = 0
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
𝑏 ∗ . 𝑏⃗ = 2𝜋 𝑐⃗⃗⃗∗ . 𝑏⃗ = 0
⃗⃗⃗⃗
𝑎∗. 𝑐 = 0 ⃗⃗⃗
𝑏∗. 𝑐 = 0 ⃗⃗⃗
𝑐 ∗ . 𝑐 = 2𝜋
Cette définition se révèle utile pour le calcul des réseaux réciproques à deux dimensions.

Réseau réciproque et réseau direct sont duals : le réseau réciproque du réseau réciproque
est le réseau direct. La dimension des vecteurs du réseau réciproque est l’inverse d’une
longueur. On utilise habituellement l’unité Å-1. Les volumes des mailles directe et réciproque
(2𝜋)3
𝑉 et 𝑉 ∗ se déduisent l’un de l’autre par la relation 𝑉 ∗ = .
𝑉

6
Il existe une autre convention, dite du cristallographe, qui définit le réseau réciproque sans le facteur 2π.

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III-1-b. Propriétés géométriques du réseau réciproque

A toute rangée du réseau réciproque caractérisée par son vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐺ℎ𝑘𝑙 , est associée la
famille de plans réticulaires (ℎ𝑘𝑙) perpendiculaire à cette rangée. La distance entre deux
2𝜋
plans successifs, dite distance réticulaire, vaut 𝑑ℎ𝑘𝑙 = ‖𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ .
ℎ𝑘𝑙

Démonstration :
Le plan (ℎ𝑘𝑙) le plus proche de l’origine (d’ordre 1) contient par construction les points A, B et C situés en 𝑎⁄ℎ,
𝑏⃗⁄𝑘 et 𝑐 ⁄𝑙 , respectivement. Si ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺ℎ𝑘𝑙 est normal aux plans (ℎ𝑘𝑙), il est par construction normal aux vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ . Vérifions cette hypothèse :
et 𝐴𝐶

𝑏 𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺ℎ𝑘𝑙 . ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗∗ + 𝑘𝑏⃗⃗⃗∗ + 𝑙𝑐⃗⃗∗ ). (⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (ℎ𝑎 𝑂𝐵 − ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗∗ + 𝑘𝑏⃗⃗⃗∗ + 𝑙𝑐⃗⃗∗ ). ( − ) = −2𝜋 + 2𝜋 = 0
𝑂𝐴) = (ℎ𝑎
𝑘 ℎ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺ℎ𝑘𝑙 et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 sont donc orthogonaux.

𝑐 𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺ℎ𝑘𝑙 . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = (ℎ𝑎⃗⃗⃗∗ + 𝑘𝑏⃗⃗⃗∗ + 𝑙𝑐⃗⃗∗ ). (𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗ ) = (ℎ𝑎⃗⃗⃗∗ + 𝑘𝑏⃗⃗⃗∗ + 𝑙𝑐⃗⃗∗ ). ( − ) = −2𝜋 + 2𝜋 = 0
⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴
𝑙 ℎ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺ℎ𝑘𝑙 et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 sont donc également orthogonaux. CQFD.

Calcul de la distance interréticulaire 𝑑ℎ𝑘𝑙 - Soit ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐺ℎ𝑘𝑙 un vecteur du réseau réciproque normal aux plans (ℎ𝑘𝑙)
et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑅𝑢𝑣𝑤 le vecteur liant l’origine à un nœud de coordonnées (𝑢, 𝑣, 𝑤) du plan d’ordre 1 dans la famille. On a
alors ℎ𝑢 + 𝑘𝑣 + 𝑙𝑤 = 1. La distance inter-réticulaire vaut :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑅 ⃗⃗⃗∗ + 𝑙𝑐⃗⃗⃗∗ ). (𝑢𝑎 + 𝑣𝑏⃗ + 𝑤𝑐 ) 2𝜋(ℎ𝑢 + 𝑘𝑣 + 𝑙𝑤)
⃗⃗⃗⃗∗ + 𝑘𝑏
(ℎ𝑎
ℎ𝑘𝑙 𝑢𝑣𝑤
𝑑ℎ𝑘𝑙 = = =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
‖𝐺 ‖𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺 ‖
ℎ𝑘𝑙 ℎ𝑘𝑙 ℎ𝑘𝑙

2𝜋
D’où 𝑑ℎ𝑘𝑙 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
. CQFD.
‖𝐺 ℎ𝑘𝑙

Pour être complet, signalons que toute rangée du réseau direct est perpendiculaire à une
2𝜋
famille de plans du réseau réciproque. La distance entre plans vaut 𝑑𝑢𝑣𝑤 = ‖𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖, où ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑅𝑢𝑣𝑤
𝑢𝑣𝑤
est le vecteur de la rangée.

Les propriétés du réseau réciproque évoquées ci-dessus permettent un calcul rapide de

l’angle 𝜑 entre les normales des faces (ℎ1 𝑘1 𝑙1 ) et (ℎ2 𝑘2 𝑙2 ) :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝑘1 𝑘1 𝑙1 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝑘2 𝑘2 𝑙2
𝜑 = cos−1 ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‖𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑘 𝑘 𝑙 ‖. ‖𝐺𝑘 𝑘 𝑙 ‖
1 1 1 2 2 2

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III-1-c. Distances inter-réticulaires

Le formalisme de l’espace réciproque permet de calculer n’importe quelle distance

réticulaire [écartement entre plans d’une même famille(ℎ𝑘𝑙)] connaissant la métrique de la
maille dans le réseau direct. On donne les expressions de 𝑑ℎ𝑘𝑙 pour les 7 types de mailles
conventionnelles dans le
Tableau 1.

