5-Dérivabilité Et Applications

Dérivabilité d’une fonction numérique
La notion de la dérivée est réintroduite. Les propriétés classiques sont

énoncées. On y rajoute le théorème de ROLLE, le théorème des accroissements
finis, le calcul des dérivées de quelques fonctions réciproques, règle de
L’HOSPITAL,…
• Notion de dérivabilité et interprétation géométrique de la dérivée

• Dérivabilité et continuité
• Opérations sur les fonctions dérivées
• Dérivée de la fonction réciproque
• Dérivées successives (Formule de LEIBNIZ)
• Sens de variation d’une fonction dérivable
• Optimisation, convexité, concavité
• Théorème de ROLLE et généralisation
• Théorème des accroissements finis et généralisation
• Inégalité des accroissements finis
• Règle de L’HOSPITAL
89
S1 – M6 – Licence d’Études Fondamentales en Sciences Économiques Session Automne – Hiver 2021-2022
Notion de différentiabilité : Soit 𝑓 définie sur un intervalle ouvert I ⊆ 𝐷𝑓 , et 𝑥0 ∈ I
Fonction différentielle en un point 𝑥0 ssi ∃ 𝑚 ∈ ℝ et une fonction 𝜀 ∶ ℎ ↦ 𝜀(ℎ) définie sur
un intervalle 𝐼 centré en 0 telle que : ∀ℎ ∈ 𝐼, 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑚ℎ +
ℎ𝜀(ℎ) 𝑎𝑣𝑒𝑐 lim 𝜀 (ℎ) = 0

ℎ→0
L’application limite h ↦ 𝑚ℎ est dite fonction linéaire tangente à 𝑓 au point 𝑥0 ou fonction

différentielle de 𝑓 au point 𝑥0 et on note 𝑑𝑓𝑥0 (ℎ) = 𝑚ℎ
Exemples : Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 1, 𝑥0 ∈ ℝ, ∀ℎ ∈ ℝ

𝑓(𝑥0 + ℎ) = (𝑥0 + ℎ)3 + 1
= 𝑥0 3 + 3𝑥0 2 ℎ + 3𝑥0 ℎ2 + ℎ3 + 1
= (𝑥0 3 + 1) + (3𝑥0 2 )ℎ + ℎ(3𝑥0 ℎ + ℎ2 )
= 𝑓 𝑥0 + 3𝑥0 2 ℎ + ℎ 3𝑥0 ℎ + ℎ2
𝑑𝑓𝑥0 (ℎ) = 3𝑥0 2 ℎ
= 𝑓(𝑥0 ) + 𝑚ℎ + ℎ𝜀(ℎ)
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑚 = 3𝑥0 2 , 𝜀(ℎ) = 3𝑥0 ℎ + ℎ2 𝑒𝑡 lim 𝜀 (ℎ) = 0.
ℎ→0
Donc est 𝑓 différentielle en 𝑥0 .

90
Notion de dérivabilité : Soit 𝑓 définie sur un intervalle ouvert I ⊆ 𝐷𝑓 , et 𝑥0 ∈ I
Fonction dérivable en un point 𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )

ssi lim =𝑚∈ℝ ssi lim =𝑚∈ℝ
𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0 ℎ→0 ℎ
𝑚 s’appelle le nombre dérivé premier de 𝑓 au point 𝑥0 . On le note 𝑓′(𝑥0 ) = 𝑚

Ou encore, 𝑓 est dérivable en un point 𝑥0
ssi ∃ 𝑓 ′ 𝑥0 ∈ ℝ 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓 ′ (𝑥0 )ℎ + ℎ𝜀(ℎ), lim 𝜀 (ℎ) = 0

ℎ→0
ssi ∃ 𝑓 ′ 𝑥0 ∈ ℝ 𝑓(𝑥)
= 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓 ′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑥 − 𝑥0 𝜀( 𝑥 − 𝑥0 ), lim 𝜀 ( 𝑥 − 𝑥0 ) = 0
𝑥→𝑥0
Remarques :
𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )
• Le rapport ℎ
est le taux d’accroissement de 𝑓 en 𝑥0 et 𝑥0 + ℎ.
• Pour une fonction dérivable en 𝑥0 on a : 𝑑𝑓𝑥0 (𝑥) = 𝑓′(𝑥0 )𝑑𝑥
91
Exemples : Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 ) (𝑥0 + ℎ)2 + 1 − 𝑥0 2 − 1

lim = lim
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
2𝑥0 ℎ + ℎ2
= lim
ℎ→0 ℎ
= lim 2𝑥0 + ℎ
ℎ→0
= 2𝑥0
Donc, 𝑓′(𝑥0 ) = 2𝑥0 . Et on peut écrire 𝑑𝑓𝑥0 (𝑥) = 2𝑥0 𝑑𝑥
92
Interprétation géométrique de la dérivée : C𝑓 est le représentation graphique de f.
𝑥0 𝑥
Soient 𝑀0 = 𝑓(𝑥 ) 𝑒𝑡 𝑀 = 𝑓(𝑥)
0
Quand 𝑥 → 𝑥0 , la droite (𝑀𝑀0 ) → (𝑀0 𝑇), 𝑦
La droite (𝑀0 𝑇) tangente à C𝑓 au point 𝑀0 et non parallèle à Cf M T

f ( x)
l’axe (𝑦’𝑂𝑦).
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) f ( x0 )  M
tan( 𝛼) = ⟶𝑚 0
𝑥 − 𝑥0
0 x x0
coefficient directeur de (𝑀0 𝑀) et par suite de (𝑀0 𝑇)
𝑦
Théorème : Cf T
M0
𝑥0 f ( x0 )
f est dérivable en 𝑥0 ssi C𝑓 admet au point 𝑀0 = 𝑓(𝑥 ) une
0
tangente non parallèle à l’axe (𝑦’𝑂𝑦). 0 x0
La dérivée 𝑓′(𝑥0 ) est le coefficient directeur de cette tangente.

L’équation de cette tangente est :
𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 )
93
Dérivée à gauche et dérivée à droite :
Définition :
𝑓 dérivable à gauche de 𝑥0 ssi
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )

lim− = lim− = 𝑙1 ∈ ℝ. On note 𝑓′(𝑥0 − ) = 𝑓𝑔 ′(𝑥0 ) = 𝑙1
𝑥→𝑥0 𝑥−𝑥0 ℎ→0 ℎ
𝑓 dérivable à droite de 𝑥0 ssi
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )

lim+ = lim+ = 𝑙2 ∈ ℝ. On note 𝑓′(𝑥0 + ) = 𝑓𝑑′ (𝑥0 ) = 𝑙2
𝑥→𝑥0 𝑥−𝑥0 ℎ→0 ℎ
f dérivable au point x0 ssi 𝒇(𝒙) = 𝒙

𝑓𝑔′ (𝑥0 ) 𝑒𝑡 𝑓𝑑′ (𝑥0 ) existent et 𝑓𝑔 ′(𝑥0 ) = 𝑓𝑑 ′(𝑥0 )
Point anguleux
Exemple :
𝑓(𝑥) = 𝑥 , 𝑥0 = 0
0
𝑓(𝑥) − 𝑓(0) 𝑥 lim+ 1 = 1 𝑠𝑖 𝑥>0
lim = lim = ൞ 𝑥→0
𝑥→0 𝑥−0 𝑥→0 𝑥 lim − 1 = −1 𝑠𝑖 𝑥<0
𝑥→0−
Ainsi, 𝑓𝑔′ (0) = −1 𝑒𝑡 𝑓𝑑′ (0) = 1. Comme 𝑓𝑔′ (0) ≠ 𝑓𝑑′ (0), f est non dérivable au point 0.
94
Remarque :
On a pas forcement 𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim 𝑓 ′ (𝑥)

