S1 201 G2 Trigonométrie
S1 201 G2 Trigonométrie
S1 201 G2 Trigonométrie
E F
1. Mesure l'angle
ABC en utilisant le bouton et les
côtés [BM] et [BN] à l'aide du bouton .
BM
b. Que faut-il faire pour changer la valeur de ?
BN
De quoi dépend-elle ?
Comment se nomme ce rapport vu en 4e ?
2. Fixe une mesure pour l'angle ABC puis a. Que peux-tu dire de ton tableau ?
recopie et complète le tableau suivant pour Compare ton résultat avec celui de
différentes positions de M sur [AB]. tes camarades.
ABC = ... Cas 1 Cas 2 Cas 3 Cas 4 b. Calcule, dans la fenêtre Analyse,
MN
le quotient . Déplace le point
MN BN
BN M. Que remarques-tu ?
MN MN
s'appelle le sinus de l'angle
ABC . On note sin
ABC = .
BN BN
3. Fixe une mesure pour l'angle ABC puis a. Que peux-tu dire de ton tableau ?
recopie et complète le tableau suivant pour Compare ton résultat avec celui de
différentes positions de M sur [AB]. tes camarades.
ABC = ... Cas 1 Cas 2 Cas 3 Cas 4 b. Calcule, dans la fenêtre Analyse,
MN
MN le quotient . Déplace le point
BM
BM M. Que remarques-tu ?
MN MN
s'appelle la tangente de l'angle
ABC et on note tan
ABC = .
BM BM
Activité 3 : Démonstration y
B
1. Sur la figure ci-contre, A et A' sont deux
points de la demi-droite [Ox). B'
Les perpendiculaires à [Ox) passant
respectivement par A et A' coupent [Oy) en
B et B'.
OA ' OA
a. Démontre, à l'aide de l'égalité précédente, que = .
OB' OB
A ' B' AB
b. Démontre que = .
OB' OB
A ' B' AB
a. Démontre maintenant que = .
OA ' OA
Activité 4 : Repérons-nous
1. Synthèse
2. Pour chaque triangle ci-dessous, repère l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé
de l'angle aigu marqué puis exprime son cosinus, son sinus et sa tangente.
F M X Y
N
G E P Z
2. Utilisation de la calculatrice
cos x
sin x
tan x
Angle x cos x sin x (cos x)2 (sin x)2 (cos x)2 (sin x)2
20°
35°
57°
Que remarques-tu ?
2. Une preuve
c. Sachant que cos x = 0,6, détermine la valeur exacte de sin x puis celle de tan x.
a. Calcule cos
MOI et sin
MOI. M T
P
b. Déduis-en les coordonnées de M dans le repère (O, I, J) en
fonction de l'angle
MOI.
a. Construis un angle
M 1 OI mesurant 50° puis lis sur la figure des valeurs approchées à
un centième près de sin 50°, de cos 50° et de tan 50°.
b. Construis un angle
M 2 OI sachant que cos M 2 OI = 0,4.
Détermine la valeur de sin M 2 OI puis une mesure de l'angle
M 2 OI à un degré près.
c. On sait que sin x = 0,5. À l'aide du graphique, détermine cos x à un centième près puis
une mesure de x à un degré près.
A
d. Peux-tu déterminer tan 75° à l'aide du graphique ?
e. Sur la figure du 2. , lis des valeurs approchées de cos 60°, de sin 60° et de tan 60°.
f. À l'aide de ta calculatrice, compare ces valeurs avec les valeurs exactes du d..
g. Quelles sont alors les valeurs exactes du cosinus, du sinus et de la tangente d'un
angle mesurant 30° ?
c. Calcule les valeurs exactes de cos 45°, de sin 45° et de tan 45°. 45°
E F
d. Sur la figure du 2. , construis un angle de 45° et lis des valeurs
approchées de cos 45°, sin 45° et tan 45°.
e. À l'aide de ta calculatrice, compare ces valeurs avec les valeurs exactes du c..
côté Opposé à
COR côté A djacent à
COR côté Opposé à OCR
Sin
COR = Cos
COR = Tan
OCR =
Hypoténuse Hypoténuse côté A djacent à
OCR
RC RO RO
sin
COR = cos
COR = tan
OCR =
CO CO RC
Remarques :
• Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
• La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif.
B - Applications ex 4 à 8
5,5 cm
UN = 8,2 cm et UF = 5,5 cm.
Calcule la mesure de l'angle
UNF arrondie au degré.
