Espace Etat Commande
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REPRESENTATION D'ETAT
DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS
ET
COMMANDE DANS L'ESPACE D'ETAT
PAR PLACEMENT DE PÔLES
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1 Introduction à la représentation d’état
Lorsque l’on envisage la commande d’un système, la première étape consiste à le modéliser.
Modéliser un système consiste à élaborer une représentation mathématique qui permette de
décrire et prédire son comportement dynamique et permanent lorsqu’il est soumis à des
influences externes (entrées de commande, perturbations..)
Consignes Sorties
Commandes Système Effets
Perturbations Physique Mesures
Parmi les différentes modélisations possibles d’un système, seule la représentation d'état
permet une approche interne. Elle peut être obtenue à partir de la connaissance de la structure
et des propriétés des éléments du système (Voir l’exemple ci-dessous). Elle peut être aussi
obtenue par transformation du modèle, c’est-à-dire à partir de l’équation différentielle ou de la
fonction de transfert.
Exemple de modélisation
1
Représentation d’état des systèmes linéaires continus
Commande par placement de pôles
Auteur : Najib Bennis bennisnajib@specialautom.net Site www.specialautom.net
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1. Mise en équation
Cette opération consiste à écrire l’ensemble des équations qui régissent le système :
di( t )
v( t ) L dt Ri( t )
d ( t )
d ( t ) ( t ) dt
C( t ) J f ( t )
dt dI( t )
L RI( t ) K G v( t )
d ( t ) dt
( t )
dt d ( t )
J f ( t ) K C I( t )
I( t ) K G i( t ) dt
C( t ) K C I( t )
Remarque :
On aurait pu ajouter une 4° variable x4=i, ce qui conduit à quatre variables d’état. Une telle
initiative n’est pas intéressante car la variable x4 serait redondante. En effet, la connaissance
de la variable d’état x2 = I permet de déduire x4=i, puisqu’elles sont liées par la relation de
proportionnalité I = KG i.
2
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Commande par placement de pôles
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v( p ) v( p ) v( p ) KC KG KC KG L2 K K J2
y( p ) avec C G
p Lp R Jp f Rf f ( RJ fL ) R( RJ fL )
X1 ( p ) X2( p ) X3( p )
On a par conséquent :
v( p )
X1( p ) p X1( t ) v( t )
v( p ) R 1
X 2( p ) X 2 ( t ) X 2 v( t )
Lp R L L
v( p ) f 1
X 3( p ) X 3 ( t ) X 3 v( t )
Jp f J J
y( p ) X ( p ) X ( p ) X ( p ) y( t ) X ( t ) X ( t ) X ( t )
1 2 3 1 2 3
Bien que y s’exprime linéairement en fonction de X1, X2 et X3, elle représente toujours la
position angulaire .
3
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Commande par placement de pôles
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d 3 y( t ) R f d 2 y( t ) Rf dy( t ) KC KG
3
( ) v( t )
dt L J dt 2 LJ dt LJ
L’équation différentielle est d’ordre 3, il faut par conséquent 3 variables d’état. Plusieurs choix
dy( t ) d 2 y( t )
sont possibles, dont celui-ci : z1 y( t ) z2 z3
dt dt 2
Il s’en suit les relations suivantes :
d 3 y( t ) R f Rf K K
z1 z2 z2 z3 z3 3
( )z3 z2 C G v( t )
dt L J LJ LJ
ˆ t ) Dv(
y( t ) Cz( ˆ t)
0 1 0 0
ˆA 0 0
1 Bˆ 0 Cˆ 1 0 0 D
ˆ 0
Rf R f K K
0 ( ) C G
LJ L J LJ
Remarque
Le choix fait pour les variables d’état est judicieux puisque z1, z2, z3 représentent
respectivement la position angulaire, la vitesse angulaire et l’accélération. Les deux dernières
constituent des informations supplémentaires sur l’état du système.
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Commande par placement de pôles
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Dans le cas d’un système stationnaire, les matrices A,B,C et D sont indépendantes du temps.
Ce cas seul sera examiné par la suite.
