1ECS 1 Centre des classes préparatoires Al Khansaa 2021/2022

Théorie des ensembles et éléments de logique

Exercice 1 :
Soient P, Q et R trois propositions. Montrer que :
1) Le syllogisme : ((P =⇒ Q) et (Q =⇒ R)) =⇒ (P =⇒ R).
2) La disjonction des cas : ((P =⇒ R) et (Q =⇒ R)) =⇒ ((P ou Q) =⇒ R).

Exercice 2 :
Étant donnés P, Q et R trois assertions, vérifier en dressant une table de vérité que :
1) Les assertions suivantes sont équivalentes
i) (P ou (Q et R)).
ii) ((P ou Q) et (P ou R)).
2) Les assertions suivantes sont équivalentes
i) (P et (Q ou R)).
ii) ((P et Q) ou (P et R)).

Exercice 3 :
Un crime a été commis.
Il y a trois suspects : Badr, Khalil, Karima.
Un officier (très fiable) vous donne trois indices :
– «Badr est innocent ou khalil est coupable».
– «Si khalil est coupable, Badr et Karima sont innocents».
– «Badr ou Karima est coupable».
L’un (ou plusieurs) des suspects est-il coupable ?. Si oui, le(les) quel(s) ?.

Exercice 4 :
Décrire les parties de R dans lesquelles évoluent x pour que les assertions suivantes soient vraies :
1) (x > 0 et x < 1) ou x = 0.
2) x > 3 et x < 5 et x 6= 4.
3) (x ≤ 0 et x > 1) ou x = 4.
4) x ≥ 0 =⇒ x ≥ 2.

Exercice 5 :
Soient P et Q deux propositions, on appelle disjonction exclusive des propositions P et Q, une proposition notée (P ou bien
Q) qui n’est vraie que si l’une et l’une seulement entre les propositions P et Q est vraie. On a en particulier : (P ou bien Q)
est équivalente à la proposition (Q ou bien P).
Si P, Q et R sont des propositions montrer que :
1) la proposition (P et (Q ou bien R)) est équivalente à la proposition ((P et Q) ou bien (P et R)).
2) la proposition (P ou bien (Q ou bien R)) est équivalente à la proposition ((P ou bien Q) ou bien (R)).
3) Soient E, F et G trois ensembles. Montrer que :
a) E∆F = { x ∈ E ∪ F , tel que (x ∈ E ou bien x ∈ F ) }.
b) E ∩ (F ∆G) = (E ∩ F )∆(E ∩ G).
c) A t’on ? E ∪ (F ∆G) = (E ∪ F )∆(E ∪ G) ?.

Exercice 6 :
Soient P, Q et R trois propositions. Donner la négation des assertions suivantes :
1) P ou (Q et R).
2) P et (Q ou R).
3) P =⇒ non(Q).
4) non(P ou Q) =⇒ R.
5) (P et Q) =⇒ non(R).

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Exercice 7 :
Soit I un intervalle de R et f : I → R une fonction définie sur I. Exprimer verbalement la signification des assertions
suivantes :
1) ∃C ∈ R, ∀x ∈ I, f (x) = C.
2) ∀x ∈ I, f (x) = 0 =⇒ x = 0.
3) ∀x, y ∈ I, x < y =⇒ f (x) ≤ f (y).
4) ∃M ∈ R+ , ∀x ∈ I, |f (x)| ≤ M.

Exercice 8 :
Soit (un ) une suite de réels. On dit que (un ) tend vers +∞ lorsque pour tout réel, il y a un rang à partir duquel tous les
termes de la suite sont plus grands que ce réel.
a) Écrire la définition de "(un ) tend vers +∞" en langage mathématique.
b) Écrire en langage mathématiques la négation de l’assertion précédente, i.e la définition de "(un ) ne tend pas vers +∞".

Exercice 9 :
Soit I un intervalle de R et f : I −→ R une fonction définie sur I. Exprimer à l’aide des quantificateurs les assertions
suivantes :
1) La fonction f s’annule.
2) f est la fonction nulle.
3) La fonction f n’est pas constante.
4) La fonction f ne prend jamais deux fois la même valeur.
5) La fonction f présente un minimum.
6) f prend des valeurs arbitrairement grandes.
7) f ne peut s’annuler qu’une seule fois.

Exercice 10 :
Soit I un intervalle de R et f : I −→ R une fonction définie sur I. Exprimer les négations des assertions suivantes :
1) ∀x ∈ I, f (x) 6= 0.
2) ∃M ∈ R+ , ∀x ∈ I, |f (x)| ≤ M.
3) ∀x, y ∈ I, x ≤ y =⇒ f (x) ≤ f (y).
4) ∀x ∈ I, f (x) > 0 =⇒ x ≤ 0.

Exercice 11 :
Soit f : R → R une fonction. Quelle différence de sens ont les deux assertions proposées :
1) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, f (x) = y et ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, f (x) = y.
2) ∀y ∈ R, ∃x ∈ R, f (x) = y et ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, f (x) = y.
3) ∀x ∈ R, ∃M ∈ R, f (x) ≤ M et ∃M ∈ R, ∀x ∈ R, f (x) ≤ M.

Exercice 12 :
Soit f : R −→ R une fonction continue. On considère les assertions suivantes :
P : << ∀x ∈ R, f (x) = 0 >>, Q : << ∃x ∈ R, f (x) = 0 >> et R : << (∀x ∈ R, f (x) > 0) ou (∀x ∈ R, f (x) < 0) >> .
Parmi les implications suivantes les quelles sont exactes :
1)P =⇒ Q 2)Q =⇒ P 3)Q =⇒ R 4)R =⇒ Q 5)Q =⇒ P 6)P =⇒ R.

Exercice 13 :
1) Donner une condition nécessaire mais non suffisante sur x pour que x2 ≥ 1.
2) Donner une condition suffisante mais non nécessaire sur x pour que x2 ≥ 1.

Exercice 14 :
Soit E un ensemble non vide et A et B deux parties de E. Montrer que :
B
(a) A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ CE ).
B
(b) A = (A ∪ B) ∩ (A ∪ CE ).

Exercice 15 :

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1. Soit E un ensemble non vide et A, B, C et D des parties de E . Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(a) A ⊆ B.
B A
(b) CE ⊆ CE .
(c) A ∪ B = B.
(d) A ∩ B = A.
(e) A \ B = ∅.
A
(f) CE ∪ B = E.
2. Montrer que :
(a) A ∪ B = A ∩ C ⇐⇒ B ⊆ A ⊆ C.

A∩B =A∩C
(b) ⇐⇒ B = C.
A∪B =A∪C
(c) (A \ B) ∪ (A \ C) = A \ (B ∩ C).
(d) A∆B = A∆C ⇐⇒ B = C.

Exercice 16 :
Soit E un ensemble non vide et A, B, C et D des parties de E. Montrer que :
B C
(a) A ∩ CE = A ∩ CE ⇐⇒ A ∩ B = A ∩ C.
(b) A ∪ B ⊆ A ∪ C et A ∩ B ⊆ A ∩ C =⇒B⊆ C.
(c) A ∪ B ∪ C = (A \ B) ∪ (B \ C) ∪ (C \ A) ∪ (A ∩ B ∩ C).
(d) (B \ C) ⊆ A et (C \ D) ⊆ A =⇒ (B \ D) ⊆ A.

Exercice 17 :
Soient A, B et C des ensembles quelconque.
(a) Montrer que :
(i) (A × B) ∩ (A × C) = A × (B ∩ C).
(ii) A × (B∆C) = (A × B)∆(A × C).
A×B A
(b) Si A ⊆ E et B ⊆ F , exprimer CE×F en fonction de CE et CFB .

Exercice 18 :
Soient E et F deux ensembles. Quelle relation y-a-t-il entre :
1) P(E ∪ F ) et P(E) ∪ P(F ) ?
2) P(E ∩ F ) et P(E) ∩ P(F ) ?

Exercice 19 :
Soit E un ensemble non vide, A et B des parties de E. Résoudre dans P(E) les équations :
1) A ∪ X = E.
2) A ∪ X = A.
3) A ∩ X = A
4) A ∩ X = ∅.
5) A ∩ X = B.
6) A ∪ X = B.

Exercice 20 :
Soit a ∈ R. Montrer que :
1) (∀ ≥ 0, |a| ≤ ) =⇒ a = 0.
2) (∀ > 0, |a| ≤ ) =⇒ a = 0.

Exercice 21 :
√
1) Démontrer que si a et b sont deux entiers relatifs tels que a + b 2 = 0, alors a = b = 0.
2) En déduire que si m, n, p et q des entiers relatifs, alors :
√ √
n + m 2 = p + q 2 ⇐⇒ (n = p et m = q).

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Exercice 22 :
(a) Soit p1 , p2 , . . . , pr r nombres premiers.
Montrer que l’entier N = p1 p2 . . . pr + 1 n’est divisible par aucun des entiers pi .
(b) Utiliser la question précédente pour montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.

Exercice 23 :
Soient a, b et c trois réels du segment [0, 1].
Montrer que le minimum de a(1 − b), b(1 − c), c(1 − a) est inférieure ou égal à 14 .
Indication : a(1 − a) ≤ 14 .

Exercice 24 :
Soit n ≥ 1 un entier naturel. On se donne n + 1 réels x0 , x1 , ...,xn de [0, 1] vérifiant 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ 1. On veut
démontrer par l’absurde la propriété suivante : il y a deux termes consécutifs dont la distance est inférieure ou égal à n1 .
1) Écrire à l’aide de quantificateurs et des valeurs xi − xi−1 une formule logique équivalente à la propriété.
2) Écrire la négation de cette formule logique.
3) Rédiger une démonstration par l’absurde de la propriété. (On pourra montrer que : xn − x0 > 1).

Exercice 25 :
Montrer que pour tout n ∈ N, n(n + 1) est pair.

Exercice 26 : √
Déterminer les réels x tels que 2 − x = x.

Exercice 27 :
Dans cet exercice, on souhaite déterminer toutes les fonctions f : R −→ R vérifiant la relation suivante :

∀ x ∈ R, f (x) + xf (1 − x) = 1 + x.

1) On considère une fonction f satisfaisant la relation précédente. Que vaut f (0)? f (1)?.
2) Soit x ∈ R. En substituant x par 1 − x dans la relation, déterminer f (x).
3) Quelles sont les fonctions f solution du problème.

Exercice 28 :
Déterminer toutes les fonctions f : R −→ R dérivables et telles que, pour tout (x, y) ∈ R2 ,

f (x + y) = f (x) + f (y).

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