𝑥→𝑥0
1
𝑥 2 sin 𝑠𝑖 𝑥≠0
𝑓(𝑥) = ቐ 𝑥
0 𝑠𝑖 𝑥=0
f est dérivable sur ℝ∗ et 𝑓 ′ (0) = 0 mais,
1 1
lim 𝑓 ′ (𝑥) = lim 2 𝑥 sin 𝑥
− cos 𝑥
n’existe pas.
𝑥→0 𝑥→0
95
𝑦 C𝑓
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 )
𝑓(𝑥0 ) 𝑀0
lim =∞
𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0
0 𝑥0 𝑥
C𝑓 admet une tangente verticale au point M0 (parallèle à l’axe (𝑂𝑦)) d’équation : 𝑥 = 𝑥0
96
𝑦
𝑀0
𝑓(𝑥0 )
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 )
lim = 𝑓 ′ 𝑥0 = 0
C𝑓
𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0
0 𝑥0 𝑥
C𝑓 admet une tangente horizontale au point M0 d’équation : 𝑦 = 𝑓(𝑥0 )
97
𝑦 C𝑓
𝑀0 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 )
𝑓(𝑥0 ) lim = 𝑓 ′ 𝑥0 ≠ 0
𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0
𝑓′ 𝑥0 = 𝑓𝑑 ′(𝑥0 ) = 𝑓𝑔 ′(𝑥0 ) ∈ ℝ
0 𝑥0 𝑥
C𝑓 admet une tangente oblique au point M0 d’équation :

𝑦 = 𝑓′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓(𝑥0 )
98
𝑦 C𝑓 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 )
lim− = 𝑓𝑔′ 𝑥0 ∈ ℝ
𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 )
lim+ = 𝑓𝑑′ 𝑥0 ∈ ℝ
𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0
𝑓(𝑥0 )
𝑀0 𝑓𝑑 ′(𝑥0 ) ≠ 𝑓𝑔 ′(𝑥0 )
0 𝑥0 𝑥
C𝑓 admet deux demi- tangentes au point M0 (point anguleux) d’équations :
𝑦 = 𝑓′𝑑 (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓(𝑥0 ) 𝑦 = 𝑓′𝑔 (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓(𝑥0 )

ቊ 𝑒𝑡 ቊ
𝑥 > 𝑥0 𝑥 < 𝑥0
99
Exemple :
• Toute fonction polynomiale est dérivable sur ℝ
• La fonction racine 𝑥 ↦ 𝑥 est dérivable sur ℝ∗+
• Les fonctions trigonométriques 𝑥 ↦ sin( 𝑥), 𝑥 ↦ cos( 𝑥) sont dérivables sur ℝ
𝜋
• La fonction trigonométrique 𝑥 ↦ tan( 𝑥) est dérivable sur Rൗ + 𝑘𝜋/𝑘 ∈ Z
2
• La fonction 𝑥 ↦ 𝑥 𝑟 (𝑟 ∈ 𝑄∗ /{1}) est dérivable sur ℝ∗+
Définition : On dit que,
- une fonction 𝑓 est de classe 𝒞 𝑘 sur un intervalle 𝐼 ssi 𝑓 est k-fois dérivable sur 𝐼 et
la dérivée kième est continue sur 𝐼.
- une fonction 𝑓 est de classe 𝒞 ∞ sur un intervalle 𝐼 ssi 𝑓 est infiniment dérivable et
continue sur I.
100
Théorème :
Si 𝑓 et 𝑔 sont dérivables en 𝑥0, alors 𝜆𝑓(𝜆 ∈ R∗ ), 𝑓 , 𝑓 + 𝑔, 𝑓 × 𝑔 sont dérivables
1 𝑓
en 𝑥0. Si 𝑔 𝑥0 ≠ 0 alors 𝑔 , 𝑔 sont dérivables en 𝑥0.
Théorème :
Si 𝑓 est dérivable en 𝑥0 et 𝑔 dérivable en 𝑓(𝑥0) alors, 𝑔 ∘ 𝑓 est dérivable en 𝑥0 et
′
′
𝑔∘𝑓 𝑥0 = 𝑔 𝑓 𝑥0 = 𝑔′ 𝑓(𝑥0 ) × 𝑓′(𝑥0 )
Preuve :
𝑔𝑜𝑓 (𝑥0 + ℎ) − 𝑔𝑜𝑓 (𝑥0 )
𝑔𝑜𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim
ℎ→0 ℎ
𝑔 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑔 𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
= lim ×
ℎ→0 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 ) ℎ
𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 ℎ → 0, 𝑓 𝑥0 + ℎ → 𝑓 𝑥0 . D’où, 𝑔 ∘ 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑔′ 𝑓(𝑥0 ) × 𝑓′(𝑥0 )
Exemple :
𝑔(𝑥) = cos( 𝑥) 𝑒𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 5
𝑔′(𝑥) = − sin( 𝑥) 𝑒𝑡 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 2
𝑔 ∘ 𝑓 (𝑥) = 𝑔 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥 2 + 2𝑥 + 5) = cos( 𝑥 2 + 2𝑥 + 5)
𝑔 ∘ 𝑓 ′ (𝑥) = −(2𝑥 + 2) sin( 𝑥 2 + 2𝑥 + 5)
101
Tableau des dérivées usuelles et opérations sur les fonctions dérivées :
𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝑑𝑒𝒓𝒊𝒗é𝒆 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝑑𝑒𝒓𝒊𝒗é𝒆 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝑑𝑒𝒓𝒊𝒗é𝒆

1 −𝑣′(𝑥) 𝑢′(𝑥)
𝑘 (constante) 0 tan( 𝑢(𝑥))
𝑣(𝑥) 𝑣 2 (𝑥) cos 2 ( 𝑢(𝑥))
1 −1 1
𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) 𝑢′(𝑥) + 𝑣′(𝑥) tan( 𝑥) = 1 + tan2 ( 𝑥)
𝑥 𝑥2 cos2 ( 𝑥)
𝑢′(𝑥)
𝑘𝑢(𝑥) 𝑘𝑢′(𝑥) 𝑒 𝑢(𝑥) 𝑢′(𝑥)𝑒 𝑢(𝑥) cotan(𝑢(𝑥))
sin2 ( 𝑢(𝑥))
1
𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) 𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥) 𝑒𝑥 𝑒𝑥 cotan(𝑥) 2
sin ( 𝑥)
𝑢(𝑥) 𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥) 𝑢′(𝑥) 𝑢′(𝑥)
ln 𝑢(𝑥) arcsin( 𝑢(𝑥))
𝑣(𝑥) 𝑣 2 (𝑥) 𝑢(𝑥) 1 − 𝑢2 (𝑥)
1 1
(𝑢 ∘ 𝑣)(𝑥) 𝑢′(𝑣(𝑥))𝑣′(𝑥) ln 𝑥 arcsin( 𝑥)
𝑥 1 − 𝑥2
−𝑢′(𝑥)
𝑢𝑟 (𝑥) (𝑟 ∈ Q∗ /{1}) 𝑟𝑢′(𝑥)𝑢𝑟−1 (𝑥) 𝑎𝑢(𝑥) (𝑎 > 0) 𝑢′(𝑥)𝑎𝑢(𝑥) ln( 𝑎) arccos( 𝑢(𝑥))
1 − 𝑢2 (𝑥)
−1
𝑥𝑟 (𝑟 ∈ Q∗ /{1}) 𝑟𝑥 𝑟−1 𝑎𝑥 (𝑎 > 0) 𝑎 𝑥 ln( 𝑎) arccos( 𝑥)
1 − 𝑥2
1 1 1 𝑢′(𝑥)
𝑢′(𝑥)𝑢(𝑥)𝑛−1
𝑛
𝑢(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑛 sin( 𝑢(𝑥)) 𝑢′(𝑥) cos( 𝑢(𝑥)) arctan( 𝑢(𝑥))
𝑛 1 + 𝑢2 (𝑥)
𝑛
1 1 −1 1
𝑥 𝑥𝑛 sin( 𝑥) cos( 𝑥) arctan( 𝑥)
𝑛 1 + 𝑥2
𝑢′(𝑥) −𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥) cos( 𝑢(𝑥)) −𝑢′(𝑥) sin( 𝑢(𝑥)) arccotan(𝑢(𝑥))
2 𝑢(𝑥) 1 + 𝑢2 (𝑥)
1 −1
𝑥 cos( 𝑥) − sin( 𝑥) arccotan(𝑥)
2 𝑥 1 + 𝑥2
102
Dérivabilité et continuité
Théorème : Si 𝑓 est dérivable en 𝑥0 alors, 𝑓 est continue en 𝑥0.
Remarques :
➢ Si 𝑓 n’est pas continue en 𝑥0 alors, 𝑓 n’est pas dérivable en 𝑥0
➢ Si 𝑓 est continue en x0 alors,𝑓 n’est pas forcement dérivable en 𝑥0
Exemple : 𝑓(𝑥) = 𝑥 , 𝑥0 = 0
𝒇(𝒙) = 𝒙
𝑓 est continue au point 0 car lim 𝑓 (𝑥) = 0 = 𝑓(0)