Terminologie
– A est appelée matrice d’état du système de dimension (n,n)
– x est appelé vecteur d’état du système de dimension n – n variables d’état-
– u est appelé vecteur d’entrée du système de dimension (m) – m entrées -
– y est appelé vecteur de sortie du système de dimension (p) – p sorties –
– B est appelée matrice de commande du système de dimension (n,m)
– C est appelée matrice de sortie ou d’observation du système de dimension (p,n)
– D est appelée matrice de transmission directe du système de dimension (p,m)
Remarque :
• Dans le cas particulier où p=m=l, c’est à dire une seule entrée et une seule sortie, le
système est dit monovariable ou unidimensionnel, sinon il est dit multivariable.
• Les variables d'état permettent une représentation interne des systèmes dans le domaine
temporel, alors que la fonction de transfert et l’équation différentielle correspondent à une
représentation externe (relation entrée/sortie). La figure suivante justifie cette appellation :
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Les variables d'état peuvent ne pas correspondent à des grandeurs physiques réelles et
accessibles dans un système. Elles constitueront dans ce cas des variables mathématiques
intermédiaires commodes d'utilisation. Ce dernier point sera expliqué davantage dans la suite.
Si les équations d’état découlent des équations physiques, il n’est pas toujours à
premier abord évident de choisir le nombre de variables nécessaires. Il convient de
rester particulièrement vigilent de ne pas surdimensionner la représentation en
définissant des variables qui peuvent s’avérer redondantes. Cette remarque est très
importante car la complexité du problème de l’analyse et de la synthèse est étroitement
liée à la dimension des équations d’état. L’idée est d’obtenir ce qu’on appelle une
représentation minimale et fort heureusement on peut être assisté à cet effet par des
logiciels spécialisés tel que Matlab.
En effet, dans l’exemple précédent, le fait que l’on définisse le courant, la vitesse,
l’accélération comme variables d’état va permettre de s’informer sur son état global,
alors que la représentation par équation différentielle ou par fonction de fonction ne
permettent pas une telle information car seule l’information accessible est la sortie y –
Position angulaire -.
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x( t ) Ax( t ) Bu( t )
y( t ) Cx( t ) Du( t )
x( t0 ) xo
H( p ) C( pI A )1 B D
On obtient par conséquent une nouvelle représentation d’état définie par les matrices
suivantes :
A MAM 1 B MB C CM 1 DD
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Le problème est le suivant : étant données des conditions initiales x0, calculer la réponse y(t)
suite à l’application de l’excitation u(t). Ce calcul passe d’abord par le calcul de x(t), qui à partir
duquel, on calcule la réponse y(t).
Le cas des équations différentielles matricielles se traite de manière similaire au cas scalaire.
La résolution avec second membre s’effectue comme dans le cas scalaire (attention, en
algèbre matricielle, la multiplication n’est pas commutative) :
t
A( t t0 )
x( t ) e x0 e A( t ) Bu( )d
solution à l' instant solution libre t0
solution forcée
px( p ) x0 Ax( p )
( pI A )x( p ) x0 e At TL1 ( pI A )1 où TL1 . désigne la Transformée de Laplace inverse
x( p ) ( pI A )1 x0
Exemple
1 1
1 1 p 1 1 1 1 p 2 1 p 1 ( p 1 )( p 2 )
A pI A ( pI A )
( p 1 )( p 2 ) 0 p 1
0 2 0 p 2 1
0
p 2
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la solution de l’équation homogène, x(t)= e x0 tend vers 0 quelle que la condition initiale si e
At At
tend vers 0 quand t tend vers l’infini. En examinant le lien entre les matrices [A,B,C,D] et la
fonction de transfert du système, on remarque que les pôles de cette dernière ne sont autres
que les valeurs propres de A. On retient donc que e converge si et seulement si les valeurs
At
Dans l’exemple ci-dessus, la matrice d’état A possède deux valeurs propres strictement
négatives 1 1 2 2 . Le système dont cette matrice est lui associé, est un système
stable.
L’état du système converge vers l’état final qui peut être déterminé à partir du gain statique.
