Devoir ' A La Maison N 9

MPSI 3 - Fermat Pour le 16.03.
22
2021-2022
Devoir à la maison n◦ 9
La notation tiendra particuliérement compte de la qualité de la rédaction, la précision des
raisonnements et l’énoncé des formules utilisées.
————————————————————–
Pour n ∈ N, on note Qn [X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients rationnels de degré
inférieur ou égal à n.
A - Questions préliminaires
1. Montrer que, si P et Q sont des polynômes à coefficients rationnels tels que : ∀ k ∈ N \ {0, 1},
P (k) = Q(k), alors P = Q.
2. Soit f : 0, 21 → R une fonction de classe C 2 . On suppose que f 00 s’annule, sur ]0, 1[, uniquement

au point 21 , et qu’elle change de signe en 12 . On suppose de plus que f (0) = f ( 12 ) = f (1) = 0.

Montrer alors que f s’annule, sur ]0, 1[, uniquement en 12 , et qu’elle change de signe en 12 .
Préciser le signe de f à gauche et à droite de 12 en fonction de celui de f 00 .
B - Les polynômes de Bernoulli

On fixe, dans cette partie, un entier n ∈ N∗ .
1. Pour tout polynôme P ∈ Q[X], on définit le polynôme ∆(P ) = P (X) − P (X − 1).
(a) Montrer qu’on définit ainsi une application linéaire ∆ : Qn+1 [X] → Qn+1 [X].
(b) Soit P ∈ Qn+1 [X] un polynôme de degré d ∈ [[0, n + 1]] et de coefficient dominant α 6= 0.
Déterminer le degré et le coefficient dominant du polynôme ∆(P ).
(c) Déterminer le noyau de l’application ∆.
(d) Déterminer l’image de l’application ∆.
(e) Montrer que, pour tout polynôme P ∈ Qn+1 [X], ∆(P 0 ) = [∆(P )]0 .
2. (a) Soit P ∈ Q[X] un polynôme. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
k−1
X
(i) pour tout k ∈ N∗ , P (k) = in
i=0
(ii) ∆(P ) = (X − 1)n et P (1) = 0.
(b) Montrer qu’il existe un unique polynôme P ∈ Qn+1 [X] qui vérifie ces propositions.
On le notera désormais Qn .
(c) Déterminer le degré et le coefficient dominant de Qn .
(d) Montrer que Qn (0) = Qn (1) = 0.
X 2 (X − 1)2
(e) Déterminer Q1 et Q2 ; vérifier que Q3 =
4
1 1
(f) Faire la décomposition en éléments simples de et .
Q2 Q3
3. Soit n ∈ N, n > 2
(a) Calculer le polynôme ∆(Q0n − nQn−1 ).
(b) En déduire qu’il existe un nombre rationnel an tel que Q0n + an = nQn−1 .
4. On a ainsi défini une suite (Qn )n∈N∗ de polynômes telle que :
00
X(X − 1) Qn+1 = (n + 1)Q0n
Q1 = et ∀ n ∈ N∗ ,
2 Qn+1 (0) = Qn+1 (1) = 0
Montrer que, si (Rn )n∈N∗ est une autre suite de polynômes vérifiant la même propriété, alors :
∀ n ∈ N∗ , Rn = Qn .
C - Les nombres de Bernoulli
1. Pour tout n ∈ N∗ , on pose Qñ = Qn (1 − X) (composition).
(a) Calculer Q̃1 , Q̃2 et Q̃3 .
(b) Pour tout n ∈ N∗ , comparer ∆(Qñ ) et ∆(Qn ), et en déduire une relation entre Qñ et Qn .
(c) En déduire que, pour tout p ∈ N, Q2p ( 12 ) = 0, Q02p+1 ( 12 ) = 0, et a2p+1 = 0.
(d) Exprimer, pour tout p ∈ N∗ , Q002p+2 en fonction de Q2p , et Q002p+1 en fonction de Q2p−1 et
a2p .
2. Pour n ∈ N, notons qn : R → R la fonction polynomiale associée au polynôme Qn .
(a) Soit p ∈ N∗ . Établir que, sur le segment [0, 1], la fonction q2p ne s’annule qu’en 0, 1
2 et 1, et
change de signe en 12 .
Montrer que le signe de q2p sur ]0, 21 [ est celui de (−1)p+1 .
(b) En déduire que, pour tout p ∈ N∗ , la fonction q2p+1 est de signe constant sur l’intervalle
ouvert ]0, 1[, et que ce signe est celui de (−1)p+1 .
Vérifier que c’est encore vrai pour p = 0.
(c) Montrer que, pour tout p ∈ N∗ , a2p n’est pas nul et qu’il est du signe de (−1)p .
3. On appelle Bp le rationnel positif (−1)p a2p .
Z 1
Calculer les nombres B1 , B2 et B3 (on pourra établir que an = n Qn−1 (t)dt).
0
D - Une méthode d’approximation des intégrales