Maille Expression de 𝒅𝒉𝒌𝒍

Triclinique

1 − cos2 𝛼 − cos 2 𝛽 − cos 2 𝛾 + 2 cos 𝛼 . cos 𝛽 . cos 𝛾

𝑑ℎ𝑘𝑙 = √
𝑠11 ℎ2 + 𝑠22 𝑘 2 + 𝑠33 𝑙 2 + 2𝑠12 ℎ𝑘 + 2𝑠23 𝑘𝑙 + 2𝑠13 ℎ𝑙

Avec :
sin2 𝛼 (cos 𝛼 . cos 𝛽 − cos 𝛾)
𝑠11 = 𝑠12 =
𝑎2 𝑎𝑏
sin2 𝛽 (cos 𝛽 . cos 𝛾 − cos 𝛼)
𝑠22 = 𝑠23 =
𝑏2 𝑏𝑐
sin2 𝛾 (cos 𝛼 . cos 𝛾 − cos 𝛽)
𝑠33 = 𝑠13 =
𝑐2 𝑎𝑐
Monoclinique
sin 𝛽
𝑑ℎ𝑘𝑙 =
2 2 2 2
√ℎ2 + 𝑘 sin2 𝛽 + 𝑙 2 − 2ℎ𝑙 cos 𝛽
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑐
Orthorhombique
1
𝑑ℎ𝑘𝑙 =
2 2 2
√ℎ 2 + 𝑘 2 + 𝑙 2
𝑎 𝑏 𝑐
Quadratique
𝑎
𝑑ℎ𝑘𝑙 =
2
√ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙 2 𝑎2
𝑐
Rhomboédrique
𝑎√1 − 3cos2 𝛼 + 2 cos3 𝛼
𝑑ℎ𝑘𝑙 =
√sin2 𝛼 (ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙 2 ) + 2(cos2 𝛼 − cos 𝛼)(ℎ𝑘 + 𝑘𝑙 + ℎ𝑙)
Hexagonale
𝑎
𝑑ℎ𝑘𝑙 =
2
√4 (ℎ2 + 𝑘 2 + ℎ𝑘) + 𝑙 2 𝑎2
3 𝑐
Cubique
𝑎
𝑑ℎ𝑘𝑙 =
√ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙 2

Tableau 1 : Distances interréticulaires des plans (ℎ𝑘𝑙) dans les différents types de maille.

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III-1-d. Mailles multiples – Conditions d’existence pour les nœuds (𝒉, 𝒌, 𝒍)

Nous avons vu au Chap III que les indices de Miller (ℎ𝑘𝑙) sont soumis à des conditions
d’existence dans les mailles multiples. Etant donnée la correspondance entre une rangée du
réseau réciproque ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺ℎ𝑘𝑙 et la famille de plans (ℎ𝑘𝑙), les mêmes conditions d’existence
doivent s’appliquer aux nœuds (ℎ, 𝑘, 𝑙) du réseau réciproque. Lorsqu’on calcule le réseau
réciproque d’une maille multiple (𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 ), on ne prend pas en compte les nœuds de
coordonnées demi-entières. Il s’ensuit que les plus petites périodes du réseau sont
« oubliées », conduisant à des nœuds en surnombre dans l’espace réciproque. Les
conditions d’existence sur ℎ, 𝑘 et 𝑙 permettent alors d’éliminer ces nœuds en surnombre.

Prenons l’exemple d’une maille orthorhombique centrée C (multiplicité 2) de base (𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 )
et de volume 𝑉. Dans le même réseau, on peut définir une maille primitive (𝑎 ⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗
𝑏1 , ⃗⃗⃗
𝑐1 ) de
volume 2 fois inférieur (Figure 7a).
 La maille du réseau réciproque (𝑎 ⃗⃗⃗⃗∗ , ⃗⃗⃗ 𝑐 ∗ ) calculée à partir de la maille (𝑎 , 𝑏⃗, 𝑐 ) présente
𝑏 ∗ , ⃗⃗⃗
3
un volume de (2𝜋) ⁄𝑉 .
 En calculant le réseau réciproque à partir de la maille primitive du réseau (𝑎 ⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗
𝑏1 , ⃗⃗⃗
𝑐1 ), on
prend en compte toutes les périodes cristallines y compris les plus courtes : tous les nœuds
(ℎ1 , 𝑘1 , 𝑙1 ) du réseau réciproque (𝑎 ⃗⃗⃗⃗1∗ , ⃗⃗⃗
𝑏1∗ , 𝑐1∗ ) sont donc valides et représentent une période
cristalline. On trouve pour la maille (𝑎 ⃗⃗⃗⃗1∗ , ⃗⃗⃗
𝑏1∗ , 𝑐1∗ ) un volume de 2 × (2𝜋)3 ⁄𝑉 : la densité de
nœuds est deux fois inférieure à celle du réseau porté par la maille (𝑎 ⃗⃗⃗⃗∗ , ⃗⃗⃗
𝑏 ∗ , ⃗⃗⃗
𝑐 ∗ ).
La Figure 7b représente les réseaux réciproques de mailles (𝑎 ⃗⃗⃗⃗∗ , ⃗⃗⃗
𝑏 ∗ , ⃗⃗⃗
𝑐 ∗ ) et (𝑎 ⃗⃗⃗⃗1∗ , ⃗⃗⃗
𝑏1∗ , 𝑐1∗ ). On
observe que ces derniers sont équivalents à condition d’éliminer un nœud sur deux dans le
réseau de base (𝑎 ⃗⃗⃗⃗∗ , ⃗⃗⃗
𝑏 ∗ , ⃗⃗⃗
𝑐 ∗ ). On peut se convaincre que la condition d’existence des nœuds
(ℎ, 𝑘, 𝑙) porte sur les indices ℎ et 𝑘, qui doivent être de même parité.

