Cours & travaux dirigés

Représentation d’état des systèmes

linéaires

3ème année EEA

ISSAT Kairouan

Ayachi ERRACHDI
Maître de Conférences en Génie Electrique
errachdi@gmail.com

Année universitaire 2023-2024

ii
1- Chapitre 1 - Représentation d’état des systèmes linéaires

1.1 Représentation d’état

Un système monovariable linéaire invariant dans le temps (LTI : Linear Time Invariant), causal
et continu d’entrée u (t ) et de sortie y (t ) peut être représenté dans l’espace d’état par :

 dx (t )
 x (t )   Ax(t )  Bu (t )
 dt
 y (t )  Cx(t )  Du (t )

– x(t )   n est le vecteur d’état, de dimension n qui est l’ordre du système.

– A   nn est la matrice d’état du système.

– B   n est le vecteur de commande ou d’entrée.

– C  1n est le vecteur d’observations ou des sorties.

– D est la transmission directe.

On note x (t )   x1 (t ), x2 (t )  xn (t )  où xi (t ), i  1, 2,  , n sont appelées les variables d’état.

T

On définit donc l’état d’un système à l’instant t0 comme l’information sur le passé nécessaire
et suffisante pour déterminer l’évolution ultérieure du système lorsque on connaît, pour l’instant
t  t0 , les signaux d’entrée et les équations du système.

Schéma fonctionnel
Un modèle d’état d’un système linéaire est représenté par le schéma bloc de la figure 1.1 :

+
+ +


Figure 1.1. Schéma-bloc d’une représentation d’état

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Remarque 1.
Dans le cas d’un système multivariable, on a :

x  n , u  m , y p, A   nn , B   nm , C   pn , D   pn

Dans le cas où les matrices A , B , C et D sont des fonctions de t , le modèle est dit linéaire
variant dans le temps.

 x (t )  A(t ) x(t )  B(t )u (t )


 y(t )  C (t ) x(t )  D(t )u (t )
Dans le cas discret, on a la représentation d’état suivante :

 x(k  1)  Ax(k )  Bu(k )


 y (k )  Cx(k )  Du (k )

Exemple 1.
Soit le circuit électrique suivant :

Les équations issues des lois d’électricités :

 R1  i1  i2   y1  u ( Eq1)

 R2i2  y  y1 ( Eq 2)
 dy 1
 y   i2 ( Eq 3)
 dt C2
 dy 1
 y1  1  i1 ( Eq 4)
 dt C1

Ce qui donne :

 dy 1 1
 y (t )  dt   R C y (t )  R C y1 (t )
 2 2 2 2

 y  (t )  dy1  1 y (t )    1  1  y (t )  u (t )
 1   1
dt R2C1  R1C1 R2C1  R1C1

En prenant pour les choix des variables comme suit :

4
  x1   y 
x       et y  x1
 x2   y1 

On obtient la première représentation d’état du circuit électrique :

 1 1 
 R C R2C2   0 
A 2 2  , B   1  , C   0 1
 1 1 1   
 RC   
 1 1 
R C
 2 1 R1C1 R2C1 

On peut proposer un autre choix des variables d’état telles que le nouveau vecteur d’état :

 z1   y 
z       , y  z1
 z2  i2 

On déduit des deux équations Eq1 et Eq2. :

1 R  R2 1 1 1
i1  u 1 i2  y et i2   y y1
R1 R1 R1 R2 R2

1 1
z1  y  z1  y  i2  z2
C2 C2

di2 1 1 1 1
z2  i2  z2   y  y1   i2  i1
dt R2 R2 R2C2 R2C1

On obtient une deuxième représentation d’état du circuit comme suit :

 1 
 0 C2   0 
A  , B   1  , C  1 0
 1 1 1 1   
R R C    
 1 2 1 
R R C
 1 2 1 R1C1 R2C2 R2C1 

Notons que le vecteur d’état z se déduit de x par simple changement de base :

 1 0  1 0
y  y 
z  1 1     z   1
 1  x
i2    R y
R2   1 

 2  R2 R2 

Remarque 2.
- La représentation d’état obtenue par le vecteur d’état z est différente de celle obtenue
par le vecteur x . Le modèle d’état dépend donc du choix des variables d’état.

