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Sorbonne Université 1MA003, 2023-24
Feuille de TD 1 : Langage mathématique
Exercice 1. Comparer les tables de vérité de
(a) P ⇒ Q , (non P ) ou Q , (non Q) ⇒ (non P ) ; (b) P ou (Q et R) et (P ou Q) et (P ou R).
Exercice 2. Si je mange, alors je bois et je ne parle pas. Si je ne parle pas, alors
je m’ennuie. Je ne m’ennuie pas. Que peut-on en déduire ?
Exercice 3. Soit une fonction f : R → R.
(a) Écrire la négation de l’assertion ∀x ∈ R, ∃ > 0, ∀δ > 0, ∃y ∈ R, |y − x| < δ et |f (y) − f (x)| ≥ . (b) Écrire avec des quantificateurs que f n’est pas décroissante. (c) Soient x, y deux réels. Écrire la négation, la contraposée et la réciproque de (f (x) ≤ f (y)) =⇒ (x ≤ y) (d) Que signifie l’assertion suivante ? ∀x ∈ R, (f (x) = 0 =⇒ x = 0).
Exercice 4. Soient x, y deux réels. Écrire la négation, la contraposée et la
réciproque de chacune des implications suivantes. Quels sont les énoncés vrais pour tous réels x et y ? (a) (x = y) ⇒ (x2 = y 2 ). (b) (x < y) ⇒ (x2 < y 2 ).
Exercice 5. Vrai ou faux ?
(a) ∀x ∈ R, ((∀ > 0, x ≤ ) ⇒ x ≤ 0). (b) ∀x ∈ R, ((∀ > 0, x < ) ⇒ x < 0).
Exercice 6. Soit E un ensemble et A, B, C ⊂ E. On notera par A le complémentaire
de A dans E. On notera aussi A \ B := {x ∈ A : x 6∈ B}. (a) Montrer que A \ B = B ∩ A. (b) Montrer que A ∩ B ⊂ A ∩ C et A ∪ B ⊂ A ∪ C implique B ⊂ C. (c) On note A∆B := (A \ B) ∪ (B \ A). Montrer que A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B). (d) Montrer que A∆B = A∆B. (e) Montrer que A∆B = A ∩ B ⇔ A = B = ∅. (f) Montrer que A∆B = A∆C ⇒ B = C.
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Exercice 7. Soient E, F, G trois ensembles et f : E → F , g : F → G deux
applications. (a) Montrer que si f, g sont injectives alors g ◦ f l’est aussi. (b) Montrer que si f, g sont surjectives alors g ◦ f l’est aussi. (c) Montrer que si g ◦ f est injective, alors f est injective. Que dire de g ? (d) Montrer que si g ◦ f est surjective alors g est surjective. Que dire de f ?
Exercice 8. Démontrer qu’il n’existe pas de nombre rationnel x tel que x2 = 2.
Indication : sinon, on pourrait écrire x = p/q pour des entiers p et q qui ne sont pas tous les deux pairs.
Exercice 9. Partie entière d’un réel.
(a) Soit x ∈ R. Prouver l’existence d’un unique entier n tel que n ≤ x < n + 1. Dans la suite, on note n = E(x). (b) Tracer le graphe de la fonction E : R → R ainsi définie. (c) Prouver : ∀x ∈ R, E(x + 1) = E(x) + 1.
Exercice 10. Soient deux réels a et b tels que a < b.
(a) Montrer que si n est un entier assez grand, il existe un entier k tel que na < k < nb. (b) En déduire que l’intervalle ]a, b[ contient un nombre rationnel. Et même une infinité de nombres rationnels. (c) Montrer que l’intervalle ]a, b[ contient aussi une infinité de nombres irration- nels.
Exercice 11. Déterminer les ensembles suivants.
(a) A = {x ∈ R | |x + 2| + |3x − 1| = 4} ; √ (b) B = {x ∈ R | x + 5 = x + 11} ; (c) C = {z ∈ C | |z − 3i| = |z + i|} ; (d) D = {x ∈ R | E(3x) = 2 − E(x)}.