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    TD Analyse Numérique

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    sur 2

    Université Ibn Tofail Année 2023-2024

    ESEF, Kénitra Filière : Mathématique

    Module : Analyse numérique 1


    Série 1

    Exercice 1:
    On considère le système linéaire Ax = b,où
       
    1 2 1 0
      3
     
    A= 2 2 3   3 , x∈R
    , b= 
     
    −1 −3 0 2

    1) Résoudre ce système par la méthode d’élimination de Gauss.


    2) Déterminer une décomposition LU de A.
    3) Résoudre ce système en utilisant la décomposition LU de A.
    4) En déduire le determinant de A.

    Exercice 2: Soit A la matrice donnée par


     
    2 1 3 1
     
     −4 −1 −4 −3 
    A=
     
     
     0 −1 −3 2 
     
    2 3 2 −1
    1) Donner la décomposition LU de la matrice A.
    2) Décrire la procédure de calcul de l’inverse de A en utilisant LU .
    3) Décrire comment utiliser la décomposition LU de A pour la résolution du système
    A2 x = b, où b est donné.

    Exercice 3: Pour n ∈ N on définit la matrice tridiagonale d’ordre n


     
    2 −1
     
     −1 2 −1 
     
     
    .. .. ..
    An =
     

     . . . 

     

     −1 2 −1 

    −1 2
    1) Calculer la factorisation LU de A3 .
    2) Calculer la factorisation LU de A4 .
    3) Calculer la factorisation LU de An .
     
     1 2
     
     1 3 1 , avec  ∈ R.
    Exercice 4: On considère le système Ax = B où A =  

    2 1 3
    1) Pour quels valeurs de  la matrice A est symétrique et définie positive ?
    2) On pose  = 0, et on veut résoudre Ax = b par une méthode directe. Quelles méthodes
    peut-on utiliser ?
    3) On pose  = 2, vérifier que dans ce cas, A est définie positive et donner une factorisation
    de A sous forme LLt avec L triangulaire inférieure.
    Résoudre dans ce cas Ax = b, où b = (1, 1, 1)t .

    Exercice 5: Soient les matrices


       
    1 2 −2 2 −1 1
       
    A1 = 
     1 1 1 
     et A2 = 
     2
    2 2 

    2 2 1 −1 −1 2

    On cherche à résoudre les problèmes suivants :



     trouver x ∈ R3 tel que
    (Pi ) , i = 1, 2 et bi ∈ R3
     Ax=b i i

    par les méthodes de Jacobi et/ou Gauss-Seidel.


    1) Quelle(s) méthodes(s) utiliseriez-vous pour (P1 ) ?
    2) Quelle(s) méthodes(s) utiliseriez-vous pour (P2 ) ?

    Exercice 6: On considère la matrice A définie par :


     
    −4 2 0
     
    A=
     2 5 2 

    0 2 −5

    Soit le problème : trouver x ∈ R3 tel que Ax = b, avec b ∈ R3 donné.


    On cherche à résoudre ce problème par des méthodes itératives.
    1) Sans faire de calcul, dire pourquoi les méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel sont
    convergentes.
    2) En remarquant que A a une structre particulière, quelle relation lie les rayons spectraux
    des matrices d’itérations de Jacobi et de Gauss-Seidel.

    Exercice 7: Pour a ∈ R, on considère la matrice A(a) définie par


     
    1 a a
     
     a 1 a 
     
    a a 1
    1) Donner les matrices de Jacobi et de Gauss-Seidel associés à A(a). Etudier leur conver-
    gence.
    2) Pour quelles valeurs de a, la matrice A(a) est-elle définie positive ?
    3) On choisit |a| < 21 ; étudier la convergence de Jacobi et de Gauss-Seidel.

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