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    Agrint07 Int Impropres

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    sur 3

    Université de Cergy-Pontoise 2006-2007

    Agrégation interne

    Intégrales généralisées
    Intégrales impropres
    Pour le cours vous pouvez voir le Monier "Analyse MP" ou le Avez "Analyse
    pour l’agrégation interne".
    Les résultats concernant la convergence dominée se trouvent dans les chapitres
    "Intégrales dépendant d’un paramètre".

    1 Intégrales généralisées
    (Cf Auliac-Caby "Exercices corrigés d’analyse pour le CAPES et l’agrégation
    interne")
    Exercice 1

    Etudier la nature des intégrales suivantes :


    Z +∞ √ √
     
    λ 3 1
    a)I = t ( t2 + 1 − t3 + 1) sin dt.
    Z1 1 t
    dt
    b)J = .
    arcos(1 − t)
    Z0 +∞
    cosα ( 1t )
    c)K = dt.
    1 tβ (t − 1)γ
    Exercice 2
    1
    1) Montrer que la fonction x 7→ est intégrable sur R.
    Z +∞ 1 + x3
    dx
    2) Calculer 3
    .
    −∞ 1 + x

    Exercice 3

    Soit f la fonction définie sur R∗ par


    1
    f (x) = e x3 − 1.

    1) Préciser les intervalles sur lesquels f est intégrable.


    2) Préciser la nature de l’intégrale suivante :
    Z +∞
    1
    (e x3 − 1)dx
    −∞

    1
    Exercice 4 (Comparaison des restes)
    Z ∞ 2
    e−x
     
    −t2 1
    1) Montrer que e 1 + 2 dt = . En déduire que
    x 2t 2x
    ∞ 2
    e−x
    Z
    −t2
    e dt ∼ au voisinage de l’infini.
    x 2x

    2) En s’inspirant de la méthode précédente, montrer que


    Z x
    dt x
    ∼ au voisinage de l’infini.
    e ln(t) ln(x)

    2 Convergence dominée
    Exercice 1

    Soit f une fonction continue et définie sur R telle qu’il existe α < 1 vérifiant

    ∀x ∈ R, |f (x)| ≤ xα .

    Pour x ∈ R fixé, on pose


    Z +∞
    nf (s)
    In (x) = ds.
    −∞ 1 + n2 (x − s)2

    1) Montrer que In (x) est l’intégrale d’une fonction intégrable sur R. 


    2) En faisant le changement de variable t = n(x − s), étudier la limite de In (x)
    quand n tend vers l’infini.
    3) Expliquer pourquoi on ne peut pas appliquer les résultats précédents à la
    fonction g définie par
    E(x)
    ∀x ∈ R, g(x) = √ .
    1 + x2
    Quels résultats restent valides ?
    Z +∞
    ng(s) 
    4) On pose Jn (x) = 2 2
    ds. Calculer la limite de Jn (x) lorsque
    −∞ 1 + n (x − s)
    n tend vers l’infini en fonction de x.

    Exercice 2

    Etudier la convergence lorsque n tend vers l’infini des intégrales suivantes en


    fonction des valeurs de x
     
    sin(t)
    Z +∞ E x +
    n
    In (x) = 2
    dt.
    −∞ 1+t

    2
    3 Intégrales impropres
    Exercice 1

    Etudier la convergence des intégrales suivantes en fonction de α


    Z +∞
    Iα = sin(t)tα dt.
    0

    On précisera quand il s’agit d’intégrales impropres.

    Exercice 2

    Etudier la nature de l’intégrale suivante


    Z +∞  
    sin x
    I= arctg dx.
    −∞ x

    Exercice 3

    1) Montrer rapidement que les intégrales suivantes sont convergentes :

    sin( nx ) cos( nx )
    Z +∞ Z +∞
    In = dx, Jn = √ dx
    1 x 1 x

    2) Etudier la convergence des suites (In ) et (Jn ). Les résultats corespondent-ils à


    ceux que l’on pouvait prévoir ?

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