Celui-ci s’obtient en mettant p = 0 dans la fonction de transfert, ce qui se traduit par la
relation suivante :
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Ks H( p ) p 0 C( pI A )1 B D p 0
CA1B D
lim x( t ) A1Buo
t
lim y( t ) CA1B D uo
t
Exemple d’application
A titre d’exemple, on considère le système mécanique suivant :
d 2 y( t ) f dy( t ) k 1
2
y( t ) u( t )
dt m dt m m
Afin d’obtenir une représentation d’état possible, on fait le choix classique suivant:
x1( t ) y( t )
dy( t )
x2 ( t )
dt
x1( t ) x2 ( t )
k f 1
x2 ( t ) m x1( t ) m x2 ( t ) m u( t )
0 1 0
x( t ) 1 u( t ) x( t ) 0 1 x( t ) 0 u( t )
k f x( t )
6 5 1
m m
m
y( t ) 1 0 x( t )
y( t ) 1 0 x( t )
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p5 1
( p 2 )( p 3 ) ( p 2 )( p 3 ) 0
H( p ) 1 0
y( p ) 1
( p 2 )( p 3 )
6 1
u( p ) p
( p 2 )( p 3 ) ( p 2 )( p 3 )
1
Le gain statique est Ks H( 0 ) CA1B
6
Analyse de la stabilité
Les valeurs propres de la matrices A, solutions de l’équation caractéristique
det( pI A ) p 5 p 6 0 , sont données par 1 2 2 3 . Ces valeurs propres sont réelles et
2
négatives, il s’ensuit que le système est de nature stable. On note que les valeurs propres sont
aussi les pôles de la fonction de transfert.
Laplace :
p5 1
* e2t e3t
( p 2 )( p 3 ) ( p 2 )( p 3 )
e At TL1 ( pI A )1 TL1
6 p * 2e2t 3e3t
( p 2 )( p 3 ) ( p 2 )( p 3 )
Les éléments marqués (*) n’interviennent pas dans le calcul de la solution compte tenu du
zéro dans la matrice B.
t t
A( t )
* e2( t ) e3( t ) 0
x( t ) e Bu( )d d
2( t )
0 0 * 2e 3e3( t ) 1
1 2t 1 3t 1
t t
e2( t ) e3( t ) e2 e3 2 e 3 e 6
d d
2( t )
3e3( t ) t 2 3 2t
0 2e 0 2e 3e e e3t
Après une phase transitoire sans dépassement, le système atteint un comportement statique
tel que :
1
tlim y( t ) lim x1( t )
t 6
lim dy( t ) lim x ( t ) 0
t dt t
2
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2.1 Définition
On dit qu’un système x( t ) Ax( t ) Bu( t ) y( t ) Cx( t ) Du( t ) x( t0 ) x0 est commandable à
l’instant tf > to, si quels que soient les états x( t0 ), x( t f ) , il existe une commande u( t0 ,t f )
Exemple
1
x1( p ) p 1 x10
x ( p ) 1 x 1 u( p )
2 p2
20
p2
y( p ) x1 ( p ) x 2 ( p )
Les dernières équations peuvent être traduites par le schéma fonctionnel suivant :
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x10
S1
x1
x20 y(t)
S2
u(t)
x2
Système
Cette représentation symbolique montre que le système est composé de deux sous-systèmes
S1 et S2.
Le sous-système S1 n’est pas lié à l’entrée u, contrairement au sous-système S2. Cela veut
dire, on ne peut jamais agir sur l’état x1 et ce quelle que soit la commande u appliquée au
système. L’état x1 évoluera selon sa propre dynamique à partir de sa condition initiale.
On dit que l’état x1 est non commandable alors que l’état x2 est commandable.
Remarque
La commandabilité ne dépend que de A et de B et non de C et de D.
Q B AB A2 B.... An1B
Exemple 1 Exemple 2
1 2 1 1 2 1
A B 1 A B 1
1 2 1 2
n 2 m 1 n 2 m 1
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Remarque
Si rang (Q)=n’<n, on dit qu’il y’a n’ états commandables et ( n-n’) états non
commandables. n’ désigne le degré de commandabilité.
Théorème 2 :
Le système S ou la paire (A,B) est commandable si et seulement si pour tout ensemble
symétrique de n valeurs propres, il existe une matrice K(m,n) telle que : (A-BK) =.
En d’autres termes, si la paire (A,B) est commandable, il existe une matrice K telle que :
u( t ) e( t ) Kx( t )
e( t ) k1 x1( t ) k2 x2 ( t ).... kn xn ( t )
Symboliquement, le système en boucle fermée peut être représenté par le schéma suivant :
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u
Système
Consigne e Sortie y
Etat x
K
Commentaires
Lorsque l’approche par fonction de transfert est utilisée, le bouclage se fait par retour
de la sortie y, alors lorsque l’approche des équations d’état est utilisée, le bouclage se
fait par retour d’état. D’où l’appellation commande par retour d’état.
