Surfaces, courbes définies par intersection de surfaces  - 

Sommaire

1. Nappes Paramétrées 1 3.2. Tangente à une courbe . . . . . . . . . . 7

1.1. Nappe paramétrée . . . . . . . . . . . . . 1 3.3. Tangente à une intersection de surfaces 7
1.2. Plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3.4. Projection d’une courbe . . . . . . . . . . 8
1.3. Paramétrisation cartésienne . . . . . . . 3
4. Colbert, lycée numérique 8
2. Surfaces en cartésiennes 5
2.1. Surface d’équation F (x, y, z) = 0 . . . . . 5 4.1. Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Plan tangent en un point non singulier . 5 4.2. HP 40G-GS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Équation cartésienne d’une nappe . . . . 6 4.3. HP 50G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.4. TI 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Courbes tracées sur une surface 7 4.5. TI N-inspire CAS . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1. Courbe tracée sur une nappe . . . . . . . 7 4.6. ClassPad 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 9

On verra trois façons principales de définir une surface :

• comme nappe paramétrée (voir au 1.),
• en équation cartésienne (voir au 2.),
• et enfin en paramétrisation cartésienne qui peut se voir comme une nappe paramétrée ou comme
une équation cartésienne (voir au 1.3.).
Ainsi, un même objet géométrique, la « surface » , peut être décrite de différentes façons...

1. Nappes Paramétrées
1.1. Nappe paramétrée

Définition : Soit D un ouvert de ‘ 2 , et f : D → ‘ 3 , de classe C 1 .

S = f (D ) est appelée nappe paramétrée par f . En pratique,
  
 x 
 



 x = x(u, v)
M :  y  ∈ S ⇔ ∃ (u, v) ∈ D , 

y = y(u, v)
  
  


z
   z = z(u, v)


Si f est de classe C k , on parle de nappe paramétrée de classe C k .

Définition : Soit S = (D , f ) une nappe paramétrée de classe C k (k > 1),

 
 x (u0 , v0 ) 
 
M0 :  y (u0 , v0 )  un point de la nappe.
 
 
z (u0 , v0 )
 
 −−−→ −−−→ 
 €M €M 
On dit que M0 est régulier ⇔  (u0 , v0 ) , (u0 , v0 ) forment une famille libre
€u €v
   

 €x   €x 
  

 €u   €v 
  
⇔ 
 €y   €y 
 ,   forment une famille libre ⇔ ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

 €u   €v 
  

 €z   €z 
  
€u €v

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1.2. Plan tangent en un point régulier d’une nappe paramétrée

Théorème : Soit S = (D , f ) une nappe paramétrée de classe C k (k > 1),

   
 x (u0 , v0 )   x0 
 
  
M0 :  y (u0 , v0 )  =  y0  un point régulier, alors S admet un plan tangent en M0 .
 
   
z (u0 , v0 ) z0
   
 −−−→ −−−→ 
 €M €M 
C’est le plan  M0 , (u0 , v0 ) , (u0 , v0 ) . Son équation est :
€u €v

€x €x
(X − x0 ) (u , v ) (u , v )
€u 0 0 €v 0 0
€y €y
(Y − y0 ) (u , v ) (u , v ) = 0
€u 0 0 €v 0 0
€z €z
(Z − z0 ) (u , v ) (u , v )
€u 0 0 €v 0 0
−−−→ −−−→
€M €M
Le vecteur : (u0 , v0 ) ∧ (u0 , v0 ) est normal à la surface au point.
€u €v
−−−→ −−−→
−−−−−→ €M €M
Démonstration : M0 M = (u − u0 ) (u0 , v0 ) + (v − v0 ) (u0 , v0 ) + o (u − u0 , v − v0 )
€u €v
−−−−−→
M0 M
ce qui prouve que lim −−−−−→ est bien dans la direction du plan indiqué.
(u,v)→(u0 ,v0 ) M
0M

La figure 1, ci-dessous, montre le plan tangent et le vecteur normal à une surface.

Figure 1 – Plan tangent

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Les courbes tracées sur la surface sont les courbes à u ou à v constants, il apparait bien ici que le plan
tangent est engendré par les tangentes à ces courbes au point considéré.