On peut répéter cet exercice pour chaque mode de centrage des mailles cristallographiques,
et retrouver les conditions d’existence des plans réticulaires (ℎ𝑘𝑙) et des nœuds du réseau
réciproque (ℎ, 𝑘, 𝑙) mentionnées à la dernière page du Chap. III.

(a) (b)
⃗
Figure 7 : (a) Réseau orthorhombique 𝐶 de base (𝑎 , 𝑏, 𝑐 ). La maille primitive correspondante est (𝑎 ⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗
𝑏1 , ⃗⃗⃗
𝑐1 ).
⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗
(b) Les réseaux réciproques calculés à partir des bases (𝑎 𝑐1 ) et (𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 ) sont identiques pourvu que l’on
𝑏1 , ⃗⃗⃗
introduise des conditions d’existence sur les nœuds du réseau (𝑎 ⃗⃗⃗⃗∗ , ⃗⃗⃗
𝑏 ∗ , ⃗⃗⃗
𝑐 ∗ ).

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III-2. Géométrie du processus de diffraction par un cristal

III-2-a. Loi de Bragg

La Figure 8 représente un processus de diffusion élastique, avec les vecteurs d’onde des
ondes incidente et diffusée, ⃗⃗⃗
𝑘𝑖 et ⃗⃗⃗⃗
𝑘𝑑 , ainsi que le vecteur de diffusion 𝑞 = ⃗⃗⃗⃗
𝑘𝑑 − ⃗⃗⃗
𝑘𝑖 . On
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
vérifie : 𝑘𝑖 = 𝑘𝑑 = 2𝜋⁄𝜆. Le triangle 𝐴𝐵𝐶 formé par les vecteurs 𝑘𝑑 , -𝑘𝑖 et 𝑞 est donc un
triangle isocèle. Ce triangle admet une hauteur perpendiculaire à la base formée par le
vecteur 𝑞 , que l’on nomme 𝐼𝐶.

Nous avons montré au début de ce paragraphe III que l’amplitude de diffusion n’est non
nulle qu’aux nœuds du réseau réciproque. La condition de diffraction s’écrit donc 𝒒 ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑮𝒉𝒌𝒍 .
Supposons cette condition réalisée. Nous pouvons représenter les plans réticulaires de la
famille (ℎ𝑘𝑙) comme étant perpendiculaires à ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺ℎ𝑘𝑙 . L’angle d’incidence sur les plans, que
l’on appellera l’angle de Bragg 𝜃, est égal au demi-angle au sommet 𝐶 du triangle isocèle.
L’angle d’émergence du faisceau diffracté est lui aussi égal au demi-angle au sommet 𝐶.
→ Ainsi, lorsqu’on est en condition de diffraction sur le noeud ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑮𝒉𝒌𝒍 du réseau réciproque,
le faisceau incident et le faisceau diffracté sont en géométrie de réflexion par rapport aux
plans de la famille (𝒉𝒌𝒍).

On peut calculer l’angle 𝜃 de la manière suivante :

4𝜋 sin 𝜃 2𝜋
‖𝑞 ‖ = 2 × 𝑘𝑑 sin 𝜃 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= ‖𝐺 ℎ𝑘𝑙 ‖ =
𝜆 𝑑ℎ𝑘𝑙
D’où la relation 𝟐𝒅𝒉𝒌𝒍 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝝀, appelée loi de Bragg7.

L’angle de diffraction est défini comme l’angle entre la direction du faisceau incident et la
direction du faisceau diffracté. Il vaut 2𝜃.

Figure 8 : Représentation d’un cristal en

condition de diffraction sur la famille de
plans réticulaires (ℎ𝑘𝑙).

7
La loi de Bragg permet de justifier l’usage de rayons X pour déterminer les structures atomiques. En effet, le
terme sin 𝜃 ne peut être supérieur à 1. On peut donc écrire la relation (𝜆⁄2𝑑ℎ𝑘𝑙 ) ≤ 1. Il s’ensuit que la
longueur d’onde du rayonnement utilisé doit être de l’ordre de grandeur des distances inter-réticulaires ou
inférieures, ce qui est bien le cas pour les rayons X.

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III-2-b. Construction d’Ewald

La construction d’Ewald (Figure 9) permet de visualiser les conditions de diffraction d’un

rayonnement X de longueur d’onde 𝜆 pour chaque nœud du réseau réciproque, en fonction
de l’orientation du cristal.

On se donne pour commencer une sphère de centre 𝑂 et de rayon 2𝜋⁄𝜆 : il s’agit de la

sphère d’Ewald. L’échantillon est placé au point origine 𝑂.

Le vecteur d’onde de l’onde incidente ⃗⃗⃗

𝑘𝑖 est représenté de sorte que son extrémité coïncide
avec 𝑂. Celui-ci correspond à un rayon de la sphère d’Ewald, puisque sa norme vaut 2𝜋⁄𝜆 .

Le vecteur d’onde de l’onde diffractée ⃗⃗⃗⃗

𝑘𝑑 est représenté de sorte que son origine coïncide
avec 𝑂. Dans l’hypothèse d’une diffusion élastique, 𝑘𝑑 = 𝑘𝑖 = 2𝜋⁄𝜆. Le vecteur ⃗⃗⃗⃗ 𝑘𝑑
correspond donc lui aussi à un rayon de la sphère d’Ewald. Ainsi, la sphère d’Ewald
constitue le lieu des points possibles pour l’extrémité du vecteur ⃗⃗⃗⃗
𝒌𝒅 .

