Cours - Math Résumé - Tome I - CH 03 - Dérivabilité - Bac Mathématiques - Bac Mathématiques (2016-2017) MR Benjeddou Saber

Résumé : Dérivabilité
Niveau : Bac mathématiques

Réalisé par : Prof. Benjeddou Saber
Email : saberbjd2003@yahoo.fr
Définition : "Dérivabilité en un point "
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 et soit 𝑥0 ∈ 𝐼.

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 )
On dit que 𝑓 est dérivable en 𝒙𝟎 , si lim existe et finie. Cette limite est appelée
𝑥→𝑥0 𝑥−𝑥0
le nombre dérivée de 𝑓 en 𝑥0 , on le note 𝑓′(𝑥0 ).
Interprétation graphique du nombre dérivé :

Si 𝑓 est dérivable en 𝑥0 , alors sa courbe représentative admet au point 𝑀(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) admet une tangente de
𝟏
⃗ (𝒇′(𝒙
coefficient directeur (ou pente) 𝑓′(𝑥0 ), de vecteur directeur 𝒖 )
) et a pour équation :
𝟎
′ (𝒙
𝒚=𝒇 𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟎 ) + 𝒇(𝒙𝟎 ).
Définition : "Approximation affine"
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 et dérivable en 𝑥0 ∈ 𝐼.

Pour ℎ voisin de 0, le réel 𝑓(𝑥0 ) + ℎ𝑓′(𝑥0 ) est une approximation affine (valeur
approchée) de 𝑓(𝑥0 + ℎ). On écrit : 𝑓(𝑥0 + ℎ) ≈ 𝑓(𝑥0 ) + ℎ𝑓′(𝑥0 ).
Définition : "Dérivabilité à droite en un point"

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 )
On dit que 𝑓 est dérivable à droite en 𝒙𝟎 , si lim+ existe et finie. Cette limite
est appelée le nombre dérivée à droite de 𝑓 en 𝑥0 , on le note 𝑓′𝑑 (𝑥0 ).
Interprétation graphique du nombre dérivé à droite :

Si 𝑓 est dérivable à droite en 𝑥0 , alors sa courbe représentative admet au point 𝑀(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) admet une
𝟏
⃗ (𝑓′
demi-tangente de coefficient directeur 𝑓′𝑑 (𝑥0 ), de vecteur directeur 𝒖 ) et a pour équation :
𝑑 (𝑥0 ))
𝒚 = 𝒇′𝒅 (𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟎 ) + 𝒇(𝒙𝟎 ) avec 𝑥 ≥ 𝑥0 .
Définition : "Dérivabilité à gauche en un point"

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 )
On dit que 𝑓 est dérivable à gauche en 𝒙𝟎 , si lim− existe et finie. Cette limite
est appelée le nombre dérivée à gauche de 𝑓 en 𝑥0 , on le note 𝑓′𝑔 (𝑥0 ).
Professeur : Benjeddou Saber 1/4

1/5 Bac mathématiques – Résumé : Dérivabilité
Interprétation graphique du nombre dérivé à gauche :
Si 𝑓 est dérivable gauche en 𝑥0 , alors sa courbe représentative admet au point 𝑀(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) admet une
𝟏
⃗ (𝑓′
demi-tangente de coefficient directeur 𝑓′𝑔 (𝑥0 ), de vecteur directeur 𝒖 ) et a pour équation :
𝑔 (𝑥0 )
𝒚 = 𝒇′𝒈 (𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟎 ) + 𝒇(𝒙𝟎 ) avec 𝑥 ≤ 𝑥0 .
Théorème :

𝑓 est dérivable en 𝑥0 ⇔ 𝑓 est dérivable à droite et à gauche en 𝑥0 et 𝑓 ′ 𝑑 (𝑥0 ) = 𝑓′𝑔 (𝑥0 ).
Dans ce cas : 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑓 ′ 𝑑 (𝑥0 ) = 𝑓′𝑔 (𝑥0 ).
Définition : " Dérivabilité sur un intervalle "
– Une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 est dérivable sur 𝐼 (]𝑎, 𝑏[, ]𝑎, +∞[
ou ]−∞, 𝑏[) si elle est dérivable en tout réel de 𝐼.
– Une fonction est dérivable sur [𝑎, 𝑏] si elle est dérivable sur ]𝑎, 𝑏[, à droite en 𝑎 et à
gauche en 𝑏.
– Une fonction est dérivable sur [𝑎, 𝑏[ (resp. sur [𝑎, +∞[) si elle est dérivable sur ]𝑎, 𝑏[
(resp. ]𝑎, +∞[) et à droite en 𝑎.
– Une fonction est dérivable sur ]𝑎, 𝑏] (resp. sur ]−∞, 𝑏]) si elle est dérivable sur ]𝑎, 𝑏[
(resp. ]𝑎, +∞[) et à gauche en 𝑏.
Dérivées des fonctions usuelles :
𝑓(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑎 (constante) 0
𝑥 𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ∗ \{1} 𝑛𝑥 𝑛−1
1 𝑛
, 𝑛 ∈ ℕ∗ − 𝑛+1
𝑥𝑛 𝑥
𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏) −𝑎 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑎
𝑡𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎[1 + 𝑡𝑔2 (𝑎𝑥 + 𝑏)] =
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑎
𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏) −𝑎[1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 (𝑎𝑥 + 𝑏)] = −
𝑠𝑖𝑛2 (𝑎𝑥 + 𝑏)

