Math
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Math
1 LES LIMITES 2
2 LA CONTINUITE 4
3 LES FONCTIONS RECIPROQUES 7
4 DERIVATION - ROLLE - T.A.F 10
5 LES FONCTIONS PRIMITIVES 14
6 ETUDE DES FONCTIONS 15
7 LES SUITES NUMERIQUES 17
8 LES FONCTIONS LOGARITHMES 19
9 LES FONCTIONS EXPONENTIELLES 21
10 CALCUL INTEGRAL 23
16 LES PROBABILITES 43
FORMULAIRES : 46
- CALCUL TRIGONOMETRIQUE
- FICHE TECHNIQUE DES ENSEMBLES USUELLES
- LES IDENTITES REMARQUABLES
17
- INEGALITES REMARQUABLES
- SIGNE DE TRINOME ET DE BINOME
- DOMAINE DE DEFINITION D’UNE FONCTION
- SOMMES ET PRODUITS USUELLES 49
18 LES AIRES ET LES VOLUMES 50
19 SIGNES ET SYMBOLES 52
DEFINITIONS
∀𝜀 > 0 ∃ 𝛼 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 𝑥 − 𝑎 < 𝛼 ⟹ 𝑓(𝑥) − 𝑙 < 𝜀 ⟺ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑙 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = 𝑙
𝑥→𝑎 𝑎
∀𝜀 > 0 ∃ 𝛼 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛼 ⟹ 𝑓(𝑥) − 𝑙 < 𝜀 ⟺ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑙 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑓=𝑙
𝑥→𝑎 + + 𝑎
∀𝜀 > 0 ∃ 𝛼 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 −𝛼 < 𝑥 − 𝑎 < 0 ⟹ 𝑓(𝑥) − 𝑙 < 𝜀 ⟺ 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) = 𝑙 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚
−
𝑓=𝑙
𝑥→𝑎 𝑎
∀𝐴 > 0 ∃ 𝛼 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 𝑥 − 𝑎 < 𝛼 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝐴 ⟺ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = +∞ 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = +∞
𝑥→𝑎 𝑎
∀𝐴 > 0 ∃ 𝛼 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛼 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝐴 ⟺ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = +∞ 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = +∞
𝑥→𝑎 + + 𝑎
∀𝐴 > 0 ∃ 𝛼 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 −𝛼 < 𝑥 − 𝑎 < 0 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝐴 ⟺ 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) = +∞ 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚
−
𝑓 = +∞
𝑥→𝑎 𝑎
∀𝐴 > 0 ∃ 𝛼 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 𝑥 − 𝑎 < 𝛼 ⟹ 𝑓 𝑥 < −𝐴 ⟺ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = −∞
𝑥→𝑎 𝑎
∀𝐴 > 0 ∃ 𝛼 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛼 ⟹ 𝑓 𝑥 < −𝐴 ⟺ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = −∞
𝑥→𝑎 + + 𝑎
∀𝐴 > 0 ∃ 𝛼 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 −𝛼 < 𝑥 − 𝑎 < 0 ⟹ 𝑓 𝑥 < −𝐴 ⟺ 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚
−
𝑓 = −∞
𝑥→𝑎 𝑎
∀𝜀 > 0 ∃ 𝐵 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 𝑥 > 𝐵 ⟹ 𝑓(𝑥) − 𝑙 < 𝜀 ⟺ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑙 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = 𝑙
𝑥→+∞ +∞
∀𝜀 > 0 ∃ 𝐵 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 𝑥 < −𝐵 ⟹ 𝑓(𝑥) − 𝑙 < 𝜀 ⟺ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑙 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = 𝑙
𝑥→−∞ −∞
∀𝐴 > 0 ∃ 𝐵 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 𝑥 > 𝐵 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝐴 ⟺ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = +∞ 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = +∞
𝑥→+∞ +∞
∀𝐴 > 0 ∃ 𝐵 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 𝑥 < −𝐵 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝐴 ⟺ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = +∞ 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = +∞
𝑥→−∞ −∞
∀𝐴 > 0 ∃ 𝐵 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 𝑥 > 𝐵 ⟹ 𝑓 𝑥 < −𝐴 ⟺ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = −∞
𝑥→+∞ +∞
∀𝐴 > 0 ∃ 𝐵 > 0 , ∀𝑥𝜖𝐷𝑓 𝑥 < −𝐵 ⟹ 𝑓 𝑥 < −𝐴 ⟺ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑜𝑢 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = −∞
𝑥→−∞ −∞
Remarque : ces opérations restent aussi valable quand x tend vers 𝑥0 à droite ou à gauche ou +∞ ou −∞ .
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LES FORMES DETERMINEES :
La somme Le produit Le quotient L’inverse Le composé
𝒂 ∞ 𝟏
∞ + l=∞ 𝒍𝟏 𝒍𝟏 = 𝒍 =𝟎 ; =∞ = +∞ +∞ = +∞
∞ 𝒂 𝟎+
+∞ + +∞ = +∞ 𝒍 ≠ 𝟎 ∞ = ∞ 𝒂≠𝟎 𝟏 𝐧
=∞ = −∞ +∞ = +∞
𝟎 𝟎−
−∞ + −∞ = −∞ ∞ ∞= ∞ 𝟎 ∞ 𝟏
=
𝟏
=𝟎 −∞ 𝐧
=
+∞ , 𝒏 𝒑𝒂𝒊𝒓
=𝟎 ; =∞ +∞ −∞ −∞ , 𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒊𝒓
∞ 𝟎
𝒇 𝒙 ≥𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 ≤𝒈 𝒙
𝑺𝒊 , 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 𝒍𝒊𝒎 𝒇 = +∞ 𝑺𝒊 𝒍𝒊𝒎 𝒈(𝒙) = −∞ , 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 𝒙→𝒙
𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = −∞
𝒍𝒊𝒎 𝒈(𝒙) = +∞ 𝒙𝒐 𝒙→𝒙𝒐 𝒐
𝒙→𝒙𝒐
Remarque : ces propriétés restent aussi valable quand x tend vers x0 à droite ou à gauche ou +∞ ou −∞
LIMITES DE FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
𝒔𝒊𝒏(𝒙) 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏 𝒕𝒂𝒏(𝒙)
𝒍𝒊𝒎 𝒔𝒊𝒏(𝒙) = 𝒔𝒊𝒏(𝒂)
𝒙→𝒂
𝒍𝒊𝒎 𝒙
=𝟏 𝒍𝒊𝒎 𝒙
=𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒙
=𝟏
𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎
𝒔𝒊𝒏(𝒂𝒙) 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝒂𝒙 𝒂𝟐 𝒕𝒂𝒏(𝒂𝒙)
𝒍𝒊𝒎 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝒂)
𝒙→𝒂
𝒍𝒊𝒎 𝒙
=𝒂 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙
=𝒂
𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝒙 𝟐 𝒙→𝟎
Techniques et Astuces :
𝒇(𝒙) 𝟎
𝒍𝒊𝒎 𝒈(𝒙) = 𝟎 F.I : Pour lever cette indétermination, il suffit de factoriser 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) par (𝒙 − 𝒂)𝒏 puis simplifier .
𝒙→𝒂
En utilisant les identités remarquables , division euclidienne , méthode de HORNER…
si 𝑓 ou 𝑔 est une fonction irrationnelle alors on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué .
𝒇(𝒙) ∞
𝒍𝒊𝒎 𝒈(𝒙) = ∞ F.I : Pour lever cette indétermination, il suffit de factoriser 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) par 𝒙 , 𝒙, 𝒙𝟐 , … , 𝒙𝒏
𝒙→∞
puis simplifier .
𝑨(𝒙) 𝒙 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
En utilisant la technique suivante : 𝑨(𝒙) = … … 𝟐
; 𝒙𝟐 = 𝒙 =
−𝒙 , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝒍𝒊𝒎 𝒇 + 𝒈 = +∞ + −∞ F.I : Pour lever cette indétermination, il suffitde factoriser 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) par le terme de plus
∞
haut degré ou multiplier par l’expression conjuguée .