- Le modèle d’état n’est pas unique, contrairement à la fonction de transfert qui est un
modèle d’Entrée/Sortie (décrit le système dans le domaine fréquentiel).

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1.2 Passage de la représentation d’état à la fonction de transfert
En appliquant la transformée de Laplace (TL) aux équations d’état et de sortie et en supposant
les CI nulles, on obtient :

 X ( p)   pI  A 1 BU ( p)
 x  Ax  Bu 
 
TL
 
Y ( p)  C  pI  A B  D  U ( p)
CI  0 1
 y  Cx  Du

Ainsi, on peut écrire :

Y ( p)
 C  pI  A B  D
1
H ( p) 
U ( p)

Théorème de la stabilité

Un système linéaire est stable si l’ensemble des valeurs propres  ( A)  1 , 2 ,, n  de A
sont à parties réelles négatives.
L’ensemble des valeurs propres de A sont les racines du polynôme caractéristique :

QA ( )  det   I  A  D( )

Avec D ( p ) est le dénominateur de la fonction de transfert H ( p) .

Exemple 2.
Soit le système linéaire suivant :

 0 1 0 0 
    
 x   0 0 1  x  0  u
  1 3 3 1 

 y   0 1 0 x


Les valeurs propres de la matrice d’état A :

QA ( )  D( )  det   I  A     1   ( A)  1,  1,  1

3

La fonction de transfert du système :

p
H ( p )  C  pI  A  B 
1

 p  1
3

1.3 Passage d’une représentation d’état à une autre

Il est possible de passer d’une réalisation à une autre dans l’espace d’état :

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  x  Ax  Bu T ?  z  Az
ˆ  Bu
ˆ
  
 y  Cx  Du ˆ  Du
 yˆ  Cz ˆ

Il existe une matrice de changement de base T telle que

z  Tx  x  T 1 z

On obtient :

Aˆ  TAT 1, Bˆ  TB, Cˆ  CT 1 , Dˆ  D

Exemple 3.
Considérons la réalisation suivante :

1 0 1  1 
 
A   1 2 0  , B  0 , C  1 0  1
 0 0 3 0
 

Soit T   v1 v2  vn  la matrice de passage formée par les vecteurs propres de A . Ces vecteurs
sont calculés comme suit :
Avi  i vi ; i  1, 2, , n

Avec i ; i  1, 2, , n sont les valeurs propres de A .

Les valeurs propres de A sont les racines du polynôme caractéristique :

det   I  A  0  1  1, 2  2, 2  3

Calcul des vecteurs propres :

1 0 1   x  x  1 
      
 1 2 0   y     y   v1  1 
 0 0 3  z   z  0
  

1 0 1   x  x  0
      
 1 2 0   y   2  y   v2  1 
 0 0 3  z   z  0
  

1 0 1   x  x  1 
      
 1 2 0   y   3  y   v3   1
 0 0 3  z 
    z   2

D’où :

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 1 0 1   1 0 0.5 
  1  
T  1 1 1  T   1 1 1 
0 0 2  0 0 0.5
   
Ainsi :

 1 0 0.5 1 
ˆA  TAT 1   2 2 0  , Bˆ  TB   1 , Cˆ  CT 1   0 1  0.5
   
 0 0 3   2
 

Remarque 3.
Dans le cas où le changement de base est défini par :

x  Tz  z  T 1 x

Aˆ  T 1 AT , Bˆ  T 1B, Cˆ  CT , Dˆ  D

On obtient une matrice d’état diagonale :