2/5
Opérations sur les fonctions dérivées :
Fonction Fonction dérivée
𝑎𝑢 𝑎 𝑢′
𝑢+𝑣 𝑢′ + 𝑣′
𝑢∙𝑣 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣′
𝑢𝑛 𝑛 𝑢′ 𝑢𝑛−1
1 −𝑣′
𝑣 𝑣2
𝑢 𝑢′ 𝑣 − 𝑢𝑣′
𝑣 𝑣2
Définition : "Dérivée nème"
Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 et soit 𝑓′ sa fonction dérivée.

Si la fonction 𝑓′ est dérivable sur 𝐼, alors 𝑓 est dite deux fois dérivable sur 𝐼 et la fonction
dérivée de 𝑓′, notée 𝒇", est appelée la fonction dérivée seconde de 𝑓.
Par itération, si la fonction 𝑓 (𝑛−1) (𝑛 ≥ 2) est dérivable sur 𝐼, sa fonction dérivée est
appelée dérivée 𝑛è𝑚𝑒 𝑑𝑒 f et est notée 𝑓 (𝑛) .
Théorème :
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 contenant un réel 𝑎 et soit 𝑔 une
fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐽 contenant 𝑓(𝑎).
Si 𝑓 est dérivable en 𝑎 et 𝑔 est dérivable en 𝑓(𝑎), alors la fonction 𝑔 ∘ 𝑓 est dérivable en
𝑎 et on a : (𝑔 ∘ 𝑓)′ (𝑎) = 𝑓 ′ (𝑎) ∙ 𝑔′(𝑓(𝑎))
Corollaire :
Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 et 𝑔 est dérivable sur un intervalle 𝐽 contenant 𝑓(𝐼),
alors la fonction 𝑔 ∘ 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et (𝑔 ∘ 𝑓)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) ∙ 𝑔′(𝑓(𝑥)) pour tout
𝑥 ∈ 𝐼.
Théorème de Rolle :
Soit 𝑓 une fonction continue sur un

intervalle [𝑎, 𝑏] et dérivable sur ]𝑎, 𝑏[
telle que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏).
Alors il existe au moins un réel 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[
Si 𝐶𝑓 est la représentation graphique de 𝑓 dans un
tel que 𝑓′(𝑐) = 0. repère (𝑂, 𝑖, 𝑗), alors il existe au moins une tangente à
𝐶𝑓 parallèle à l’axe des abscisses.

Théorème des accroissements finis :
Soit 𝑓 une fonction continue sur un

intervalle [𝑎, 𝑏] et dérivable sur ]𝑎, 𝑏[.
Alors il existe au moins un réel 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
tel que = 𝑓′(𝑐).
𝑏−𝑎
Si 𝐶𝑓 est la représentation graphique de 𝑓 dans un
repère (𝑂, 𝑖, 𝑗), alors il existe au moins une tangente à
𝐶𝑓 parallèle à la droite(𝐴𝐵) où 𝐴 et 𝐵 sont les points
de 𝐶𝑓 d’abscisses respectives 𝑎 et 𝑏.
Inégalité des accroissements finis :
Soit 𝑓 est une fonction continue sur [𝑎, 𝑏] et dérivable sur ]𝑎, 𝑏[. Soit 𝑚 et 𝑀 deux réels.
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
Si 𝑚 ≤ 𝑓′(𝑥) ≤ 𝑀 pour tout 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[, alors : 𝑚 ≤ ≤ 𝑀.
𝑏−𝑎
Corollaire :
Soit 𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 et 𝑘 > 0.
Si |𝑓′(𝑥)| ≤ 𝑘 pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, alors |𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)| ≤ 𝑘|𝑏 − 𝑎| pour tous réels 𝑎 et 𝑏
de 𝐼.
Théorème :
Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼.
- Si 𝑓′ est strictement positive sur 𝐼, alors 𝑓 est strictement croissante sur 𝐼.
- Si 𝑓′ est strictement négative sur 𝐼, alors 𝑓 est strictement décroissante sur 𝐼.
Théorème :
Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼.