L’entrée du système en boucle fermée est e(t). Elle représente l’entrée de consigne.
La mise au point pratique de la commande par retour d’état suppose que toutes les
variables sont physiquement accessibles. Point particulièrement critique sur lequel on y
reviendra ultérieurement.
Applications
Si le système en boucle ouverte est instable, on peut le stabiliser par cette technique el
lui assignant un ensemble de valeurs propres stables.
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Il reste à présent de donner les procédures pour le calcul du gain K. Dans toutes les méthodes
proposées ci-dessous, les données sont les suivantes :
(A,B) une paire commandable
L’ensemble des valeurs propres désirées en boucle fermée : *1 *2 *n
L’inconnue est le gain :
K=[k1 k2…kn]
a) Méthode directe
Cette première méthode consiste à calculer le gain K tel que :
Exemple
2 4 1
On donne : A B 1 C 1 1
2 5
1, 2
n 2 m p 1
det( I A ) 2 3 2 0 1 0.56 2 3.56
Système instable
On pose K =[k1 k2]
On calcule la matrice A – B.K :
2 4 1 2 4 k1 k2 2 k1 4 k2
A BK k1 k2
2 5 1 2 5 k1 k2 2 k1 5 k2
On calcule la matrice I – (A – B.K ) et son déterminent :
2 k1 4 k2
I ( A BK )
2 k1 5 k2
det( I ( A BK )) 2 ( 3 k1 k2 ) 2 k1
3 k1 k2 3
On résout le système algébrique suivant :
2 k1 2
k1 4
D’où le résultat : k 10
2
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Exemple
>> A=[-2 -4;2 5];B=[-1 1]';
>> Q=ctrb(A,B)
2 4 1 Q=
On donne : A B C 1 1 -1 -2
2 5 1 1 3
1 >> R=rank(Q)
1, 2 p 2 R=
2
n 2 m p 1 >> K=place(A,B,[-1 -2]')
K=
4 10
Les relations entre les niveaux dans les réservoirs et les débits d’alimentation et d’évacuation
sont de nature non linéaires. Cependant au point nominal de fonctionnement (H0,Q0), les
équations du système sont linéaires et s’écrivent :
dh1
S q1 m.h1
dt
dh 2
S m.h1 m.h 2
dt
dh3
S q 2 m.h 2 m.h3
dt
dh 4
S m.h3 m.h 4
dt
Les variables h1, h2, h3, h4 et les variables q1, q2, représentent respectivement des
variations des niveaux et des débits d’alimentation autour du point de fonctionnement.
On donne : m/S = 0.25 (USI) , 1/S = 3 (USI).
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On choisit :
x1 h1
x 2 h2 q1
x , le vecteur d’état et u , le vecteur de commande
x 3 h3 q 2
x 4 h 4
1° Mise en équation
x( t ) Ax( t ) Bu( t )
y(( t ) Cx( t ) Du( t )
0.25 0 0 0 3 0
0.25 0.25 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A B C D
0 0.25 0.25 0 0 3 0 0 0 1 0 0
0 0 0.25 0.25 0 0
2° Analyse de la stabilité
Les valeurs propres de A sont : 1 2 3 4 0.25 (Noter que la matrice A est triangulaire
et par conséquent les valeurs propres sont situées sur la diagonale principale). Toutes les
valeurs propres sont négatives et donc le système est stable.
3° Analyse de la commandabilité
0.25 0 0 0 3
0.25 0.25 0 0 0 1 0 0 0 0
A B C D
0 0.25 0.25 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0.25 0.25 0
Physiquement, on voit que le système est commandable car toute action sur le débit q1
affectera tous les niveaux. Cette interprétation est confirmée par le calcul du rang de la
matrice de commandabilité :
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x( t ) Ax( t ) Bu( t )
y(( t ) Cx( t ) Du( t )
0.25 0 0 0 0
0.25 0.25 0 0 0 1 0 0 0 0
A B C D
0 0.25 0.25 0 3 0 0 0 1 0
0 0 0.25 0.25 0
Physiquement, on voit que le système n’est par commandable car toute action sur le débit q2
n’affectera pas les niveaux h1 et h2. Seuls les niveaux h3 et h4 seront affectés par la
commande. On peut déjà prévoir que le rang de la matrice de commandabilité est égal à 2 :
0 0 0 0
0 0 0 0
Q2 , rang(Q2)=2
3 -0.75 0.1875 -0.046875
0 0.75 -0.375 0.14063
En admettant que le système est commandé par q1 et q2 : naturellement le système
est commandable. (A vérifier en calculant la matrice de commandabilité).
