Chapitre 2

Déterminants

1. Déterminant en dimension 2 et 3
2. Définition du déterminant
3. Propriétés du déterminant
4. Calculs de déterminants
5. Applications des déterminants

Le déterminant est un nombre que l’on associe à n vecteurs (v1 , . . . , vn ) de Rn . Il correspond au volume
du parallélépipède engendré par ces n vecteurs. On peut aussi définir le déterminant d’une matrice A. Le
déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas, et de façon plus générale, joue un rôle
important dans le calcul matriciel et la résolution de systèmes linéaires.

Nous commençons par donner l’expression du déterminant d’une matrice en petites dimensions.

1. Déterminant en dimension 2 et 3

1.1. M atrice 2 × 2
En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer :
 
a b
det = ad − bc.
c d
C’est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en jaune) moins le produit des éléments sur
l’autre diagonale (en vert).

−
 
a b
 
c d

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1.2. M atrice 3 × 3
Soit A ∈ M3 (K) une matrice 3 × 3 :
 
a11 a12 a13
A = a21
 a22 a23  .
a31 a32 a33
Le déterminant est:
det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12 .
Il existe un moyen facile de retenir cette formule, c’est la règle de Sarrus : on recopie les deux premières
colonnes à droite de la matrice (colonnes grisées), puis on additionne les produits de trois termes en les
regroupant selon la direction de la diagonale descendante (à gauche), et on soustrait ensuite les produits
de trois termes regroupés selon la direction de la diagonale montante (à droite).
   
 a11 a12 a13 a11 a12   a11 a12 a13 a11 a12 
   
   
 a21 a22 a23 a21 a22   a21 a22 a23 a21 a22 
   
   
a31 a32 a33 a31 a32 a31 a32 a33 a31 a32
   

Exemple 1.  
2 1 0
Calculons le déterminant de la matrice A = 1 −1 3.
3 2 1
Par la règle de Sarrus :
det A = 2 × (−1) × 1 + 1 × 3 × 3 + 0 × 1 × 2
− 3 × (−1) × 0 − 2 × 3 × 2 − 1 × 1 × 1 = −6.
 
 2 1 0 2 1 
 
 

 1 −1 3 1 −1 

 
 
3 2 1 3 2

Cette méthode ne s’applique pas pour les matrices de taille supérieure à3. Nous verrons d’autres
méthodes qui s’appliquent aux matrices carrées de toute taille et donc aussi aux matrices 3 × 3.

1.3. Interprétation géométrique du déterminant

On va voir qu’en dimension 2, les déterminants correspondent à des aires et en dimension 3 à des volumes.


Donnons nous deux vecteurs v1 = ( ac ) et v2 = db du plan R2 . Ces deux vecteurs v1 , v2 déterminent un
parallélogramme.
y

v2

~j
v1

O ~i x

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Proposition 1.
L’aire du parallélogramme est donnée par la valeur absolue du déterminant :
 
a b 
  
A =  det(v1 , v2 ) =  det
  
.
c d

De manière similaire, trois vecteurs de l’espace R3 :

     
a11 a12 a13
v1 = a21  v2 = a22  v3 = a23 
a31 a32 a33
définissent un parallélépipède.

v3

v2 v1

À partir de ces trois vecteurs on définit, en juxtaposant les colonnes, une matrice et un déterminant :
 
a11 a12 a13
det(v1 , v2 , v3 ) = det a21 a22 a23  .
a31 a32 a33

Proposition 2.
Le volume du parallélépipède est donné par la valeur absolue du déterminant :
 
V =  det(v1 , v2 , v3 ).
 

On prendra comme unité d’aire dans R2 l’aire du carré unité dont les côtés sont les vecteurs de la base




canonique 10 , 01 , et comme unité de volume dans R3 , le volume du cube unité.

Questions
   
1 2 −

7 8
1. Pour A = et B = calculer les déterminants de A, B , A × B , A + B , A -1 , λA, AT .
5 3 −

9 5
   
a b a0 0
2. Mêmes questions pour A = et B = 0 .
c d c d0
   
2 0 1 1 2 3
3. Mêmes questions pour A = 2 −1 2 et B = 0 2 2.
3 1 0 0 0 3



4. Calculer l’aire du parallélogramme défini par les vecteurs 73 et 41 .
€ 2 Š € 1Š € 1Š
5. Calculer le volume du parallélépipède défini par les vecteurs 1 , 1 , 3 .
1 4 1

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2. Définition du déterminant
Cette partie est consacrée à la définition, assez abstraite, du déterminant. Je demande aux étudiants d’attendre
encore un peu pour pouvoir vraiment calculer des déterminants.

2.1. Définition et premières propriétés

Nous allons caractériser le déterminant comme une application, qui à une matrice carrée associe un scalaire :

det : Mn (K) −→ K

Théorème 1 (Existence et d’unicité du déterminant).

Il existe une unique application de Mn (K) dans K, appelée déterminant, telle que
(i) le déterminant est linéaire par rapport à chaque vecteur colonne, les autres étant fixés ;
(ii) si une matrice A a deux colonnes identiques, alors son déterminant est nul ;
(iii) le déterminant de la matrice identité I n vaut 1.

Une preuve de l’existence du déterminant sera donnée plus bas en section 2.4.
On note le déterminant d’une matrice A = (ai j ) par :
 
 a11
 a12 · · · a1n 

 a
 21 a22 · · · a2n 
det A ou .

 . .. ..
 .. . . 
 
 a
n1 an2 · · · ann 

Si on note Ci la i-ème colonne de A, alors

 
det A = C1 C2 · · · Cn  = det(C1 , C2 , . . . , Cn ) .