  



 x=u+v  3 
 

Exemple : On va chercher, s’il existe, le plan tangent à la nappe :  y = u − v au point  1 
  

  
 z = u2 − v2

3
  
correspondant aux valeurs u = 2 et v = 1 des paramètres.
On calcule
 les dérivées partielles par rapport à u puis leur valeur au point :
 

 €x  1 
=1


€u

  

  
 €y

  
qui au point indiqué est le vecteur
 
 = 1  1 
€u

  


€z

  
  

 = 2u  4 
€u

On fait
 de même avec v :  

 €x  
=1  1 

 
 €v

  

  
 €y
 
 
qui au point indiqué est le vecteur

 = −1  −1 
€v

 
 

  
€z

 
 
 

 = −2v 
 −2 
€v

x−3 1 1
Le plan tangent est donc, s’il existe, d’équation : y − 1 1 −1 = 0, soit : 2x + 6y − 2z = 6.
z − 3 4 −2
Enfin, le plan tangent (qui existe !) est d’équation : x + 3y − z = 3

1.3. Paramétrisation cartésienne

Définition : On dit qu’on a une paramétrisation cartésienne quand on a x et y comme paramètres.

On note alors simplement
z = f (x, y)
(x, y) ∈ D , avec f de classe C k .

Théorème : Soit S une nappe paramétrée cartésienne définie par z = f (x, y), (x, y) ∈ D ,
 
 x0 
 
avec f de classe C k , k > 2. Soit M0 :  y0  un point de S . Soit
 
 
z0
 

€2 f €2 f €2 f
r= (x0 , y0 ) , s= (x , y ) , t= (x0 , y0 )
€x2 €x€y 0 0 €y 2
• Si s2 − rt < 0, la surface est en ballon en M0 ,
◦ au dessus pour r > 0,
◦ en dessous pour r < 0.
• Si s2 − rt > 0, la surface est en col en M0 , et donc traverse le plan tangent.
Démonstration : On applique la formule de Taylor-Young à l’ordre 2, toutes les dérivées partielles

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 -  Surfaces, courbes définies par intersection de surfaces

étant prises en (x0 , y0 ) :

z − z0 = f (x, y) − f (x0 , y0 )
!
€f €f
= (x − x0 ) + (y − y0 )
€x €y
| {z }
=z1 −z0
   2
2 €2 f 2
!
1 2 € f 2 € f
  (x − x0 )  
+ (x − x0 ) + 2 (x − x ) (y − y ) + (y − y ) + o
   
2 0 0 0 2
2

€x€y

€x €y
 
 (y − y0 ) 
| {z }
=z−z1

Le point M1 de coordonnées (x, y, z1 ) étant un point du plan tangent.

Le signe de (z − z1 ) permet de déterminer de quel coté du plan tangent est le point M.
On a :
   2
1     (x − x0 )  

(x − x0 )2 r + 2 (x − x0 ) (y − y0 ) s + (y − y0 )2 t + o  

z − z1 =  
2  (y − y0 )  

(z − z1 ) finit par être du signe de l’expression du second degré quand elle n’est pas nulle. On pose
 
∆ = 4 s2 − rt
• ∆>0
z − z1 change de signe, on a un col,
• ∆<0
z − z1 ne change pas de signe, on a un point en ballon, son signe est celui de r.
• ∆=0    2
  (x − x ) 
0

dans une certaine direction, le signe de cette expression est celui de o    qu’on ne
  
 (y − y )  
0
connaît pas. On ne peut pas conclure.

 
 1 
 
Exemple : On va chercher la nature du point  1  de la nappe paramétrée cartésienne d’équation :
 
 
0
 

z = f (x, y) = x2 − y 2 .
Cette équation est clairement de classe C 2 au moins. On calcule les dérivées partielles premières et
secondes.
€f €f €2 f €2 f €2 f
= 2x, = −2y, = 2, = 0, = −2.
€x €y €x2 €x€y €y 2
Au point considéré, (et d’ailleurs en tous points), r = 2, s = 0, t = −2, s2 − rt = 4 > 0.
 