𝑥→0
mais 𝑓 est non dérivable au point 0 car 𝑓𝑔′ 0 ≠ 𝑓𝑑′ 0 .
103
Dérivabilité sur [𝒂, 𝒃] :
• f est dérivable sur ]𝑎, 𝑏[ si f est dérivable en tout point de ]𝑎, 𝑏[.
• f est dérivable sur [𝑎, 𝑏] si f est dérivable sur ]𝑎, 𝑏[ et dérivable à droite de a et à
gauche de 𝑏.
• f est dérivable sur −∞, 𝑏 si f est dérivable sur −∞, 𝑏 et dérivable à gauche de 𝑏.
• f est dérivable sur 𝑎, +∞ si f est dérivable sur 𝑎, +∞ et dérivable à droite de 𝑎.
104
Dérivabilité et monotonie :
Théorème : 𝑓 est dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 ⊆ ℝ

+
• 𝑓 est croissante sur 𝐼 ssi, ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) ≥ 0

x1 x 2 x1 x 2
• 𝑓 est strictement croissante sur 𝐼 ssi, ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) > 0
x1 x 2 x1 x 2
• 𝑓 est décroissante sur 𝐼 ssi, ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) ≤ 0
• 𝑓 est strictement décroissante sur 𝐼 ssi, ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) < 0

𝒏𝒖𝒍𝒍𝒆
• 𝑓 est constante sur 𝐼 ssi ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) = 0 x1 x 2
105
Dérivabilité et monotonie :
Théorème :
𝑓 dérivable sur 𝑎, 𝑏 𝑓 −1 est dérivable sur 𝑓 𝑎, 𝑏 et

ቊ ⇒ቐ 1
𝑓 strictement monotone sur 𝑎, 𝑏 ∀𝑦 ∈ 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑓 −1 ′ (𝑦) = −1
𝑓′ 𝑓 (𝑦)
Preuve :
𝑂𝑛 𝑎 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⇔ 𝑦 ∈ 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦)
𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) ⇔ 𝑦0 ∈ 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑥0 = 𝑓 −1 (𝑦0 )
𝑓 −1 (𝑦) − 𝑓 −1 (𝑦0 ) 𝑥 − 𝑥0 1
𝑓 −1 ′ (𝑦0 ) = lim = lim = lim
𝑦→𝑦0 𝑦 − 𝑦0 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 )
𝑥 − 𝑥0
1 1 1
𝐴𝑖𝑛𝑠𝑖, 𝑓 −1 ′ (𝑦) = = =
𝑓′(𝑥) 𝑓′(𝑓 −1 (𝑦)) 𝑓′ ∘ 𝑓 −1 (𝑦)
Corollaire :
𝑓 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑓 −1 est dérivable 𝑒𝑛 𝑦0 et
൞𝑓 dérivable 𝑒𝑛 𝑥0 ⇒ ൞ −1 ′
1
𝑓 (𝑦0 ) =
𝑦0 = 𝑓 𝑥0 𝑓′ 𝑓 −1 (𝑦)
106
Dérivées successives
Théorème : 𝑓 admet des dérivées successives jusqu’à l’ordre 𝑛 ∈ ℕ en 𝑥0 si :
0
𝑓 (𝑥0 ), 𝑓′(𝑥0 ), 𝑓"(𝑥0 ), 𝑓 (3) (𝑥0 ), ⋯ , 𝑓 (𝑛−1) (𝑥0 ), 𝑓 (𝑛) (𝑥0 ) existent
′
𝑓 (𝑛) = 𝑓 (𝑛−1) ; 𝑓 (0) = 𝑓
Exemple :
1 −1 2 −2.3 2 .3.4
𝑓(𝑥) = , 𝑓′(𝑥) = 2
, 𝑓"(𝑥) = 3
, 𝑓 (3) (𝑥) = , 𝑓 (4) (𝑥) =
𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1 4 𝑥−1 5
(𝑛) (−1)𝑛 𝑛!
On remarque que : 𝑓 (𝑥) = ∀𝑛 ∈ ℕ
(𝑥−1)𝑛+1
Démonstration par récurrence :
1 (−1)0 0!
Vérification : 𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = = (par convention 𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) )
𝑥−1 (𝑥−1)0+1
(𝑛) (−1)𝑛 𝑛!
Hypothèse de récurrence : on suppose que 𝑓 (𝑥) =
(𝑥−1)𝑛+1
(𝑛+1) (−1)𝑛+1 (𝑛+1)!
Démonstration : On montre que 𝑓 (𝑥) =
(𝑥−1)𝑛+2
(𝑛+1) (𝑛) ′ 𝑛
−(𝑛 + 1)(𝑥 − 1)𝑛 (−1)𝑛+1 𝑛! (𝑛 + 1)(𝑥 − 1)𝑛
𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥) = (−1) 𝑛! =
(𝑥 − 1)𝑛+1 2 (𝑥 − 1)2𝑛+2
(𝑛) (−1)𝑛 𝑛!
Conclusion : 𝑓 (𝑥) = ∀𝑛 ∈ ℕ
(𝑥−1)𝑛+1
107
Exercice : Montrer que, ∀𝑛 ∈ ℕ
(𝑛)
𝜋
sin( 𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑎𝑛 sin 𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑛
2
(𝑛)
𝜋
cos( 𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑎𝑛 cos 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑛
2
Exercice :
1
Calculer 𝑔(𝑛) (𝑥) pour 𝑔(𝑥) = 𝑥 2−1
𝑎 𝑏
𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 ∶ 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑥) = +
𝑥−1 𝑥+1
108
Formules de Leibniz :
Théorème : 𝑓 et 𝑔 sont 𝑛 𝑛fois dérivables en 𝑥. Alors, .

