DS2 Sujet Mines-Centrale.

MP∗ Lycée Kérichen 2023-2024
DS no2
SUJET TYPE MINES-CENTRALE
On désigne par C([0, 1]) l’espace vectoriel des fonctions réelles continues
sur [0, 1].
Pour tout λ ≥ 0, on note φλ l’élément de C([0, 1]) défini par φλ (x) = xλ .
Par convention on a posé 00 = 1, de sorte que φ0 est la fonction constante 1.
Soit (λk )k∈N une suite de réels ≥ 0 deux à deux distincts. On note W le
sous- espace vectoriel de C([0, 1]) engendré la famille (φλk )k∈N .
Le but du problème est d’établir des critères de densité de l’espace W
dans C([0, 1]) pour l’une ou l’autre des deux normes classiques N∞ ou N2
définies par :
Z 1 12
2
N∞ (f ) = sup |f (x)| et N2 (f ) = |f (x)| dx
x∈[0,1] 0
Les questions préliminaires et les parties A, B, C et D

sont indépendantes les unes des autres.
A. Questions préliminaires
1) Montrer que N2 et N1 sont des normes sur C([0, 1]).
2) Les norme N2 et N1 sont elles équivalentes ?
3) Montrer que (φλ )λ≥0 est une famille libre de C([0, 1]).
B. Déterminants de Cauchy
On considère un entier n > 0 et deux suites finies (ak )1≤k≤n et (bk )1≤k≤n
de réels telles que ak + bk 6= 0 pour tout k ∈ 1, 2, . . . , n . Pour tout entier
m tel que 0 < m ≤ n, le déterminant de Cauchy d’ordre m est défini par :
1 1 1
a1 +b1 a1 +b2
... a1 +bm
1 1 1
a2 +b1 a2 +b2
... a2 +bm
Dm = .. .. .. .
. . .
1 1 1
am +b1 am +b2
... am +bm
1
On définit la fraction rationnelle :
n−1
Q
(X − ak )
k=1
R(X) = n
Q .
(X + bk )
k=1
n
P Ak
1) Montrer que si R(X) est de la forme R(X) = X+bk
, alors
k=1
An Dn = R(an )Dn−1
On pourra pour cela considérer le déterminant obtenu à partir de Dn

en remplaçant la dernière colonne par
 
R(a1 )
 R(a2 ) 
 ..  .
 
 . 
R(an ).
2) En déduire que
Q
(aj − ai )(bj − bi )
1≤i<j<≤n
Dn = Q .
(ai + bj )
1≤i≤n
1≤j≤n
C. Distance d’un point à une partie d’un espace normé

Soit E un espace vectoriel normé par une norme k · k. On rappelle que la
distance d’un élément x ∈ E à une partie non vide A de E est le réel noté
d(x, A) défini par :
d(x, A) = inf kx − yk.
y∈A
1) Soit (E, k · k) un espace vectoriel normé. Rappeler la définition de la

distance d’un élément x de E à une partie non vide A de E.
2) Montrer que l’application d(·, A) de E dans R+ qui à un élément x de
E associe sa distance à A, partie de E non vide est une application
lipschitzienne de (E, k · k) dans (R, | · |).
3) Montrer que d(x, A) = 0 si et seulement si x est adhérent à A.
2
4) Montrer
S que si (An )n≥0 est une suite croissante de parties de E et si
A = n≥0 An alors d(x, A) = limn→∞ d(x, An ).
On admet dans la suite le résultat suivant qui sera vu en TD.
Soit un sous-espace vectoriel V de dimension finie de E. Pour tout
x ∈ E, il existe un élément y ∈ V tel que :
d(x, V ) = kx − yk.
5) Donner un exemple d’espace vectoriel normé (E, k · k), de sous-espace

vectoriel V de E de dimension finie et d’élément x de E tels que
l’ensemble des éléments y de E vérifiant d(x, V ) = kx − yk soit infini.
D. Distance d’un point à un sous-espace de dimension

finie
dans un espace euclidien
Dans cette partie, on suppose que la norme sur l’espace p vectoriel E est
définie à partir d’un produit scalaire (· | ·) sur E : kxk = (x | x).
1) Montrer que si V est un sous-espace vectoriel de dimension finie de
E, alors pour tout x ∈ E, la projection orthogonale de x sur V est
l’unique élément y ∈ V vérifiant d(x, V ) = kx − yk.
Pour tout suite finie (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ E n , on désigne par G(x1 , x2 , . . . , xn )
le déterminant de la matrice de Gram d’ordre n définie par :
 
(x1 | x1 ) (x1 | x2 ) · · · (x1 | xn )
 (x2 | x1 ) (x2 | x2 ) · · · (x2 | xn ) 
M (x1 , x2 , . . . , xn ) =  .
 