Avec cette notation, la propriété (i) de linéarité par rapport à la colonne j s’écrit : pour tout λ, µ ∈ K,
det(C1 , . . . , λC j + µC j0 , . . . , Cn ) = λ det(C1 , . . . , C j , . . . , Cn ) + µ det(C1 , . . . , C j0 , . . . , Cn ), soit

 a11 · · · λa1 j + µa10 j

 
· · · a1n 
 .. .. .. 
 
 . . . 
 ai1 · · · λai j + µa0
 
 ij · · · ain 
 . .. .. 
 .. . . 

0
n1 · · · λan j + µan j · · · ann 
a

 a11 · · · a10 j
   
 a11 · · · a1 j · · · a1n  · · · a1n 
 .. .. .. 
  
 .. .. .. 
 . . .   . . . 
· · · ain  + µ  ai1 · · · ai0 j
  
= λ  ai1 · · · ai j · · · ain  .
 .. .. ..   . .. .. 
 . . .   .. . . 
 
··· a · · · ann  0
a
n1 nj
a
n1 · · · a nj ··· a  nn

Exemple 2.

   
6 5 4  6 1 4 
 
 7 −10 −3 = 5 ×  7 −2 −3
   
12 25 −1 12 5 −1

Car la seconde colonne est un multiple de 5.

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3 2
 4 − 3  3 2 4  3 2 3
7 −5 3 − 2  = 7 −5 3  − 7 −5 2
     
9 2 10 − 4 9 2 10 9 2 4
Par linéarité sur la troisième colonne.

Remarque.
• Une application de Mn (K) dans K qui satisfait la propriété (i) est appelée forme multilinéaire.
• Si elle satisfait (ii), on dit qu’elle est alternée.
Le déterminant est donc la seule forme multilinéaire alternée qui prend comme valeur 1 sur la matrice I n .
Les autres formes multilinéaires alternées sont les multiples scalaires du déterminant. On verra plus loin
comment on peut calculer en pratique les déterminants.

2.2. Premières propriétés

Nous connaissons déjà le déterminant de deux matrices :
• le déterminant de la matrice nulle 0n vaut 0 (par la propriété (ii)),
• le déterminant de la matrice identité I n vaut 1 (par la propriété (iii)).

Donnons maintenant quelques propriétés importantes du déterminant : comment se comporte le déterminant

face aux opérations élémentaires sur les colonnes ?
Proposition 3.
Soit A ∈ Mn (K) une matrice ayant les colonnes C1 , C2 , . . . , Cn . On note A0 la matrice obtenue par une des
opérations élémentaires sur les colonnes, qui sont :
1. Ci ← λCi avec λ 6= 0 : A0 est obtenue en multipliant une colonne de A par un scalaire non nul. Alors
det A0 = λ det A.
2. Ci ← Ci + λC j avec λ ∈ K (et j =6 i) : A0 est obtenue en ajoutant à une colonne de A un multiple d’une
0
autre colonne de A. Alors det A = det A.
3. Ci ↔ C j : A0 est obtenue en échangeant deux colonnes distinctes de A. Alors det A0 = − det A .
Pn
Plus généralement pour (2) : l’opération Ci ← Ci + j=1 λ j C j d’ajouter une combinaison linéaire des autres
j6=i
colonnes conserve le déterminant.
Échanger deux colonnes change le signe du déterminant.

Preuve.
1. La première propriété découle de la partie (i) de la définition du déterminant.


2. Soit A = C1 · · · Ci · · · C j · · · Cn une matrice représentée par ses vecteurs colonnes Ck . L’opéra-
tion Ci ← Ci + λC j transforme la matrice A en la matrice A0 = C1 · · · Ci + λC j · · · C j · · · Cn .

Par linéarité par rapport à la colonne i, on sait que

det A0 = det A + λ det C1 · · · C j · · · C j · · · Cn .




Or les colonnes i et j de la matrice C1 · · · C j · · · C j · · · Cn sont identiques, donc son détermi-
nant est nul.
3. Si on échange les colonnes i et j de A = C1 · · · Ci · · · C j · · · Cn on obtient la matrice A0 =




C1 · · · Ci · · · C j · · · Cn , où le vecteur C j se retrouve en colonne i et le vecteur Ci en colonne j.
Introduisons alors une troisième matrice B = C1 · · · Ci + C j · · · C j + Ci · · · Cn . Cette matrice

a deux colonnes distinctes égales, donc d’après (ii), det B = 0.

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D’un autre côté, nous pouvons développer ce déterminant en utilisant la propriété (i) de multilinéarité,
c’est-à-dire linéarité par rapport à chaque colonne. Ceci donne

0 = det B = det C1 · · · Ci + C j · · · C j + Ci · · · Cn

= det C1 · · · Ci · · · C j + Ci · · · Cn

+ det C1 · · · C j · · · C j + Ci · · · Cn




= det C1 · · · Ci · · · C j · · · Cn


+ det C1 · · · Ci · · · Ci · · · Cn


+ det C1 · · · C j · · · C j · · · Cn


+ det C1 · · · C j · · · Ci · · · Cn
= det A + 0 + 0 + det A0 ,

encore grâce à (i) pour les deux déterminants nuls du milieu.

Corollaire 1.
Si une colonne Ci de la matrice A est combinaison linéaire des autres colonnes, alors det A = 0.

2.3. Déterminants de matrices particulières

Calculer des déterminants n’est pas toujours facile. Cependant il est facile de calculer le déterminant de
matrices triangulaires.

Proposition 4.
Le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) est égal au produit des termes diagonaux.

Autrement dit, pour une matrice triangulaire A = (ai j ) on a

 
 11 a12 . . . . . . . . . a1n 
a 
 0 a
22 . . . . . . . . . a2n 


 . .. .. .. 
 .. . . . 
det A =  . ..  = a11 · a22 · · · ann .

 .. . .
.. ..
 . 
 .. .. .. .. 
 . . . . 