Parmi les propriétés de (Qn ) et (Bn ), on utilisera uniquement les suivantes :
X(X − 1)
— Q1 =
2
— Pour tout n ∈ N∗ , Q02n+2 + (−1)n+1 Bn+1 = (2n + 2)Q2n+1 ;
— Pour tout n ∈ N∗ , Q00 + (2n + 1)(−1)n Bn = (2n + 1)(2n)Q2n−1 ;
— Pour tout n ∈ N∗, Q2n+1 (0) = Q2n+1 (1) = Q02n+1 (0) = Q02n+1 (1) = 0 ;
— Pour tout n ∈ N, la fonction polynomiale q2n+1 est de signe constant sur [0, 1]
1. Soit f , une fonction 3 fois continuement dérivable sur le segment [0, 1] (i.e. de classe C 3 ). Montrer
l’égalité : Z 1
f 0 (0) + f 0 (1)
f (1) − f (0) = + Q1 (x)f (3) (x)dx
2 0
2. Soit n un entier naturel et f une fonction 2n + 3 fois continuement dérivable sur le segment
[0, 1].
(a) Montrer l’égalité :
n
f 0 (0) + f 0 (1) X (−1)p Bp h (2p) i
f (1) − f (0) = + f (1) − f (2p) (0) + Rn
2 p=1
(2p)!
Z 1
1
où le reste Rn est égal à l’intégrale : Q2n+1 (x)f (2n+3) (x)dx
(2n + 1)! 0
(b) On pose M = supx∈[0,1] |f (2n + 3)(x)|. Justifier cette définition.
Bn+1 M
(c) Montrer que la valeur absolue de Rn est majorée par .
(2n + 2)!
3. Etablir, pour une fonction g, 2n + 2 fois continuement dérivable sur le segment [a, b] et un entier
m supérieur ou égal à 2, la formule de calcul approché de l’intégrale
" m−1
# n
Z b
b−a X b−a X (−1)p Bp b − a 2p h i
g(x)dx = g(a) + g(b) + 2 g(a + k ) + g (2p−1) (b) − g (2p−1) (a) +Rn0
a 2m m p=1
(2p)! m
k=1
où la valeur absolue du reste Rn0 est majorée par

2n+3
Bn+1 b−a
m M0
(2n + 2)! m
avec M 0 = supx∈[0,1] |g (2n+2) (x)|.

Devoir ' A La Maison N 9

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Devoir ' A La Maison N 9

Transféré par

Informations du document

Titre original

Copyright

Formats disponibles

Partager ce document

Partager ou intégrer le document

Options de partage

Avez-vous trouvé ce document utile ?

Ce contenu est-il inapproprié ?

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Devoir ' A La Maison N 9

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

MPSI 3 - Fermat Pour le 16.03.

au point 21 , et qu’elle change de signe en 12 . On suppose de plus que f (0) = f ( 12 ) = f (1) = 0.

B - Les polynômes de Bernoulli

D - Une méthode d’approximation des intégrales

où la valeur absolue du reste Rn0 est majorée par

avec M 0 = supx∈[0,1] |g (2n+2) (x)|.

Vous aimerez peut-être aussi