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    Université de Douala 2019/2020

    L2 Fac. Sc. DMI

    TRAVAUX DIRIGES MAT 233, Fiche numéro 2

    Exercice 1 Ecrire le développement de Taylor d’ordre 3 en (0, 0) des fonctions de R2 dans R


    définies par

    f (x, y) = ln(1 + 2x + 3y); g(x, y) = x2 ey − yex ; h(x, y) = cos(tan(x + sin y))

    Exercice 2 Donner le développement limité de f : (x, y) 7−→ xy au voisinage de (1, 0) à l’ordre


    2.

    Exercice 3 Soit la fonction f : R2 −→ R définie par f (x, y) = sin(x + y) − cos(x − y) − ex+y + 2


    1. Montrer que f est de classe C 2 sur R2 et déterminer le plus petit entier p tel qu’il existe
    une dérivée partielle d’ordre p de f en (0, 0) non nulle.
    2. Ecrire le développement de Taylor de f en (0, 0) jusqu’à l’ordre p inclus.
    3. Déterminer la limite éventuelle lim √f (x,y) p
    (x,y)−→(0,0) x2 +y 2

    Exercice 4 Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes définies sur R2

    1. f1 (x, y) = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y; 3. f3 (x, y) = x4 + 31 y 3 − 4y − 2;


    2. f2 (x, y) = 3x3 + xy 2 − 3axy ( a ∈ R) ; 4. f4 (x, y) = x3 + xy 2 − x2 y − y 3

    Pour chaque fonction, montrer que les extrema locaux ne sont pas globaux.

    Exercice 5 Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes sur leurs domaines de
    définition :
    y2 z2 2
    • f (x, y, z) = x + + + ;
    4x y z
    • g(x, y, z) = 8x + y − 12xyz + 10z 3 − 6z
    3 3

    • h(x, y, z) = x4 + 2y 2 + 3z2 − yz − 23y + 4x − 5

    Exercice 6 Optimiser les fonctions suivantes sur leurs domaines :


    n n
    X 1 Y
    g(x1 , . . . , xn ) = xi ln ; h(x1 , . . . , xn ) = xxi i
    i=1
    xi i=1

    2 +y 2 )/2
    Exercice 7 Soit l’application f : R2 −→ R définie par f (x, y) = xye−(x . Déterminer les
    points critiques de f ainsi que leur nature.

    Exercice 8 Soit f la fonction définie sur R3 par f (x, y, z) = x4 −2x2 y +2y 2 −2yz +2z 2 −4z +5.
    1. Déterminer les points critiques de f sur R3 .
    2. Montrer que l’expression f (x, y, z) peut s’écrire sous forme d’une somme de carrés.
    3. En déduire les extrema de f sur R3

    1
    Exercice 9 On considère les fonctions

    f : R2 → R2 ; (x, y) 7→ (x2 − y, x2 + y 2 ) et g = f ◦ f

    .
    1. Montrer que f et g sont de classe C 1 .
    2. Calculer en tout point (x, y) de R2 la matrice jacobienne J(x,y) f de f et celle de g au point
    (0, 0).
    0
    3. Montrer qu’il existe ρ > 0 tel que ∀(x, y) ∈ B(0,0) (ρ) boule fermée de R2 de centre (0, 0)
    ∂gi
    et de rayon ρ, on a k ∂x j
    k 6 21 . i, j = 1, 2; x1 = x, x2 = y.
    0
    4. Montrer que la fonction g admet un unique point fixe dans B(0,0) (ρ).

    Exercice 10 1. Enoncer et démontrer le théorème des accroissements finis pour une fonc-
    tion de 2 variables f : U ⊂ R2 −→ R.
    p
    2. Montrer que la fonction f définie sur R2 par f (x, y) = x2 + y 2 est de classe C 1 sur
    R2 \ {(0, 0)}. Est-elle différentiable en (0, 0) ?
    3. Soient x1 , x2 , y1 , y2 quatre nombre réels tels que l’origine O(0, 0) ne soit pas sur le segment
    joignant M1 (x1 , y1 ) à M2 (x2 , y2 ). Montrer qu’on a
    q q
    x22 + y22 − x21 + y12 6 |x2 − x1 | + |y2 − y1 |

    Exercice 11 Soit f la fonction définie sur R2 par f (x, y) = x2 − 2y 3 .


    1. Déterminer l’équation du plan tangent PM0 en un point M0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) du graphe
    Gf ((x0 , y0 ) ∈ R2 ).
    2. Pour M0 (2, 1, 2), déterminer tous les points M (x, y) où le plan tangent PM est parallèle
    à PM0 .

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