Chapitre I : Calcul matriciel

Département SMAEG
Filière : LF SEG

2020-2021

FSJES-AS LF SEG S2Algèbre Calcul matriciel 2020-2021 1/22

Calcul matriciel

I) Dénitions
II) Opérations sur les matrices
III) Matrices carrées particulières
IV) Calcul du déterminant
V) Calcul de la matrice inverse
VI) Rang d'une matrice

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I) Dénitions
Dénition
Une matrice de dimesnsion n × m (ou (n, m)) est un tableau de
réels à n lignes et m colonnes.
Notation
Une matrice est symbolisée par une lettre, par exemple A, on note
aij l'élément situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j (la
ligne est toujours nommée en premier)
colonne j
↓
 
a11 a12 · · · a1j ··· a1m
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
 
 
 ← ligne i
 
A= ai 1 ai 2 ··· aij ··· aim
.. .. .. .. .. ..
 
. . . . . .
 
 
an1 an2 · · · anj ··· anm
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I) Dénitions
Dénition
L'ensemble des matrices à coecients dans R possédant n lignes et
m colonnes est noté Mnm (R).
Lorsque n = m, la matrice A est appelée matrice carrée, et on note
Mn (R) l'ensemble des matrices carrés à coecients réels

Exemples
   
1 5   2 7 4
 2 4 −3 7
−7  ∈ M32 (R), ∈ M23 (R),  6 −3 8  ∈ M3 (R).
−7 1 6
8 3 3 5 −1

Remarques Si m = 1, la matrice est appelée vecteur (vecteur-colonne)

x1
 
 x2 
x =  . .
 
 .. 
xn
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II) Opérations sur les matrices

Dénition
1 L'addition et la soustraction des matrices se font termes à

termes. Les matrices doivent avoir les mêmes dimensions.

2 La multiplication d'une matrice par un réel se fait par la

multiplication de chaque terme de la matrice.

Exemples
On considère les deux matrices A =
   
1 2 0 5 2 3
et B=
4 3 −1 1 3 4
   
1
1 +5 2 +2 0+3 6 4 3
A+B = =
4 +1 3 +3 −1 + 4 5 6 3
   
2
1 −5 2 −2 0−3 −4 0 −3
A−B = =
4 − 1 3 − 3 −1 − 4 3 0 −5
   
3
2 ×1 2 ×2 2 × 0 2 4 0
A=
2 =
2 ×4 2 ×3 2 × −1 8 6 −2

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II) Opérations sur les matrices

Propriétés
Soient A, B et C trois matrices de Mnm (R), et 0 ∈ Mnm (R) la
matrice dont les éléments sont tous égaux à 0.
(A + B) + C = A + (B + C ) (associativité)
A + 0 = A (élément neutre)
A + (−A) = 0 (opposé)
A + B = B + A (commutativité)

Propriétés
Soient A et B deux matrices de Mnm (R), et λ, β deux réels.
λ(A + B) = λA + λB
(λ + β)A = λA + βA

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II) Opérations sur les matrices

Dénition (Multiplication des matrices)

Le produit de la matrice A ∈ Mnp (R) par la matrice B ∈ Mpm (R) est la
matrice C ∈ Mnm (R) telle que l'élément cij est égal au produit de la
ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B :
 
b1j
 b2j 
cij = (ai 1 , ai 2 , · · · , aip )  .  = ai 1 b1j + ai 2 b2j + · · · + aip bpj
 
 ..  p
.
X
bpj = aik bkj .
k=1

Le produit AB n'est possible que si le nombre de colonnes de A

est égal au nombre de lignes de B .

