CH 5
CH 5
CH 5
COMPRESSIBLES
1 INTRODUCTION
Dans ce dernier chapitre, nous abordons les fluides compressibles qui
présentent certaines particularités. La masse volumique d’un gaz varie avec sa
pression. L’étude de l’écoulement d’un fluide compressible devient plus
compliquée que celle d’un fluide incompressible. En effet, les variations de
température ou de pression qui peuvent apparaître dans l’écoulement d’un liquide
ne modifient en rien les volumes mis en jeu car la dilatation ou la compression sont
généralement négligeables. En revanche, ces phénomènes prennent une grande
importance lorsqu’il s’agit de vapeurs ou de gaz.
L’étude de l’écoulement des fluides compressible ne peut être abordée sans avoir
fixé au préalable un certain nombre d’hypothèses simplificatrices (nature du gaz :
parfait, type d’évolution : isotherme ou adiabatique,…etc).
120
Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles
avec :
- Δ H : variation d’enthalpie par unité de masse en (KJ/Kg)
- Cp : chaleur spécifique à pression constante en (KJ/Kg.oK)
- Δ T : variation de température (0K)
- Transformation à volume constant :
La chaleur récupérée par un gaz parfait à volume constant est :
ΔU = Cv .ΔT
avec :
- Δ U : variation d’énergie interne par unité de masse en (KJ/Kg)
- Cv : chaleur spécifique à volume constant en (KJ/Kg.oK)
- Δ T : variation de température en (0K)
Remarque :
P P
H =U + équivaut à ΔH = Δ(U + ) = ΔU + Δ(rT ) = (Cv + r ).ΔT = C p .ΔT
ρ ρ
Cp
On définie : γ =
Cv
Exemple :
5 3 5
- Pour un gaz parfait monoatomique : C p = .r et Cv = .r donc γ =
2 2 3
7 5 7
- Pour un gaz parfait diatomique : C p = .r et Cv = .r donc γ =
2 2 5
Cp
or C p = CV + r donc C p = +r
γ
γ
ou encore : C p = r.
γ −1
⎛ γ ⎞ ⎛P⎞
La variation d’enthalpie est par conséquent : ΔH = C p .ΔT = ⎜⎜ ⎟⎟.Δ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ γ −1⎠ ⎝ ρ ⎠
γ P
ou encore H = . *
γ −1 ρ
- Transformation adiabatique :
P P Pγ −1
= Cte , D’après la lois des gaz parfaits : γ
= Cte donc γ = Cte
ργ ⎛ P⎞ T
⎜ ⎟
⎝ rT ⎠
γ −1
γ
P
ou encore, = Cte
T
γ .P
C= = γ .r.T
ρ
4 EQUATION DE CONTINUITE
L’équation de continuité d’un fluide compressible est :
5 EQUATION DE SAINT-VENANT
L’équation de bilan énergétique d’un système ouvert est :
ΔEc + ΔEP + ΔH = Q + Wu
où :
- Δ Ec : Variation d’énergie cinétique.
- Δ EP : Variation d’énergie potentielle du fluide.
- Δ H : Variation d’enthalpie.
- Q: chaleur échangée avec le milieu extérieur.
- Wu : travail utile échangé.
Si on suppose :
- qu’il n’y pas d’échange de travail utile, Wu = 0
- que l’énergie potentielle est négligeable, Δ EP =0
- que l’écoulement est adiabatique et réversible, Q=0
L’équation de bilan énergétique devient : ΔH + ΔEc = 0
1 2
ou encore ( H 2 − H1 ) + (V2 − V12 ) = 0
2
1
donc H + V 2 = Cte
2
γ P
or d’après l’équation (*) H = C p .T = .
γ −1 ρ
D’où la relation de Saint-Venant :
γ 1 P
+ .V 2 = Cte
.
γ −1 ρ 2
Entre deux points d’un écoulement, cette relation s’écrit :
γ ⎛P P⎞ 1
(
.⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ + . V22 − V12 = 0
γ − 1 ⎝ ρ 2 ρ1 ⎠ 2
)
γ P1 ⎛ ρ1 P2 ⎞ 1
ou encore .
