MUSCU5
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Exemple Soit n un nombre entier positif ou nul ( n ∈ℕ ) et considérons P(n) = n2+7n+l2. Alors il
n’existe pas de n tel P n ∈ℕ .
2b2 = a2
Nous avons maintenant trouvé que a2 est un certain entier multiplié par 2. Par
conséquent, a2 doit être divisible par 2 ; autrement dit, il est pair. Comme le carré d'un
nombre impair est lui-même impair, a doit être pair lui aussi. Nous pouvons maintenant
écrire que a = 2c, où c est un autre entier.
2b2 = (2c)2
2b2 = 4c2
b2 = 2c2
Nous avons découvert que b2 est aussi un entier multiplié par 2. En suivant le
raisonnement précédent, b doit être un entier pair. Ici, nous avons une contradiction : les
deux nombres entiers a et b sont pairs. En d'autres termes, nous venons de démontrer
que ces deux nombres ont un facteur commun : 2. Mais nous avons déjà supposé que
ces deux nombres n'avaient pas de facteur commun! Puisqu'une telle contradiction a été
établie, nous devons conclure que notre supposition d'origine était fausse.
Par conséquent, on ne peut pas trouver deux entiers a et b premiers entre eux tels qu'on
puisse écrire 2 sous la forme a/b, donc 2 est irrationnel.
Exercice 5.3
Démontrez que 3 est irrationnel.
Démontrez qu’il existe un nombre infini de nombres premiers.
Exercice 5.4
On couvre un carré 6 x 6 avec 18 dominos sans chevauchements et sans dépasser les
Exercice 5.5
bords. Montrez qu’il existe toujours une droite qui coupe le carré en deux parties mais
qui ne divise aucun des dominos.
L’hypothèse d’hérédité signifie que si P(n) est vraie alors P(n+1) l’est aussi. Dans ces
conditions, P(n) est vraie pour tout n. En effet, P(0) est vraie par l’hypothèse d’ancrage,
donc P(l) l’est par hérédité, donc P(2) aussi pour la même raison, etc. On a un « effet
dominos ».
Exemple On veut démontrer par récurrence la propriété suivante : « pour tout entier naturel n et
tout réel x strictement positif, (1 + x)n ≥ 1 + nx ».
• (1 + x)0 = 1 ≥ 1 + 0 x , donc la propriété est vraie au rang 0.
• Supposons la propriété vraie pour un certain rang n, c'est-à-dire supposons que
(1 + x)n ≥ 1 + nx
• Alors, (1 + x)(1 + x)n ≥ (1 + x)(1 + nx),
d'où (1 + x)n+1 ≥ 1 + nx + x + nx²,
donc, (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n+1)x + nx² ≥ 1 + (n+1)x (puisque x est positif),
par conséquent, (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n+1)x
La propriété reste donc vraie au rang n+1.
• Conclusion : elle est vraie quel que soit l'entier naturel n.
Dessinons sur une feuille des points. Nous les appellerons des sommets. Relions ces
Exercice 5.8
sommets par des arêtes, pas forcément rectilignes, qui ne se coupent pas. Depuis
chaque sommet, on doit pouvoir atteindre tous les autres sommets en suivant les arêtes
(on parle de graphe connexe). Appelons régions les surfaces de la feuille délimitées pas
des arêtes.
Par exemple, avec six sommets et neuf arêtes, le dessin ci-dessous divise le plan en cinq
régions (A, B, C, D, E). On remarque que quatre régions sont limitées alors que la
cinquième (E), extérieure au diagramme, ne l'est pas.
Leonhard Euler
(Bâle, 15/4/1707 - Formulé par le mathématicien suisse Léonard Euler en 1752, la relation d'Euler
St-Pétersbourg, 18/9/1783) énonce une formule mathématique qui relie le nombre d’arêtes (a), de sommets (s), et
de régions (r) : r − a + s = 2.