 0 ... ... ... 0 a  nn

Comme cas particulièrement important on obtient :

Corollaire 2.
Le déterminant d’une matrice diagonale est égal au produit des termes diagonaux.

Preuve. On traite le cas des matrices triangulaires supérieures (le cas des matrices triangulaires
inférieures est identique). Soit donc
 
a11 a12 a13 · · · a1n
 0 a22 a23 · · · a2n 
 
A= 0
 0 a33 · · · a3n  .
 . .. .. .. .. 
 .. . . . . 
0 0 0 · · · ann

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La façon de procéder utilise l’algorithme du pivot de Gauss (sur les colonnes, alors qu’il est en général défini
sur les lignes). Par linéarité par rapport à la première colonne, on a
 
1 a12 a13 · · · a1n 
 
0 a22 a23 · · · a2n 
 
det A = a11 0 0 a33 · · · a3n  .
 
. . . . .
 .. .. .. .. .. 

 
0 0 0 ··· a  nn

On soustrait maintenant de chaque colonne C j , pour j > 2, la colonne C1 multipliée par −a1 j . C’est l’opération
élémentaire C j ← C j − a1 j C1 . Ceci ne modifie pas le déterminant d’après la section précédente. Il vient donc
 
1 0 0 ··· 0 
 
0 a22 a23 · · · a2n 
 
det A = a11 0 0 a33 · · · a3n  .
 
. . . .. .
 .. .. .. .. 

 . 
0 0 0 ··· a  nn

Par linéarité par rapport à la deuxième colonne, on en déduit

 
1 0 0 ··· 0 
 
0 1 a23
 · · · a2n 
det A = a11 · a22 0 0 a33
 · · · a3n  ,
. . .. .. .. 
 .. .. . . . 

0 0 0 ··· a  nn

et l’on continue ainsi jusqu’à avoir parcouru toutes les colonnes de la matrice. Au bout de n étapes, on a
obtenu
 
1 0 0 · · · 0
 
0 1 0 · · · 0
 
det A = a11 · a22 · a33 · · · ann 0 0 1 · · · 0 = a11 · a22 · a33 · · · ann · det I n ,
 
. . . .
 .. .. .. . . ... 

 
0 0 0 · · · 1
d’où le résultat, car det I n = 1, par (iii).

2.4. Démonstration de l'existence du déterminant

La démonstration du théorème d’existence du déterminant, exposée ci-dessous, est ardue et pourra être
gardée pour une seconde lecture. Par ailleurs, l’unicité du déterminant, plus difficile, est admise.
Pour démontrer l’existence d’une application satisfaisant aux conditions (i), (ii), (iii) du théorème-définition
1, on donne une formule qui, de plus, nous offre une autre méthode de calcul pratique du déterminant d’une
matrice, et on vérifie que les propriétés caractéristiques des déterminants sont satisfaites. On retrouvera
cette formule, dite de développement par rapport à une ligne, en section 4.2.
Notation. Soit A ∈ Mn (K) une matrice carrée de taille n × n. Il est évident que si l’on supprime une ligne
et une colonne dans A, la matrice obtenue a n − 1 lignes et n − 1 colonnes. On note Ai, j ou Ai j la matrice
obtenue en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne de A. Le théorème d’existence peut s’énoncer de
la façon suivante :
Théorème 2 (Existence du déterminant).
Les formules suivantes définissent par récurrence, pour n > 1, une application de Mn (K) dans K qui satisfait
aux propriétés (i), (ii), (iii) caractérisant le déterminant :
• Déterminant d’une matrice 1 × 1. Si a ∈ K et A = (a), det A = a.

30
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• Formule de récurrence. Si A = (ai, j ) est une matrice carrée de taille n × n, alors pour tout i fixé
det A = (−1)i+1 ai,1 det Ai,1 + (−1)i+2 ai,2 det Ai,2 + · · · + (−1)i+n ai,n det Ai,n .

Preuve. La preuve se fait par récurrence sur l’ordre des matrices.

Initialisation. Dans le cas n = 1, il est évident que toutes les propriétés souhaitées sont satisfaites.

Hérédité. Supposons maintenant que l’application det : Mn−1 (K) → K soit définie et satisfasse les propriétés
(i), (ii) et (iii). Pour faciliter l’exposition, la preuve va être faite pour i = n. Soit A = (ai, j ) notée aussi
‚ a1, j Œ ‚ a1, j Œ
A = (C1 · · · Cn ) où C j = .
.. est la j-ème colonne de A. On notera aussi C̄ j = .. la colonne à (n − 1)
.
an, j an−1, j
éléments, égale à C j privée de son dernier coefficient.
• Propriété (i).
Il s’agit de vérifier que l’application
A 7→ det A = (−1)n+1 an,1 det An,1 + (−1)n+2 an,2 det An,2 + · · · + (−1)n+n an,n det An,n
est linéaire par rapport à chaque colonne. Nous allons le prouver pour la dernière colonne, c’est-à-dire
que :
det(C1 , . . . , Cn−1 , λCn0 + µCn00 ) = λ det(C1 , . . . , Cn−1 , Cn0 ) + µ det(C1 , . . . , Cn−1 , Cn00 ) .
Notons A, A0 , A00 les matrices (C1 · · · Cn−1 · · · λCn0 + µCn00 ), (C1 · · · Cn−1 · · · Cn0 ) et (C1 · · · Cn−1 · · · Cn00 ), et An, j ,
A0n, j , A00n, j les sous-matrices extraites en enlevant n-ème ligne et la j-ème colonne. En comparant les
0 00 0 00
différentes matrices, on constate que an, j = an, j = an, j si j < n tandis que an,n = λan,n + µan,n .
0 00
Similairement, An,n = An,n = An,n = (C̄1 · · · C̄n−1 ) puisque la n-ème colonne est enlevée. Par contre, pour
j < n, An, j , A0n, j , A00n, j ont leurs (n − 2) premières colonnes identiques, et diffèrent par la dernière. Comme
ce sont des déterminants de taille n − 1, on peut utiliser l’hypothèse de récurrence :
det An, j = det(C̄1 , . . . , C̄ j−1 , C̄ j+1 , . . . , C̄n−1 , λC̄n0 + µC̄n00 )
= λ det(C̄1 , . . . , C̄ j−1 , C̄ j+1 , . . . , C̄n−1 , C̄n0 )
+µ det(C̄1 , . . . , C̄ j−1 , C̄ j+1 , . . . , C̄n−1 , C̄n00 )
= λ det A0n, j + µ det A00n, j
Finalement, en mettant de côté dans la somme le n-ème terme :
det A = (−1)n+1 an,1 det An,1 + (−1)n+2 an,2 det A1,2 + · · · + (−1)n+n an,n det An,n
!
Xn−1
= (−1) an, j det An, j + (−1)2n an,n det An,n
n+ j

j=1
!
n−1
X
= (−1) n+ j
an, j (λ det A0n, j + µ det A00n, j ) 0
+ (−1)2n (λan,n 00
+ µan,n ) det An,n
j=1
n
X n
X
0 0 00 00
= λ (−1)n+ j an, j det An, j + µ (−1)n+ j an, j det An, j
j=1 j=1
0 00
= λ det A + µ det A

La démonstration est similaire pour les autres colonnes (on peut aussi utiliser la propriété (ii) ci-dessous).
• Propriété (ii).
Supposons que C r = Cs pour r < s. Si k est différent de r et de s, la matrice An,k possède encore deux
colonnes identiques C̄ r et C̄s . Par hypothèse de récurrence, det An,k = 0. Par conséquent,
det A = (−1)n+r det An,r + (−1)n+s det An,s
Or An,r et An,s possèdent toutes les deux les mêmes colonnes : An,r = (C̄1 · · · C̄ r−1 C̄ r+1 · · · C̄s · · · C̄n ) et
An,s = (C̄1 · · · C̄ r · · · C̄s−1 C̄s+1 · · · C̄n ), car C̄ r = C̄s . Pour passer de An,s à An,r , il faut faire s − r − 1 échanges

31
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de colonnes C̄ j ↔ C̄ j+1 successifs, qui par hypothèse de récurrence changent le signe par (−1)s−r−1 :
det An,s = (−1)s−r−1 det An,r . On conclut immédiatement que


det A = (−1)n+r + (−1)n+2s−r−1 det An,r = 0 .
• Propriété (iii). Si l’on considère pour A la matrice identité I n , ses coefficients ai, j sont tels que :
i = j =⇒ ai, j = 1
i 6= j =⇒ ai, j = 0.
Donc det I n = (−1)n+n det An,n . Or, la matrice An,n obtenue à partir de la matrice identité en supprimant
la dernière ligne et la dernière colonne est la matrice identité de taille (n − 1) × (n − 1). Par hypothèse
de récurrence, on a det I n−1 = 1. On en déduit det I n = 1.
Le principe de récurrence termine la preuve du théorème d’existence du déterminant.

Remarque.
La définition donnée ci-dessus suppose le choix d’un indice i de ligne (i = n dans la démonstration) et peut
paraître arbitraire. Alors se pose naturellement la question : que se passe-t-il si l’on prend une autre valeur
de i ? L’unicité du déterminant d’une matrice permet de répondre : quelle que soit la ligne choisie, le résultat
est le même.
Questions.
1. En utilisant la linéarité du déterminant, calculer det (−I n ).
2. Pour A ∈ Mn (K), calculer det(λA) en fonction de det A.
n
3. Montrer que le déterminant reste invariant par l’opération Ci ← Ci + λ j C j (on ajoute à une
P
j
j6 =i
colonne de A une combinaison linéaire des autres colonnes de A).

3. Propriétés du déterminant
Nous allons voir trois propriétés importantes du déterminant : le déterminant d’un produit de matrices, le
déterminant de l’inverse d’une matrice, le déterminant de la transposée d’une matrice. Pour prouver ces
propriétés, nous aurons besoin des matrices élémentaires.

3.2. Déterminant d'un produit

Théorème 3.
det (AB ) = det A · det B

32
 Module : M124
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3.3. Déterminant des matrices inversibles

Comment savoir si une matrice est inversible ? Il suffit de calculer son déterminant !
Corollaire 3.
Une matrice carrée A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. De plus si A est inversible,
alors :

1
det A−1 =


det A

Preuve.
• Si A est inversible, il existe une matrice A−1 telle que AA−1 = I n , donc det(A) det(A−1 ) = det I n = 1. On
en déduit que det A est non nul et det(A−1 ) = det1 A .
• Si A n’est pas inversible, alors elle est de rang strictement inférieur à n. Il existe donc une relation de
dépendance linéaire entre ses colonnes, c’est-à-dire qu’au moins l’une de ses colonnes est combinaison
linéaire des autres. On en déduit det A = 0.

Exemple 4.
Deux matrices semblables ont même déterminant.
En effet : soit B = P −1 AP avec P ∈ G L n (K) une matrice inversible. Par multiplicativité du déterminant, on
en déduit que :
det B = det(P −1 AP) = det P −1 det Adet P = det A,
1
puisque det P −1 = det P .

3.4. Déterminant de la transposée

Corollaire 4.

det AT = det A

33
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Remarque.
Une conséquence du dernier résultat, est que par transposition, tout ce que l’on a dit des déterminants à
propos des colonnes est vrai pour les lignes. Ainsi, le déterminant est multilinéaire par rapport aux lignes, si
une matrice a deux lignes égales, son déterminant est nul, on ne modifie pas un déterminant en ajoutant à
une ligne une combinaison linéaire des autres lignes, etc.

Voici le détail pour les opérations élémentaires sur les lignes :

1. L i ← λL i avec λ 6= 0 : le déterminant est multiplié par λ.

2. L i ← L i + λL j avec λ ∈ K (et j 6= i) : le déterminant ne change pas.

3. L i ↔ L j : le déterminant change de signe.

Exercices.
   
a 1 3 1 0 2
1. Soient A = 0 b
 2 et B =  0 d 0. Calculer, lorsque c’est possible, les déterminants des
0 0 c −2 0 1
matrices A, B, A−1 , B −1 , AT , B T , AB, BA.
2. Calculer le déterminant de chacune des matrices suivantes en se ramenant par des opérations élémen-
taires à une matrice triangulaire.
 
    1 2 4 8
  1 0 6 1 1 1 1 3 9
a b 3 4 15 1 j j 2  avec j = e 3
2iπ
 27 

c d 2
1 4 16 64 
5 6 21 1 j j
1 5 25 125

4. Calculs de déterminants

Une des techniques les plus utiles pour calculer un déterminant est le « développement par rapport à une
ligne (ou une colonne) ».

4.1. Cofacteur

Définition 1.


Soit A = ai j ∈ Mn (K) une matrice carrée.
• On note Ai j la matrice extraite, obtenue en effaçant la ligne i et la colonne j de A.
• Le nombre det Ai j est un mineur d’ordre n − 1 de la matrice A.
• Le nombre Ci j = (−1)i+ j det Ai j est le cofacteur de A relatif au coefficient ai j .

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 
a11 · · · a1, j−1 a1, j a1, j+1 · · · a1n
 .. .. .. ..
 
 . . . .


a
 i−1,1 · · · ai−1, j−1 ai−1, j ai−1, j+1 · · · ai−1,n 

 
· · · ai, j−1 · · · ai,n 
 
A=  a ai, j ai, j+1
 i,1 
 
a
 i+1,1 · · · ai+1, j−1 ai+1, j ai+1, j+1 · · · ai+1,n 

 .. .. .. .. 
 
 . . . . 
an1 · · · an, j−1 an, j an, j+1 · · · ann

 
a1,1 . . . a1, j−1 a1, j+1 ... a1,n
 .. .. .. .. 
 . . . . 
 
ai−1,1 . . . ai−1, j−1 ai−1, j+1 . . . ai−1,n 
Ai j =  
 i+1,1 . . . ai+1, j−1 . . . ai+1,n 
a ai+1, j+1 
 . .. .. 
 .. . . 
an,1 . . . an, j−1 an, j+1 ... an,n
Exemple5. 
1 2 3
Soit A = 4 2 1. Calculons A11 , C11 , A32 , C32 .
0 1 1

 
1 2 3  
1 3
 
A32 =   =
 
4 2 1
  4 1
0 1 1

C32 = (−1)3+2 det A32 = (−1) × (−11) = 11.

Pour déterminer si Ci j = + det Ai j ou Ci j = − det Ai j , on peut se souvenir que l’on associe des signes en
suivant le schéma d’un échiquier :
 
+ − + − ...
− + − + . . .
A = + − + − . . .
 
 
.. .. .. ..
. . . .
Donc C11 = + det A11 , C12 = − det A12 , C21 = − det A21 ...

4.2. Développement suivant une ligne ou une colonne

Théorème 4 (Développement suivant une ligne ou une colonne).

Formule de développement par rapport à la ligne i :
Xn n
X
det A = i+ j
(−1) ai j det Ai j = ai j Ci j
j=1 j=1

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Formule de développement par rapport à la colonne j :

Xn n
X
det A = (−1)i+ j ai j det Ai j = ai j Ci j
i=1 i=1

Démonstration. Nous avons déjà démontré la formule de développement suivant une ligne lors de la
démonstration du théorème 1 d’existence et d’unicité du déterminant. Comme det A = det AT , on en déduit
la formule de développement par rapport à une colonne.

Exemple 6.
Retrouvons la formule des déterminants 3 × 3, déjà présentée par la règle de Sarrus, en développement par
rapport à la première ligne.
 
a11 a12 a13 

a
 21 a22 a23  = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13
a a32 a33 
31      
a22 a23  a21 a23  a21 a22 
= a11  −a 
12 
+a 
13 

a32 a33  a31 a33  a31 a32 
= a11 (a22 a33 − a32 a23 ) − a12 (a21 a33 − a31 a23 )
+ a13 (a21 a32 − a31 a22 )
= a11 a22 a33 − a11 a32 a23 + a12 a31 a23 − a12 a21 a33
+ a13 a21 a32 − a13 a31 a22 .

4.3. Exemple
Exemple 7.
 
4 0 3 1
4 2 1 0 
A= 0 3 1 −1


1 0 2 3
On choisit de développer par rapport à la seconde colonne (car c’est là qu’il y a le plus de zéros) :
det A = 0C12 + 2C22 + 3C32 + 0C42
(développement par rapport à la deuxième colonne)
   
4 3 1  4 3 1
   
= +2 0 1 −1 − 3 4 1 0
1 2 3  1 2 3
on n’oublie pas les signes des cofacteurs et on recommence
en développant chacun de ces deux déterminants 3 × 3
      
1 −1 3 1 3 1 
= +2 +4   − 0
  + 1
 
2 3 2 3 1 −1
(par rapport à la première colonne)
      
3 1 4 1 4 3
−3 −4   + 1  − 0
 
2 3 1 3 1 2
(par rapport à la deuxième ligne)



= +2 + 4 × 5 − 0 + 1 × (−4) − 3 − 4 × 7 + 1 × 11 − 0
= 83

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Remarque.
Le développement par rapport à une ligne permet de ramener le calcul d’un déterminant n × n à celui de
n déterminants (n − 1) × (n − 1). Par récurrence descendante, on se ramène ainsi au calcul de n! sous-
déterminants, ce qui devient vite fastidieux. C’est pourquoi le développement par rapport à une ligne ou une
colonne n’est utile pour calculer explicitement un déterminant que si la matrice de départ a beaucoup de
zéros. On commence donc souvent par faire apparaître un maximum de zéros par des opérations élémentaires
sur les lignes et/ou les colonnes qui ne modifient pas le déterminant, avant de développer le déterminant
suivant la ligne ou la colonne qui a le plus de zéros.