Les fonctions trigonométriques + partie entière :
Pour lever une forme indéterminée, on utilise les théorèmes d’encadrement ou faire un changement de variable
On rappelle que pour tout 𝑥𝜖𝐼𝑅 : 𝒔𝒊𝒏𝒙 ≤ 𝟏 ; 𝒄𝒐𝒔𝒙 ≤ 𝟏 ; 𝒙−𝟏<𝐸 𝒙 ≤𝒙
On a les formules suivantes : 𝒔𝒊 𝒂 ∉ ℤ ∶ 𝒍𝒊𝒎 𝑬(𝒙) = 𝑬(𝒂) 𝒔𝒊 𝒂 ∈ ℤ ∶ 𝒍𝒊𝒎+ 𝑬(𝒙) = 𝒂 𝒆𝒕 𝒍𝒊𝒎− 𝑬(𝒙) = 𝒂 − 𝟏
𝒙→𝒂 𝒙→𝒂 𝒙→𝒂
𝑎, +∞ 𝑙𝑖𝑚
+
𝑓 , 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑙𝑖𝑚 𝑓 , 𝑙𝑖𝑚
+
𝑓
𝑎 +∞ +∞ 𝑎
Soit 𝑓 une fonction continue et strictement
monotone sur un intervalle I , On a alors les −∞, 𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝑓 , 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑎), 𝑙𝑖𝑚 𝑓
−∞ −∞
Corollaire :
𝒇 est continue sur 𝒂, 𝒃
⟹ L’équation 𝒇 𝒙 = 𝟎 admet au moins une solution dans 𝑎, 𝑏
𝒇 𝒂 × 𝒇(𝒃) < 𝟎
Si de plus , la fonction 𝒇 est strictement monotone, cette solution est unique.
∀𝑥𝜖ℝ , 𝐸 𝑥 ≤𝑥 <𝐸 𝑥 +1
∀𝑥𝜖ℝ ∃𝑟𝜖 0,1 , 𝑥 =𝐸 𝑥 +𝑟
∀𝑥𝜖ℝ , 𝑥−1< 𝐸 𝑥 ≤ 𝑥
∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ , 𝐸 𝑥 + 𝐸 𝑦 ≤ 𝐸 𝑥+𝑦 ≤ 𝐸 𝑥 +𝐸 𝑦 +1
𝐸 𝑥 = −2 , 𝑥𝜖 −2; −1
𝐸 𝑥 = −1 , 𝑥𝜖 −1; 0
𝐸 𝑥 =0 , 𝑥𝜖 0; 1
𝐸 𝑥 =1 , 𝑥𝜖 1; 2
𝐸 𝑥 =2 , 𝑥𝜖 2; 3
Si 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et 𝑓 ’(𝑥) ≠ 0 pour tout 𝑥 𝜖 𝐼 alors : 𝑓 −1 est dérivable sur 𝑓 𝐼 .
𝟏
et On a : ∀𝒙 𝒇 𝑰 , 𝒇−𝟏 ′
𝒙 =
𝒇′ (𝒇−𝟏 (𝒙))
𝑛
Si 𝑓 est strictement positive et dérivable sur I , alors la fonction 𝑓 est dérivable sur I.
′
′ 𝒇 𝒙
Et on a : ∀𝒙 𝑰 ,
𝒏
𝒇(𝒙) = 𝒏 𝒏−𝟏
𝒇 𝒙
Pour calculer 𝒇−𝟏 𝒙𝒐 on pose 𝒇−𝟏 𝒙𝒐 = 𝜶 tel que 𝜶𝝐𝑰, puis résoudre l’équation 𝒇() = 𝒙𝒐
Pour déterminer 𝒇−𝟏 𝒙 on pose 𝒇−𝟏 𝒙 = 𝒚 tel que 𝒚𝝐𝑰, puis résoudre l’équation 𝒇(𝒚) = 𝒙 dans I
Conjugué –Factorisation
𝒂−𝒃 𝟑 𝟑 𝒂−𝒃 𝟒 𝟒 𝒂−𝒃
𝒂− 𝒃= ; 𝒂− 𝒃= 𝟑 𝟑 𝟑 ; 𝒂− 𝒃= 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 .
𝒂+ 𝒃 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃+ 𝒃𝟐 𝒂𝟑 + 𝒂𝟐 𝒃+ 𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑
𝒂𝟐 −𝒃𝟐 𝒂𝟑 −𝒃𝟑 𝒂𝟒 −𝒃𝟒 𝒂𝒏 −𝒃𝒏
𝒂 − 𝒃= = 𝒂𝟐 +𝒂𝒃+𝒃𝟐 = = ⋯ = 𝒂𝒏−𝟏 +𝒂𝒏−𝟐 𝒃+⋯+𝒂𝒃𝒏−𝟐 +𝒃𝒏−𝟏
𝒂+𝒃 𝒂𝟑 +𝒂𝟐 𝒃+𝒂𝒃𝟐 +𝒃𝟑
𝒏 𝒏−𝟐
𝒏
𝒂 − 𝒃 = (𝒂 − 𝒃) 𝒂 𝒏−𝟏
+𝒂 𝒏−𝟐
𝒃 + ⋯ + 𝒂𝒃 + 𝒃𝒏−𝟏 𝒏
𝒏 𝑨(𝒙)
𝑨(𝒙) = …
… 𝒏
𝒂𝒏 − 𝟏 = (𝒂 − 𝟏) 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂 + 𝟏
𝒂𝒏 + 𝒃𝒏 = 𝒂𝒏 − −𝒃 𝒏
= 𝒂 + 𝒃 𝒂𝒏−𝟏 − 𝒂𝒏−𝟐 𝒃 + ⋯ − 𝒂𝒃𝒏−𝟐 + 𝒃𝒏−𝟏 𝒏. 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒊𝒓
مهارة
من أأٍن كل ىذا اًؼمل لكو ؟: - اًشؼيب رمحو هللا-كيي ألحد اًؼَامء
بنفي الاغامتد- : كال
و اًسري يف اًبالد-
و صرب وصرب ادلاد-
و بىور هبىور اًغراب-
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③ FONCTION ARC TANGENTE
𝜋 𝜋
Définition : La fonction tan: 𝑥 ↦ 𝑡𝑎𝑛(𝑥) est une bijection de − 2 ; 2 sur ℝ.Sa fonction réciproque est
appelée fonction Arctangente et on la note 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝜋 𝜋
𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 : ℝ ⟶ − 2 ; 2
Propriétés : 𝑥 ⟼ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)
La fonction 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 est continue et strictement croissante sur ℝ.
𝜋 𝜋
∀𝑥𝜖ℝ , − 2 < 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 < 2
𝜋
∀𝑥𝜖ℝ+ , 0 ≤ 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 < 2
∀𝑥𝜖ℝ −
, −
𝜋
< 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 ≤ 0 x −∞ +∞
2
𝝅
𝜋 𝜋 Arctan
∀𝑥𝜖ℝ ∀𝑦𝜖 − 2 ; 2 , 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑦 𝟐
𝜋 𝜋 𝝅
∀𝑥𝜖 − 2 ; 2 , 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑡𝑎𝑛 𝑥 ) = 𝑥 −𝟐
APPLICATION DE LA DERIVATION :
La monotonie d’une fonction Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et 𝑎 un élément de I .
𝑓 est constante sur I ⟺ ∀𝑥𝜖𝐼 , 𝑓 ′ 𝑥 = 0
𝑓 est croissante sur I ⟺ ∀𝑥𝜖𝐼 , 𝑓 ′ 𝑥 ≥ 0
𝑓 est décroissante sur I ⟺ ∀𝑥𝜖𝐼 , 𝑓 ′ 𝑥 ≤ 0
Remarques :
Si 𝑓 ′ est positive sur I et ne s’y annule qu’en un nombre fini de points, alors 𝑓 est strictement croissante sur I .
Si 𝑓 ′ est négative sur I et ne s’y annule qu’en un nombre fini de points, alors 𝑓 est strictement décroissante sur I .