4° Analyse statique
On admet par la suite que le système sera commandé par q1 seul (q2=0). Pour une variation
constante de débit q10=0.1 (USI), les variations h10, h20, h30, et h40 des niveaux atteints en
régime statique sont données par :
x10 1.2
x
20 A1 .B.q 1.2 y x 1.2
, 10 10
x30 10
1.2 y20 x40 1.2
x40 1.2
5° Amélioration de la dynamique
La commande par retour d’état :
u(t) = uc – kx(t) = uc –k1 x1(t) - k2 x2(t) - k3 x3(t) - k4 x4(t)
uc est le débit de consigne et k=[k1 k2 k3 k4]
La dynamique choisie en boucle fermée: 1= -0.5, 2= -1, 3= -1.5, 4= -2
Ce qui suppose que les 4 niveaux sont physiquement accessibles à la mesure.
6° Choix de la consigne uc
Le gain en boucle fermée :
x10 0.03125
x
20 ( A B.K )1 .B.uc 0.03125 uc
x30 -0.03125
x40 -0.03125
y10 x10 1 0.03125
y x C.( A B.K ) .B.uc -0.03125 uc
20 40
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Si on souhaite avoir les mêmes variations qu’en boucle ouverte, il faut appliquer une consigne
uc telle que :
y10 x10 0.03125 1.2
y x -0.03125 38.4 = -1.2
20 40
Cette hypothèse est peu courante au moins pour les raisons suivantes :
Le nombre de variables d’état peut être important et par conséquent l’installation des
capteurs peut s’avérer onéreuse
Pour surmonter cette difficulté, la théorie de l’observateur d’état a été introduite faisant appel
au concept de l’observabilité, concept dual de la commandabilité. Dans ce qui, on introduit
successivement :
La notion de l’observabilité
Les critères de l’observabilité
L’observateur d’état
Incorporation de l’observateur d’état dans la structure de la commande par retour
d’état.
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Une multitude de définitions équivalentes sont données dans la littérature. Au lieu de s’investir
dans toutes ces définitions, on considère un exemple qui permet d’illustrer le sens physique de
la notion de l’observabilité. En effet, on considère le système suivant :
1 1
x1( p ) p 1 x10 p 1 u( p )
x ( p ) 1 x 1 u( p )
2 p2
20
p2
y( p ) x1( p )
Les dernières équations peuvent être traduites par le schéma fonctionnel suivant :
x10
S1
x1
y(t)
x20
u(t)
S2
x2
Système
Cette représentation symbolique montre que le système est composé de deux sous-systèmes
S1 et S2.
Le sous-système S2 n’est pas lié à la sortie y, contrairement au sous-système S1. Cela veut
dire, que toutes les observations (mesures) que l’on peut faire sur un intervalle de temps, rien
ne peut refléter le caractère instable du système. En revanche, l’observation de la sortie
renseignera sur l’état x1.
On dit que l’état x1 est observable alors que l’état x2 est non observable.
Remarque
L’observabilité ne dépend que de C et de A . Elle est indépendante de B et D.
La notion de l’observabilité est une notion duale de la commandabilité. Aussi, on donnera par
la suite les principaux résultats.
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La matrice de l’observabilité :
0 1
A C 1 0 C 1 0
0 0 Q
n 2 p 1 CA 0 1
det( Q ) 1 0
rang( Q ) 2 ( n )
(C, A) est Observable
Exemple 2
0 1 La matrice de l’observabilité :
A C 0 1
0 0
n 2 C 0 1
p 1 Q
CA 0 1
det( Q ) 0
rang( Q ) 1 ( n )
(C, A) est non observable
Remarque
Si rang (Q)=n’<n, on dit qu’il y’a n’ états observables et (n-n’) états non observables. n’
désigne le degré de l’observabilité.
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Son seul rôle dans la structure de la commande est de donner une bonne estimation du
vecteur d’état x(t) afin que l’on puisse appliquer une technique de commande par retour d’état.
z( t ) Az( t ) Bu( t ) G( y( t ) y* ( t ))
SObservateur y* ( t ) Cz( t )
z( 0 ) z
0
u Système (A,B,C,D) y
Observateur
Terminologie : z
z état de l’observateur
y* sortie de l’observateur
G : Matrice de gain de l’observateur de dimension (n,p), à déterminer.
On définit l’erreur d’observation (t)=x(t) - z(t). Elle obéit à l’équation différentielle suivante :
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Il est évident que si les valeurs propres de la matrice A-G.C sont stables, l’erreur d’observation
(t) tend asymptotiquement vers zéro et ce, quelle que l’erreur initiale (0). Ce qui signifie que
l’état de l’observateur tend vers l’état du système. Cette convergence est d’autant rapide que
les valeurs propres sont ‘plus négatives’.
Théorème 2’ :
Un système S ou la paire (C,A) est observable si et seulement si pour tout ensemble
symétrique de n valeurs propres, il existe une matrice G(p,n) telle que : (A-GC) =.
En d’autres termes, si la paire (C,A) est observable, il existe une matrice G telle que :
Les données :
(C,A) une paire observable
L’ensemble des valeurs propres assignées à la matrice A G.C : *1 *2 *n
L’inconnue est le gain G (cas monovariable) :
g1
g
G 2
gn
a) Méthode directe
Cette première méthode consiste à calculer le gain G tel que :
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x10
S1
x1
x20
u(t) y(t)
S2
x2
Système
Ce système est accessible par l’entrée u et la sortie y. Sa dynamique est fixée par les valeurs
propres : 1 1 2 2
Ce qui permet d’assigner une dynamique ‘’ deux fois plus rapide que celle du système à
observer’’.
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Les résultats de la simulation sont illustrés par les figures suivantes dans lesquels, le système
est supposé dans l’état initial x0 = [-1 3]T alors que celui de l’observateur est z0=[0 0]T.
0.8
z1
0.6
0.4
0.2
x1
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
temps
2.5
x2
1.5
z2
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
temps
Remarque importante
L’observateur tel qu’il est introduit est appelé observateur d’ordre complet c’est-à-dire du
même ordre que celui du système à observer, à savoir n. Il permet de reconstruire tous les
états du système. Cependant, il arrive dans des cas, que certaine des variables d’états n’ont
pas besoin d’être reconstruites puisqu’elles sont accessibles. Dans ces cas, on réalise un
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observateur d’ordre réduit, plus précisément d’ordre égal au nombre de variables d’états non
accessibles. Sa conception est un peu plus compliquée. On continue à utiliser par la suite,
l’observateur d’ordre complet pour des raisons de simplicité.
Consigne u
Système (A,B,C,D) y
Etat x
Observateur
Etat estimé z
x( t ) Ax( t ) Bu( t )
z( t ) ( A GC )z( t ) Bu( t ) Gy( t )
Sboucle ouverte y( t ) Cx( t ) SObservateur
x( 0 ) x z( 0 ) z0
0
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x( t ) ( A BK )x( t ) BK ( t ) Be( t )
( t ) ( A GC )( t )
Sboucle fermée y( t ) Cx( t )
( 0 ) x z arbitraire
0 0
x( 0 ) x0 arbitraire
x( t )
En définissant X , comme vecteur d’état global (système + observateur), les équations
( t )
en boucle fermée s’écrivent :
A BK BK B
X(t ) X ( t ) e( t )
0 A GC ) 0
Sboucle fermée Y( t ) C 0 X ( t )
X
0 arbitraire
Commentaires :
On note que l’état du système ainsi corrigé se trouve affecté par le terme
supplémentaire BK(t) en comparaison avec la commande classique (Sans observateur).
Toutefois ce terme tend vers 0 de manière asymptotique. On peut dire que la
contribution de l’observateur est présente jusqu’à ce que terme s’annule.
La matrice d’état en boucle fermée est triangulaire par blocs, l’ensemble de ces valeurs
propres est tel que :
A BK BK
A BK A GC
0 A GC )
Ce qui veut dire que la dynamique du système en boucle fermée est fixée d’une part
par les valeurs propres assignées à (A-BK) d’une part et par les valeurs propres
assignées à (A-GC) d’autre part. Théoriquement ces valeurs propres se fixent de
manière indépendante. C’est le principe de la séparation.
0 ( A BK )x Be0 1
x ( A BK ) Be0
Sboucle fermée y Cx
1
en régime statique 0 z x y C( A BK ) Be0
- Amélioration de la dynamique
- Valeur finale de la sortie y =1.
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2 6
Qc B AB
0 8
det( Qc ) 16 0
rang( Qc ) 2 ( n )
Système commandable
C 2 1
Qo
CA 10 9
det( Qo ) 8 0
rang( Qo ) 2 ( n )
Système observable
Equations de l’observateur
17.75 9.375 2 7.375 z1( t ) 17.75 z1( t ) 9.375 z2 ( t ) 2u( t ) 7.375 y( t )
z( t ) z( t ) 0 u( t ) 4.75 y( t ) z ( t ) 5.5 z ( t ) 0.25 z ( t ) 4.75 y( t )
SObservateur 5.5 0 .25 2 1 2
z( 0 ) z arbitraire z( 0 ) z arbitraire
0 0
La loi de commande
u( t ) e( t ) 0.5z1( t ) 0.25z2 ( t )
Choix de la consigne et l’état statique
1
yo 4 1.5 2
Le gain statique en boule fermée : Ks C( A BK )1 B 2 1 0.86
eo 4 5 0
1
eo 1.17
Ks
0.83
x ( A BK )1 Beo
0.67
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Simulation
Les résultats de la simulation sont illustrés ci-dessous. Le système est supposé dans l’état
initial x0 = [1 2]T alors que celui de l’observateur est z0=[0 0]T.
La commande par retour d’état avec ou sans observateur d’état ne permet pas d’assurer une
bonne précision statique vis-à-vis des consignes constantes ou des perturbations lentement
variables. Il est possible de mettre en œuvre une correction dans l’espace d’état permettant
l’ajout d’une action intégrale dans la chaine de commande. L’idée est la suivante :
On considère un système représenté par :
x( t ) Ax( t ) Bu( t )
Sboucle ouverte
y( t ) Cx( t )
On augmente ces équations en définissant une variable d’état supplémentaire xi ( t ) telle que :
xi ( t ) yd y( t )
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A 0 B 0
X( t ) X ( t ) u( t ) yd
Sboucle ouverte C 0 ) 0 1
Aa Ba
Y( t ) y( t ) C 0 X ( t )
u( t ) KX( t ) K1 K2 X( t ) K1 x( t ) K2 xi ( t )
xi u
Consigne yd +
K2 Système Sortie y
-
Etat
Régulateur x
d’état -K1
On suppose que l’état est partitionné en deux sous-ensemble x1(t) = y(t) -accessibles-, x2(t)–non
accessibles-, avec x1 de dimension n1 et x2 de dimension n2=n- n1.
D’où :
x2 ( t ) A22 x2 ( t ) u( t )
w( t ) A12 x2 ( t ) ¨
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Cette représentation fait apparaitre un système d’ordre réduit dont la matrice d’état est A22, et
la matrice de sortie est A12.
Afin d’écrire le système en fonction des signaux disponibles y(t) et u(t) du système original, on
transforme l’observateur minimal ainsi :
z( t ) ( A22 GA12 )z( t ) G( x1( t ) A11 x1( t ) B1u( t )) A21 x1( t ) B2u( t )
SObservateur
réduit z( 0 ) z0
Pour éviter la dérivée x1( t ) dans le second membre de la première équation, on introduit une
nouvelle variable notée s( t ) telle que:
s( t ) z( t ) Gx1( t ) z( t ) Gy( t )
Ces dernières équations représentent bien la structure d’un observateur excités par les signaux
disponibles, à savoir, d’entrée u(t) et la sortie y(t). La sortie z(t) est de dimension réduite par
rapport à l’observateur classique.
On montre par ailleurs que si la paire (C, A) est observable alors il en est de même pour la
paire (A12, A22), ce qui permet d’assurer l’existence de la matrice G. Celle-ci sera calculée en
fixant une dynamique appropriée à l’observateur d’ordre réduit.
Exemple :
On considère le système suivant qui est naturellement partitionné :
1 1 1
x( t ) x( t ) u( t )
2 2 1
y( t ) 1 0 x( t )
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s( t ) 5s( t ) 26 y( t ) 6u( t )
SObservateur z( t ) s( t ) 7 y( t )
réduit s( 0 ) s arbitraire
0
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