Lorsqu’on prolonge la droite de vecteur directeur ⃗⃗⃗ 𝑘𝑖 à partir de 𝑂, on intercepte la sphère

d’Ewald en un point 𝑂∗ qui sera l’origine du réseau réciproque. Reste alors à représenter le
réseau réciproque, calculé à partir des vecteurs (𝑎, 𝑏⃗, 𝑐) de la maille cristallographique.

Le vecteur de diffusion 𝑞 = ⃗⃗⃗⃗

𝑘𝑑 − ⃗⃗⃗
𝑘𝑖 peut être facilement représenté en partant du point 𝑂,
∗
puis en partant du point 𝑂 . Pour qu’il y ait effectivement diffraction, le vecteur 𝑞
d’origine 𝑂∗ doit correspondre à un vecteur du réseau réciproque ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺ℎ𝑘𝑙 . Pour une
orientation donnée du cristal, il y a diffraction si et seulement si un nœud du réseau
réciproque intercepte la sphère d’Ewald en un point 𝑫. Le rayonnement diffracté est alors
observé à partir du cristal placé en 𝑶, dans la direction (𝑶𝑫).

(a) (b)

Figure 9 : Construction d’Ewald. (a) Le cristal est orienté de telle manière qu’aucun nœud du réseau réciproque
n’intercepte la sphère d’Ewald. On n’observe pas de diffraction. (b) Le cristal est maintenant orienté de sorte
que le nœud (0,1,0) du réseau réciproque intercepte la sphère d’Ewald. Les plans (010) sont en condition de
⃗⃗⃗∗ .
diffraction et on vérifie que 𝑞 = 𝑏

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III-3. Valeur de l’intensité diffractée : facteurs de structure

Dans cette partie, nous cherchons à calculer l’intensité diffractée dans la direction ⃗⃗⃗⃗
𝑘𝑑 . Celle-
ci nous est donnée par le module au carré de l’amplitude de diffusion 𝐴(𝑞 ). Nous repartons
de l’expression de 𝐴(𝑞 ) démontrée au paragraphe II-2 :
𝑁

𝐴(𝑞 ) = ∑ 𝑓𝑛 (𝑞) 𝑒 −𝑖𝑞⃗.𝑟⃗⃗⃗⃗𝑛

𝑛=1

Dans un cristal, ⃗⃗⃗ 𝑟𝑛 = 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏⃗ + 𝑤𝑐 + 𝑥𝑠 𝑎 + 𝑦𝑠 𝑏⃗ + 𝑧𝑠 𝑐

𝑟𝑛 peut s’écrire sous la forme ⃗⃗⃗
 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏⃗ + 𝑤𝑐 est un vecteur pointant l’origine d’une maille dans le cristal.
 ⃗⃗𝑟𝑠 = 𝑥𝑠 𝑎 + 𝑦𝑠 𝑏⃗ + 𝑧𝑠 𝑐 est un vecteur pointant vers le sième atome de la maille.
L’expression de 𝐴(𝑞 ) devient alors :
𝑁𝑎𝑡/𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒

𝐴(𝑞 ) = ∑ ∑ 𝑓𝑠 (𝑞) 𝑒 −𝑖𝑞⃗.(𝑢𝑎⃗+𝑣𝑏⃗+𝑤𝑐) 𝑒 −𝑖𝑞⃗.𝑟⃗⃗⃗𝑠

𝑢𝑣𝑤 𝑠=1

⃗⃗⃗⃗∗ , ⃗⃗⃗
Soient (𝑞𝑥 , 𝑞𝑦 , 𝑞𝑧 ) les coordonnées de 𝑞 dans la base réciproque (𝑎 𝑐 ∗ ). On obtient8 :
𝑏 ∗ , ⃗⃗⃗
𝑁𝑎𝑡/𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒

𝐴(𝑞 ) = ∑ 𝑒 −𝑖2𝜋(𝑞𝑥 𝑢+𝑞𝑦 𝑣+𝑞𝑧 𝑤) ∑ 𝑓𝑠 (𝑞) 𝑒 −𝑖2𝜋(𝑞𝑥 𝑥𝑠 +𝑞𝑦 𝑦𝑠+𝑞𝑧 𝑧𝑠 )

𝑢𝑣𝑤 𝑠=1
𝑁𝑎𝑡/𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒

𝐴(𝑞 ) = ∑ 𝛿(𝑞𝑥 − ℎ)𝛿(𝑞𝑦 − 𝑘)𝛿(𝑞𝑧 − 𝑙) ∑ 𝑓𝑠 (𝑞) 𝑒 −𝑖2𝜋(𝑞𝑥 𝑥𝑠 +𝑞𝑦 𝑦𝑠 +𝑞𝑧 𝑧𝑠 )

ℎ𝑘𝑙 𝑠=1

Dans cette expression de 𝐴(𝑞 ), le terme 𝑅𝐹 (𝑞 ) = ∑ℎ𝑘𝑙 𝛿(𝑞𝑥 − ℎ)𝛿(𝑞𝑦 − 𝑘)𝛿(𝑞𝑧 − 𝑙) n’est
autre que le réseau réciproque du cristal. En effet, 𝑅𝐹 (𝑞 ) n’est non nulle que pour des
valeurs entières de 𝑞𝑥 , 𝑞𝑦 et 𝑞𝑧 , c'est-à-dire aux nœuds du réseau réciproque repérés par
⃗⃗⃗∗ + 𝑙𝑐⃗⃗⃗∗ . Le terme de droite est la transformée de Fourier de la densité électronique
⃗⃗⃗⃗∗ + 𝑘𝑏
ℎ𝑎
au sein d’une seule maille cristallographique.

8
Pour parvenir au résultat, on utilise l’égalité 𝑓(𝑞) = ∑ℎ 𝛿(𝑞 − ℎ) = ∑𝑢 𝑒 −𝑖2𝜋𝑢𝑞 déjà démontrée au début du
paragraphe III.