Interprétation géométrique :
le théorème de Rolle fournit l’existence d’un point 𝐶 𝑐 ; 𝑓(𝑐) appartenant de 𝐶𝑓 tel que la tangente de 𝐶𝑓
au point 𝐶 est parallèle à l’axe des abscisse ou à la droite (AB)
𝒂𝒙 + 𝒃 𝒂 ℝ
𝒙𝒏 𝑛𝜖ℕ 𝒏 𝒙𝒏−𝟏 ℝ
𝟏 𝟏 𝟏−𝟏
𝒙𝒏 𝑛𝜖ℕ∗ 𝒙𝒏 ℝ+∗
𝒏
𝟏 𝟏
− 𝒙𝟐 ℝ*
𝒙
𝟏
𝒙 𝟎, +
𝟐 𝒙
𝟏
𝟑
𝒙 𝟑 𝟎, +
𝟑 𝒙𝟐
𝟏
𝒏
𝒙 𝒏 𝟎, +
𝒏 𝒙𝒏−𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ℝ
𝒄𝒐𝒔 𝒙 −𝒔𝒊𝒏 𝒙 ℝ
𝟏 𝝅
𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 ℝ− + 𝒌𝝅/𝒌𝝐ℤ
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝟐
𝟏
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟏+𝒙𝟐
ℝ
𝒖(𝒂𝒙 + 𝒃) 𝒂. 𝒖′ 𝒂𝒙 + 𝒃 ℝ
𝟑
𝒖′ (𝒙)
𝒖(𝒙) 𝟑 𝑫𝒖′ 𝒖(𝒙) > 0
𝟑 𝒖𝟐 𝒙
𝒏
𝒖′ (𝒙)
𝒖(𝒙) 𝒏 𝑫𝒖′ 𝒖(𝒙) > 0
𝒏 𝒖𝒏−𝟏 𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝒖(𝒙) 𝒖’(𝒙). 𝒄𝒐𝒔 𝒖 𝒙 𝑫𝒖′
𝒄𝒐𝒔 𝒖(𝒙) − 𝒖’(𝒙). 𝒔𝒊𝒏 𝒖(𝒙) 𝑫𝒖′
′
𝒖 (𝒙)
𝒕𝒂𝒏 𝒖(𝒙) 𝒖′ 𝒙 . 𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒖(𝒙) = 𝑫𝒖′ et 𝒖(𝒙) ∈ 𝑫𝒕𝒂𝒏
𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙)
𝒖′ (𝒙)
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒖(𝒙) 𝑫𝒖′
𝟏 + 𝒖𝟐 (𝒙)
Page 13
tangente
𝒇 est dérivable en 𝒂 et une tangente au point 𝑨 𝒂 ; 𝒇(𝒂) de
L 𝒚 = 𝒇′ 𝒂 𝒙 − 𝒂 + 𝒇 𝒂
𝒇′ 𝒂 = 𝑳 coefficient directeur 𝒇′ 𝒂
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droite en 𝒂 point 𝑨 𝒂 ; 𝒇(𝒂) dirigée vers le bat
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𝒍𝒊𝒎− =
𝒙→𝒂 𝒙−𝒂 𝒇 n’est pas dérivable à une demi-tangente verticale à gauche au
+∞
gauche en 𝒂 point 𝑨 𝒂 ; 𝒇(𝒂) dirigée vers le bat
𝒙=𝒂
Page 12
𝒇 n’est pas dérivable à une demi-tangente verticale à gauche au
−∞
gauche en 𝒂 point 𝑨 𝒂 ; 𝒇(𝒂) dirigée vers le haut
Chapitre 5 LES FONCTIONS PRIMITIVES
DEFINITION
Soit 𝑓 et 𝐹 deux fonctions définies sur un intervalle I de ℝ .
On dit que la fonction 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur I si : 𝐹 est dérivable sur I et ∀𝑥𝜖𝐼 , 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝐹 est dérivable sur I et ∀𝑥𝜖𝐼 , 𝐹’ 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⟺ 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur I
PROPRIETES
1- Toute fonction continue sur un intervalle I admet une fonction primitive définie sur cet intervalle .
2- Si 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur I alors les primitives de 𝑓 sur I sont les fonctions: 𝑥 ↦ 𝐹 𝑥 + 𝑐 , 𝑐𝜖ℝ
3-Pour tout 𝑥0 𝜖ℝ et 𝑦0 𝜖ℝ , il existe une unique primitive 𝐹 de 𝑓 sur I vérifiant : 𝐹 𝑥0 = 𝑦0
OPERATIONS SUR LES PRIMITIVES
- Si 𝐹 et 𝐺 sont respectivement des primitives des fonctions 𝑓 et 𝑔 sur un intervalle I alors :
𝐹 + 𝐺 est une fonction primitive de la fonction 𝑓 + 𝑔.
Pour tout 𝑘𝜖ℝ , 𝑘𝐹 est une fonction primitive de la fonction 𝑘𝑓.
-Si 𝐹 et 𝐺 sont des primitives de la fonction 𝑓 sur un intervalle I alors : ∃𝑐𝜖ℝ , 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝑐
TABLEAU DES PRIMITIVES USUELLES
La fonction 𝒇 Les primitives de 𝒇 La fonction 𝒇 Les primitives de 𝒇
𝒂 𝒂𝒙 + 𝒄 𝒖′ 𝒙 + 𝒗′ (𝒙) 𝒖 𝒙 +𝒗 𝒙 +𝒄
𝟏 𝒏+𝟏
𝒙𝒏 (𝒏𝝐ℚ∗ − −𝟏 ) 𝒏+𝟏
𝒙 +𝒄 𝒖′ 𝒙 𝒗 𝒙 + 𝒖 𝒙 𝒗′ (𝒙) 𝒖 𝒙 𝒗 𝒙 +𝒄
𝟏 𝟏 𝒖′ 𝒙 𝒗 𝒙 − 𝒖 𝒙 𝒗′ (𝒙) 𝒖 𝒙
−𝒙 + 𝒄 +𝒄
𝒙𝟐 (𝒗(𝒙))𝟐 𝒗 𝒙
𝟏 (𝒖 𝒙 )𝒏+𝟏
𝟐 𝒙 +c 𝒖′ 𝒙 (𝒖 𝒙 )𝒏 (𝒏𝝐ℚ∗ − −𝟏 ) +𝒄
𝒙 𝒏+𝟏
𝟏 𝒖′ (𝒙) 𝟏
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒙) + 𝒄 − +𝒄
𝟏 + 𝒙𝟐 (𝒖 𝒙 )² 𝒖 𝒙
𝒖′ (𝒙)
𝒔𝒊𝒏(𝒙) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝒄 2 𝒖 𝒙 +𝒄
𝒖 𝒙
𝒖′ (𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝒔𝒊𝒏(𝒙) + 𝒄 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒖(𝒙)) + 𝒄
𝟏 + 𝒖𝟐 (𝒙)
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙)
= 𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐(x) 𝒕𝒂𝒏(𝒙) + 𝒄 𝒖′ 𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝒖 𝒙 ) −𝒄𝒐𝒔 𝒖 𝒙 +𝒄
𝟏
𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝒙)
= 𝟏 + 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏𝟐 (x) 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏(𝒙) + 𝒄 𝒖′ 𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝒖 𝒙 ) 𝒔𝒊𝒏 𝒖 𝒙 +𝒄
𝟏 𝒖′ (𝒙)
− 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙 + 𝒃) 𝒖′ 𝒙 (𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒖 𝒙
𝒔𝒊𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃) 𝒂 = 𝒕𝒂𝒏 𝒖 𝒙 +𝒄
+𝒄 𝒄𝒐𝒔²(𝒖 𝒙 )
𝟏 𝒖′ (𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙 + 𝒃) 𝒔𝒊𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝒄 𝒖′ 𝒙 (𝟏 + 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒖 𝒙 =
𝒔𝒊𝒏²(𝒖 𝒙 )
𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏 𝒖 𝒙 +𝒄
𝒂
𝟏
𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒕𝒂𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝒄 𝒖’(𝒙). 𝒗’ 𝒖(𝒙) 𝒖𝒐𝒗 𝒙 + 𝒄
𝒂
𝟏 𝒖′ (𝒙)
𝒍𝒏 𝒙 + 𝒄 𝒍𝒏 𝒖 𝒙 + 𝒄
𝒙 𝒖 𝒙
𝒆𝒙 𝒆𝒙 + c 𝒖′ 𝒙 𝒆𝒖 𝒙
𝒆𝒖 𝒙
+𝒄
∀𝒙𝝐𝑫𝒇 , 𝟐𝒂 − 𝒙 𝝐𝑫𝒇
La droite d’équation 𝒙 = 𝒂 est un axe de symétrie de la courbe 𝑪𝒇 si :
∀𝒙𝝐𝑫𝒇 , 𝒇 𝟐𝒂 − 𝒙 = 𝒇(𝒙)
!... أأن اًىسور ال جتمع أأو ثعرح اؤال بؼد ثوحيد امللامات
... و نذكل فرًق اًؼمي ًن ًؼمي ابوسجام وًن ًنذج اؤال بخوحيد اًرؤى و اًغاايت
N.B - si 𝑢𝑛 𝑛≥𝑝 est croissante , alors 𝑢𝑛 𝑛≥𝑝 est minorée par le premier terme 𝑢𝑝 ∀𝒏 ≥ 𝒑 , 𝒖𝒏 ≥ 𝒖𝒑
- si 𝑢𝑛 𝑛≥𝑝 est décroissante , alors 𝑢𝑛 𝑛≥𝑝 est majorée par le premier terme 𝑢𝑝 ∀𝒏 ≥ 𝒑 , 𝒖𝒏 ≤ 𝒖𝒑
SUITES ADJACENTES
On dit que deux suites numériques (𝑢𝑛 ) et (𝑣𝑛 ) sont adjacentes si une est croissante ,
l’autre est décroissante et 𝑙𝑖𝑚 𝑢𝑛 − 𝑣𝑛 = 0
Si (𝑢𝑛 ) et (𝑣𝑛 ) sont deux suites adjacentes , alors elles sont convergentes et ont la même limite .