U 8,2 cm N
Dans le triangle FUN rectangle en U, On cite les données de l'énoncé qui permettent
[FU] est le côté opposé à l'angle
UNF ; de choisir la relation trigonométrique à utiliser.
[UN] est le côté adjacent à l'angle
UNF . On doit utiliser la tangente de
UNF.
côté opposé à UNF
tan
UNF =
côté adjacent à UNF On écrit la tangente de l'angle recherché.
UF
tan
UNF =
UN
5,5
tan
UNF = On saisit ou puis (5,5 ÷ 8,2)
8,2
à la calculatrice.
UNF ≈ 34°.
II - Relations trigonométriques ex 9
Propriétés
= sin A .
2 2
, cos
Pour tout angle aigu A A sin
A = 1 et tan A
cos
A
sin2 A
Remarque : La première formule peut aussi s'écrire cos2 A = 1.
Exemple :
sachant que A
a. Calcule la valeur exacte de sin A est un angle aigu tel que cos A
= 0,8.
.
b. Puis calcule la valeur exacte de tan A
sin2 A
a. cos2 A = 1 donc sin2 A
= 1 − cos2 A
= 1 − 0,82 = 1 − 0,64 = 0,36.
= 0,36 = 0,6.
Le sinus d'un angle aigu est un nombre positif donc sin A
= sin A = 0,6 = 0,75.
b. tan A
cos
A 0,8
m
4c I
3c
m
c. Quel est le côté adjacent à l'angle
ACB ? I
J
K K
d. Quel est le côté opposé à l'angle
CAB ?
On se place dans le triangle IKL rectangle en K. 7 Indique pour chaque figure à main levée si,
a. Quelle est son hypoténuse ? à l'aide des données, on peut calculer le sinus,
le cosinus ou la tangente de l'angle marqué.
b. Quel est le côté opposé à l'angle
KLI ?
a. b.
c. Quel est le côté opposé à l'angle
KIL ? A
On se place dans le triangle IJM rectangle en M. J
9 cm
2,1 cm
B 2,8 cm C
3 À toi de jouer ! K
adjacent à l'angle
BNO .
cm
cm
F 3
4,2 cm G
N
4 Écritures
EFG est un triangle rectangle en E.
E 8 Quels rapports ?
MOI est un triangle rectangle en O.
Que calcules-tu lorsque tu écris :
OI OI MO MO
a. ? b. ? c. ? d. ?
F G MI MO OI MI
Écris les relations donnant le sinus, le cosinus et Il peut y avoir plusieurs réponses possibles.
la tangente de l'angle
EGF dans le triangle EFG. Précise l'angle pour chaque réponse donnée.
3 cm
7 du triangle.
d. tan x = e. cos x= 2 f. sin x =
9
2 3 10 b. Déduis-en la valeur
27° arrondie au dixième de
R
l'hypoténuse du triangle
11 Recopie et complète le tableau suivant I
RIO.
avec des arrondis au dixième.
O
m
5
7c
cm
63° 27°
S S
@options;
repereortho(313,263,30,1,1){ 0 ,
moyen , noir , num1 ,i};
I
@figure;
L
L = point( -7.3 , -1.43 ) { noir };
L
S = point( -7.8 , 2.9 ) { noir , (-
0.27,-0.67) };
6 cm O
sSL = segment( S , L ) { noir };
cediaSL = cercledia( S , L )
{ noir , i };
O = pointsur( cediaSL , 41.13 )
{ noir , (-0.53,0.03) };
sSO = segment( S , O ) { noir };
sOL = segment( O , L ) { noir };
angleSOL = angle( S , O , L )
{ noir };
angleSLO = angle( S , L , O )
OLI en
{ noir };
m
M
22 Construis un triangle ABC tel que
2c
AB = 4,5 cm,
BAC = 27° et
CBA = 63°. cm cm
2 6
1,
a. Ce triangle est-il rectangle ? Pourquoi ? M N
b. Calcule les longueurs AC et BC arrondies au c. d.
dixième.
N
M
O
23 Extrait du Brevet 7 2 cm
cm cm
a. Effectuer avec soin les différentes 5 55°
constructions suivantes. M O
N 8,5 cm
P
Tracer un demi-cercle ( ) de centre O et de
diamètre [AB] sachant que AB = 10 cm.
Placer sur ( ) un point C tel que l'angle
BAC
mesure 40°. 27 Triangles croisés I
H
@figure;
E = point( -5.33 , 2.2 ) { noir , (-
0.57,-0.6) };
35 Piste noire
Un skieur descend une piste ayant une pente de
25°. Des fanions sont plantés aux positions S et P
de la piste.
S
200 m
25°
R P
Calcule la distance entre les deux fanions S et P
Problèmes arrondie au dixième de mètre.
@figure;
L = point( 3.27 , -0.07 ) { noir };
S = point( 4.87 , 2.9 ) { noir , (-
0.27,-0.67) };
sSL = segment( S , L ) { noir };
OA = 10 cm et
cediaSL = cercledia( S , L )
{ noir , i };
AOB = 36°.
O = pointsur( cediaSL , 136.95 )
{ noir , (-0.53,0.03) };
sSO = segm ent( S , O ) { noir };
sOL = segment( O , L ) { noir };
angleSOL = angle( S , O , L )
{ noir , i };
angleSLO = angle( S , L , O )
{ noir , i };
angleOSL = angle( O , S , L )
{ noir };
44 Sans calculatrice
Pour chaque question, justifie la construction.
B 20 cm 52° D
= 8.
tel que tan A
a. Construis un angle A
C 9
Calcule le périmètre du triangle ACD arrondi au
décimètre. b. Construis un angle
B tel que sin
B = 0,6.
90
Le cerf-volant vole à 12 m du sol.
cm
a. Dessine un schéma de la situation.
b. Calcule la longueur de la ficelle déroulée.
Donne la valeur arrondie au décimètre. H P
a. Premier cas : on l'écarte de 520 mm de sa
46 Course position initiale. Détermine la mesure arrondie
au degré de l'angle obtenu entre le fil et la
Rafaël et Léo nagent pour atteindre la bouée P. verticale.
Ils sont respectivement en position R et L.
b. Deuxième cas : une fois écarté, le fil fait un
On a BL = 50 m et BPL = 72°.
angle de 48° avec la verticale. Détermine la
L distance entre le pendule et la verticale,
arrondie au centimètre.
47 Extrait du Brevet
Monsieur Schmitt, géomètre, doit déterminer la
largeur d'une rivière. Voici le croquis qu'il a H C B
réalisé :
AB = 100 m ; À quelle distance du point C le bateau de
Charlotte se trouve-t-il ? Donne la valeur
BAD = 60° ;
approchée par excès au dixième de mètre près.
BAC = 22° ;
ABD = 90°.
50 Tangentes
( ) est un cercle de centre O et de rayon 4 cm.
Soient A et B deux points de ce cercle tels que
AOB = 64°.
La droite (d) est la tangente en A et la droite
(d') est la tangente en B au cercle ( ). Elles se
coupent au point S.
a. Calculer la longueur BC au dixième près. a. Fais un dessin.
b. Calculer la longueur BD au dixième près. b. Calcule les longueurs SA et SO arrondies au
c. En déduire la largeur de la rivière à un mètre millimètre.
près. c. Trace le cercle de diamètre [SO]. Montre que
ce cercle passe par A et B.
56 Valeurs exactes
Dans cet exercice, tu utiliseras les données du
tableau suivant.
30° 3 1 3
2 2 3
sin A
d. (cos A )2 = 1 2sin A
cos A
58 Relations entre sinus, cosinus et tangente
Soit MOT un triangle rectangle en M.
MTO et
a. Que peux-tu dire des angles TOM ? 64 Extrait du Brevet
b. Écris les rapports entre les longueurs des L'unité de longueur est le centimètre.
côtés donnant le sinus, le cosinus et la tangente Le rectangle ci-dessous représente une table de
billard. Deux boules de billard N et B sont
des angles
MTO et TOM.
placées telles que CD = 90 ; NC = 25 et
c. Utilise la question b. pour écrire trois BD = 35. (Les angles ECN et
EDB sont droits.)
égalités. Un joueur veut toucher la boule N avec la boule
d. Déduis de ces égalités deux propriétés sur B en suivant le trajet BEN, E étant entre C et D,
les angles complémentaires d'un triangle et tel que
CEN = DEB .
rectangle.
C E D
59 Possible ou impossible ? N
B
tel que :
Existe-t-il un angle aigu A
= 7 ?
= 3 et sin A
a. cos A
4 4
On pose ED = x.
2 5 2
b. cos
A= et sin
A= ?
5 5 a. Donner un encadrement de x.
b. Exprimer CE en fonction de x.
60 Avec une formule trigonométrique
c. Dans le triangle BED, exprimer tan
DEB en
et de tan B
Calcule la valeur exacte de sin B fonction de x.
sachant que
B est un angle aigu tel que
2 d. Dans le triangle NEC, exprimer tan
CEN en
cos B = .
3 fonction de x.
e. En égalant les deux quotients trouvés aux
questions c. et d., on trouve l'équation
61 Avec une formule trigonométrique (bis)
35(90 − x) = 25x. (On ne demande pas de
Calcule la valeur exacte de cos
C et de tan
C justification.) Résoudre cette équation.
sachant que C est un angle aigu tel que f. En déduire la valeur commune des angles
sin
C=
6 − 2 . CEN et
DEB arrondie au degré.
4
90°
70°
c. Préparez avec ces informations un panneau
°
ou un diaporama.
45
2e Partie : Quelques tests 15°
0°
a. Chaque membre du groupe construit un
triangle ABC tel que AB = 6 cm et AC = 5 cm. Aiguille mobile
Pour le premier,
BAC = 45° ; pour le deuxième,
BAC = 60° et pour le troisième,
BAC = 30°.
b. À l'aide des formules d'Al-Kashi et des Gomme
valeurs remarquables de cos 30° ; cos 45° et
cos 60°, calculez la valeur exacte de BC dans
2e Partie : Sur le terrain
chacun des trois triangles.
Calculez ensuite les valeurs arrondies au a. Choisissez un objet à mesurer (clocher,
centième de chacun des résultats. arbre...). Munissez-vous du viseur et d'un
mètre.
3e Partie : Démonstration
b. À l'aide du viseur, prenez les deux mesures
Sur la figure ci-dessous, [BH] est la hauteur
comme indiqué ci-dessous.
d'angles a et b
issue de B dans le triangle ABC.
C
B
h
C A
H
D a A b B
a. Pourquoi peut-on utiliser les formules de 3m
trigonométrie dans les triangles ABH et BCH ?
b. Calculez HA en fonction de l'angle
BAC et de 3e Partie : Interprétation des observations
AB.
a. Dans le triangle ABC, exprimez la longueur
c. Déduisez-en une expression de CH en AB en fonction de BC et de b . Déduisez-en la
fonction de l'angle
BAC, de AB et de AC.
longueur DB en fonction de BC et de b .
d. En utilisant le théorème de Pythagore dans
le triangle ABH, calculez une expression de BH2. b. Dans le triangle BCD, exprimez tan a .
Vous venez d'obtenir une équation d'inconnue
e. En utilisant le théorème de Pythagore dans BC. Résolvez cette équation.
le triangle BCH, calculez une expression de BC2.
c. Utilisez les données obtenues avec le viseur
f. En utilisant les identités remarquables, pour calculer la longueur BC.
réduisez l'expression de BC et retrouvez la Déduisez-en une valeur approchée de la
première formule d'Al-Kashi (donnée dans la hauteur h.
première partie).
3
TGP est un triangle = GP
cos TGP = GP
sin GTP TG2 = TP2 PG2 = GP
tan GTP
rectangle en P donc... TP TG TP
AB AB = 7 × tan 4 tan 45° 7
4 tan 45 ° = donc... AB = AB = AB ≈ 7
7 5° 7 tan 45°
O
OM MO OE OE
5 sin
OMP = cos
OPE = tan
EPO = sin
OPM =
OP OP PO OP
M P
E
LNT est un triangle
rectangle en N tel que 5
6
TN = 7 cm et LN = 5 cm.
TLN = TLN ≈ 54° tan
TLN = 1,4 tan
LTN ≈ 0,7
7
On a donc...
QRS est un triangle
rectangle en R tel que
7 RSQ = 53° RSQ ≈ 37° RSQ = 37° RSQ ≈ 53°
SQ = 10 et RQ = 8 (en cm).
On a donc...
Le triangle ISO est un
=
OS 2
8 triangle rectangle et OI = SO × 2 tan
IOS = 1 tan
OIS = 1
OI 2
isocèle en S donc...
Le sinus d'un angle aigu un nombre un nombre un rapport compris
9
est... quelconque supérieur à 1 de longueurs entre 0 et 1
10
x et y sont deux angles x = tan y x = sin y x = cos y x = sin y
tan cos sin sin
complémentaires donc...
Terre, terre !
Un voilier suit un cap fixe à la vitesse constante de 22 km·h−1.
Le capitaine du bateau note l'heure à laquelle l'angle entre la
direction du cap et celle de l'îlot I mesure 24° (position A) puis
38° (position B).
Il déclare : « Entre les deux relevés, il s'est écoulé 12 minutes. I
J'en déduis que nous passerons donc à 4,6 km environ de l'îlot
(distance d sur la figure). »
Justifie l'affirmation du capitaine. d
Indication : Exprime AB en fonction de d, tan 24° et tan 38°
puis déduis-en d en utilisant une calculatrice. 38° 24°
H B A