16
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L’intensité diffractée au nœud (ℎ, 𝑘, 𝑙) du réseau réciproque est donnée par :

𝑁𝑎𝑡/𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 2
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐼ℎ𝑘𝑙 ∝ |𝐴(𝐺 ℎ𝑘𝑙 )| = | ∑ 𝑓𝑠 (𝐺ℎ𝑘𝑙 ) 𝑒 −𝑖2𝜋(ℎ𝑥𝑠 +𝑘𝑦𝑠 +𝑙𝑧𝑠 ) |
𝑠=1

𝐼ℎ𝑘𝑙 = |𝐹ℎ𝑘𝑙 |2

On a introduit le facteur de structure 𝑭𝒉𝒌𝒍 , qui dépend des positions atomiques dans la
maille et dont le module au carré donne l’intensité diffractée au nœud (ℎ, 𝑘, 𝑙) du réseau
réciproque.

Ainsi, la direction du rayonnement diffracté par l’échantillon nous informe sur le réseau
cristallin de l’échantillon (paramètres de maille 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝛼, 𝛽, 𝛾), tandis que l’intensité
diffractée permet de déterminer les positions atomiques à l’intérieur de la maille.

III-3-a. Extraction de la contribution liée au motif

Dans une maille primitive, l’ensemble des positions atomiques ⃗⃗𝑟𝑠 au sein d’une maille
correspond également à l’ensemble des positions atomiques constituant le motif. Ce n’est
pas le cas des mailles multiples qui contiennent plusieurs nœuds et donc plusieurs motifs
atomiques.

Réécrivons ⃗⃗𝑟𝑠 en fonction des positions des nœuds au sein de la maille cristallographique, ⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑁 ,
et des positions au sein du motif atomique, ⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑚 . On obtient :
⃗⃗𝑟𝑠 = ⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑁 + ⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑚
D’où cette nouvelle écriture du facteur de structure:
𝑁𝑎𝑡/𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒

𝐹ℎ𝑘𝑙 = ∑ 𝑓𝑠 × 𝑒 −𝑖2𝜋(ℎ𝑥𝑠 +𝑘𝑦𝑠 +𝑙𝑧𝑠 )

𝑠=1
𝑁𝑎𝑡/𝑚𝑜𝑡𝑖𝑓

=∑ ∑ 𝑓𝑚 × 𝑒 −𝑖2𝜋(ℎ𝑥𝑁 +𝑘𝑦𝑁 +𝑙𝑧𝑁 +ℎ𝑥𝑚+𝑘𝑦𝑚+𝑙𝑧𝑚)

𝑁 𝑚

𝑁𝑎𝑡/𝑚𝑜𝑡𝑖𝑓

𝐹ℎ𝑘𝑙 = ∑ 𝑒 −𝑖2𝜋(ℎ𝑥𝑁 +𝑘𝑦𝑁 +𝑙𝑧𝑁 ) ∑ 𝑓𝑚 × 𝑒 −𝑖2𝜋(ℎ𝑥𝑚 +𝑘𝑦𝑚+𝑙𝑧𝑚 )

⏟𝑁 ⏟ 𝑚
𝑇𝑅 𝑇𝑚

Le facteur de structure est le produit d’un terme lié au réseau, 𝑇𝑅 , et d’un terme lié au
motif, 𝑇𝑚 . Nous allons démontrer que l’analyse de 𝑻𝑹 permet de retrouver simplement les
conditions d’existence des familles de plans (𝒉𝒌𝒍). Nous verrons également que 𝑻𝒎 peut
s’annuler pour certaines valeurs de 𝒉, 𝒌 et 𝒍, du fait de la présence de symétries avec
translation (réflexions avec glissement et translations hélicoïdales).

17
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III-3-b. Analyse du terme lié au réseau

Le terme lié au réseau 𝑇𝑅 est une somme de termes de déphasage sur l’ensemble des nœuds
de la maille cristallographique. Sa valeur dépend donc du mode de réseau (𝑃, 𝐼, 𝐶 ou 𝐹).

 Les mailles primitives 𝑃 ne contiennent qu’un seul nœud de coordonnées (0,0,0). Dans ce
cas, 𝑇𝑅 vaut 𝑒 −𝑖0 = 1.

 Les mailles corps centré 𝐼 contiennent deux nœuds de coordonnées (0,0,0) et (12, 12, 12).
Ecrivons 𝑇𝑅 dans ce cas :
2 𝑠𝑖 ℎ + 𝑘 + 𝑙 = 2𝑛
𝑇𝑅 = 𝑒 −𝑖0 + 𝑒 −𝑖𝜋(ℎ+𝑘+𝑙) = 1 + 𝑒 −𝑖𝜋(ℎ+𝑘+𝑙) = {
0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

 Les mailles à une face centrée 𝐶 contiennent deux nœuds de coordonnées (0,0,0)
et (12, 12, 0). 𝑇𝑅 s’écrit dans ce cas :
2 𝑠𝑖 ℎ + 𝑘 = 2𝑛
𝑇𝑅 = 𝑒 −𝑖0 + 𝑒 −𝑖𝜋(ℎ+𝑘) = 1 + 𝑒 −𝑖𝜋(ℎ+𝑘) = {
0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

 Les mailles à faces centrées 𝐹 contiennent quatre nœuds de coordonnées (0,0,0), (12, 12, 0),
(12, 0, 12) et (0, 12, 12). 𝑇𝑅 devient alors :
𝑇𝑅 = 𝑒 −𝑖0 + 𝑒 −𝑖𝜋(ℎ+𝑘) + 𝑒 −𝑖𝜋(ℎ+𝑙) + 𝑒 −𝑖𝜋(𝑘+𝑙)
Analysons 𝑇𝑅 en fonction de la parité des indices ℎ, 𝑘 et 𝑙 :
ℎ 𝑘 𝑙 𝑇𝑅
impair impair impair 4
impair impair pair 0
impair pair impair 0
impair pair pair 0
pair impair impair 0
pair impair pair 0
pair pair impair 0
pair pair pair 4
Le terme lié au réseau vaut 4 lorsque ℎ, 𝑘 et 𝑙 sont de même parité, 0 sinon.