Si (𝑢𝑛 ) et (𝑣𝑛 ) sont deux suites adjacentes telles que (𝑢𝑛 ) est croissante et (𝑣𝑛 ) est décroissante,
Alors : ∀𝒏𝝐ℕ , 𝒖𝒐 ≤ 𝒖𝒏 ≤ 𝒗𝒏 ≤ 𝒗𝒐 ( 𝑢𝑛 est majorée par 𝑣𝑜 et 𝑣𝑛 est minorée par 𝑢𝑜 )
𝒖𝒏 𝒗𝒏
uo u1 u2 v2 v1 vo
SUITES DE LA FORME 𝒖𝒏+𝟏 = 𝒇(𝒖𝒏 ) ET 𝒗𝒏 = 𝒇(𝒖𝒏 )
Si une suite 𝑢𝑛 est convergente vers et 𝑓 est une fonction continue en alors la suite 𝑣𝑛
définie par 𝑣𝑛 = 𝑓 𝑢𝑛 est convergente et sa limite est 𝑓( ).
Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle 𝐼 telle que 𝑓 𝐼 ⊂ 𝐼,
et (𝑢𝑛 )𝑛≥𝑝 une suite définie par 𝑢𝑝 𝜖 𝐼 et 𝑢𝑛+1 = 𝑓 𝑢𝑛
Si la suite 𝑢𝑛 est convergente de limite 𝑙 et 𝑙𝜖𝐼 , alors 𝑙 est la solution de l’équation 𝑓 𝑥 = 𝑥 dans 𝐼 .
... امعي يف زمان فراغم كبي شغكل... ثفىر يف اهلراض مدثم... حاسب هفسم يف خَوثم
.... فاؤن مل جشغَيا حبق شغَخم بباظي، و أأهظر ىي هفسم مؼم أأو ػََم...ثؼمل كبي أأن جسود
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Chapitre 8 FONCTIONS LOGARITHMES
FONCTION LOGARITHME NEPERIENNE
1-1.Définition
1
La primitive de la fonction 𝑥 ↦ 𝑥 sur ℝ+
∗ et qui s’annule en 1 est appelée la fonction Logarithme
Népérienne, et on la note 𝑙𝑛 .
le domaine de définition est 0; +∞ et 𝑙𝑛(1) = 0 et 𝑙𝑛 𝑒 = 1 e ≃ 2.71
1
la fonction ln est dérivable sur 0; +∞ et de plus ∀𝑥𝜖 0, +∞ , (𝑙𝑛𝑥)’ = >0
𝑥
la fonction ln est strictement croissante sur ℝ+
∗
1-2.Propriétés : ∀𝑎 > 0 ∀𝑏 > 0 ∀𝑛𝜖ℚ∗
𝑎 𝑎 𝑏 1
𝑙𝑛 𝑎𝑏 = 𝑙𝑛 𝑎 + 𝑙𝑛(𝑏) 𝑙𝑛 = 𝑙𝑛 𝑎 − 𝑙𝑛(𝑏) 𝑙𝑛 = − 𝑙𝑛 𝑙𝑛 = −𝑙𝑛(𝑎)
𝑏 𝑏 𝑎 𝑎
𝑛 𝑛
𝑛 ; 𝑥𝑘 𝜖ℝ+ ∗
𝑙𝑛𝑎 = 𝑛 𝑙𝑛(𝑎) 𝑙𝑛 𝑥𝑘 = 𝑙𝑛 𝑥𝑘 ∗ 𝑒𝑡 𝑘𝜖 1; 2; … ; 𝑛 , 𝑛𝜖ℕ
𝑘=1 𝑘=1
∀𝑎𝑏 > 0 , 𝑙𝑛 𝑎𝑏 = 𝑙𝑛 𝑎 + 𝑙𝑛 𝑏 ∀𝑥𝜖ℝ+
∗ ∀𝑛𝜖 2𝑘/𝑘𝜖ℕ , 𝑙𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑙𝑛 𝑥
𝑙𝑛 𝑎 > 𝑙𝑛(𝑏) ⟺ 𝑎 > 𝑏 𝑙𝑛 𝑎 < 𝑙𝑛(𝑏) ⟺ 𝑎 < 𝑏 𝑙𝑛 𝑎 = 𝑙𝑛(𝑏) ⟺ 𝑎 = 𝑏
𝑙𝑛 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 1 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑙𝑛(𝑎) 1
𝑙𝑖𝑚 =1 𝑙𝑖𝑚 =1 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑛′ 𝑎 =
𝑥→1 𝑥 − 1 𝑥 →0 𝑥 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 𝑎
Remarques :
𝒏
(𝒍𝒏 𝒙)𝒏 𝒍𝒏𝒕
𝑶𝒏 𝒑𝒐𝒔𝒆 ∶ 𝒙 = 𝒕𝒏 , 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 𝒍𝒊𝒎+𝒙( 𝒍𝒏 𝒙)𝒏 = 𝒍𝒊𝒎+(𝒏 𝒕 𝒍𝒏 𝒕)𝒏 = 𝟎 𝒆𝒕 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 𝒏 =𝟎
𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝒙→+ 𝒙 𝒙→+ 𝒕
1-5.Tableau de variations de la fonction ln
La fonction ln est une bijection de l’intervalle ℝ+
∗ vers ℝ.
L’équation 𝑙𝑛 𝑥 = 1 admet une unique solution dans ℝ+ ∗ , on la note 𝑙𝑛 𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 𝑒
La courbe de la fonction ln
𝒙 0 1 +∞
𝒍𝒏’(𝒙)
+∞ 1
𝒍𝒏 0 1 e
−∞
Le signe de ln(x) : 𝒙 0 1 +∞
𝒍𝒏 𝒙 − 0 +
LA FONCTION 𝒙 ↦ 𝒍𝒏 𝒖 𝒙
Domaine de définition : Si 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑢 𝑥 , alors 𝐷𝑓 = 𝑥𝜖ℝ /𝑢 𝑥 > 0
Si 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑢 𝑥 , alors 𝐷𝑓 = 𝑥𝜖ℝ /𝑢 𝑥 ≠ 0
Si 𝑢 une fonction dérivable et non nulle sur I, alors la fonction 𝑥 ⟼ 𝑙𝑛 𝑢 𝑥 est dérivable sur I
′ 𝒖′ (𝒙)
et on a : 𝒍𝒏 𝒖 𝒙 = 𝒖(𝒙)
Limite de la fonction 𝒙 ⟼ 𝒍𝒏 𝒖 𝒙
Si 𝑢 𝑥 ⟶ +∞ , alors 𝑙𝑛 𝑢 𝑥 → +∞
Si 𝑢 𝑥 ⟶ 0+ , alors 𝑙𝑛 𝑢 𝑥 → −∞
Si 𝑢 𝑥 → 𝑎 et ln est continue en 𝑎 , alors 𝑙𝑛 𝑢 𝑥 → 𝑙𝑛𝑎
𝑙𝑛 (𝑥)
La fonction logarithme de base 𝑒 est la fonction logarithme népérienne car : 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑒) = 𝑙𝑛 𝑥
′ 1
Pour tout 𝑥𝜖ℝ+
∗ : 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛 (𝑎)
FONCTIONS PRIMITIVES
1 1 1
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐 ; 𝑐𝜖ℝ 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐 ; 𝑐𝜖ℝ
𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎
𝑢′ (𝑥)
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑢(𝑥) + 𝑐 ; 𝑐𝜖ℝ
𝑢(𝑥)
– أأن أأكرص ظرًق بني هلعخني ىو – اخلط املس خلمي – الا أأن ىناك من ًفضي – اٌَف و ادلوران
!.... ! فاخرت ًنفسم اًعرًق ا ألكرب وا ألجنح و ا ألرحب......ٌَوصول اؤىل مبخغاه
! ...أأن ػدم وحود حي كد ٍىون حال
∀𝑥𝜖 ℝ , 𝑙𝑛 𝑒 𝑥 = 𝑥 ∀𝑥𝜖 ℝ+
∗ ,𝑒
𝑙𝑛 𝑥
=𝑥 ∀𝑥𝜖 ℝ ∀𝑥𝜖 ℝ , 𝑦 = 𝑒𝑥𝑝 𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑦
𝑒𝑥 1
𝑒 𝑥+𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒 𝑥−𝑦 = 𝑒 −𝑥 = 𝑒 𝑟𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑟
𝑒 𝑥 > 𝑒𝑦 ⟺ 𝑥 > y
𝑒𝑦 𝑒𝑥
𝑛 𝑛
𝑥 𝑦 𝑥 𝑥𝑘 𝜖ℝ 𝑒𝑡 𝑘𝜖 1; 2; … ; 𝑛 , 𝑛𝜖ℕ∗
𝑒 =𝑒 ⟺ 𝑥=y 𝑒 =1 ⟺ 𝑥=0 𝑒𝑥𝑝 𝑥𝑘 = 𝑒𝑥𝑝 𝑥𝑘 ;
𝑘=1 𝑘=1
𝑒𝑥 − 1 𝑒𝑥 − 𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑛 𝑒 𝑥 = 0− 𝑒𝑥
𝑙𝑖𝑚 =1 𝑙𝑖𝑚 = 𝑒𝑎 𝑥→−∞ 𝑙𝑖𝑚 𝑛 = +∞
𝑥→0 𝑥 𝑥→𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑥→+∞ 𝑥
Preuve : On pose : 𝒙 = 𝒏𝒕
𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒏 𝒆𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒏𝒕 𝒆𝒕 𝒏
= 𝒍𝒊𝒎 𝒏𝒏 𝒕 𝒆𝒕 𝒏
= 𝟎−
𝒙→−∞ 𝒕→−∞ 𝒕→−∞
𝒏 𝒏 𝒏
𝒆𝒙 𝒆𝒏𝒕 𝒆𝒕 𝟏 𝒆𝒕 𝟏 𝒆𝒕
𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 = +∞
𝒙→+∞ 𝒙𝒏 𝒕→+∞ 𝒏𝒕 𝒏 𝒕→+∞ 𝒏𝒕 𝒕→+∞ 𝒏 𝒕 𝒏 𝒕→+∞ 𝒕
𝒙 −∞ +∞
𝒆𝒙𝒑’(𝒙)
+∞
𝒆𝒙𝒑
𝟎
Formes indéterminées : 𝟏∞ ; ∞𝟎 ; 𝟎𝟎
𝒗 𝒙 𝒂𝒙 − 𝟏 𝒂 𝒙
𝑵. 𝑩 ∶ 𝒍𝒊𝒎 𝒖 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒆𝒗 𝒙 𝒍𝒏 𝒖 𝒙
; 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒏𝒂 ; 𝒍𝒊𝒎 𝟏 + = 𝒆𝒂
𝒙→⋯ 𝒙→⋯ 𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→+∞ 𝒙
FONCTIONS PRIMITIVES
1 𝑎𝑥 +𝑏
𝑒 𝑎𝑥 +𝑏 𝑑𝑥 = 𝑒 +𝑐 ; 𝑐𝜖𝐼𝑅 𝑢′ (𝑥)𝑒 𝑢 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑢 𝑥
+𝑐 ; 𝑐𝜖𝐼𝑅
𝑎
Remarque : La lettre x peut remplacée par une autre lettre, on dit que la variable x est muette
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
Ainsi on a : ∫𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = ∫𝑎 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 = ∫𝑎 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = ⋯
Propriétés
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏
∫𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 ∫𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ∫𝑎 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ,pour tout 𝑘𝜖ℝ
𝑏 𝑐 𝑏
∫𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ( Relation de Chasles )
𝑏 𝑏 𝑏
∫𝑎 𝛼 𝑓 𝑥 + 𝛽 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝛼 ∫𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝛽 ∫𝑎 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 ( c’est la formule de linéarité )
𝑎 𝑎 𝑎
Si 𝑓 est impaire, alors ∫−𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 Si 𝑓 est paire, alors ∫−𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎+𝑇 𝑇
Si 𝑓 est périodique de période T, alors ∫𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ∫0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Pour tout 𝑥𝑜 𝜖𝐼 , on a :
𝑥 𝑥𝑜 𝑥
𝜑 𝑥 − 𝜑(𝑥𝑜 ) 1 1
𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝜑′ 𝑥𝑜 = 𝑓(𝑥𝑜 )
𝑥→𝑥 𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜 𝑥→𝑥 𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜 𝑎 𝑎 𝑥→𝑥 𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜 𝑥𝑜
Propriété 2
Soit 𝑓 une fonction continue sur 𝐽 et 𝑢 une fonction dérivable sur J telle que 𝑢 𝐽 ⊂ 𝐼 ,
𝑢(𝑥)
Alors pour tout 𝑎𝜖𝐼 on a : la fonction 𝐹 ∶ 𝑥 ↦ ∫𝑎 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 est dérivable sur I
Et de plus : ∀𝑥𝜖𝐼 , 𝐹′ 𝑥 = 𝑢′ 𝑥 . 𝑓 𝑢 𝑥
1°Méthode : 𝑧 2 = 𝑢 ⟺ 𝑥 + 𝑖 𝑦 2
= 𝑎 + 𝑖 𝑏 ⟺ 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑎 ⟺ −𝑎+ 𝑎 2 +𝑏 2
𝑦=± 2
2𝑥𝑦 = 𝑏
𝑏
𝑥𝑦 = 2
𝜃 𝜃 𝜃
𝑖𝛼 2
= 𝑟 𝑒 𝑖𝜃 ⟺ 𝑧𝑘 = 𝑟𝑒 𝑖 +𝑘𝜋
2°Méthode : 𝑧 2 = 𝑢 ⟺ 𝜌 𝑒 2 , 𝑘𝜖 0,1 ⟺ 𝑧𝑜 = 𝑟𝑒 𝑖 2 𝑒𝑡 𝑧1 = − 𝑟𝑒 𝑖 2
8-2 Résolution de l’équation : 𝒂𝒛𝟐 + 𝒃𝒛 + 𝒄 = 𝟎 𝒂≠𝟎
−𝑏
∆=0 𝑧=
2𝑎
2
∆=𝛼 = 𝛼 𝛼>0 −𝒃+
2
𝒛𝟏 = 𝟐𝒂
∆ = −𝛼 = 𝑖 𝛼
2 −𝒃−
𝛼 𝒛𝟐 =
∆=𝛼𝑖 = 2
(1 + 𝑖) 𝟐𝒂
∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2
∆≠0 ∆ = −𝛼 𝑖 =
𝛼
(1 + 𝑖) ∆= 𝛿 2 𝑺 = { 𝒛𝟏 ; 𝒛𝟐 }
2
= + i = (x + iy)2 −𝒃
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝛼 2 + 𝛽2 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝒂
𝒄
⟺ 𝑥2 − 𝑦2 = 𝛼 𝒛𝟏 × 𝒛𝟐 = 𝒂
2𝑥𝑦 = 𝛽
Si 𝒂= 𝟏 𝒂 𝝐 ℝ∗ − 𝟏 𝒂 ∉ ℝ 𝒆𝒕 𝒂 = 𝟏 𝑎 ∉ ℝ 𝑒𝑡 𝑎 ≠ 1
L’homothétie de La composition de la
Alors la une translation de centre ω et de
La Rotation de centre
Rotation 𝑅 Ω, 𝛼 et l’homothétie
𝑏
transformation vecteur 𝑢 , tel que rapport 𝑘 = 𝑎 𝜔 = 1−𝑎 et Ω, 𝑘 , tel que : 𝑘 = 𝑎 ,
𝑓 est 𝐴𝑓𝑓 𝑢 = 𝑏 𝑏
avec 𝜔 = 1−𝑎 d’angle = 𝑎𝑟𝑔 𝑎 = 𝑎𝑟𝑔 𝑎 et 𝑧𝛺 = 1−𝑎
𝑏
𝜃 𝜃
𝜃 − 𝜃 𝜃
1 − 𝑒 𝑖 = −2𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑒𝑖 2 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑒𝑖 2 1 + 𝑒 𝑖 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑖 2
2 2 2
𝛼 +𝛽 𝛼 +𝛽
𝛼−𝛽 𝑖 𝛼−𝛽
𝑒 𝑖𝛼 − 𝑒 𝑖𝛽 = 2𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑒 2 𝑒 𝑖𝛼 + 𝑒 𝑖𝛽 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑖 2
2 2
𝜋 𝜋
−𝑖 = 𝑒 −𝑖 2 𝑖 = 𝑒𝑖 2 − 1 = 𝑒 𝑖𝜋 −𝑒 𝑖𝜃 = 𝑒 𝑖(𝜋+𝜃)
𝛼+𝛽 𝛼−𝛽 𝛼+𝛽 𝛼−𝛽
𝑐𝑜𝑠 − 𝑐𝑜𝑠 = −2 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠
2 2 2 2
𝜃 𝜃 𝜃 𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2 𝑠𝑖𝑛2 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2 𝑐𝑜𝑠 2
2 2 2 2
» . !!! « حزوحت اًبعاةل ابًثواين فودلا غالما و غالمة فأأماالابن فسموه بفلر و أأما اًبنت فسموىا هدامة: X ػالكة
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Chapitre 13 ARITHMETIQUE DANS ℤ
DIVISIBILITÉ DANS L’ENSEMBLE ℤ /
Soit 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs. On dit que 𝑏 divise 𝑎 s’il existe 𝑘𝜖ℤ tel que 𝒂 = 𝒌𝒃 et on écrit 𝒃/𝒂
𝒃/𝒂 ⟺ ∃𝒌𝝐 ℤ , 𝒂 = 𝒃𝒌
On dit aussi que 𝑎 est divisible par 𝑏 ou que 𝑎 est multiple de 𝑏 ou encore que 𝑏 est un diviseur de 𝑎.
