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    LU1MA002 Mathématiques pour les Études Scientifiques II

    Feuille 1
    Calcul matriciel
    Les feuilles d’exercices sont découpées en trois types d’exercice :
    — Les indispensables : à savoir faire en autonomie.
    — Les exercices d’application : pour mieux maı̂triser et comprendre le cours.
    — Pour aller plus loin : exercices présentant des développements mathématiques ou des études de modéli-
    sations de phénomènes issues d’autres disciplines.

    Indispensables
    Exercice 1 (Produits de matrices). On considère :
     
      0  
    1 1 2
    X= , Z=  2  , A=
    −1 2 1
    3
     
      1 2 3
    −1 1
    B= , D= 3 2 1 
    0 1
    2 1 3
    Quels sont les produits matriciels possibles ? Les calculer.
       
    1 1 0 1
    Exercice 2 (Identités remarquables). Soient A = et B = .
    0 1 −1 0

    1. Calculer AB et BA.
    2. Calculer (A + B)2 .
    3. Calculer A2 + 2AB + B 2 et A2 + AB + BA + B 2 et conclure.
    4. Calculer, s’ils existent, les inverses de A et de B.

    Exercice 3 (La transposée). Soit M une matrice dans Mn,m (R), M = (mij ). La matrice transposée de
    M , M t , estpar définition la matrice
     où lacoordonnée ij est
    la coordonnée mji de M . Dans M3,4 (R)
    −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2
    soient A = −1 0 1 2  et B =  2 1 0 −1. Écrire la matrice At puis calculer B At .
    3 4 5 6 1 0 −1 2

    Applications
    Exercice 4 (Matrices de rotation). Soit θ un nombre réel. On considère la matrice
     
    cos(θ) − sin(θ)
    Rθ = .
    sin(θ) cos(θ)
     
    a
    1. On considère un vecteur non nul v = de R2 . Montrer qu’il existe r > 0 et φ ∈ R tel que
    b
     
    r cos(φ)
    v= .
    r sin(φ)
    2. Calculer Rθ · v en fonction de r, φ et θ.
    3. Montrer que l’application R2 → R2 , donnée par v → Rθ v, est la rotation de centre 0 et d’angle
    θ.
    4. On considère un autre nombre réel θ0 . Calculer Rθ Rθ0 . Quelle est l’application de R2 → R2
    correspondante ?

    1
    LU1MA002 Mathématiques pour les Études Scientifiques II

    Exercice 5 (Traitement d’images). On considère le triangle dont les coordonnées des sommets sont :
    y

    x 1 2 3
    y 1 2 1

    Soient
    √ 
    3 1
    
    3 −1
     
    1 0
     
    1 −1
     − 
    A= , B= , C= , D= 2 √2  ,

    2 −1 0 −1 0 1 1 3
    2 2
    Quelles sont les figures géométriques obtenues en appliquant respectivement les matrices A, B, C et
    D aux sommets du triangle ? Quelles sont les images de l’intérieur du triangle ?

    Exercice 6 (La suite de Fibonacci). On considère


     la suite (fn )n∈N définie par f0 = 0, f1 = 1 et pour
    0 1
    tout n ≥ 0, fn+2 = fn+1 + fn . On note M = . Soit k un entier naturel.
    1 1
     
    k 0
    1. Calculer par récurrence, en fonction des éléments de la suite (fn )n∈N , la valeur de M
    1.
    2. Exprimer les coefficients de M k en fonction de fk−1 , fk et fk+1 .

    Pour aller plus loin


     
    a 0
    Exercice 7 (Puissance n-ième). On considère une matrice diagonale D = (a et b réels) et la
    0 b
     
    1 1
    matrice T = .
    0 1
     n   
    n a 0 n 1 n
    1. Montrer par récurrence sur n ≥ 1, que D = et T = .
    0 bn 0 1
    2. Calculer la matrice X = D + T − I2 .
     n  n−1
    n a cn X
    3. Montrer que X = n , avec cn = ai bn−i−1 .
    0 b
    i=0

    Exercice 8. On considère la matrice  


    1 1 1
    A = 1 1 1  .
    1 1 1
    Pour tout n > 1, calculer An .

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