𝑛
𝑛!
𝑓×𝑔 𝑥 = ෍ 𝒞𝑛𝑘 𝑓 𝑘
𝑥 ×𝑔 𝑛−𝑘
𝑥 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝒞𝑛𝑘 =
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
𝑘=0
Exemples :
𝑥3 𝑛
1) Soit ℎ(𝑥) = . Calculons ℎ 𝑥 =? et en déduire ℎ(𝑛) (0) =?
𝑥−1
1
On remarque que ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) =
𝑥−1
(−1)𝑘 𝑘!
On sait que 𝑔(𝑘) (𝑥) = ∀𝑘 ∈ N
(𝑥−1)𝑘+1
𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 , 𝑓"(𝑥) = 6𝑥, 𝑓 (3) (𝑥) = 6, 𝑓 (𝑘) (𝑥) = 0 ∀𝑘 ≥ 4
n
h( n ) ( x ) =  C n f ( k ) ( x ) g ( n − k ) ( x )
k
k =0
3 n
=  C n f (k ) ( x) g(n− k ) ( x) +  C n f (k ) ( x) g(n− k ) ( x)
k k
k =0 k =4
3
= C n f (n− k )
k (k )
( x)g ( x)
k =0
= C n f ( 0 ) ( x ) g ( n − 0 ) ( x ) + C n f ' ( x ) g ( n − 1) ( x ) + C n f " ( x ) g ( n − 2 ) ( x ) + C n f ( 3 ) ( x ) g ( n − 3 ) ( x )
0 1 2 3
− n!
h( n ) (0) = C n f ( 3 ) (0) g ( n − 3 ) (0) =
3
6( n − 3)!= − n!
3!( n − 3)!
𝑔(𝑘) (0) = −𝑘! ∀𝑘 ∈ N 𝑒𝑡 𝑓 (3) (0) = 6, 𝑓 (𝑘) (0) = 0 ∀𝑘 ∈ N 𝑘≠3

𝐴𝑖𝑛𝑠𝑖, ℎ(𝑛) (0) = −𝑛!
109
2, Soit ℎ(𝑥) = (𝑥 2 + 2𝑥 + 2)(4𝑥 + 3)𝑛 Calculons ℎ 𝑛
𝑥 =? et en déduire ℎ(𝑛) (0) =?
On remarque que ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) = (4𝑥 + 3)𝑛
𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 2, 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 2, 𝑓"(𝑥) = 2, 𝑓 (𝑘) (𝑥) = 0 ∀𝑘 ≥ 3
𝑔(0) (𝑥) = ℎ(𝑥) = (4𝑥 + 3)𝑛 𝑔′(𝑥) = 4𝑛(4𝑥 + 3)𝑛−1 𝑔" (𝑥) = 42 𝑛(𝑛 − 1)(4𝑥 + 3)𝑛−2
𝑔(3) (𝑥) = 43 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(4𝑥 + 3)𝑛−3
n
h( n ) ( x ) =  C n f ( k ) ( x ) g ( n − k ) ( x )
k
k =0
= C n f ( 0 ) ( x ) g ( n − 0 ) ( x ) + C n f ' ( x ) g ( n − 1) ( x ) + C n f " ( x ) g ( n − 2 ) ( x )
0 1 2
h( n ) ( x )
n( n − 1) n! n − 2
= ( x 2 + 2 x + 2)n!4n + n( 2 x + 2)n!4n − 1 (4 x + 3) + 2 4 ( 4 x + 3) 2
2 2
1
= 4n n!( x 2 + 2 x + 2) + 4n − 1 n! n( 2 x + 2)(4 x + 3) + 4n − 2 n! n( n − 1)(4 x + 3)2
2
𝑝
𝑔 (𝑥) = 4𝑝 𝑛(𝑛 − 1) ⋯ (𝑛 − (𝑝 − 1))(4𝑥 + 3)𝑛−𝑝 ∀𝑝 ≤ 𝑛 − 1
𝑔(𝑝) (𝑥) = 0 ∀𝑝 ≥ 𝑛
+1
𝑔(𝑛) (𝑥) = 4𝑛 𝑛! 𝑝=
𝑛 9
ℎ(𝑛) (0) = 2𝑛! 4𝑛 + 6𝑛! 𝑛4𝑛−1 + 4𝑛−2 𝑛! 𝑛(𝑛 − 1) = 2𝑛! 4𝑛−1 (9𝑛2 − 5𝑛 + 4)
2
110
Optimisation : Extremum (minimum ou maximum)
Définition : f est définie sur un intervalle ouvert 𝐼 ⊆ R. soit 𝑥0 ∈ 𝐼.
f admet un minimum relatif (local) en x0 si,
∃𝐽 ⊆ R, 𝑥0 ∈ 𝐽 tel que ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝐽 𝑓(𝑥0 ) ≤ 𝑓(𝑥)
f admet un maximum relatif (local) en x0 si,
∃𝐽 ⊆ R, 𝑥0 ∈ 𝐽 tel que ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝐽 𝑓(𝑥0 ) ≥ 𝑓(𝑥)
f admet un minimum absolu (global) en x0 si,
∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑓(𝑥0 ) ≤ 𝑓(𝑥)
f admet un maximum absolu (global) en x0 si,

∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑓(𝑥0 ) ≥ 𝑓(𝑥)
111
Condition nécessaire
Théorème (CN) : 𝑓 est dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼. Soit 𝑥0 ∈ 𝐼.
Si 𝑓 présente un extremum relatif en 𝑥0 alors, 𝑓′(𝑥0 ) = 0
Max1
tangente
Exemple : 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , Ggraphiquement, le point d’abscisse 𝑥0 = 0 est un Max2 horizontale
en tout
extremum
minimum absolu de 𝑓
𝑓′(𝑥) = 2𝑥, 𝑓′(𝑥0 ) = 2𝑥0 = 0 Min2
Remarque : La réciproque est fausse, c’est-à-dire, Min1
Si 𝑓′(𝑥0 ) = 0 cela n’implique pas que 𝑓 présente un extremum en 𝑥0 f ( x) = x 2
Contre exemple : 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 . On a 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 𝑒𝑡 𝑓′(0) = 0 mais

le point d’abscisse 𝑥0 = 0 n’est pas un extremum de 𝑓. 0
x
f ( x) = x 3
On remarque ici que 𝑓’(𝑥) ne change pas de signe en 𝑥0 = 0.
x
0
Théorème (CN) : 𝑓 est deux fois dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 ⊆ 𝐷𝑓
Si 𝑓 admet un minimum relatif en 𝑥0 alors 𝑓"(𝑥0 ) ≥ 0
Si 𝑓 admet un maximum relatif en 𝑥0 alors 𝑓"(𝑥0 ) ≤ 0
112
Condition suffisante
Théorème (CS) : 𝑓 est deux fois dérivable et un intervalle ouvert 𝐼 et 𝑓′(𝑥0 ) = 0

si𝑓"(𝑥0 ) < 0 alors, 𝑓 admet un maximum local en 𝑥0
si 𝑓"(𝑥0 ) > 0) alors, 𝑓 admet un minimum local en 𝑥0
Théorème : f est dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 ⊆ 𝐷𝑓 . Soit 𝑥0 ∈ 𝐼.

𝑓′(𝑥0 ) = 0
ቊ
𝑓′ change de signe de part et d′autre de 𝑥0
f (x )
f (x )
0 x
0 x
113
Exemple : Exemple :
Soit 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 + 1 Soit 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)2 + 1
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
1
𝑥
−1
−1 0 𝑥
𝑓′(𝑥) = 2(𝑥 + 1), 𝑓′(−1) = 0, 𝑓(−1) = 1 𝑓′(𝑥) = −2(𝑥 + 1), 𝑓′(−1) = 0, 𝑓(−1) = 1
f ’(x) change de signe de part et d’autre de 𝑥0 = −1 f ’(x) change de signe de part et d’autre de 𝑥0 = −1
Donc, f présente un minimum au point 𝑥0 = −1 Donc, f présente un maximum au point 𝑥0 = −1
x − −1 + x − −1 +
f '( x ) − 0 + f '( x ) + 0 −
f ( x) + + f ( x) 1
1 − −
114
Convexité et concavité
Définition : 𝑓 est définie sur un intervalle 𝐼.

f est convexe sur I si
∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼, ∀𝛼 ∈ 0,1 , 𝑓 𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼)𝑥2 ≤ 𝛼𝑓(𝑥1 ) + (1 − 𝛼)𝑓(𝑥2 )

f ( x1 )
f ( x1 ) + (1 − ) f ( x2 )
f ( x2 )
Cf a sa concavité tournée vers le haut
f (x1 + (1 − ) x2 ) Cf
Cf est au dessus de toutes ses tangentes
x1 x1 + (1 −  ) x2 x2
Définition : f est définie sur un intervalle 𝐼.