Propriétés de la divisibilité : Soit 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 et 𝑑 des éléments de ℤ .
𝑎/𝑎 ; 𝑎/−𝑎 𝑏/𝑎 et 𝑏/𝑐 ⟹ 𝑏/𝑎 × 𝑐 et 𝑏/𝑎 + 𝑐
𝑏/𝑎 et 𝑎/𝑐 ⟹ 𝑏/𝑐 ⟹ 𝑏/𝛼𝑎 + 𝛽𝑐 𝛼, 𝛽𝜖 ℤ∗ 𝑎/0 ; 1/𝑎 ; −1/𝑎
𝑏/𝑎 et 𝑎/𝑏 ⟹ 𝑏 = 𝑎 𝑏/𝑎 et 𝑑/𝑐 ⟹ 𝑏 × 𝑑/𝑎 × 𝑐
∀𝑘𝜖ℤ , 𝑏/𝑘𝑏 + 𝑎 ⟹ 𝑏/𝑎 𝑏/𝑎 ⟺ 𝑎𝜖 𝐷𝑎
∗
𝑏/𝑎 et 𝑐𝜖 ℤ ⟹ 𝑏/𝑎𝑐 ∀𝑛𝜖ℕ , 𝑏 /𝑎 ⟹ 𝑏/𝑎𝑛 𝑏/𝑎 ⟺ 𝑎𝜖 𝑏ℤ
𝑏/𝑎 𝑛𝜖 ℕ ⟹ 𝑏 𝑛 /𝑎𝑛 𝑏ℤ = 𝑘𝑏 / 𝑘𝜖ℤ
𝑎/1 ⟹ 𝑎 = 1 ou 𝑎 = −1
𝑏/𝑎 𝑛𝜖 ℕ∗ ⟹ 𝑏/𝑎𝑛
Théorème de Bézout ∀ 𝒂, 𝒃 𝝐 ℤ∗ 𝟐
: 𝒂 ∧ 𝒃 = 𝟏 ⟺ ∃ 𝒖, 𝒗 𝝐ℤ𝟐 , 𝒂𝒖 + 𝒃𝒗 = 𝟏
Théorème de Gauss ∀ 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝝐 ℤ∗ 𝟑
, 𝒂/𝒃𝒄 𝒆𝒕 𝒂 ∧ 𝒃 = 𝟏 ⟺ 𝒂/𝒄
Propriétés : ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℤ∗ 3
et ∀ 𝑛, 𝑚 𝜖 ℕ∗ 2
𝑎∧𝑏 =1
𝑎/𝑐 ⟺ 𝑎 ∧ 𝑏𝑐 = 1 𝑎 ∧ 𝑏 = 1 ⟺ 𝑎 ∧ 𝑏𝑛 = 1
⟹ a b/c 𝑎∧𝑐 =1
𝑏/𝑐
𝑎𝑏 ≡ 𝑎𝑐 𝑛
𝑎∧𝑏 =1 ⟺ 𝑏≡𝑐 𝑛 𝑎 ∧ 𝑏 = 1 ⟺ 𝑎𝑛 ∧ 𝑏 𝑛 = 1
𝑎∧𝑛 =1
L’EQUATION DIOPHANTIENNE : 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄
Solutions de l’équation : 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝟏 Solutions de l’équation : 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄
𝑎∧𝑏 =1 𝑎∧𝑏 ≠1 𝑎 ∧ 𝑏/𝑐 a∧ b / c
𝑘𝑏 𝑘𝑎
𝑆= 𝑥𝑜 + 𝑘𝑏; 𝑦𝑜 − 𝑘𝑎 / 𝑘𝜖ℤ 𝑆= Ø 𝑆= 𝑥𝑜 + ; 𝑦𝑜 − / 𝑘𝜖ℤ 𝑆= Ø
𝑎∧𝑏 𝑎∧𝑏
Le couple 𝒙𝒐 , 𝒚𝒐 est une solution particulière de l’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Théorème de Fermat :
1- Si 𝑝 est un nombre premier positif, alors ∀𝒂𝝐ℤ , 𝒂𝒑 ≡ 𝒂 𝒑
2- Si 𝑝 est un nombre premier positif, alors pour tout 𝑎𝜖ℤ : 𝒑 ∧ 𝒂 = 𝟏 ⟹ 𝒂𝒑−𝟏 ≡ 𝟏 𝒑
Le théorème chinois
𝑥≡𝑎 𝑛
Solutions de système dans ℤ : 𝑆
𝑥≡𝑏 𝑚
Si 𝑛 ∧ 𝑚 /𝑏 − 𝑎 , alors les solutions du système est :
𝑆= 𝑥𝑜 + 𝑛 ∧ 𝑚 𝑘 / 𝑘𝜖ℤ où 𝑥𝑜 est une solution particulière de système
Si 𝑛 ∧ 𝑚 ne divise pas 𝑏 − 𝑎 , alors : 𝑆=∅
Théorème chinois
Si 𝑛 ∧ 𝑚 = 1 , alors les solutions de système 𝑆 est :
𝑆= 𝛼𝑛𝑏 + 𝛽𝑎𝑚 + 𝑛𝑚𝑘 /𝑘𝜖ℤ ; 𝛼𝑛 + 𝛽𝑚 = 1 , 𝛼; 𝛽 𝜖ℤ2
MORPHISME OU HOMOMORPHISME.
Soient 𝐸 ,∗ et 𝐹; 𝑇 deux ensembles munis de lois de composition interne et 𝜑 une application de E dans F.
On dit que 𝜑 est un morphisme de 𝐸 ,∗ dans 𝐹; 𝑇 lorsque : ∀ 𝑥, 𝑦 𝜖𝐸 2 : 𝜑 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝜑 𝑥 𝑇𝜑 𝑦
Si 𝜑 est bijective on dit que 𝜑 est un isomorphisme
Si E = F et ∗ = T , on parle d’endomorphisme.
Si 𝜑 est un endomorphisme bijectif, on parle d’automorphisme.
Propriétés : soit 𝑓 un homomorphisme de 𝐸 ,∗ dans 𝐹; 𝑇 alors :
1) 𝑓 𝐸 est une partie stable dans (F, T)
2) si * est commutative dans 𝐸 ,∗ , alors T est commutative dans 𝑓 𝐸 , 𝑇
3) si * est associative dans 𝐸 ,∗ , alors T est associative dans 𝑓 𝐸 , 𝑇
4) si * admet un élément neutre e dans 𝐸 ,∗ , alors 𝑓 𝑒 est un élément neutre dans 𝑓 𝐸 , 𝑇
5) si * admet un élément neutre e dans 𝐸 ,∗ , et si x admet un symétrique 𝑥′ dans 𝐸 ,∗ , alors 𝑦 = 𝑓 𝑥
′
admet un symétrique dans 𝑓 𝐸 , 𝑇 c’est 𝑦′ = 𝑓 𝑥′ c-à-d 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥′
ANNEAU
4-1.Distributivité d’une loi sur une autre
Définition : Soit E un ensemble non vide muni deux lois de composition interne « * » et « T » .