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II) Opérations sur les matrices
Exemples
 
  −1 1 5
  5 1
1 2 0  2 7 −1 
A= , B= 2 3 , C =  
4 3 −1  0 1 −1 
3 4
3 −2 −0
 
  5 1  
1 2 0 9 7
1 AB =  2 3 =
4 3 −1 23 9
3 4
   
5 1   9 13 −1
1 2 0
2 BA =  2 3  = 14 13 −3 
4 3 −1
3 4 19 18 −4
3 AC impossible

4 CA impossible

5 BC impossible
   
−1 1 5   12 22
5 1
6
 2 7 −1   =  21
 19 
CB =   2 3 .
 0 1 −1   −1 −1 
3 4
3 −2 0 11 −3
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II) Opérations sur les matrices
Propriété
Le produit matriciel est
1 associatif : (AB)C = A(BC )

2 distributif par rapport à l'addition : A(B + C ) = AB + AC

et (A + B)C = AC + BC
3 non commutatif : AB =
6 BA (en général)

Exemples
−1 1 5
 
5 1
 
2 7 −1 
B =  2 3 , C = 

0 1 −1 

3 4

3 −2 −0
12 22
 
 21 19 
Le produit BC n'est pas possible et CB = 
 −1 −1  .


11 −3
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II) Opérations sur les matrices
Dénition (Matrice transposée)
Soit A ∈ Mnm (R). On appelle transposée de A la matrice
At ∈ Mmn (R) obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de
A.
c-à-d si B = At alors bij = aji , ∀ 1 ≤ i ≤ m, ∀ 1 ≤ j ≤ n.
Exemple
1 4
 
1 2 0
 
A= ⇒ At =  2 3 
4 3 −1
0 −1

Dénition (Matrice symétrique et antisymétrique)

Soit A une matrice carrée de Mn (R). On dit que
1 A est symétrique si At = A.
2 A est antisymétrique si At = −A.
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II) Opérations sur les matrices
Exemples

1 2 0
1 A= 2 3 −1 , on a At = A ⇒ A symétrique
0 −1 8

0 2 0 −1 
 − 2 0 1 4 , on a B t = −B ⇒ B antisymétrique
2 B=
0 −1 0 −9 
1 −4 9 0


Propriété
(At )t = A, ∀ A ∈ Mnm (R)
Soient A ∈ Mnp (R) et B ∈ Mpm (R). Alors

(AB)t = B t At .

(Attention au changement d'ordre)

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III) Matrices carrées particulières
Soit A une matrice carrée de Mn (R).
 
−1 0 0
A est diagonale si aij = 0, ∀ i 6= j . Exemple  0 7 0
√

0 0 5
On appelle matrice identité (ou matrice unité) la matrice diagonale :

1
 

In =  0 ..
0
 
. 
1

In A = AIn = A, ∀ A ∈ Mn (R) ; In X = X , ∀ X ∈ Rn .
A est triangulaire supérieure si aij = 0, ∀ i > j .
A est triangulaire inférieure si aij = 0, ∀ i < j .
   
1 0 0 −1 2 1
0 7
Exemples : I3 =  0 1 0 ,  √5
 triangulaire supérieure et
0 0 1 0 0 5
 
−1 0 0
 3 7
√0
 triangulaire inférieure.
1 −2 5

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III) Matrices carrées particulières
Dénition (Matrice inverse)
Soit A ∈ Mn (R). On dit que A est inversible ssi ∃B ∈ Mn (R)
telle que
AB = BA = In
On appelle B la matrice inverse de A et on la note A−1

Exemple
1 2 4 −2
   
Soient A = et B = − 21
3 4 −3 1
On a AB = I2 . D'où A est inversible et A = B
− 1

Propriété (Matrice symétrique et antisymétrique)

Soient A et B deux matrices inversibles de Mn (R). Alors

−1
1 A−1 =A
−1
2 (AB) = B −1 A−1 (Attention au changement d'ordre)
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IV) Calcul du déterminant
Dénition
On appelle mineur de l'élément aij de la matrice A, la sous matrice
Mij obtenue en éliminant la ligne i et la colonne j de la matrice A.

Exemple
 
1 2 0    
3 −1 1 2
A= 2 3 −1 . On a M11 = et M23 =
−1 8 0 −1
0 −1 8

Dénition (Déterminant)
Le déterminant de la matrice carrée A ∈ Mn (R) est le réel :
n
1
(− )i0 +j ai0 j det(Mi0 j ) (on xe la ligne i0 )
X
det(A) =
j=1
OU
n
1
(− )i+j0 aij0 det(Mij0 ) (on xe la colonne j0 )
X
det(A) =
i=1
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IV) Calcul du déterminant
Exemples
1 2 3
 