- Si 𝑓′ est positive et ne s’annule sur aucun intervalle ouvert contenu dans 𝐼, alors 𝑓
est strictement croissante sur 𝐼.
- Si 𝑓′ est négative et ne s’annule sur aucun intervalle ouvert contenu dans 𝐼, alors 𝑓
est strictement décroissante sur 𝐼.
Théorème :
Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle [𝑎, 𝑏] et dérivable sur ]𝑎, 𝑏[.
- Si 𝑓 est croissante (respectivement strictement croissante) sur ]𝑎, 𝑏[, alors 𝑓 est
croissante (respectivement strictement croissante) sur [𝑎, 𝑏].
- Si 𝑓 est décroissante (respectivement strictement décroissante) sur ]𝑎, 𝑏[, alors 𝑓 est
décroissante (respectivement strictement décroissante) sur [𝑎, 𝑏].

Définition : "Extremum"

 On dit que 𝑓 admet un maximum local en 𝑥0 (𝑓(𝑥0 ) est ce maximum), s’il existe un
intervalle ouvert 𝐽 inclus dans 𝐼 contenant 𝑥0 tel que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) pour tout 𝑥 ∈ 𝐽.
 On dit que 𝑓 admet un minimum local en 𝑥0 (𝑓(𝑥0 ) est ce minimum), s’il existe un
intervalle ouvert 𝐽 inclus dans 𝐼 contenant 𝑥0 tel que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0 ) pour tout 𝑥 ∈ 𝐽.
Un maximum ou un minimum s’appelle aussi un extremum.
Théorème :
Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 et soit 𝑥0 ∈ 𝐼.

 Si 𝑓 admet un extremum local en 𝑥0 , alors 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0.
 Si 𝑓′ s’annule en 𝑥0 et change de signe, alors 𝑓 ad met un extremum local en 𝑥0 égal
à 𝑓(𝑥0 ).
Définition : "Point d’inflexion"
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 et dérivable

en un réel 𝑥0 de 𝐼.
Le point 𝐼(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) est un point d’inflexion de la courbe 𝐶𝑓 de
𝑓 si 𝐶𝑓 traverse sa tangente en ce point.
Théorème :
Soit 𝑓 une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 et soit 𝑥0 ∈ 𝐼.
Si 𝑓" s’annule en 𝑥0 en changeant de signe, alors le point 𝐼(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) est un point
d’inflexion de la courbe représentative de 𝑓.


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Résumé : Dérivabilité

Niveau : Bac mathématiques

Définition : "Dérivabilité en un point "

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 et soit 𝑥0 ∈ 𝐼.

le nombre dérivée de 𝑓 en 𝑥0 , on le note 𝑓′(𝑥0 ).

Interprétation graphique du nombre dérivé :

Définition : "Approximation affine"

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 et dérivable en 𝑥0 ∈ 𝐼.

Définition : "Dérivabilité à droite en un point"

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 et soit 𝑥0 ∈ 𝐼.

est appelée le nombre dérivée à droite de 𝑓 en 𝑥0 , on le note 𝑓′𝑑 (𝑥0 ).

Interprétation graphique du nombre dérivé à droite :

𝒚 = 𝒇′𝒅 (𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟎 ) + 𝒇(𝒙𝟎 ) avec 𝑥 ≥ 𝑥0 .

Définition : "Dérivabilité à gauche en un point"

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 et soit 𝑥0 ∈ 𝐼.

est appelée le nombre dérivée à gauche de 𝑓 en 𝑥0 , on le note 𝑓′𝑔 (𝑥0 ).

Professeur : Benjeddou Saber 1/4

𝒚 = 𝒇′𝒈 (𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟎 ) + 𝒇(𝒙𝟎 ) avec 𝑥 ≤ 𝑥0 .

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 et soit 𝑥0 ∈ 𝐼.

Définition : " Dérivabilité sur un intervalle "

Dérivées des fonctions usuelles :

Professeur : Benjeddou Saber 2/4

Fonction Fonction dérivée

Définition : "Dérivée nème"

Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 et soit 𝑓′ sa fonction dérivée.

Soit 𝑓 une fonction continue sur un

Professeur : Benjeddou Saber 3/5

Soit 𝑓 une fonction continue sur un

Inégalité des accroissements finis :

Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼.

Professeur : Benjeddou Saber 4/4

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 et soit 𝑥0 ∈ 𝐼.

Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 et soit 𝑥0 ∈ 𝐼.

Définition : "Point d’inflexion"

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert 𝐼 et dérivable

Professeur : Benjeddou Saber 5/5

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