 1 
 
Le point  1  , comme tous les points, est en col.
 
 
0
 

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2. Surfaces définies par une Équation Cartésienne

2.1. Surface d’équation cartésienne F (x, y, z) = 0

Définition : U un ouvert de ‘ 3 , F : U → ‘ de classe C k , k > 1. S , la surface d’équation

 
 x 
 
cartésienne F (x, y, z) = 0 est l’ensemble des points : M :  y  tels que : F (x, y, z) = 0
 
z
 

Définition : U un ouvert de ‘ 3 , F : U → ‘ de classe C k , k > 1. S d’équation cartésienne

F (x, y, z) = 0,
−−−−−−−−−−−−→ →−
M0 est dit singulier ⇔ Grad F (M0 ) = 0
On ne confondra pas les points singuliers d’une surface définie par une équation cartésienne et les
points réguliers d’une nappe paramétrée...

2.2. Plan tangent à S en un point non singulier

Théorème : U un ouvert de ‘ 3 , F : U → ‘ de classe C k , k > 1.

S d’équation cartésienne F (x, y, z) = 0, M0 un point non singulier de S .
−−−−−−−−−−−−→
Alors S admet un plan tangent en M0 . Ce plan passe par M0 et est normal au vecteur Grad F (M0 ) .
 
 x − x0 
−−−−−→ −−−−−−−−−−−−→ 
 
Son équation est donc : M0 M · Grad F (M0 ) = 0 ou encore : d FM0  y − y0  = 0

 
z − z0
 
€F €F €F
ou enfin : (x − x0 ) (x , y , z ) + (y − y0 ) (x , y , z ) + (z − z0 ) (x , y , z ) = 0
€x 0 0 0 €y 0 0 0 €z 0 0 0

On a bien sûr la même figure que pour une nappe paramétrée. Seul le calcul du vecteur
normal change.

Démonstration : On admet que S a aussi au voisinage de M0 une représentation paramétrique de

−−−−−−−→
classe C 1 (u, v) → f (u, v) sur D un ouvert de ‘ 2 .
M0 correspondant aux valeurs (u0 , v0 ) des paramètres. On a donc :
 −−−−−−−→
∀ (u, v) ∈ D , F f (u, v) = 0 = H (u, v)

€H €H
Sa différentielle en (u0 , v0 ) est aussi nulle,
(u , v ) = (u , v ) = 0, donc, en ne précisant pas en
€u 0 0 €v 0 0
quels points on prend les dérivées, pour alléger les notations :

€F €x €F €y €F €z
× + × + × =0
€x €u €y €u €z €u
€F €x €F €y €F €z
× + × + × =0
€x €v €y €v €z €v

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Egalités qu’on peut interpréter comme des produits scalaires :

−−→
−−−−−−−−−−−−→ €f
Grad F (M0 ) · (u , v ) = 0
€u 0 0
−−→
−−−−−−−−−−−−→ €f
Grad F (M0 ) · (u , v ) = 0
€v 0 0
−−−−−−−−−−−−→
Ce qui prouve que la direction du plan tangent à la nappe est le plan normal à Grad F (M0 ) .

z = f (x, y) a la particularité de pouvoir être considéré comme une nappe paramétrée par x
et y, ou comme une surface d’équation cartésienne z − f (x, y) = 0.
Rechercher le plan tangent selon l’un ou l’autre des points de vue conduit à des calculs dif-
férents, mais au même résultat !

Exemple : On reprend la nappe d’équation g (x, y, z) = z − x2 + y 2 = 0, et on cherche le plan tangent

 
 1 
 
en  1 .
 
 
0
 
€g €g €g
Cette équation est clairement de classe C 1 au moins. Au point considéré, = −2, = 2 et = 1.
€x €y €z
Le plan tangent est donc d’équation −2 (x − 1) + 2 (y − 1) + z = 0, ou encore 2x − 2y − z = 0.