𝑓 est concave sur I si (−𝑓) est convexe, c’est-à-dire :
∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼, ∀𝛼 ∈ 0,1 , 𝑓 𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼)𝑥2 ≥ 𝛼𝑓(𝑥1 ) + (1 − 𝛼)𝑓(𝑥2 )
Cf a sa concavité tournée vers le bas

f (x1 + (1 − ) x2 )
f ( x1 ) Cf est au dessous de toutes ses tangentes
f ( x1 ) + (1 − ) f ( x2 )
Cf
f ( x2 )
x1 x1 + (1 −  ) x2 x2
115
Théorème : f est définie et dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 ⊆ R.
f est convexe sur I ssi 𝑓’ est croissante sur I .

f est concave sur I ssi 𝑓’ est décroissante sur I
Théorème : f est définie et deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I

f est convexe sur I ssi 𝑓"(𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼
Exemple : 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 est convexe sur ℝ car ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑓"(𝑥) = 2 > 0
Théorème : f est définie et deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I

f est concave sur I ssi 𝑓"(𝑥) ≤ 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼
Exemple : 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 est concave sur ℝ car ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑓"(𝑥) = −2 < 0
116
Exercice :
Étudier la convexité de 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 sur 0, +∞
𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 > 0
𝑥 −∞ 0 +∞
(𝑓"(𝑥)) − 0 +
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑡𝑒 +∞
𝑓"(𝑥) = 6𝑥 𝑑𝑒𝑓 −∞ 0
𝑓(𝑥)
f est convexe sur 0, +∞

0
f est concave sur −∞, 0
117
f est dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 ⊆ R. soit 𝑥0 ∈ 𝐼.
Définition :
𝑓′(𝑥0 ) = 0 𝑒𝑡 𝑓′(𝑥) ne change pas de signe en 𝑥0

f (x)
𝑥0 convexe convexe
⇒ 𝑀0 = 𝑓(𝑥 ) est un point d′inflexion du graphe de 𝑓
0
M0 M0
concave concave
Théorème :
x0 x0
0
𝑓"(𝑥0 ) = 0 𝑒𝑡 𝑓"(𝑥) change de signe en 𝑥0
𝑥0
⇒ M0 = 𝑓(𝑥 ) est un point d′inflexion du graphe de 𝑓
0
118
Exemple : Exemple :
Soit 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 2 Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
0 𝑥
0 𝑥
𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 , 𝑓′(0) = 0, 𝑓(0) = 2 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 + 1, 𝑓"(𝑥) = 6𝑥, 𝑓"(0) = 0

𝑥 −∞ 0 +∞
x − 0 +
𝑓"(𝑥) − 0 +
f '( x ) + 0 + 𝑓(𝑥)
f ( x) 2 + 0
− Point Point
d’inflexion d’inflexion
119
Théorème de ROLLE :
𝑓 définie et continue sur 𝑎, 𝑏

൞ 𝑓 dérivable sur 𝑎, 𝑏 ⇒ ∃ au moins 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 tel que 𝑓′(𝑐) = 0
𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏)
On dit que c est un zéro de la fonction dérivée f’
f (x ) f (x )
f ' (c ) = 0 f ' (c1 ) = 0
f ( a ) = f ( b) f ( a ) = f ( b)
x c2
c c1 x
a b a b
f ' ( c2 ) = 0
Un seul point vérifie le théorème de ROLLE Deux points vérifient le théorème de ROLLE
120
Exemples :
1
1. 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1
𝑠𝑢𝑟 −2,2 , 𝐷𝑓 = ℝΤ{−1,1}
𝑓 est non définie sur [−2,2] car −2,2 ⊄ 𝐷𝑓 . Donc, On ne peut pas appliquer le
théorème de ROLLE à 𝑓 sur [−2,2].
𝑥−2 𝑥 >0
2. (𝑥) = ቊ 𝑠𝑢𝑟 0,1 , 𝐷𝑓 = ℝ
2 𝑥≤0
𝑓 est définie sur [0,1] car 0,1 ⊆ 𝐷𝑓
𝑓 est non continue sur [0,1] car 𝑓 est discontinue en 0. En effet, lim+ 𝑓 (𝑥) = −2 ≠ 𝑓(0)
𝑥→0
Donc, on ne peut pas appliquer le théorème de ROLLE à 𝑓 sur [0,1].
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 𝑠𝑢𝑟 0,2 , 𝐷𝑓 = ℝ
𝑥−1 𝑥 ≥1 1 𝑥>1
𝑓 𝑥 =ቊ 𝑓′(𝑥) = ቊ
−𝑥 + 1 𝑥 ≤ 1 −1 𝑥 < 1
𝑓 est définie et continue sur [0,2] et 𝑓 est non dérivable au point 𝑥0 = 1 ∈ 0,2 .
En effet,
𝑓′𝑑 (1) = 1 𝑒𝑡 𝑓′𝑔 (1) = −1
Donc, on ne peut pas appliquer le théorème de ROLLE à f sur [0,2].
121
𝑥−1
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥+2 𝑠𝑢𝑟 0,1 , 𝐷𝑓 = ℝΤ{−2}
𝑓 est définie et continue sur [0,1] et dérivable sur ]0,1[. Mais 𝑓(0) ≠ 𝑓(1)
Donc, on ne peut pas appliquer le théorème de ROLLE à 𝑓 sur [0,1].
𝑓(𝑥) 5. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 2𝑥 + 3 𝑠𝑢𝑟 0,1 , 𝐷𝑓 = ℝ
𝑓 est définie, continue sur [0,1]
et 𝑓 est dérivable sur ]0,1[,

3
𝑓′(𝑥) = 6𝑥 2 − 2 et 𝑓(0) = 𝑓(1) = 3
Donc, on peut appliquer le théorème de ROLLE à f

sur [0,1] :
0 3 1
3
∃𝑐 ∈ 0,1 tel que 𝑓′(𝑐) = 0
On a 𝑓 ′ 𝑐 = 0
⇔ 6𝑐 2 − 2 = 0 ⇔ 𝑐 2 = 1Τ3 ⇔ 𝑐 = ± 3Τ3
122
Exercice : Montrer que l’équation 𝑥 2 + ln( 1 + 𝑥) = 0 n’admet que 0 comme solution.
Posons 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + ln( 1 + 𝑥) 𝐷𝑓 = −1, +∞
Raisonnement par l’absurde : supposons que 𝑓 admet un zéro, noté 𝑥0, autre que le point 0.
𝑥0 ∈ −1, +∞ , 𝑥0 ≠ 0, 𝑓(0) = 0 𝑒𝑡 𝑓(𝑥0 ) = 0
Supposons que 0 < 𝑥0 même raisonnement si on suppose que 0 > 𝑥0 Ainsi, 𝑓 définie, continue
1 2𝑥 2 +2𝑥+1
sur [0, 𝑥0], dérivable sur ] 0, 𝑥0[, 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + = et 𝑓(0) = 𝑓(𝑥0 )
1+𝑥 1+𝑥
𝑓(𝑥)
D’après le théorème de ROLLE, ∃𝑐 ∈ 0, 𝑥0 𝑓′(𝑐) = 0
2𝑐 2 +2𝑐+1
On a : 𝑓′(𝑐) = 0 ⇔ = 0 ⇔ 2𝑐 2 + 2𝑐 + 1 = 0
1+𝑐
0
Or Δ = −4 < 0 d’où l’équation 2𝑐 2 + 2𝑐 + 1 = 0 n’admet pas de solution réelle. Ce qui est

absurde. D’où le point 0 est le seul point solution de l’équation 𝑥 2 + ln( 1 + 𝑥) = 0
123
Généralisation du Théorème de Rolle :
Théorème :
𝑓 définie et continue sur 𝑎, +∞