 1 0 0  0.5 
 
Aˆ  T 1 AT   0 2 0  , Bˆ  T 1B   1  , Cˆ  CT   2 1 0
 0 0 3  0.5
 

1.4 Résolution de l’équation d’état

Soit le système linéaire suivant :
x  Ax  Bu , x (0)  x0

Il admet comme solution générale :

t
x(t )  e At x0   e A t   Bu ( ) d
0

La fonction  (t )  e At est appelée matrice de transition donnée par la somme de la série :

A2t 2 A3t 3 Ant n

e At  I  At    
2 6 n!
Dans ce cas, la sortie du système est donnée par :

y (t )  Cx(t )  Du (t )  Ce At x0

régime libre dépend


0
t
 C  e A t   Bu ( )d  Du (t )
 

du modèle et de la CI x0 régime forcée dépend
du modèle et de l'éxcitation u( t )

On montre que  (t )  e At converge si et seulement si les valeurs propres de la matrice A sont

à partie réelle strictement négative.

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 Propriétés de la matrice de transition

Si on dispose d’une fonction de transition  (t )  e At , alors on a :

  (0)  e A0  I

d  (t )
  A (t )   (t ) A
dt

 Si A est diagonale :

 1 0  0   e 1t 0  0 
0      
  e At   0 e 2t   
A 2

   0     0 
   
 0  0 n   0  0 e nt 

 Si A est une matrice de Jordan :

 t n1 
 1  1 t 
0      n  1!
A    e  0 1 
At
 e
t
    1  
     t 
0  0  0  0
 1 

 Si A est diagonalisable. Il existe une transformation T , telle que l’on ait :

 1 0  0   e 1t 0  0 
0      
0 e 2t    1
AT   2  T 1
 e T 
At
T
   0     0 
   
 0  0 n   0  0 ent 

 La matrice de transition  (t )  e At peut être calculée en utilisant la méthode de la

transformée de Laplace :

 (t )  e At  1  pI  A 
1
 

1.5 Calcul de la matrice de transition par la transformation de Laplace

En l’absence d’entrée, le système réagit librement et on a :
𝑥̇ = 𝐴𝑥(𝑡), 𝑥(0) = 𝑥
La solution de ce système, pour une condition initiale 𝑥(𝑡 ) = 𝑥 avec 𝑡 = 0 est :
𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑥
Appliquons la transformée de Laplace, on obtient :
𝑝𝑋(𝑝) − 𝑋 = 𝐴𝑋(𝑝)

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 𝑋(𝑝) = (𝑝𝐼 − 𝐴) 𝑋 = 𝐴𝑋(𝑝)
𝑥(𝑡) = 𝑇ℒ [(𝑝𝐼 − 𝐴) ]𝑋

𝑒 = 𝑇ℒ [(𝑝𝐼 − 𝐴) ]

Remarque 4.
Dans le cas où l’entrée est un échelon, la réponse y (t ) du système peut être déduite facilement
de la solution de l’équation d’état :

y(t )  Ce At x0  C  A1e A  t  B   Ce At  x0  A1B   CA1B

t

Il est clair que la matrice A est inversible et que le régime permanent est égal à CA1 B .

Exemple 4.
Calculer la réponse indicielle du système suivant :

  1 0 1  1 
     0
 x   1 2 0  x  0  u
  0 0 3 , x(0)   0 
0 
   1 
 y  1 0 1 x
  
1) En utilisant la solution générale de l’équation d’état
2) En utilisant la méthode de la transformée de Laplace
Solution :
1) Utilisation de la solution générale de l’équation d’état

 et 0 0.5e  t  e 3t 

 3t 
e At  e  t  e 2 t e 2t t 2 t
0.5e  e  0.5e 
 0 0 e 2 t 
 
Ainsi :
t
A t  
y (t )  Ce At x0   Ce Bu ( ) d  1  0.5e t  e 3t  e 2t
0

2) Utilisation de la méthode de la transformée de Laplace :

1 0.5 1 1
Y ( p)  C  pI  A
1
 BU ( p)  x(0)    
p p 1 p  2 p  3

Ainsi :

y (t )  1 Y ( p)   1  0.5et  e 2t  e3t

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