γ − 1 ρ1 ⎝ ρ 2 P1 ⎠ 2
(
.⎜⎜ . − 1⎟⎟ + . V22 − V12 = 0 )
1
P P ρ ⎛ P ⎞γ
Or pour un gaz parfait 1γ = 2γ = Cte donc 1 = ⎜⎜ 1 ⎟⎟
ρ1 ρ2 ρ 2 ⎝ P2 ⎠
Donc
γ −1
⎛ ⎞
γ P1 ⎜ ⎛ P2 ⎞ γ ⎟ 1
(
. .⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎟ + . V22 − V12 = 0
γ − 1 ρ1 ⎜ ⎝ P1 ⎠
)
⎟ 2
⎝ ⎠
6 ETAT GENERATEUR :
C’est l’état d’un fluide en un point de l’écoulement où la vitesse V est supposée
nulle.
On note par un indice i toutes les variables thermodynamiques relatives à ce point.
En appliquant le théorème de Saint-Venant entre ce point et un autre point on a :
γ 1 P γ Pi
+ .V 2 =
. .
γ −1 ρ 2 γ − 1 ρi
Dans le cas d’un écoulement isentropique d’un gaz parfait, les caractéristiques
thermodynamiques d’un point d’arrêt sont celles de l’état générateur c'est-à-dire :
Pi, Ti, ρ i.
γ .P
Or la célérité du son est donnée par : C = = γ .r.T
ρ
Donc le théorème de Saint-Venant peut être écrit sous la forme suivante :
1 1 1
.C 2 + .V 2 = .Ci2
γ −1 2 γ −1
2
2 2 2 ⎛ Ci ⎞
En multipliant cette équation par on obtient : +M2 = .⎜ ⎟
C 2
γ −1 γ −1 ⎝ C ⎠
2
⎛C ⎞ T
Or ⎜ i ⎟ = i
⎝C⎠ T
γ −1 ⎛T ⎞
1+ .M 2 = ⎜ i ⎟
2 ⎝T ⎠
γ −1 γ −1
⎛ Pi ⎞ γ ⎛ρ ⎞ γ −1
⎜ ⎟ = ⎜⎜ i ⎟⎟ = 1+ .M 2
⎝P⎠ ⎝ρ⎠ 2
Pour établir la relation entre les caractéristiques de deux points (1) et (2) d’un
même écoulement :
Ti γ −1 2
- en (1) : = 1+ .M1
T1 2
Ti γ −1 2
- en (2) : = 1+ .M2
T2 2
γ −1
1+
2
.M1
T2 2
Donc : =
T1 γ −1 2
1+ .M2
2
De la même façon on peut établir des relations entre les pressions et les masses
volumiques.
Remarque :
si M = 1 (v = c), l’état de l’écoulement est appelé état critique.
Il est déterminé en fonction de l’état générateur :
Ti γ −1 1+ γ
= 1+ =
Tc 2 2
7 CONCLUSION
L’étude approfondie des écoulements des fluides compressibles ne peut se faire
sans faire intervenir la thermodynamique. Les notions des mécanique des fluides
abordées dans ce manuel ne constituent que des connaissance élémentaire
nécessaire pour un technicien supérieur.
8 EXERCICES D’APPLICATION
Exercice N°1:
1 ENONCE
Dans un écoulement d’air les caractéristiques en un point sont les suivantes :
- vitesse d’écoulement : V =100 m/s
- pression P = 1,013 bar
- température : T= 15°c ;
- Masse volumique ρ = 0,349 Kg/m3
- γ = 1,4
On demande de calculer la pression d’arrêt Pi.
1) en négligeant la compressibilité de l’air.
2) en tenant compte de sa compressibilité.
2 REPONSE
1) En négligeant la compressibilité de l’air, on peut appliquer le théorème de
V2 P Vi 2 Pi
Bernoulli : + + g .Z = + + g .Z i sachant que Vi=0 (point d’arrêt) et Z=Zi
2 ρ 2 ρ
1
Donc Pi = P + .ρ .V Application numérique : Pi=1,O30 bar
2
2
2) En prenant en compte la compressibilité, on doit appliquer le théorème de Saint-
γ
⎛ γ − 1 2 ⎞ γ −1 γ .P 1,013.10 5
Venant : Pi = ⎜1 + .M ⎟ .P avec C= = 1,4. = 637,46 m / s
⎝ 2 ⎠ ρ 0,349
1, 4
V 100 ⎛ 1,4 − 1 ⎞ 1, 4−1
M= = = 0,156 donc Pi = ⎜1 + .0,156 2 ⎟ .1,013 = 1,030 bar
C 637,46 ⎝ 2 ⎠
Exercice N°2:
1 ENONCE
Un avion vole à un nombre de Mach M= 0,95 et à une altitude où la pression
atmosphérique est Patm = 0,2332 bar et la masse volumique ρ = 0,349 Kg/m3.