൞ 𝑓 dérivable sur 𝑎, +∞ ⇒ ∃ au moins 𝑐 ∈ 𝑎, +∞ tel que 𝑓′(𝑐) = 0
lim 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→+∞
𝑓 définie et continue sur −∞, 𝑏

൞ 𝑓 dérivable sur ∞, 𝑏 ⇒ ∃ au moins 𝑐 ∈ −∞, 𝑏 tel que 𝑓′(𝑐) = 0
lim 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑏)
𝑥→−∞
𝑓 définie et continue sur −∞, +∞

൞ 𝑓 dérivable sur −∞, +∞ ⇒ ∃ au moins 𝑐 ∈ −∞, +∞ tel que 𝑓 ′ 𝑐 = 0
lim 𝑓 (𝑥) = lim 𝑓 (𝑥)
𝑥→−∞ 𝑥→+∞
124
Exemple :
𝑥 2 +𝑥+1 2𝑥+1 𝑥 2 +1 −2𝑥 𝑥 2 +𝑥+1 1−𝑥 2
Soit 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑡 𝑓′(𝑥) = =
𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 2 𝑥 2 +1 2
➢ Sur [0, +∞[ ,𝑓 définie, continue sur[0, +∞[ f est dérivable sur 0, +∞ et lim 𝑓 (𝑥) = 𝑓(0) = 1
𝑥→+∞
d’après le théorème de ROLLE appliqué à 𝑓 sur 0, +∞ :

∃ au moins 𝑐 ∈ 0, +∞ tel que 𝑓′(𝑐) = 0
𝑦=1 1
On a : 𝑓 ′ 𝑐 = 0 ⇔ 1 − 𝑐 2 = 0 ⇔ 𝑐 = ±1
Or 𝑐 ∈ 0, +∞ donc seul le point 𝑐 = 1
−1 1
➢ Sur ] − ∞, +∞[ , 𝑓 définie, continue et dérivable sur ] − ∞, +∞[ et lim 𝑓 (𝑥) = 1
𝑥 →+∞
d’après le théorème de Rolle appliqué à 𝑓 sur] − ∞, +∞[: ∃ au moins 𝑐 ∈

−∞, +∞ tel que 𝑓′(𝑐) = 0
On a : 𝑓 ′ 𝑐 = 0 ⇔ 1 − 𝑐 2 = 0 ⇔ 𝑐 = ±1 donc les points 𝑐1 = −1 et 𝑐2 = 1
Exercice : Déterminer 𝑎 pour que le théorème de ROLLE s’applique à 𝑓 𝑥 =

2 +𝑥
𝑒 𝑎𝑥 sur −∞, +∞ . Puis, en déduire le(s) point(s) vérifiant le théorème.
125
Théorème des accroissements finis :
Théorème :
𝑓 est définie et continue sur 𝑎, 𝑏

ቊ
𝑓 est dérivable sur 𝑎, 𝑏
⇒ ∃ au moins 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 tel que 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑐)(𝑏 − 𝑎)
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
Preuve : On pose 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) − 𝑏−𝑎
(𝑥 − 𝑎), g′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) − 𝑏−𝑎
𝑒𝑡
𝑔 est définie et continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ :
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
𝑔 𝑎 =𝑓 𝑎 −𝑓 𝑎 − 𝑎 − 𝑎 = 0 𝑒𝑡
𝑏−𝑎
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) − (𝑏 − 𝑎) = 0
𝑏−𝑎
D’après le théorème de ROLLE, ∃ au moins 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 tel que 𝑔′(𝑐) = 0
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑔′(𝑐) = 0 ⇔ 𝑓′(𝑐) − = 0 ⇔ 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑐)(𝑏 − 𝑎)
𝑏−𝑎
126
Exemple :
Soit 𝑓(𝑥) = ln( 1 + 𝑥 2 ) 𝑠𝑢𝑟 0,1 .
𝑓 définie et continue sur [0,1]
𝑓 dérivable sur ]0,1[.
On peut appliquer le TAF à 𝑓 sur [0,1] : ∃𝑐 ∈ 0,1 tel que
𝑓(1) − 𝑓(0) 𝑓 1
𝑓′ 𝑐 =
1−0 𝑓′ 𝑐
𝑓 0
0
c 1
2𝑥
Or 𝑓 ′ 𝑥 = 1+𝑥2
𝑓(1) − 𝑓(0) 2𝑐
𝑓′(𝑐) = ⇔ 2
= ln( 2) ⇔ ln( 2)𝑐 2 − 2𝑐 + ln( 2) = 0
1−0 1+𝑐
− −4 ln 2 2 +4+2 −4 ln 2 2 +4+2
⇔c= ≈ 0,40 𝑜𝑢 c = ≈ 2,48.
2 ln 2 2 ln 2
Donc, c ≈ 0,40 est solution.

127
Remarque :
𝑐 ∈]𝑎, 𝑏[ ⇒ 𝑎<𝑐<𝑏
⇒ 0<𝑐−𝑎 <𝑏−𝑎
𝑐−𝑎
⇒ 0 < 𝑏−𝑎 < 1
𝑐−𝑎
On pose, 𝜃 = 𝑏−𝑎 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝜃 ∈ 0,1
De plus, on pose
𝑐−𝑎
𝑏 − 𝑎 = ℎ ⇒ 𝑏 = 𝑎 + ℎ d’où, 𝜃 = ℎ
⇔ 𝑐 = 𝑎 + 𝜃ℎ
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑐)(𝑏 − 𝑎) ⇒ 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎 + 𝜃ℎ)ℎ
En posant, 𝑎 = 𝑥 on écrit :
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥 + 𝜃ℎ)ℎ
Pour une valeur particulière, 𝑥 = 𝑥0 on écrit :
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓′(𝑥0 + 𝜃ℎ)ℎ
128
Exemple : 𝑓(𝑥) = 1Τ𝑥 𝑠𝑢𝑟 𝑎, 𝑏 ⊆ ℝ∗+
Donner FAF introduisant 𝜃(ℎ) ∈ 0,1 puis déterminer lim 𝜃 (ℎ) =?
ℎ→0
𝑓 est définie et continue sur 𝑎, 𝑏 , 𝑎 ≠ 0
−1
et 𝑓 est dérivable sur 𝑎, 𝑏 : 𝑓′(𝑥) = 𝑥2
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
∃𝜃 ∈ 0,1 tel que 𝑓′(𝑎 + 𝜃ℎ) =
1 1
ℎ
− −1 −1 −1
𝑓 ′ 𝑎 + 𝜃ℎ = 𝑎 + ℎ 𝑎 = ⇔ = ⇔ (𝑎 + 𝜃ℎ)2 = 𝑎(𝑎 + ℎ)
ℎ 𝑎 𝑎+ℎ (𝑎 + 𝜃ℎ)2 𝑎 𝑎 + ℎ
𝑎(𝑎 + ℎ) − 𝑎
(𝑎 + 𝜃ℎ)2 = 𝑎(𝑎 + ℎ) ⇔ 𝑎 + 𝜃ℎ = 𝑎 𝑎+ℎ ⇔ 𝜃=
ℎ
𝑎(𝑎 + ℎ) − 𝑎 0
𝐴𝑖𝑛𝑠𝑖, 𝜃(ℎ) = 𝑒𝑡 lim 𝜃 (ℎ) = (𝐹𝐼)
ℎ ℎ→0 0
𝑎(𝑎 + ℎ) − 𝑎 𝑎(𝑎 + ℎ) + 𝑎 𝑎
lim 𝜃 (ℎ) = lim = lim
ℎ→0 ℎ→0 ℎ 𝑎(𝑎 + ℎ) + 𝑎 ℎ→0 𝑎(𝑎 + ℎ) + 𝑎
1 1
= lim =
ℎ→0 ℎ 2
1+𝑎+1
129
Exercice :
En appliquant la formule des accroissements finis à 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 𝑠𝑢𝑟 0, 𝑎 , 𝑎 > 0
𝑎 𝑎 𝒙
Montrer que : < 1+𝑎−1< 𝟐
2 1+𝑎 2 𝟏+𝒙−𝟏
𝒙
𝑓 est définie et continue sur 0, 𝑎 ⊆ −1, +∞ 𝟐 𝟏+𝒙
1
et 𝑓 est dérivable sur 0, 𝑎 : 𝑓′(𝑥) =
2 1+𝑥
𝑓(𝑎) − 𝑓(0)
∃𝑐 ∈ 0, 𝑎 tel que 𝑓′(𝑐) =
𝑎
1+𝑎−1 1 1+𝑎−1 𝑎
𝑓′(𝑐) = ⇔ = ⇔ = 1+𝑎−1
𝑎 2 1+𝑐 𝑎 2 1+𝑐
On a
𝑎 𝑎 𝑎
0< 𝑐 <𝑎 ⇒1< 1+𝑐 <1+𝑎 ⇒2< 2 1+𝑐 <2 1+𝑎 ⇒ < < , (𝑎 > 0)
2 1+𝑎 2 1+𝑐 2
D’où,
𝑎 𝑎
< 1+𝑎−1<
2 1+𝑎 2
130
Inégalité des accroissements finis
Théorème :
Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 telle que :
∃𝑚, 𝑀 ∈ ℝ vérifiant ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑚 ≤ 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 𝑀
Alors, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 𝑎 ≤ 𝑏 on a ∶
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
131
Application du théorème des accroissements finis :
Théorème :
𝑓 est définie et continue sur 𝑎, 𝑏
𝑓 est dérivable sur 𝑎, 𝑏 ⇒ 𝑓𝑑′ (𝑎) = 𝑙1 , 𝑓𝑔′ (𝑏) = 𝑙2
lim+ 𝑓 ′(𝑥) = 𝑙1 ∈ R, lim− 𝑓 ′(𝑥) = 𝑙2 ∈ R
𝑥→𝑎 𝑥→𝑏
Exemple : 𝑠𝑢𝑟 −1,1

𝑥−1 −1 −1 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑓 𝑥 = = ቐ𝑥 − 1 𝑒𝑡 𝑓′(𝑥)
𝑥 +1 0≤𝑥≤1
𝑥+1
𝑓 est définie et continue sur [−1,0], dérivable sur ] − 1,0[ : 𝑓′(𝑥) = 0
lim + 𝑓 ′(𝑥) = lim + 0 = 0 ⇒ 𝑓𝑑 ′(−1) = 0
𝑥→−1 𝑥→−1
−2
𝑓 est définie et continue sur [0,1], dérivable sur ]0,1[ : 𝑓′(𝑥) = (1+𝑥)2
2 1 1
lim 𝑓 ′(𝑥) = lim− = ⇒ 𝑓𝑔 ′(1) =
𝑥→1− 𝑥→1 (1 + 𝑥)2 2 2
132
Application du théorème des accroissements finis :
Remarque : La réciproque est fausse.
2 1
Soit la fonction : 𝑓(𝑥) = ൝ sin
𝑥 𝑥
𝑥≠0
0 𝑥=0
1 1
𝑥 ≠ 0, 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 sin − cos .
𝑥 𝑥
𝑓’ n’admet pas de limite au point 0. Cependant,
𝑓(𝑥) − 𝑓(0) 1
lim = lim 𝑥 sin =0
𝑥→𝑥0 𝑥−0 𝑥→0 𝑥
Ainsi,
𝑓(𝑥) − 𝑓(0)
lim = 𝑙 ⇒ӏ lim 𝑓 ′(𝑥) = 𝑙
𝑥→𝑥0 𝑥−0 𝑥→𝑥0
133
Théorème généralisé des accroissements finis :
Théorème :
𝑓, 𝑔 sont définies et continues sur 𝑎, 𝑏
𝑓, 𝑔 sont dérivables sur 𝑎, 𝑏
𝑔′(𝑥) ≠ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑓′(𝑐)

⇒ ∃𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 tel que =
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) 𝑔′(𝑐)
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) 𝑓′(𝑎 + 𝜃ℎ)

⇒ ∃𝜃 ∈ 0,1 tel que =
𝑔(𝑎 + ℎ) − 𝑔(𝑎) 𝑔′(𝑎 + 𝜃ℎ)
134
Exemple :
Formule généralisée des accroissements finis appliquée à f et g sur [0,1] avec,
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) = ln( 1 + 𝑥)
f et 𝑔 sont définies et continues sur [0,1] et dérivables sur ]0,1[
1
𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑒𝑡 𝑔′(𝑥) =
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑔′(𝑥) ≠ 0 𝑠𝑢𝑟 0,1
1+𝑥
𝑓′(𝑐) 𝑓(1) − 𝑓(0)
∃ au moins 𝑐 ∈ 0,1 tel que =
𝑔′(𝑐) 𝑔(1) − 𝑔(0)
𝑓′(𝑐) 𝑓(1) − 𝑓(0) 𝑒𝑐 𝑒 − 𝑒0 𝑒−1

= ⇔ = ⇔ (1 + 𝑐)𝑒 𝑐 =
𝑔′(𝑐) 𝑔(1) − 𝑔(0) 1 ln( 2) ln( 2)
1+𝑐
Le point c ≈ 0,5014 ∈]0,1[ vérifiant le théorème généralisé des accroissements finis
appliqué à 𝑓 et g sur [0,1] est solution de l’équation ln( 2)(1 + 𝑐)𝑒 𝑐 = 𝑒 − 1
135
Règle de L’HOSPITAL :
Application de la formule généralisée des accroissements finis à la forme indéterminée
0 ∞
𝑜𝑢
0 ∞
Théorème :
𝑓, 𝑔 sont définies et continues au V(a)
𝑓, 𝑔 sont dérivables au V(a) (sauf peut être en a)
lim 𝑓 (𝑥) = lim 𝑔 (𝑥) = 𝛼 (𝛼 = 0 𝑜𝑢 𝛼 = ∞)

𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0, 𝑔′(𝑥) ≠ 0 ∀𝑥 ∈ V(a)
𝑓 ′ (𝑥) 𝑓(𝑥)
⇒ lim ′ = 𝑙 ⇒ lim =𝑙
𝑥→𝑎 𝑔 (𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
Remarque :
𝑓′ 𝑓" 𝑓3 …
Si 𝑔′
donne encore Forme Indéterminée ; passez à 𝑔"
; 𝑔3
si ces dérivées vérifient les
conditions susmentionnées de la règle de L’HOSPITAL à chaque fois qu’on trouve la FI

136
Exemple 1 :
𝑥 ln(𝑥)−𝑥+1 0
lim = 0 (𝐹𝐼) Appliquons la règle de l’Hospital à 𝑓 et 𝑔
𝑥→1 (𝑥−1) ln(𝑥)
On pose, 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln( 𝑥) − 𝑥 + 1 et 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1) ln( 𝑥). 𝑓 et 𝑔 définies et

continues au voisinage de 1
𝑓′(𝑥) ln(𝑥) 0
lim 𝑔′(𝑥) = lim 𝑥−1 = (𝐹𝐼) Donc f et g sont dérivables au voisinage de 1.
𝑥→1 𝑥→1 ln(𝑥)+ 𝑥 0
𝑥−1
𝑓′(𝑥) = ln( 𝑥) 𝑒𝑡 𝑔′(𝑥) = ln( 𝑥) + .
𝑥
Appliquons une autre fois la règle de l’Hospital à 𝑓’ et 𝑔’

2
𝑓"(𝑥) = 1Τ𝑥 𝑒𝑡 𝑔"(𝑥) = 1Τ𝑥 + 1Τ𝑥
𝑓’ et 𝑔’ définies, continues et dérivables au voisinage de 1.