1 5
 
A= , B =  2 −1 1 
2 3
4 −1 1
1 5
1 det(A) = = 1 × 3 − 2 × 5 = −7
2 3
2 En xant la ligne 1 de la matrice B , on obtient
det(B) = b11 det(M11 ) − b12 det(M12 ) + b13 det(M13 )
−1 1 2 1 2 −1
= 1× −2× +3
−1 1 4 1 4 −1
= 1 × 0 − 2 × (−2) + 3 × 2 = 10.
3 En xant la colonne 1 de la matrice B , on obtient :
det(B) = b11 det(M11 ) − b21 det(M21 ) + b31 det(M31 )
−1 1 2 3 2 3
= 1× −2× +4
−1 1 −1 1 −1 1
= 1 × 0 − 2 × 5 + 4 × 5 = 10.
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IV) Calcul du déterminant

Remarque
Pour le calcul du déterminant, on choisit la ligne ou la colonne qui
contient le plus grand nombre de zéros.

Exemple
2 1 −1
 

A= 3 0 2 . En xant la colonne 2, on obtient

6 0 1

3 2
det(A) = − =9
6 1

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IV) Calcul du déterminant

Propriété
On ne change pas la valeur du déterminant en ajoutant à une ligne
(resp. colonne) une combinaison linéaire des autres.

Exemple
1 2 3
 

Reprenant l'exemple de la matrice B =  2 −1 1  .

4 −1 1

C1 C2 C3 C1 C2 C3 + C2
1 2 3 1 2 5
2 −1
det(B) = 2 −1 1 = 2 −1 0 =5 = 10.
4 −1
4 −1 1 4 −1 0

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IV) Calcul du déterminant

Propriété
Soient A et B deux matrice de Mn (R)
1 det(AB) = det(A) × det(B)
2 det(λA) = λn det(A)
3 det(At ) = det(A)
4 A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0
5 si A est inversible alors det(A−1 ) = 1/det(A).

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V) Calcul de la matrice inverse
Dénition
Soit A ∈ Mn (R) inversible (det(A) 6= 0). La matrice inverse de A
est donnée par :

1
A−1 = (Com(A))t .
det(A)

où Com(A) est la comatrice de A dénie par :

Com(A) = (−1)i+j det(Mij )

1≤i,j≤n

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V) Calcul de la matrice inverse

Exemple
 
1 1 0

A= 2 −1 1 , on a det(A) = 4 6= 0 Donc A est inversible et

1 0 −1

−1 −1
 
1 2 1 2
+ − +
 0 −1 1 −1 1 0 
 
 
1 0 1 0 1 1
Com(A) =  − + −
 
−1 −1

 0 1 1 0 
 
1 0 1 0 1 1
 
+ − +
 −1 1
 2 1 2 −1
1 3 1

=  1 −1 1 .
1 −1 −3
 
1 1 1
−1 1 t 1
A = (Com(A)) =  3 −1 −1  .
det(A) 4
1 1 −3

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V) Calcul de la matrice inverse

Application

Résoudre le système linéaire


 x +y =1
(S) 2x − y + z = 5

x − z = −2


Le système (S) se réécrit sous la forme matricielle :

    
1 1 0 x 1
 2 −1 1  y  =  5 
1 0 −1 z −2
   
1 1 0 x
c-à-d (S) ⇔ AX = b avec A= 2 −1 1 , X =  y  et

1 0 −1 z
   
1 1

b= 5 . D'où la solution est X = A−1 b =  0 

−2 3

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VI) Rang d'une matrice
Dénition
Le rang d'une matrice A ∈ Mnm (R) est la taille du plus grand déterminant non nul

que l'on peut en extraire de A. On le note rang (A)

Propriété
Soient A ∈ Mnm (R) et B ∈ Mn (R)
rang (A) ≤ min(n, m)
rang (B) = n ⇔ B inversible

Exemples
 
−3 5 6
A =  −1 2 2 . det(A) = −1 6= 0 ⇒ rang (A) = 3
1 −1 −1
 
1 2 1
1 2
B= 2 −1 5 . det(B) = 0 et = −5 6= 0 ⇒ rang (B) = 2
2 −1
1 −3 4
 
−1 2 3 2 3
C = . = −4 6= 0 ⇒ rang (C ) = 2
−1 2 1 2 1

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