On constate que dans les mailles centrées, certains nœuds (ℎ, 𝑘, 𝑙) du réseau réciproque et
plans réticulaires (ℎ𝑘𝑙) associés ne génèrent pas de diffraction. Cela est simplement dû au
fait que les indices ℎ, 𝑘 et 𝑙 ne vérifient pas les conditions d’existence d’une famille de plan
(cf. Chap. III) ou d’un nœud du réseau réciproque (cf. §III-1-d). Nous venons de démontrer
simplement ces conditions d’existence pour chaque mode de réseau.

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III-3-c. Analyse du terme lié au motif : extinctions systématiques

Le terme lié au motif 𝑇𝑚 est une somme de termes de déphasage sur l’ensemble des atomes
du motif. Celui-ci peut s’annuler pour certaines valeurs de ℎ, 𝑘 et 𝑙 si le cristal admet une
opération de symétrie avec translation (translation hélicoïdale ou réflexion avec glissement).
On parle dans ce cas d’une extinction systématique de l’intensité diffractée.

Prenons l’exemple d’un cristal de maille (𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 ) admettant un axe 21 parallèle à 𝑐 et
passant par l’origine (Figure 10). L’application de la translation hélicoïdale [𝑅(𝜋), 2⃗𝑐]
transforme le point 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) au point 𝑀′(−𝑥, −𝑦, 𝑧 + 12). Par suite, tout atome 𝑚 de
coordonnées (𝑥𝑚 , 𝑦𝑚 , 𝑧𝑚 ) admet un atome équivalent 𝑚′ de coordonnées
(−𝑥𝑚 , −𝑦𝑚 , 𝑧𝑚 + 12). Le terme lié au motif peut donc s’écrire sous la forme :

𝑁𝑚𝑜𝑡𝑖𝑓 ⁄2
1
𝑇𝑅 = ∑ 𝑓𝑚 [𝑒 −𝑖2𝜋(ℎ𝑥𝑚 +𝑘𝑦𝑚+𝑙𝑧𝑚 ) + 𝑒 −𝑖2𝜋(−ℎ𝑥𝑚 −𝑘𝑦𝑚+𝑙[𝑧𝑚+2]) ]
𝑚=1

𝑁𝑚𝑜𝑡𝑖𝑓 ⁄2

𝑇𝑅 = ∑ 𝑓𝑚 [𝑒 −𝑖2𝜋𝑙𝑧𝑚 (𝑒 −𝑖2𝜋[ℎ𝑥𝑚 +𝑘𝑦𝑚] + 𝑒 −𝑖𝜋𝑙 𝑒 −𝑖2𝜋[−ℎ𝑥𝑚−𝑘𝑦𝑚] )]

𝑚=1

La somme court sur les indices 𝑚 de la moitié des atomes du motif (représentés par des
triangles sur la Figure 10). On choisit ces derniers de sorte qu’ils ne soient pas équivalents
entre eux par application de l’opération [𝑅(𝜋), 2𝑐⃗]. Intéressons-nous maintenant aux valeurs
de 𝑇𝑅 pour les processus de diffraction d’indices (00𝑙). L’expression de 𝑇𝑅 devient :

𝑁𝑚𝑜𝑡𝑖𝑓 ⁄2

𝑇𝑅 = ∑ 𝑓𝑚 [𝑒 −𝑖2𝜋𝑙𝑧𝑚 (1 + 𝑒 −𝑖𝜋𝑙 )]
𝑚=1

Le terme 𝑇𝑅 s’annule pour toutes les valeurs de 𝑙 impaires. La translation hélicoïdale 21

génère ainsi une extinction systématique des tâches de diffraction d’indices (00𝑙) lorsque 𝑙
est impair.

Figure 10 : Projection d’une structure orthorhombique 𝑃

admettant des axes hélicoïdaux 21 parallèles à 𝑐 . Quatre
motifs atomiques de 6 atomes sont représentés. Les
atomes représentés par des triangles et par des ronds se
correspondent deux à deux par l’application de
l’opération [𝑅(𝜋), 2𝑐⃗].

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Les Tableau 2 et Tableau 3 indiquent les conditions d’extinction / d’existence des taches de
diffraction (ℎ𝑘𝑙) générées par chacune des opérations de symétrie avec translation.