1
𝑓"(𝑥) 1 𝑓′(𝑥) 1 𝑓(𝑥) 1
lim = lim 𝑥 = ⇒ lim = ⇒ lim =
𝑥→1 𝑔"(𝑥) 𝑥→1 1 1 2 𝑥→1 𝑔′(𝑥) 2 𝑥→1 𝑔(𝑥) 2
+ 2
𝑥 𝑥
137
Exemple 2 :
ln(𝑥) ∞ ln(𝑥) ∞
lim = ∞ (𝐹𝐼) 𝑒𝑡 lim+ 𝑥 2 ln( 𝑥) = lim+ 1 = ∞ (𝐹𝐼)
𝑥→∞ 𝑥 𝑥→0 𝑥→0 𝑥2
1
ln( 𝑥)
lim 𝑥 = 0+ ⇒ lim = 0+
𝑥→+∞ 1 𝑥→+∞ 𝑥
1
𝑥 −𝑥 2 ln( 𝑥)
lim+ = lim+ = 0− ⇒ lim+ = lim+ 𝑥 2 ln( 𝑥) = 0−
𝑥→0 −2 𝑥→0 2 𝑥→0 1 𝑥→0
𝑥 3 𝑥 2
𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)
lim = 𝑙 ⇒ӏ lim =𝑙
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥)
Remarque : La réciproque de la règle de L’HOSPITAL est fausse :
2 cos 1
𝑥 𝑥≠0
Exemple : 𝑓(𝑥) = ൝ 𝑥 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) = sin 𝑥
0 𝑥=0
138

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Dérivabilité d’une fonction numérique

La notion de la dérivée est réintroduite. Les propriétés classiques sont

• Notion de dérivabilité et interprétation géométrique de la dérivée

Fonction différentielle en un point 𝑥0 ssi ∃ 𝑚 ∈ ℝ et une fonction 𝜀 ∶ ℎ ↦ 𝜀(ℎ) définie sur

un intervalle 𝐼 centré en 0 telle que : ∀ℎ ∈ 𝐼, 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑚ℎ +

ℎ𝜀(ℎ) 𝑎𝑣𝑒𝑐 lim 𝜀 (ℎ) = 0

L’application limite h ↦ 𝑚ℎ est dite fonction linéaire tangente à 𝑓 au point 𝑥0 ou fonction

Exemples : Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 1, 𝑥0 ∈ ℝ, ∀ℎ ∈ ℝ

Donc est 𝑓 différentielle en 𝑥0 .

Fonction dérivable en un point 𝑥0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )

𝑚 s’appelle le nombre dérivé premier de 𝑓 au point 𝑥0 . On le note 𝑓′(𝑥0 ) = 𝑚

ssi ∃ 𝑓 ′ 𝑥0 ∈ ℝ 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓 ′ (𝑥0 )ℎ + ℎ𝜀(ℎ), lim 𝜀 (ℎ) = 0

• Pour une fonction dérivable en 𝑥0 on a : 𝑑𝑓𝑥0 (𝑥) = 𝑓′(𝑥0 )𝑑𝑥

𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 ) (𝑥0 + ℎ)2 + 1 − 𝑥0 2 − 1

Donc, 𝑓′(𝑥0 ) = 2𝑥0 . Et on peut écrire 𝑑𝑓𝑥0 (𝑥) = 2𝑥0 𝑑𝑥

Quand 𝑥 → 𝑥0 , la droite (𝑀𝑀0 ) → (𝑀0 𝑇), 𝑦

La droite (𝑀0 𝑇) tangente à C𝑓 au point 𝑀0 et non parallèle à Cf M T

La dérivée 𝑓′(𝑥0 ) est le coefficient directeur de cette tangente.

𝑓 dérivable à gauche de 𝑥0 ssi

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )

𝑓 dérivable à droite de 𝑥0 ssi

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0 )

f dérivable au point x0 ssi 𝒇(𝒙) = 𝒙

On a pas forcement 𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim 𝑓 ′ (𝑥)

C𝑓 admet une tangente verticale au point M0 (parallèle à l’axe (𝑂𝑦)) d’équation : 𝑥 = 𝑥0

C𝑓 admet une tangente horizontale au point M0 d’équation : 𝑦 = 𝑓(𝑥0 )

C𝑓 admet une tangente oblique au point M0 d’équation :

C𝑓 admet deux demi- tangentes au point M0 (point anguleux) d’équations :

𝑦 = 𝑓′𝑑 (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓(𝑥0 ) 𝑦 = 𝑓′𝑔 (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓(𝑥0 )

• Toute fonction polynomiale est dérivable sur ℝ

• La fonction racine 𝑥 ↦ 𝑥 est dérivable sur ℝ∗+

• Les fonctions trigonométriques 𝑥 ↦ sin( 𝑥), 𝑥 ↦ cos( 𝑥) sont dérivables sur ℝ

• La fonction 𝑥 ↦ 𝑥 𝑟 (𝑟 ∈ 𝑄∗ /{1}) est dérivable sur ℝ∗+

Définition : On dit que,

𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝑑𝑒𝒓𝒊𝒗é𝒆 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝑑𝑒𝒓𝒊𝒗é𝒆 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝑑𝑒𝒓𝒊𝒗é𝒆

Théorème : Si 𝑓 est dérivable en 𝑥0 alors, 𝑓 est continue en 𝑥0.

➢ Si 𝑓 n’est pas continue en 𝑥0 alors, 𝑓 n’est pas dérivable en 𝑥0

➢ Si 𝑓 est continue en x0 alors,𝑓 n’est pas forcement dérivable en 𝑥0

𝑓 est continue au point 0 car lim 𝑓 (𝑥) = 0 = 𝑓(0)

mais 𝑓 est non dérivable au point 0 car 𝑓𝑔′ 0 ≠ 𝑓𝑑′ 0 .

• f est dérivable sur 𝑎, +∞ si f est dérivable sur 𝑎, +∞ et dérivable à droite de 𝑎.

Théorème : 𝑓 est dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 ⊆ ℝ

• 𝑓 est croissante sur 𝐼 ssi, ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) ≥ 0

• 𝑓 est strictement croissante sur 𝐼 ssi, ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) > 0

• 𝑓 est décroissante sur 𝐼 ssi, ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) ≤ 0

• 𝑓 est strictement décroissante sur 𝐼 ssi, ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) < 0

• 𝑓 est constante sur 𝐼 ssi ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓′(𝑥) = 0 x1 x 2

𝑓 dérivable sur 𝑎, 𝑏 𝑓 −1 est dérivable sur 𝑓 𝑎, 𝑏 et

Théorème : 𝑓 et 𝑔 sont 𝑛 𝑛fois dérivables en 𝑥. Alors, .

𝑔(𝑘) (0) = −𝑘! ∀𝑘 ∈ N 𝑒𝑡 𝑓 (3) (0) = 6, 𝑓 (𝑘) (0) = 0 ∀𝑘 ∈ N 𝑘≠3

𝑓 (0) (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 2, 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 2, 𝑓"(𝑥) = 2, 𝑓 (𝑘) (𝑥) = 0 ∀𝑘 ≥ 3

Définition : f est définie sur un intervalle ouvert 𝐼 ⊆ R. soit 𝑥0 ∈ 𝐼.

f admet un minimum relatif (local) en x0 si,

∃𝐽 ⊆ R, 𝑥0 ∈ 𝐽 tel que ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝐽 𝑓(𝑥0 ) ≤ 𝑓(𝑥)

f admet un maximum relatif (local) en x0 si,

∃𝐽 ⊆ R, 𝑥0 ∈ 𝐽 tel que ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝐽 𝑓(𝑥0 ) ≥ 𝑓(𝑥)

f admet un minimum absolu (global) en x0 si,

f admet un maximum absolu (global) en x0 si,