1) Calculer la vitesse de l’avion en Km/h.
2) Calculer la pression et la température du point d’arrêt sur le bord d’attaque de
l’aile.
L’air est assimilé à un gaz parfait : γ = 1,4 et r = 287 J/kg.K
2 REPONSE
γ .P
1) V = M .C = M . A.N. V = 290,56 m/s = 1046,02 Km/h
ρ
γ 1, 4
⎛ γ − 1 2 ⎞ γ −1 ⎛ 1,4 − 1 ⎞1, 4−1
2) Pi = ⎜1 + .M ⎟ .P A.N : Pi = ⎜1 + .0,95 2 ⎟ .0,2332 = 0,416 bar
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ γ −1 2 ⎞ p
Ti = ⎜1 + .M ⎟.T or r.T = (air considéré gaz parfait) ⇒
⎝ 2 ⎠ ρ
p 0,2332 ⎛ 1,4 − 1 ⎞
T= = = 232,82 ° K donc Ti = ⎜1 + .0,95 2 ⎟.232,82 = 274,84 °K
ρ .r 0,349.287 ⎝ 2 ⎠
Exercice N°3: EXTRAIT DE L’EXAMEN DU 23-06-2003
1 ENONCE
Un corps céleste en chute libre, freiné par les couches d’air de la haute
atmosphère tombe sur terre. A une altitude de 10 km :
- la vitesse du corps V=3000 m/s,
- la température de l’air T=2230 K,
- la masse volumique de l’air ρ = 0,412 kg / m 3
- la pression de l’air P=0,265 bar.
On donne γ = 1,4 .
Travail demandé :
1) Calculer la vitesse du son C.
2) Déterminer le nombre de Mach M.
3) Quelle est la nature de l’écoulement d’air autour du corps ?
4) Appliquer le théorème de Saint-Venant pour calculer la température Ti et la
pression Pi de l’air au point d’arrêt.
2 REPONSE
P 26500
1) Célérité du son : C = γ . A.N. C = 1,4. = 300 m / s
ρ 0,412
V 3000
2) Nombre de Mach : M = A.N. M = = 10
C 300
P 10 5
2) Masse volumique : ρ = A.N. ρ = = 1,169 kg / m 3
rT 287.298
γ −1
⎛P⎞ γ −1 γ
3) Equation de Saint-Venant 1 + .M 2 = ⎜ i ⎟
2 ⎝P⎠
γ −1
⎡ ⎤
2 ⎢⎛ i ⎞ γ
p ⎥ A.N. M = 1,558
4) Nombre de Mach : M = . ⎜
⎜ ⎟
⎟ − 1
⎢
γ −1 ⎝ p ⎠ ⎥
⎢⎣ ⎦⎥
5) M>1 donc l’écoulement est supersonique.
6) Vitesse d’écoulement : V = M .C A.N. V = 1,558.346 = 549,48 m / s
π .d 2
7) Débit massique : q m = ρS .V = ρ . .V
4
π .0,005
A.N. q m = 1,169. .549,448 = 2,52 kg / s
4
Exercice N°5: EXTRAIT DE L’EXAMEN DU 24-06-2004
1 ENONCE
La figure ci-dessous représente une chaudière qui produit de la vapeur d'eau à un
débit massique qm=13,4 kg/s.
S
Vapeur
Pi Canalisation
Eau
Chaudière
Par une canalisation cylindrique, la vapeur arrive dans une section S de diamètre
d=10 cm à une pression P=15 bar et une température T=541 °K.
On donne les caractéristiques de la vapeur d'eau :
- γ =1,3.
- r=462 J/kg°K.
Travail demandé:
V 284,356
4) Nombre de Mach : M = A.N. M = = 0,5
C 570,021
M<1 donc l’écoulement est subsonique.