𝑥𝑇 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥𝑇𝑦 ∗ 𝑥𝑇𝑧
La loi 𝑇 est distributive par rapport à la loi ∗ dans E ⟺ ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖𝐸 3 ,
𝑥 ∗ 𝑦 𝑇𝑧 = 𝑥𝑇𝑧 ∗ 𝑦𝑇𝑧
Remarque : Si on sait que T est commutative, une et une seule des deux égalités ci-dessus suffit.
4-2.Structure d’Anneau
Définition : Soit A un ensemble non vide muni deux lois de composition interne « * » et « T » .
On dit que 𝐴 ,∗, 𝑇 est un anneau lorsque : i) 𝐴 ,∗ est un groupe commutatif
ii) La loi T est associative et distributive par rapport la loi *.
Si la loi T est commutative , on dit que L’anneau 𝐴 ,∗, 𝑇 est commutatif.
Si de plus ,T admet un élément neutre , on dit que L’anneau 𝐴 ,∗, 𝑇 est unitaire.
Notations
- On note en général la première loi + ( notation additive ) et la deuxième loi × ( notation multiplicative )
- On note 0 ou 0𝐴 l’élément neutre pour la loi + et on l’appelle le zéro de l’anneau A .
- On note 1 ou 1𝐴 l’élément neutre pour la loi × et on l’appelle l’élément unité de l’anneau A .
4-3.Les règles de Calcul dans un anneau
Soit 𝐴 , +,× un anneau unitaire , on a les propriétés suivantes :
- Pour tout 𝑥𝜖𝐴 : 0𝐴 × 𝑥 = 𝑥 × 0𝐴 = 0𝐴 et 1𝐴 × 𝑥 = 𝑥 × 1𝐴 = 𝑥
- Pour tout 𝑥; 𝑦 𝜖𝐴2 : −𝑥 × 𝑦 = 𝑥 × −𝑦 = − 𝑥 × 𝑦
4-4. Diviseurs de zéro - Anneau intègre
Soit 𝐴 , +,× un anneau et 𝑎𝜖 𝐴 − 0𝐴 .
a est un diviseur de zéro dans l’Anneau A s’il existe 𝑏𝜖 𝐴 − 0𝐴 tel que : 𝑎 × 𝑏 = 0𝐴 ou 𝑏 × 𝑎 = 0𝐴
On dit que 𝐴 , +,× est un anneau intègre s’il n’est pas réduit à zéro et n’admet aucun diviseur de zéro.
𝐴 , + ,× est un Anneau intègre ⟺ ∀ 𝑎, 𝑏 𝜖𝐴2 , 𝑎 × 𝑏 = 0𝐴 ⟺ 𝑎 = 0𝐴 𝑜𝑢 𝑏 = 0𝐴
ℤ; + Groupe commutatif
ℤ Ensemble des entiers relatifs + ; ×
ℤ; +;× Anneau commutatif, unitaire et intègre
𝔻; + Groupe commutatif
𝔻 Ensemble des nombres décimaux relatifs + ; ×
𝔻; +;× Anneau commutatif, unitaire et intègre
ℚ; + et ℚ∗ ;× Groupes commutatifs
ℚ Ensemble des nombres rationnels + ; × ℚ; +;× Anneau commutatif, unitaire et intègre
ℚ; +;× Corps commutatif
ℝ; + et ℝ∗ ;× Groupes commutatifs
ℝ Ensemble des nombres réels + ; × ℝ; +;× Anneau commutatif, unitaire et intègre
ℝ; +;× Corps commutatif
ℂ; + et ℂ∗ ; + Groupes commutatifs
ℂ Ensemble des nombres complexes + ; × ℂ; +;× Anneau commutatif, unitaire et intègre
ℂ; +;× Corps commutatif
𝑀𝑛 ℝ ; + Groupe commutatif
𝑀𝑛 ℝ Ensemble des matrices carrées d’ordre n + ; ×
𝑀𝑛 ℝ ; +;× Anneau unitaire.
𝑛𝜖 2; 3
𝒫 𝐴 ;△ Groupe commutatif
𝒫 𝐴 Ensemble des parties d’un ensemble A ∪ ; ∩ ; △
𝒫 𝐴 ;△;∩ Anneau commutatif et unitaire
: وكفـــــــة
.. فىن مع َم ْن صنع احلَاة…ػامل ا ألرسار، اؤذا اكن من اًصؼب ػََم أأن ثفيم لك يشء يف احلَاة
حىسب لك يشء.. ) هللا س بحاهو وثؼاىل ( هن مع هللا
PROPRIETES :
𝑓 un morphisme de 𝐸 ,∗ dans 𝐹; 𝑇
si Alors
𝑥𝑇 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥𝑇𝑦 ∗ 𝑥𝑇𝑧
La loi 𝑇 est distributive par rapport à la loi ∗ dans E ⟺ ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖𝐸 3 ,
𝑥 ∗ 𝑦 𝑇𝑧 = 𝑥𝑇𝑧 ∗ 𝑦𝑇𝑧
(E,,T) A. Commutatif
(E,) Groupe commutatif
(E, ) Groupe
(E,,T) A. Unitaire
𝑯 ≠ ∅ 𝒆𝒕 𝑯 ⊂ 𝑮
𝑯,∗ est un sous-groupe de 𝑮,∗ ⟺ où y’ est le symétrique de y dans 𝑮,∗
∀ 𝒙, 𝒚 𝝐𝑯𝟐 , 𝒙 ∗ 𝒚′ 𝝐 𝑯
bdans
PROBABILITE UNIFORME
Soit Ω; 𝑝 un espace probabilisé fini tel que : Ω = ω1 ; ω2 ; … ; ωn
On dit que Ω est muni d’une probabilité uniforme 𝑝 si et seulement si tous les événements élémentaires ont la
1
même probabilité c-à-d 𝑝 𝜔1 = 𝑝 𝜔2 = ⋯ = 𝑝 𝜔𝑛 , dans ce cas : ∀𝑖𝜖 1; 2; … ; 𝑛 , 𝑝 𝜔𝑖 = 𝐶𝑎𝑟𝑑 Ω
𝑪𝒂𝒓𝒅𝑨 𝐧𝐨𝐦𝐛𝐫𝐞 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐬 𝐟𝐚𝐯𝐨𝐫𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬
∀𝑨𝝐 𝒑 𝛀 𝒑 𝑨 = 𝑪𝒂𝒓𝒅𝛀 = 𝐧𝐨𝐦𝐛𝐫𝐞 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐬 𝐩𝐨𝐬𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞𝐬
PROBABILITE CONDITIONNELLE
Soit p une probabilité définie sur un univers Ω , et soient A et B deux événements tels que 𝑝 𝐴 ≠ 0.
La probabilité de B sachant que A est réalisé est appelée la probabilité conditionnelle notée 𝑝𝐴 𝐵 ou 𝑝 𝐵/𝐴
𝑝 𝐴∩𝐵
et se lit probabilité de B sachant A. On écrit : 𝑝𝐴 𝐵 = 𝑝 𝐴
𝑛
Espérance mathématique de 𝑋 : 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑝𝑖 = 𝑥1 𝑝1 + 𝑥2 𝑝2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑝𝑛
𝑖=1
𝑛 𝑛
2 2
Variance mathématique de 𝑋 : 𝑉 𝑋 =𝐸 𝑋 2
− 𝐸 𝑋 = 𝑝𝑖 𝑥𝑖 − 𝐸 𝑋 𝑜𝑢 𝐸 𝑋 2
= 𝑝𝑖 𝑥𝑖2
𝑖=1 𝑖=1
Ecart-type de 𝑋 : 𝜍 𝑋 = 𝑉(𝑋)
LA LOI BINOMIALE
On considère une épreuve répété n fois dans des conditions identiques et indépendantes,
la variable aléatoire qui est égale au nombre de fois la réalisation de L’événement A pour les n épreuves
s’appelle une loi binomiale de paramètre n et p où 𝑝 = 𝑝(𝐴), notée 𝐵 𝑛, 𝑝 .
La probabilité d’obtenir k succès (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) est donnée par la formule :
𝑝 𝑋 = 𝑘 = 𝐶𝑛𝑘 𝑃𝑘 (1 − 𝑃)𝑛−𝑘 où 𝑘𝜖 0; 1; … ; 𝑛
𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝 𝑉 𝑋 = 𝑛𝑝 1 − 𝑝 𝜍 𝑋 = 𝑛𝑝 1 − 𝑝
FONCTION DE REPARTITION
Soit 𝑋 une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini Ω; p .
La fonction FX définie sur ℝ par : 𝐹𝑋 𝑥 = 𝑝 𝑋 < 𝑥 est appelée la fonction de répartition de X .
Sa courbe représentative sous forme d’un histogramme
Soit la Loi de probabilité de la variable aléatoire X définie par le tableau
𝑥𝑖 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛
𝑝 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑛
On a la fonction de répartition de X définie par :
Si 𝑥 ≤ 𝑥1 alors : 𝐹𝑋 𝑥 = 𝑝 𝑋 < 𝑥 = 𝑝 ∅ = 0
Si 𝑥1 < 𝑥 ≤ 𝑥2 alors : 𝐹𝑋 𝑥 = 𝑝 𝑋 = 𝑥1 = 𝑝1
Si 𝑥2 < 𝑥 ≤ 𝑥3 alors : 𝐹𝑋 𝑥 = 𝑝 𝑋 = 𝑥1 + 𝑝 𝑋 = 𝑥2 = 𝑝2
. .
. .
Si 𝑥 > 𝑥𝑛 alors : 𝐹𝑋 𝑥 = 𝑝 Ω = 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑛 = 1
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SCHEMA DE DÉNOMBREMENT
𝑿𝟏 ; 𝑿𝟐 ; … ; 𝑿𝒑 𝒌𝑿; 𝒑−𝒌 𝒀 𝑛1 𝑿𝟏 ; 𝑛2 𝑿𝟐 , … , 𝑛𝑖 𝑿𝒊
p choix p choix 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑖 = p choix
𝒑! 𝑝! 𝑝−𝑘 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ +𝑛𝑖 !
= 𝒑! = 𝐶𝑝𝑘 = 𝐶𝑝
𝟏! 𝟏! … 𝟏! 𝑘! 𝑝 − 𝑘 ! 𝑛1 ! 𝑛2 ! … 𝑛𝑖 !
𝐩 𝒑 𝒏
Nombres Spéciaux : n ! , 𝑨𝐧 , 𝑪𝒏 𝒏
(𝒂 + 𝒃) = 𝑪𝒌𝒏 𝒂𝒏−𝒌 𝒃𝒌
𝒑 𝒌=𝟎
𝐩 𝑨𝒏 𝒏! 𝒑 𝒏!
𝑪𝐧 = = 𝑨𝒏 =
𝒑! 𝒑! 𝒏−𝒑 ! 𝒏−𝒑 !
n=0 𝐂𝟎𝟎
𝑨𝒏𝒏 = 𝒏! = 𝒏 × 𝒏 − 𝟏 × … × 𝟐 × 𝟏 n=1 𝐂𝟏𝟎 𝐂𝟏𝟏
n=2 𝐂𝟐𝟎 𝐂𝟐𝟏 𝐂𝟐𝟐
𝑪𝟏𝒏 = 𝑨𝟏𝒏 = 𝒏 0 ! = 1 ! =1 n=3 𝐂𝟑𝟎 𝐂𝟑𝟏 𝐂𝟑𝟐 𝐂𝟑𝟑
𝒑 𝒑
𝑪𝒏 =𝑪𝒏−𝟏 +𝑪𝒏−𝟏
𝒑−𝟏
Déductions
1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝛼)
𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 𝑠𝑖𝑛 2𝛼 = 2𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠(𝛼) 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 =
2
= 2𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1 2𝑡𝑎𝑛(𝛼) 1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝛼)
= 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 (𝛼) 𝑡𝑎𝑛 2𝛼 = 2
𝑠𝑖𝑛 𝛼 =
1 − 𝑡𝑎𝑛2 (𝛼) 2
𝑥 1− 𝑡 2 2𝑡 2𝑡
En posant : 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 =
2 1+𝑡 2 1+𝑡 2 1− 𝑡 2
EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ⟺ , 𝑘𝜖ℤ 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 ⟺ , 𝑘𝜖ℤ
𝑥 = −𝛼 + 2𝑘𝜋 𝑥 = 𝜋 − 𝛼 + 2𝑘𝜋
𝜋
𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 ⟺ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋 , 𝑘𝜖ℤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 2 + 𝑘𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑘𝜋 , 𝑘𝜖ℤ
INEGALITES REMARQUABLES
𝑥 − 𝑦 ≤ 𝑥+𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 L’inégalité triangulaire 𝑢. 𝑣 ≤ 𝑢 . v L’inégalité de Cauchy-Schwarz
𝑥 ≤ 𝑟 ⟺ −𝑟 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟 ⟺ 𝑥 ∈ −𝑟; 𝑟
𝑥 ≥ 𝑟 ⟺ 𝑥 ≤ −𝑟 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 𝑟 ⟺ 𝑥 −∞; −𝑟 ∪ 𝑟; +∞
2𝑥𝑦 𝑥+𝑦 𝑥 2 +𝑦 2 𝑎 +𝑏 𝑏 −𝑎
∀ 𝑥, 𝑦 𝜖ℝ2+∗ , x 𝑥𝑦 y x 𝑎; 𝑏 , 𝑥−
𝑥+𝑦 2 2 2 2
𝒂𝒙 + 𝒃 signe de −𝑎 0 signe de 𝑎
- حسن اًبرصي رمحو هللا-لكام ذىب ًوم ذىب بؼضم، ابن أآدم اؤمنا أأهت أأايم: اغخمن معرك
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SOMMES - PRODUITS
𝑛 𝑛 𝑛
𝑛(𝑛 + 1) 𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)
𝑎 = 𝑛−𝑝+1 𝑎 𝑘= 𝑘2 =
2 6
𝑘=𝑝 𝑘=1 𝑘=1
𝑛 𝑛 𝑛
𝑛 𝑛+1 2 2
1 𝑛 1 − 𝑞 𝑛−𝑝+1
𝑘3 = = 𝑞𝑘 = 𝑞𝑝
4 𝑘(𝑘 + 1) 𝑛 + 1 1−𝑞
𝑘=1 𝑘=1 𝑘=𝑝
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
𝑛 𝑛 + 1 (𝑛 + 2) 2
𝑘(𝑘 + 1) = (2𝑘 + 1) = 𝑛 + 1 𝑎𝑥𝑘 = 𝑎 𝑥𝑘
3
𝑘=1 𝑘=0 𝑘=𝑝 𝑘=𝑝
𝑛 𝑛 𝑛
𝑛
𝑎𝑥𝑘 = 𝑎 𝑥𝑘 𝑘 = 1 × 2 × 3 × … × 𝑛 = 𝑛! ( 𝑛 factorielle )
𝑘=𝑝 𝑘=1 𝑘=1
𝑘=𝑛 𝑛
𝑥𝑘 𝑦𝑘 ≥ 𝑛 𝑥𝑘 𝑦𝑘 𝑥𝑘 𝑦𝑘 = 𝑥𝑘 𝑦𝑘
𝑘=1 𝑘=1 𝑘=1 𝑘=1 𝑘=1 𝑘=1
𝑛 𝑛
𝑑−𝑝 𝑝+𝑑
1 + 𝑥𝑘 ≥ 1 + 𝑥𝑘 ; 𝑥𝑘 ≥ −1 𝑝 + 𝑝 + 𝑟 + 𝑝 + 2𝑟 + ⋯ + 𝑑 = +1
𝑟 2
𝑘=1 𝑘=1
SOMMES DOUBLES
𝑖=𝑛 𝑗 =𝑛 𝑖=𝑛
𝑛 𝑛+1 𝑛 𝑛+1 𝑛 𝑛+1 𝑛2 𝑛 + 1 2
𝑖𝑗= 𝑖 𝑗= 𝑖 = =
2 2 2 4
1≤ 𝑖,𝑗 ≤ 𝑛 𝑖=1 𝑗 =1 𝑖=1
𝑗 =𝑛 𝑖=𝑗 𝑗 =𝑛 𝑗 =𝑛 𝑗 =𝑛 𝑗 =𝑛
𝑗 𝑗+1 1 3 2
1 3
1
𝑖𝑗= 𝑗 𝑖= 𝑗 = 𝑗 +𝑗 = 𝑗 + 𝑗2
2 2 2 2
1≤ 𝑖≤𝑗 ≤ 𝑛 𝑗 =1 𝑖=1 𝑗 =1 𝑗 =1 𝑗 =1 𝑗 =1
𝑖=𝑛 𝑗 =𝑛 𝑗 =𝑛
𝑖 1 𝑛 𝑛+1 1
= 𝑖 =
𝑗 𝑗 2 𝑗
1≤ 𝑖,𝑗 ≤ 𝑛 𝑖=1 𝑗 =1 𝑗 =1