2.3. Équation cartésienne d’une nappe paramétrée





 x = x(u, v)
On a la nappe paramétrée S : (u, v) ∈ D , 

y = y(u, v)




 z = z(u, v)

On cherche l’équation cartésienne d’une surface S 0 qui contient S .
Cela revient à chercher une relation entre x, y, z qui ne contient ni u ni v.
Pour cela, on élimine les 2 paramètres entre les 3 équations.
On élimine l’un des 2 paramètres puis l’autre. Il faut prendre soin d’éviter les dénominateurs, qui
nous obligeraient à considérer des cas particuliers inutilement. On travaille à priori par implications.
• Si les relations sont polynomiales, on fabrique de proche en proche des relations de degré de plus
en plus petits.
• Si on a de la trigonométrie, c’est souvent cos2 θ + sin2 θ = 1 qui permet d’avancer.
Pour savoir si on a ajouté des points, il faut chercher si pour un point de la surface on peut retrouver
les valeurs des paramètres qui corespondent à ce point. C’est toujours une tâche un peu délicate, qu’on
ne réalise qu’à la demande explicite de l’énoncé ...




 x=u−v

Exemple : On va chercher une équation cartésienne de la nappe paramétrée :  y = uv .



 z = u2 + v2


On peut facilement  éliminer u en utilisant la première équation : u = x + v.
2
 y = xv + v


Ce qui donne :  ,
 z = x2 + 2xv + 2v 2


2
 y = xv + v

2

ou encore, en éliminant les termes en v de la seconde équation :  .
 z − 2y = x2

La dernière équation ne contient plus de paramètres... L’équation cherchée est x2 + 2y − z = 0.

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Surfaces, courbes définies par intersection de surfaces  - 

C’est l’équation d’une surface S 0 qui contient la nappe paramétrée.

3. Courbes tracées sur une surface

3.1. Courbe tracée sur une nappe paramétrée
Elle peut correspondre à u ou v constant, ce sont par exemple les courbes que trace Maple quand il
trace en « fil de fer » une nappe paramétrée.
D’une façon plus générale, une courbe tracée sur une nappe paramétrée correspond souvent à avoir
l’un des paramètres en fonction de l’autre (via si possible une fonction de classe C 1 ). On obtient ainsi
une courbe paramétrée de l’espace (de classe C 1 ).
La tangente à la courbe, quand elle existe est alors tracée sur le plan tangent. On montrera ceci dans
un autre cadre.

3.2. Tangente à une courbe paramétrée tracée sur une surface

On supposera ici que la surface est donnée en cartésiennes. Si elle est donnée en nappe paramétrée,
on en cherchera d’abord une équation cartésienne.

Théorème : Γ une courbe paramétrée de classe C 1 tracée sur S de classe C 1 .

En un point régulier de Γ , et non singulier de S , la tangente à Γ est tracée sur le plan tangent à S .
 
 x (t) 
 
Démonstration : Γ : M :  y (t) , t ∈ I, et S : F (x, y, z) = 0, M0 correspondant à t0 et on a :
 
 
z (t)
 

∀t ∈ I, F (x (t) , y (t) , z (t)) = 0

€F €F €F
On différencie en t0 , cela donne : × x0 (t0 ) + × y 0 (t0 ) + × z 0 (t0 ) = 0
€x €y €z
−−−→
−−−−−−−−−−−−→ dM
On le réécrit : Grad F (M0 ) · (t0 ) = 0
dt
Ceci prouve que le vecteur tangent à Γ est dans la direction du plan tangent à S , et comme tous deux
passent par M0 , on a le résultat annoncé.

3.3. Tangente à une courbe intersection de surfaces cartésiennes

On supposera encore que les surfaces sont données en cartésiennes. Pour celles qui sont données en
nappe paramétrée, on cherchera d’abord une équation cartésienne.

 F1 (x, y, z) = 0

Théorème : S1 et S2 deux surfaces de classe C 1 d’équations 

 F2 (x, y, z) = 0

Soit M0 un point non singulier de S1 et S2 , tel que les plans tangents à S1 et S2 en M0 sont distincts.
Et enfin : Γ = S1 ∩ S2 .
Alors, la tangente à Γ en M0 , si elle existe, est l’intersection des deux plans tangents. Elle est dirigée
par
−−−−−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−−−−→
Grad F1 (M0 ) ∧ Grad F2 (M0 )

Démonstration : Puisque la tangente, si elle existe, est tracée sur chacun des plans tangents...