Composante
Axe Réflexions Condition Condition
Direction de
hélicoidal concernées d’extinction d’existence
translation
𝑎⃗
[100] (ℎ00) ℎ = 2𝑛 + 1 ℎ = 2𝑛
2
𝑏⃗
21 , 42 , 63 [010] (0𝑘0) 𝑘 = 2𝑛 + 1 𝑘 = 2𝑛
2
𝑐
[001] (00𝑙) 𝑙 = 2𝑛 + 1 𝑙 = 2𝑛
2
⃗⃗
𝑎 ⃗⃗
[100] 3
ou 2𝑎
3
(ℎ00) ℎ ≠ 3𝑛 ℎ = 3𝑛
⃗𝑏 ⃗
2𝑏
31 , 32 , 62 , 64 [010] 3
ou 3
(0𝑘0) 𝑘 ≠ 3𝑛 𝑘 = 3𝑛
⃗
𝑐 2𝑐⃗
[001] 3
ou 3
(00𝑙) 𝑙 ≠ 3𝑛 𝑙 = 3𝑛
⃗⃗
𝑎 ⃗⃗
[100] 4
ou 3𝑎
4
(ℎ00) ℎ ≠ 4𝑛 ℎ = 4𝑛
⃗
𝑏 ⃗
3𝑏
41 , 43 [010] 4
ou 4
(0𝑘0) 𝑘 ≠ 4𝑛 𝑘 = 4𝑛
⃗
𝑐 3𝑐⃗
[001] 4
ou 4
(00𝑙) 𝑙 ≠ 4𝑛 𝑙 = 4𝑛
⃗⃗
𝑎 ⃗⃗
[100] 6
ou 5𝑎
6
(ℎ00) ℎ ≠ 6𝑛 ℎ = 6𝑛
⃗
𝑏 ⃗
5𝑏
61 , 65 [010] 6
ou 6
(0𝑘0) 𝑘 ≠ 6𝑛 𝑘 = 6𝑛
⃗
𝑐 5𝑐⃗
[001] 6
ou 6
(00𝑙) 𝑙 ≠ 6𝑛 𝑙 = 6𝑛
Tableau 2 : Conditions d’extinction et conditions d’existence des taches de diffraction associées aux axes
hélicoïdaux.

Composante
Miroir avec Réflexions Condition Condition
de Direction
glissement concernées d’extinction d’existence
translation
𝑎⃗ [010] (ℎ0𝑙)
𝑎 ℎ = 2𝑛 + 1 ℎ = 2𝑛
2 [001] (ℎ𝑘0)
⃗
𝑏 [100] (0𝑘𝑙)
𝑏 𝑘 = 2𝑛 + 1 𝑘 = 2𝑛
2 [001] (ℎ𝑘0)
𝑐 [100] (0𝑘𝑙)
𝑐 𝑙 = 2𝑛 + 1 𝑙 = 2𝑛
2 [010] (ℎ0𝑙)
𝑏⃗ +𝑐
[100] (0𝑘𝑙) 𝑘 + 𝑙 = 2𝑛 + 1 𝑘 + 𝑙 = 2𝑛
2
𝑎⃗+𝑐
𝑛 [010] (ℎ0𝑙) ℎ + 𝑙 = 2𝑛 + 1 ℎ + 𝑙 = 2𝑛
2
𝑎⃗+𝑏 ⃗
[001] (ℎ𝑘0) ℎ + 𝑘 = 2𝑛 + 1 ℎ + 𝑘 = 2𝑛
2
𝑏⃗ ±𝑐
[100] (0𝑘𝑙) 𝑘 + 𝑙 ≠ 4𝑛 𝑘 + 𝑙 = 4𝑛
4
𝑎⃗±𝑐
𝑑 [010] (ℎ0𝑙) ℎ + 𝑙 ≠ 4𝑛 ℎ + 𝑙 = 4𝑛
4
𝑎⃗±𝑏 ⃗
[001] (ℎ𝑘0) ℎ + 𝑘 ≠ 4𝑛 ℎ + 𝑘 = 4𝑛
4
Tableau 3 : Conditions d’extinction et conditions d’existence des taches de diffraction associées aux miroirs
avec glissement. Seuls les miroirs d’axe [100], [010] ou [001] sont mentionnés.

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IV. Diffraction par les matériaux ordonnés à courte portée

IV-1. Intensité diffractée : formule de Debye

Nous cherchons ici à calculer l’intensité diffractée par un ensemble de 𝑁 atomes sans faire
appel à l’hypothèse de la périodicité cristalline. Nous repartons de l’expression de
l’amplitude de diffusion démontrée au §II-2 : 𝐴(𝑞 ) = ∑𝑁 𝑛=1 𝑓𝑛 (𝑞) 𝑒
−𝑖𝑞⃗ .𝑟
⃗⃗⃗⃗𝑛
.
𝑁 𝑁
−𝑖𝑞⃗ .𝑟
⃗⃗⃗𝑗
𝐼(𝑞 ) = |𝐴(𝑞 )|2 = 𝐴(𝑞 )𝐴∗ (𝑞 ) = ∑ 𝑓𝑗 (𝑞) 𝑒 ∑ 𝑓𝑘 (𝑞) 𝑒 +𝑖𝑞⃗.𝑟⃗⃗⃗⃗𝑘
𝑗=1 𝑘=1

𝐼(𝑞 ) = ∑ 𝑓𝑗 𝑓𝑘 𝑒 −𝑖𝑞⃗(𝑟⃗⃗⃗𝑗−𝑟⃗⃗⃗⃗𝑘) = ∑ 𝑓𝑗 𝑓𝑘 𝑒 −𝑖𝑞⃗.𝑟⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑗𝑘

𝑗𝑘 𝑗𝑘

On a introduit le vecteur ⃗⃗⃗⃗

𝑟𝑗𝑘 = ⃗𝑟𝑗 − ⃗⃗⃗
𝑟𝑘 . On peut également exprimer 𝐼(𝑞, 𝜃, 𝜑) dans le repère
de coordonnées sphériques :