⎛ γ −1 ⎞
⎜ ⎟
⎛ P ⎞ ⎜⎝ γ −1 γ ⎟⎠
5) Equation de Saint – Venant : 1 + M2 =⎜ i ⎟
2 ⎝P⎠
⎛ γ ⎞
⎜ ⎟
⎛ γ − 1 2 ⎞ ⎜⎝ γ −1 ⎟⎠
La pression d’arrêt : Pi = P.⎜1 + .M ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ 1, 3 ⎞
⎜ ⎟
⎛ 1,3 − 1 2 ⎞⎝
⎜ 1, 3−1 ⎟
⎠
A.N. i
P = 15. 10 .⎜ 1 +5
. 0,5 ⎟ = 1759434 Pa = 17,594 bar
⎝ 2 ⎠
Pi
Travail demandé :
1) En appliquant l’équation de Saint- Venant , déterminer la pression Pi (en bar) à
l’intérieur du réservoir.
2) A partir de quelle pression Pi, l’écoulement devient supersonique ?
2 REPONSE
⎛ γ −1 ⎞
⎜ ⎟
⎛ P ⎞ ⎜⎝ γ −1 γ ⎟⎠
1) Equation de Saint-Venant : 1 + .M 2 = ⎜ i ⎟ donc
2 ⎝P⎠
⎛ γ ⎞
⎜ ⎟
⎛ γ − 1 2 ⎞ ⎜⎝ γ −1 ⎟⎠
Pi = P.⎜1 + M ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ 1, 4 ⎞
⎜ ⎟
⎛ 1,4 − 1 2 ⎞⎝
⎜ 1, 4 −1 ⎟
⎠
A.N. i
P = 1, 014. 10 .⎜ 1 +5
. 0, 77 ⎟ = 150097,21 Pa = 1,5 bar
⎝ 2 ⎠
⎛ γ ⎞
⎜ ⎟
⎛ γ + 1 ⎞ ⎜⎝ γ −1 ⎟⎠
2) M > 1 ⇒ Pi > P.⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ 1, 4 ⎞
⎜ ⎟
5 ⎛ 1, 4 + 1 ⎞ ⎝
⎜ 1, 4 −1 ⎟
⎠
A.N. Pi > 1,014.10 .⎜ ⎟ = 191943 ≈ 2 bar
⎝ 2 ⎠
2 ⎝P⎠
γ −1
⎡ ⎤ ⎡ 1, 4 −1
⎤
2 ⎢⎛ Pi ⎞ γ ⎥ 2 ⎢⎛ 3 ⎞
− 1⎥ = 1,357 .
1, 4
Nombre de Mach M = . ⎜ ⎟ − 1 A.N. M = .⎜ ⎟
γ − 1 ⎢⎝ P ⎠ ⎥ 1,4 − 1 ⎢⎝ 1 ⎠ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2) M>1 donc l’écoulement est supersonique.
Exercice N°8: EXTRAIT DE L’EXAMEN DU 18-06-2007
1 ENONCE
De l'air, supposé gaz parfait, s'échappe par la valve d'une chambre à air d'un
pneu. La pression à l’intérieur de la chambre à air est Pi = 1,7 bar. On suppose que
la détente de l’air, s’effectue vers l’extérieur à une pression P=1 bar et une
température ambiante T=25 °C.
On donne les caractéristiques de l’air suivantes :
- r= 287 J/kg°K,
- γ=1,4.
Travail demandé :
1) Calculer la célérité du son.
2) En appliquant l’équation de Saint-Venant, déterminer le nombre de Mach.
3) Déterminer la vitesse d’échappement V de l’air.
2 REPONSE
2) Equation de Saint-Venant :
⎛ γ −1 ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎛ γ −1 ⎞
⎜ ⎟ ⎞
γ −1 ⎛ P ⎞ ⎜⎝ γ ⎟⎠ 2 ⎜ ⎛ Pi ⎞ ⎜⎝ γ ⎟⎠ ⎟
1+ .M = ⎜ i ⎟ 2
Équivaut à M = ⎜ ⎟ − 1⎟
2 ⎝P⎠ γ − 1 ⎜⎜ ⎝ P ⎠ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎛ 1, 4 −1 ⎞
⎜ ⎟ ⎞
2 ⎜ ⎛ 1,7 ⎞ ⎜⎝ 1, 4 ⎟⎠ ⎟
A.N. M = ⎜ ⎟
1,4 − 1 ⎜⎜ ⎝ 1 ⎠
− 1 ⎟ = 0,9
⎟
⎝ ⎠
3) V = M .c ⇒ V = 0,9.346 = 311,4 m / s