4.4. Inverse d’une matrice

Soit A ∈ Mn (K) une matrice carrée.
Nous lui associons la matrice C des cofacteurs, appelée comatrice, et notée Com(A) :
 
C11 C12 · · · C1n
 21 C22 · · · C2n 
 C 
C = (Ci j ) =  . . .
 .. .. .. 


Cn1 Cn2 · · · Cnn

Théorème 5.
Soient A une matrice inversible, et C sa comatrice. On a alors

1
A−1 = CT
det A

Exemple8. 
1 1 0
Soit A =  0 1 1 . Le calcul donne que det A = 2. La comatrice C s’obtient en calculant 9 déterminants
1 0 1
2 × 2 (sans oublier les signes +/−). On trouve :
   
1 1 −1 1 −1 1
1 1
C = −1 1 1  et donc A−1 = · CT =  1 1 −1
det A 2
1 −1 1 −1 1 1

La démonstration se déduit directement du lemme suivant.

Lemme 1.
Soit A une matrice (inversible ou pas) et C sa comatrice. Alors AC T = (det A)I n , autrement dit
det A si i = j
X 
aik C jk =
0 sinon
k

Le terme de position (i, j) dans AC T est aik C jk , et donc si i = j, le résultat découle de

P
Preuve. k
la formule de développement par rapport à la ligne i.
6 j, imaginons que l’on remplace A par une matrice A0 = (ai0 j ) identique, si ce n’est que la ligne
Pour le cas i =
L j est remplacée par la ligne L i , autrement dit a0jk = aik pour tout k. De plus, comme A0 possède deux lignes
identiques, son déterminant est nul. On appelle C 0 la comatrice de A0 , et la formule de développement pour
la ligne j de A0 donne
X X
0 = det A0 = a0jk C jk
0
= 0
aik C jk
k k

37
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0
Or, C jk se calcule à partir de la matrice extraite A0jk , qui ne contient que les éléments de A0 sur les lignes
différentes de j et colonnes différents de k. Mais sur les lignes différentes de j, A0 est identique à A, donc
0
= C jk . On conclut que k aik C jk = 0.
P
C jk
Finalement,
 
det A 0 ... 0
 .. 
 0 det A . 
T
AC =  .
.
 = det A · I
 . . . . 0 


0 ... 0 det A
et en particulier, si det A 6= 0, c’est-à-dire si A est inversible, alors on a
1
A−1 = CT .
det A

Mini-exercices.
   
2 0 −2 t 0 t
1. Soient A = 0 1 −1 et B =  0 t 0. Calculer les matrices extraites, les mineurs d’ordre 2
2 0 0 −t 0 t
et les cofacteurs de chacune des matrices A et B. En déduire le déterminant de A et de B. En déduire
l’inverse de A et de B lorsque c’est possible.
2. Par développement suivant une ligne (ou une colonne) bien choisie, calculer les déterminants :
   
1 0 1 2   t 0 1 0
   
0 0 0 1 1 t 0 0
   
   
1 1 1 0  0 1 t 0
   
   
0 0 0 −1 0 0 0 t 

3. En utilisant la formule de développement par rapport à une ligne, recalculer le déterminant d’une
matrice triangulaire.

5. Applications des déterminants

Nous allons voir plusieurs applications des déterminants.

5.1. Méthode de Cramer

Le théorème suivant, appelé règle de Cramer, donne une formule explicite pour la solution de certains
systèmes d’équations linéaires ayant autant d’équations que d’inconnues. Considérons le système d’équations
linéaires à n équations et n inconnues suivant :
a11 x 1 + a12 x 2 + · · · + a1n x n = b1



a21 x 1 + a22 x 2 + · · · + a2n x n = b2


 ...
an1 x 1 + an2 x 2 + · · · + ann x n = bn


Ce système peut aussi s’écrire sous forme matricielle AX = B où

     
a11 a12 · · · a1n x1 b1
 21 a22 · · · a2n 
 a   x2   b2 
A= .  ∈ Mn (K), X = et B= .
   
. .
. .
. ..  ..
 . . .   .   . 
an1 an2 · · · ann xn bn

38
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Définissons la matrice A j ∈ Mn (K) par

 
a11 . . . a1, j−1 b1 a1, j+1 . . . a1n
 a
 21 . . . a2, j−1 b2 a2, j+1 . . . a2n 
Aj =  .

.. .. .. ..
 ..

. . . . 
an1 . . . an, j−1 bn an, j+1 . . . ann
Autrement dit, A j est la matrice obtenue en remplaçant la j-ème colonne de A par le second membre B. La
règle de Cramer va nous permettre de calculer la solution du système dans le cas où det A 6= 0 en fonction
des déterminants des matrices A et A j .

Théorème 6 (Règle de Cramer).

Soit
AX = B
un système de n équations à n inconnues. Supposons que det A 6= 0. Alors l’unique solution (x 1 , x 2 , . . . , x n )
du système est donnée par :
det A1 det A2 det An
x1 = x2 = ... xn = .
det A det A det A

Preuve. Nous avons supposé que det A = 6 0. Donc A est inversible. Alors X = A−1 B est l’unique
solution du système. D’autre part, nous avons vu que A−1 = det1 A C T où C est la comatrice. Donc X = det1 A C T B.
En développant,
       
x1 C11 . . . Cn1 b1 C11 b1 + C21 b2 + · · · + Cn1 bn
. 1  . ..   ..  1  ..
X =  ..  =  .. .   . =

.
det A det A
 
xn C1n . . . Cnn bn C1n b1 + C2n b2 + · · · + Cnn bn
C’est-à-dire
C11 b1 + · · · + Cn1 bn C1i b1 + · · · + Cni bn C1n b1 + · · · + Cnn bn
x1 = , xi = , xn =
det A det A det A
Mais b1 C1i + · · · + bn Cni est le développement en cofacteurs de det Ai par rapport à sa i-ème colonne. Donc
det Ai
xi = ·
det A

Exemple 9.
Résolvons le système suivant :
+ 2x 3 = 6

 x1
−3x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 30
−x 1 − 2x 2 + 3x 3 = 8.


On a    
1 0 2 6
A =  −3 4 6  B= 30 
−1 −2 3 8
     
6 0 2 1 6 2 1 0 6
A1 =  30 4 6  A2 =  −3 30 6  A3 =  −3 4 30 
8 −2 3 −1 8 3 −1 −2 8
et
det A = 44 det A1 = −40 det A2 = 72 det A3 = 152.
La solution est alors
det A1 40 10 det A2 72 18 det A3 152 38
x1 = =− =− x2 = = = x3 = = = ·
det A 44 11 det A 44 11 det A 44 11

39
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La méthode de Cramer n’est pas la méthode la plus efficace pour résoudre un système, mais est utile si le
système contient des paramètres.

5.2. Déterminant et base

Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Fixons une base B de E. On veut décider si n vecteurs
v1 , v2 , . . . , vn forment aussi une base de E. Pour cela, on écrit la matrice A ∈ Mn (K) dont la j-ème colonne
est formée des coordonnées du vecteur v j par rapport à la base B (comme pour la matrice de passage). Le
calcul de déterminant apporte la réponse à notre problème.

Théorème 7.
Soit E un K espace vectoriel de dimension n, et v1 , v2 , . . . , vn , n vecteurs de E. Soit A la matrice obtenue en
juxtaposant les coordonnées des vecteurs par rapport à une base B de E. Les vecteurs (v1 , v2 , . . . , vn ) forment
une base de E si et seulement si det A 6= 0.

Corollaire 5.
Une famille de n vecteurs de Rn
     
a11 a12 a1n
a  a  a 
 21   22   2n 
 .   .  ···  . 
 ..   ..   .. 
an1 an2 ann
forme une base si et seulement si det (ai j ) 6= 0.

Exemple 10.
Pour quelles valeurs de a, b ∈ R les vecteurs
     
0 a b
a  b 0
b 0 a

forment une base de R3 ? Pour répondre, il suffit de calculer le déterminant

 
0 a b
 
 a b 0 = −a3 − b3 .
 
 b 0 a

Conclusion : si a3 =
6 −b3 alors les trois vecteurs forment une base de R3 . Si a3 = −b3 alors les trois vecteurs
sont liés. (Exercice : montrer que a3 + b3 = 0 si et seulement si a = −b.)

Preuve. La preuve fait appel à des résultats du chapitre « Matrices et applications linéaires » (section
« Rang d’une famille de vecteurs ») :

(v1 , v2 , . . . , vn ) forment une base ⇐⇒ rg(v1 , v2 , . . . , vn ) = n

⇐⇒ rg A = n
⇐⇒ A est inversible
⇐⇒ det A 6= 0

40
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5.3. Mineurs d’une matrice

Définition 2.
Soit A = (ai j ) ∈ Mn,p (K) une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K. Soit k un entier
inférieur à n et à p. On appelle mineur d’ordre k le déterminant d’une matrice carrée de taille k obtenue
à partir de A en supprimant n − k lignes et p − k colonnes.

Noter que A n’a pas besoin d’être une matrice carrée.

Exemple 11.
Soit la matrice
 
1 2 3 4
A = 1 0 1 7
0 1 6 5
• Un mineur d’ordre 1 est simplement un coefficient de la matrice A.
• Un mineur d’ordre 2 est le déterminant d’une matrice 2 × 2 extraite deA. Parexemple en ne retenant
2 4
que la ligne 1 et 3 et la colonne 2 et 4, on obtient la matrice extraite . Donc un des mineurs
1 5
 
2 4
d’ordre 2 de A est   = 6.
1 5
• Un mineur d’ordre 3 est le déterminant d’une matrice 3 × 3 extraite de A. Par exemple, en ne retenant
que les colonnes 1, 3 et 4 on obtient le mineur
 
1 3 4
 
1 1 7 = −28
 
0 6 5

• Il n’y a pas de mineur d’ordre 4 (car la matrice n’a que 3 lignes).

5.4. Calcul du rang d’une matrice

Rappelons la définition du rang d’une matrice.

Définition 3.
Le rang d’une matrice est la dimension de l’espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes. C’est
donc le nombre maximum de vecteurs colonnes linéairement indépendants.

Théorème 8.
Le rang d’une matrice A ∈ Mn,p (K) est le plus grand entier r tel qu’il existe un mineur d’ordre r extrait de A
non nul.

La preuve sera vue en section 5.6.

Exemple 12.
Soit α un paramètre réel. Calculons le rang de la matrice A ∈ M3,4 (R) :
 
1 1 2 1
A = 1 2 3 1
1 1 α 1

• Clairement, le rang ne peut pas être égal à 4, puisque 4 vecteurs de R3 ne sauraient être indépendants.

41
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• On obtient les mineurs d’ordre 3 de A en supprimant une colonne. Calculons le mineur d’ordre 3 obtenu
en supprimant la première colonne, en le développant par rapport à sa première colonne :
 
1 2 1      
2 3 1 =  3 1 − 2  2 1 + 2 1 = α − 2 .
       
  α 1 α 1 3 1
1 α 1

Par conséquent, si α 6= 2, le mineur précédent est non nul et le rang de la matrice A est 3.
• Si α = 2, on vérifie que les 4 mineurs d’ordre 3 de A sont nuls :
       
1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2
       
2 3 1 = 1 3 1 = 1 2 1 = 1 2 3 = 0
       
1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2
 
1 1
Donc dans ce cas, A est de rang inférieur ou égal à 2. Or 
  = 1 (lignes 1, 2, colonnes 1, 2 de A) est
1 2
un mineur d’ordre 2 non nul. Donc si α = 2 , le rang de A est 2.

5.5. Rang d’une matrice transposée

Proposition 6.
Le rang de A est égal au rang de sa transposée AT .

Démonstration. Les mineurs de AT sont obtenus à partir des mineurs de A par transposition. Comme les
déterminants d’une matrice et de sa transposée sont égaux, la proposition découle de la caractérisation du
rang d’une matrice à l’aide des mineurs (théorème 8).

5.6. Indépendance et déterminant

Revenons sur le théorème 8 et sa preuve avec une version améliorée.
Théorème 9 (Caractérisation de l’indépendance linéaire de p vecteurs).
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et B = (e1 , . . . , en ) une base de E. Soient v1 , . . . , vp des vecteurs
Pn
de E avec p 6 n. Posons v j = i=1 ai, j ei pour 1 6 j 6 n. Alors les vecteurs {v1 , . . . , vp } forment une famille


libre si et seulement s’il existe un mineur d’ordre p non nul extrait de la matrice A = ai, j ∈ Mn,p (K).

Preuve. Supposons d’abord que la famille F = {v1 , . . . , vp } soit libre.

• Si p = n, le résultat est une conséquence du théorème 7.
• Si p < n, on peut appliquer le théorème de la base incomplète à la famille F et à la base B = {e1 , . . . , en } ;
et quitte à renuméroter les vecteurs de B, on peut supposer que B 0 = (v1 , . . . , vp , e p+1 , . . . , en ) est une
base de E. (Note : cette renumérotation change l’ordre de ei , autrement dit échange les lignes de la
matrice A, ce qui n’a pas d’impact sur ses mineurs ; on appellera encore B la base renumérotée.) La
matrice P de passage de B vers B 0 contient les composantes des vecteurs (v1 , . . . , vp , e p+1 , . . . , en ) par
rapport à la base (renumérotée) B = (e1 , . . . , en ) c’est-à-dire
 
a1,1 . . . a1,p 0 . . . 0
 .. .. .. .. . . .
 . . . . . .. 
 .. .. .. . . .. 
 
..
 . . . . . .
P =  a p,1 . . . a p,p 0 . . . 0
 
 
 p+1,1 . . . a p+1,p 1 . . . 0
a 
 .. .. .. .. . . .. 
 . . . . . .
an,1 ... an,p 0 ... 1

42
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Le déterminant det P est non nul puisque les vecteurs (v1 , . . . , vp , e p+1 , . . . , en ) forment une base de E.
Or ce déterminant se calcule en développant par rapport aux dernières colonnes autant de fois que
nécessaire (soit n − p fois). Et l’on trouve que
 
 a1,1 . . . a1,p 
 
 . .. .. 
det P =  .. . . 

p,1 . . . a p,p
a 
 
 a1,1 . . . a1,p 
 
 . .. .. 
Le mineur  .. . .  est donc non nul.

p,1 . . . a p,p
a 

Montrons maintenant la réciproque. Supposons que le mineur correspondant aux lignes i1 , i2 , . . . , i p soit
non nul. Autrement dit, la matrice
 
ai1 ,1 . . . ai1 ,p
 . .. .. 
B =  .. . . 
aip ,1 . . . aip ,p
satisfait det B 6= 0. Supposons aussi
λ1 v1 + · · · + λ p vp = 0
En exprimant chaque vi dans la base (e1 , . . . , en ), on voit aisément que cette relation équivaut au système
suivant à n lignes et p inconnues :


 a1,1 λ1 + . . . + a1,p λ p = 0
a λ + . . . + a λ = 0

2,1 1 2,p p
.. .. .. .. .. .. ..
 .
 . . . . . .

an,1 λ1 + . . . + an,p λ p = 0


Ce qui implique, en ne retenant que les lignes i1 , . . . , i p :



 ai1 ,1 λ1 + . . . + ai1 ,p λ p = 0
a λ + . . . + a λ

= 0
i2 ,1 1 i2 ,p p
.. .. .. .. .. .. ..

 . . . . . . .

a λ + . . . + a λ
i p ,1 1 i p ,p p = 0
ce qui s’écrit matriciellement
 
λ1
 . 
B  ..  = 0.
λp
Comme B est inversible (car det B 6= 0), cela implique λ1 = · · · = λ p = 0. Ce qui montre l’indépendance des
vi .

Exercices.
ty +z = 1


1. Résoudre ce système linéaire, en fonction du paramètre t ∈ R : 2x + t y = 2
− y + tz = 3


2. Pour quelles valeurs de a, b ∈ R, les vecteurs suivants forment-ils une base de R3 ?

     
a 2a 3a
1 ,  1  ,  1 
b b −2b

43
 Module : M124
Déterminants A.N : 2019-20

3. Calculer le rang de la matrice suivante selon les paramètres a, b ∈ R.

 
1 2 b
0 a 1 
 
1 0 2 
1 2 1

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