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3.4. Projection d’une courbe sur les plans de coordonnées

Une courbe dans l’espace peut toujours être définie par intersection de surfaces cartésiennes ou en
paramétriques. On va voir comment obtenir ces projections (orthogonales) dans chacun des cas.

a/ Courbe définie par intersection de surfaces cartésiennes


 F1 (x, y, z) = 0

On a : Γ = S1 ∩ S2 :  (x, y, z) ∈ U .

 F2 (x, y, z) = 0

Il suffit d’éliminer z entre les deux équations pour trouver l’équation d’une courbe de xOy qui contient
la projection cherchée. En effet, une relation entre x et y, indépendante de z, vérifiée par les points de
Γ est aussi vérifiée par les points de sa projection...

b/ Courbe définie par intersection de nappes paramétrées

On cherche une représentation cartésienne de ces surfaces... et on procède comme ci-dessus !

c/ Courbe définie paramétriquement





 x = x (t)

On a : Γ :  y = y (t) t ∈ I.




 z = z (t)

Trouver l’équation d’une courbe de xOy qui contient la projection cherchée est encore plus simple :
pour avoir laprojection sur xOy, il suffit « d’oublier » z !
 x = x (t)

D’où : Γ 0 : 

t∈I
 y = y (t)


4. Colbert, lycée numérique

4.1. Maple
« plot3d » permet de tracer une (ou plusieurs avec { }) surfaces en cartésiennes ou nappes paramétrées.
On regardera les options « axes,style,scaling,view,orientation »
• Courbe d’équation : z = f (x, y)
> plot3d(z,x=a..b,y=c..d,axes=normal);
• Courbe en paramétriques : x = x(u, v), y = y (u, v), z = z (u, v)
> plot3d([x,y,z],u=a..b,v=c..d,axes=normal);
On regardera ici les options « coords » (« cylindrical,spherical » )
• On rappelle « spacecurve » de l’extension « plots » pour les courbes en paramétrique
• Dans la même extension « implicitplot3d » pour f (x, y, z) = 0
> implicitplot3d(x^2+y^2-z^2-1,x=a..b,y=c..d,z=e..f);
• Enfin, « display3d » permet de mélanger différents types de graphiques
• On regardera bien sûr Outils/Tâches/Naviguer/Plots !

4.2. HP 40G-GS
Cette calculatrice ne permet pas de visualiser de surfaces.

4.3. HP 50G
C’est dans le menu 2D/3D, L1C4, qu’on choisit le type de graphique, entre autres,

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• Fast3D, pour les surfaces cartésiennes z = f (X, Y).

On saisit f’équation sous la forme f (X, Y).
• Pr-Surface, pour les surfaces paramétriques x = x(X, Y), y = y(X, Y), z = z(X, Y).
On saisit les coordonnées sous la forme {x(X, Y), y(X, Y), z(X, Y)}.
Les variables ou paramètres sont toujours X et Y en majuscules.
Ensuite, dans WIN, L1C2, on définit la fenètre de tracé.
Alors, DRAW vous permet de tracer la fonction, tandis que ERASE efface le graphe existant.

4.4. TI 89
On utilise
• y=, L1C1, pour entrer la fonction,
• WINDOW, L1C2, pour la fenètre du tracé
• GRAPH, L1C3, pour le tracé lui même.
C’est le menu MODE, sous-menu Graph, qui permet de définir le type de graphique.
On choisit le mode 3D, pour les surfaces z = f (x, y).
On ne peut visualiser que des surfaces de ce type.

4.5. TI N-inspire CAS

Cette calculatrice ne permet pas de visualiser de surfaces.

4.6. ClassPad 300

Il faut activer l’application Graphe 3D.
On ne peut visualiser que des surfaces du type z = f (x, y).
On utilisera aussi le bouton Fenètre d’affichage !

Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert –  Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr