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com 03/05/2012
• Le plus souvent, un modèle éconmétrique
devra faire appel à plusieurs variables explicatives, ce qui amènera à recourir à des techniques de régression multiple, et ®E
ce qui demandera également de résoudre
les problèmes pratiques liés à la définition lM
et à la sélection des variables.
ero
1 ua ni FP
a) La régression multiple: Te
• Un modèle de régression linéaire multiple vise à
expliquer la valeur de la variable dépendante Y comme une combinaison linéaire des valeurs tou
des variables explicatives X1,…, Xn:
Y=a+b1X1+…+bnXn • Un tel modèle peut s’appliquer chaque fois que an les relations entre Y et les Xi sont linéaires et chaque fois que des transformations appropriées permettent de retrouver le schéma linéaire.
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• Par exemple, un modèle multiplicatif du type
Y = aX 1b1 X 2b2 L X nbn devient linéaire en appliquant des logarithmes, et l’évolution des coefficients a, ®E b1,…,bn est réalisée à l’aide de la régression linéaire multiple. • Les coefficients optimaux sont déterminés par lM la méthode des moindres carrés. Dans le cas de deux variables explicatives X1 et X2, il s’agira de minimiser l’expression E2=Σ(Y-a-b1X1-b2X2)2 ero
par rapport à a, b1 et b2.
3 ua ni FP
• Ces coefficients seront solution du système
formé par les trois équations suivantes: ∑ Y = na + b1 ∑ X 1 + b2 ∑ X 2 Te
∑ X Y = a∑ X 1 1 + b1 ∑ X12 + b2 ∑ X1 X 2
Y = a ∑ X 2 + b1 ∑ X 1 X 2 + b2 ∑ X 22 tou ∑X 2
• Les coefficients bi ont une signification similaire à
celle qui avait été notée dans le cas de la régression linéaire simple: ils indiquent de combien an
varie Y en moyenne pour une variation unitaire de
Xi. • Les mêmes tests de qualités et de fiabilité de la représentation se retrouvent également. 4
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Exemple: • Le tableau suivant donne les résultats d’une étude transversale sur dix régions: Les ventes Y du produit sont mises en relation avec les dépenses X1 de publicité-presse et les dépenses X2 de publicité sur les lieux de vente (PLV). (L’unité est 103 DH) ®E Observations Ventes Publicité presse PLV (i) (Y) (X1) (X2) 1 30 2 6 lM 2 22 1 3 3 29 6 2 4 35 4 5 5 25 3 3 6 40 2 8 ero 7 24 6 1 8 21 2 2 9 32 7 2 10 15 1 1 5 ua ni FP
• Les calculs présentés dans le tableau suivant conduisent à
273=10·a+34b1+33b2 a=9,65 976=34·a+160b1+97b2 b1=2,15 ®E 1019=33·a+97b1+157b2 b2=3,13. lM • Ce modèle explique 96,8% (R2=0,968) de la dispersion totale avec un coefficient de corrélation multiple R=0,983. ero
7 ua ni FP
• Le test F est également favorable:
Degrés de Somme des Carrés F liberté carrés moyens Te
Régression… k=2 472 236 110
Erreur……… n-k-1 = 7 15 2,14 tou Total n-1 = 9 477
F0,01 = 9,55 • De même que le test t sur chacun des coefficients de régression partielle b1 et b2: an
∑ (Yˆ − Y ) 2 - Écart-type des erreurs: SY ⋅12 = =1,47 n−3
- Erreur-standard sur b1: SY ⋅12
Sb = = 0,23 1 ∑X 2 1 − nX12 8
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- Erreur-standard sur b2:
S Y ⋅12 Sb = = 0 , 22 2 ∑ X 22 − nX 2 2 ®E
- Test t pour b1: 2 ,15
t1 = = 9 ,3 0 , 22 lM
3 ,13 - pour b2: t2 = = 14 , 2 0 , 21 ero
t0,01=2,9 pour n-k-1=7 degrés de liberté.
9 ua ni FP
b) Problèmes pratiques: Te • Dans le cadre de modèles exogènes, on peut être amené à traiter un grand nombre de variables explicatives, dont a priori le pouvoir explicatif n’est pas connu. Il serait certes concevable d’appliquer la tou
technique décrite ci-dessus à toutes les combinaisons
envisageables de variables explicatives. Mais cette procédure entraînerait de trop nombreux calculs. Certains programmes informatiques permettent à partir an d’un ensemble de variables explicatives potentielles de ne retenir que celles qui sont les plus intéressantes, en introduisant succéssivement dans l’équation de régression les variables qui absorbent le plus de variance résiduelle.
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• Quand plusieurs variables interviennent dans le
modèle de régression, il faut envisager le risque de multicolinéarité. Ce phénomène se produit quand deux variables explicatives ou plus sont ®E fortement corrélées entre elles. Une bonne définition des coefficients bi demande de ne retenir que des variables indépendantes. Une lM première opération consiste donc, avant tout traitement par le modèle de régression, à examiner la matrice des coefficients de corrélation entre les Xi et à sélectionner pour ero
chaque ensemble de variables corrélées un seul
représentant. 11 ua ni FP
• La nature des variables utilisables dans les
modèles de régression peut être une source de difficulté. Les variables quantitatives sont les Te
plus adaptées à ce type de formalisation. Des
variables nominales (Les variables nominales tou correspondent à des catégories,comme par exemple, classes d’âge, de revenu, localisation géographique,…etc) peuvent également être utilisées, mais il faut alors recourir à des variables muettes (valeur égale à 0 ou 1) ce qui an
alourdit la formulation. Quand on ne dsipose que
de variables nominales, il est préférable de s’en remettre à d’autres types de formulation comme la segmentation ou l’analyse de variance. 12