𝐼(𝑞, 𝜃, 𝜑) = ∑ 𝑓𝑗 𝑓𝑘 𝑒 −𝑖𝑞𝑟𝑗𝑘 cos 𝜃

𝑗𝑘

Les matériaux ordonnés à courte portée sont généralement isotropes : la répartition

angulaire des atomes dans une couche de voisins est en effet aléatoire. Par suite, la densité
électronique ne dépend que du module de 𝑟 et est notée 𝜌(𝑟). L’amplitude de diffusion
obtenue par transformée de Fourier de 𝜌(𝑟) ne dépend donc que de 𝑞, ainsi que l’intensité
diffractée 𝐼(𝑞). Nous pouvons obtenir l’expression de 𝐼(𝑞) en faisant une moyenne de
𝐼(𝑞, 𝜃, 𝜑) sur toutes les orientations possibles (𝜃, 𝜑) :
𝜋 2𝜋
∫0 ∫0 𝐼(𝑞, 𝜃, 𝜑) 𝑞 2 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑
𝐼(𝑞) = 𝜋 2𝜋
∫0 ∫0 𝑞 2 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑
𝜋
1
𝐼(𝑞) = 2𝜋𝑞 2 ∫ ∑ 𝑓𝑗 𝑓𝑘 𝑒 −𝑖𝑞𝑟𝑗𝑘 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃
4𝜋𝑞 2
0 𝑗𝑘

𝜋 𝜋
1 −𝑖𝑞𝑟𝑗𝑘 cos 𝜃
1 𝑒 −𝑖𝑞𝑟𝑗𝑘 cos 𝜃
𝐼(𝑞) = ∑ 𝑓𝑗 𝑓𝑘 ∫ 𝑒 sin 𝜃 𝑑𝜃 = ∑ 𝑓𝑗 𝑓𝑘 [ ]
2 2 𝑖𝑞𝑟𝑗𝑘
𝑗𝑘 0 𝑗𝑘 0

1 𝑒 𝑖𝑞𝑟𝑗𝑘 − 𝑒 −𝑖𝑞𝑟𝑗𝑘
𝐼(𝑞) = ∑ 𝑓𝑗 𝑓𝑘 [ ]
2 𝑖𝑞𝑟𝑗𝑘
𝑗𝑘

𝐬𝐢𝐧 𝒒𝒓𝒋𝒌
𝑰(𝒒) = ∑ 𝒇𝒋 𝒇𝒌
𝒒𝒓𝒋𝒌
𝒋𝒌

Cette expression de l’intensité diffractée par un système isotrope est appelée formule de
Debye.

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IV-2. Géométrie du processus de diffraction par un matériau isotrope

D’une façon similaire au §III-2-a, on considère un processus de diffusion élastique caractérisé
par les vecteurs d’onde ⃗⃗⃗ 𝑘𝑖 et ⃗⃗⃗⃗
𝑘𝑑 des ondes incidente et diffusée ainsi que le vecteur de
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
diffusion 𝑞 = 𝑘𝑑 − 𝑘𝑖 . Etant donné que 𝑘𝑖 = 𝑘𝑑 = 2𝜋⁄𝜆, le triangle 𝐴𝐵𝐶 formé par les
vecteurs ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗𝑖 et 𝑞 est un triangle isocèle (Figure 11a). Ce triangle admet une hauteur
𝑘𝑑 , -𝑘
perpendiculaire à la base formée par le vecteur 𝑞 , que l’on nomme 𝐼𝐶 et qui définit deux
demi-angles égaux au sommet 𝐶.

L’angle de diffraction 2𝜃 est l’angle entre la direction du faisceau incident et la direction du

faisceau diffracté. Par construction, il coïncide également avec l’angle au sommet C du
triangle ABC. Les deux demi-angles au sommet C sont donc égaux à 𝜃.
𝟒𝝅 𝐬𝐢𝐧 𝜽
On peut se convaincre à partir de la figure que le module de 𝑞 est donné par 𝒒 = 𝝀 .
Celui-ci ne dépend que de l’angle de diffraction : ainsi, tous les vecteurs ⃗⃗⃗⃗
𝑘𝑑 répartis sur le
cône d’axe 𝑘⃗⃗⃗𝑖 et d’angle de demi-ouverture 2𝜃 correspondent à la même valeur de 𝑞. Dans
le cas de milieux diffractants isotropes, l’intensité diffractée 𝑰(𝒒) possède donc une
symétrie de révolution autour de l’axe du faisceau incident.

La Figure 11b montre l’intensité diffractée par un échantillon de dodécane (C12H26) liquide,
telle qu’interceptée par un imageur bidimensionnel. L’intensité diffractée se concentre sur
un anneau correspondant à un angle de diffusion 2𝜃0 = 19.6° et une valeur de 𝑞 égale à
𝑞0 = 1.39 Å-1. Cet anneau reflète la formation d’une couche de premiers voisins à la
distance 𝑟0 autour de chacun des atomes de la structure. Dans ce cas en effet, la somme
sin 𝑞𝑟𝑗𝑘 sin 𝑞𝑟0
𝐼(𝑞) = ∑𝑗𝑘 𝑓𝑗 𝑓𝑘 est dominée par les termes 𝑓𝑗 𝑓𝑘 : l’anneau correspond
𝑞𝑟𝑗𝑘 𝑞𝑟0
sin 𝑞𝑟0
simplement au premier maximum secondaire de la fonction sinus cardinal . L’étude de
𝑞𝑟0
sin 𝑥
la fonction permet de localiser ce premier maximum secondaire en 𝑥0 = 7.73. On peut
𝑥
ainsi donner la distance entre molécules voisines à partir de la valeur mesurée de 𝑞0 :
𝑟0  7.73
𝑞0
= 5.6 Å.

(a) (b)
Figure 11 : (a) L’intensité diffractée pour une valeur de 𝑞 donnée se répartit sur un anneau au niveau du plan
de détection. (b) Figure de diffraction du dodécane (C12H26) liquide.

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Notons enfin que l’intensité diffractée 𝐼(𝑞) est liée à la transformée de Fourier en sinus de la
fonction de distribution de paires 𝑔(𝑟) introduite au Chap. I. Ainsi, la diffraction permet
d’étudier non seulement les cristaux périodiques, mais aussi la matière ordonnée à courte
portée…

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