.. .. ..
 . . . 
(xn | x1 ) (xn | x2 ) · · · (xn | xn )
2) Montrer que G(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 si et seulement si la famille (x1 , x2 , . . . , xn )

est liée.
3) On suppose que la famille (x1 , x2 , . . . , xn ) est libre et l’on désigne par
V l’espace vectoriel qu’elle engendre. Montrer que, pour tout x ∈ E,
G(x1 , x2 , . . . , xn , x)
d(x, V )2 = .
G(x1 , x2 , . . . , xn )
E. Comparaison des normes N∞ et N2

∞ 2
Pour toute partie A de C([0, 1]), on note A et A les adhérences de A
pour les normes N∞ et N2 respectivement. Pour f ∈ C([0, 1]), la notation
3
d(f, A) désigne toujours la distance de f à A relativement à la norme N2 ,
on ne considérera jamais, dans l’énoncé, la distance d’un élément
à une partie relativement à la norme N∞ .
On admet dans cette partie, le résultat suivant qui sera traité en cours
d’année.
∞
vect(φm , m ∈ N) = C([0, 1]).
1) Montrer que pour tout f ∈ C([0, 1]), N2 (f ) ≤ N∞ (f ). En déduire que

∞ 2
pour toute partie A de C([0, 1]), on a A ⊂ A .

On considère l’ensemble V0 = f ∈ C([0, 1]); f (0) = 0 , et on rappelle
que φ0 désigne la fonction constante 1.
2
2) Montrer que φ0 ∈ V0 .
3) En déduire que V0 est dense dans C([0, 1]) pour la norme N2 , mais
n’est pas dense pour la norme N∞ .
4) Montrer que si V est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel
normé, alors son adhérence V est également un espace vectoriel.
5) Montrer qu’un sous-espace vectoriel V de C([0, 1]) est dense pour la
∞
norme N∞ si et seulement si pour tout entier m ≥ 0, φm ∈ V .
6) En déduire qu’un sous-espace vectoriel V de C([0, 1]) est dense pour
2
la norme N2 si et seulement si pour tout entier m ≥ 0, φm ∈ V .
F. Un critère de densité de W pour la norme N2

Pour tout n ∈ N, on note Wn l’espace vectoriel engendré par la famille
finie (φλk )0≤k≤n .
1) Montrer que l’espace W est dense dans C([0, 1]) pour la norme N2 si
et seulement si limn d(φµ , Wn ) = 0 pour tout entier µ ≥ 0.
2) Montrer que pour tout µ ≥ 0,
n
1 Y |λk − µ|
d(φµ , Wn ) = √ .
2µ + 1 k=0 λk + µ + 1

|λk − µ|
3) Montrer que pour tout µ ≥ 0, la suite tend vers 1
λk + µ + 1 k∈N
si et seulement si la suite (λk )k∈N tend vers +∞.
(On pourra pour cela étudier les variations de la fonction
µ−x
x ∈ [0, µ] 7→ .)
x+µ+1
4
4) En déduire que l’espace W est dense dans C([0, 1]) pour la norme N2
X 1
si et seulement si la série est divergente.
k
λk
G. Un critère de densité de W pour la norme N∞

1) Montrer que si W est dense dans C([0, 1]) pour la norme N∞ , alors la
X 1
série est divergente.
k
λk
2) Soit ψ = nk=0 ak φλk un élément quelconque de Wn . Montrer que si
P
λk ≥ 1 pour tout k ∈ {0, 1, . . . , n}, alors pour tout µ ≥ 1, on a :
n
X
N∞ (φµ − ψ) ≤ N2 µφµ−1 − ak λk φλk −1 .
k=0
3) On suppose que la suite (λk )k∈N vérifie les deux conditions suivantes :
i. λ0 = 0 ;
ii. λk ≥ 1 pour tout k ≥ 1.
X 1
Montrer que sous ces conditions, si la série est divergente, alors
k
λ k
W est dense dans C([0, 1]) pour la norme N∞ .
4) Montrer que la conclusion précédente est encore valable si on remplace
la condition ii. par ii’. inf k≥1 λk > 0.

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MP∗ Lycée Kérichen 2023-2024

Les questions préliminaires et les parties A, B, C et D

On pourra pour cela considérer le déterminant obtenu à partir de Dn

C. Distance d’un point à une partie d’un espace normé

1) Soit (E, k · k) un espace vectoriel normé. Rappeler la définition de la

5) Donner un exemple d’espace vectoriel normé (E, k · k), de sous-espace

D. Distance d’un point à un sous-espace de dimension

2) Montrer que G(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 si et seulement si la famille (x1 , x2 , . . . , xn )

E. Comparaison des normes N∞ et N2

1) Montrer que pour tout f ∈ C([0, 1]), N2 (f ) ≤ N∞ (f ). En déduire que

F. Un critère de densité de W pour la norme N2

G. Un critère de densité de W pour la norme N∞

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