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    Calculs Usuels Et Sommation

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    CALCULS USUELS ET SOMMATION

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    Feuille Calculs usuels, sommations

    p
    3
    √ p3
    √
    1. Discuter et résoudre, suivant les valeurs du paramètre 9. Simplifier 5 2 + 7 − 5 2 − 7.
    m, les équations ou inéquations p √ p √
    10. Simplifier a + 2 a − 1 + a − 2 a − 1.
    (m + 1)x + 2 − m = 0 (1) 11. Soit ω 6= 1 tel que ω n = 1. Calculer
    m 1
    ≤ (2) n n−1
    x−1 x+2 X
    ωk ,
    X
    Cnk ω k ,
    √
    2x + m ≥ x+1 (3) k=0 k=0
    E( n
    2)
    2. Soit a et b deux nombres réels tels que 0 < a < b. On X
    An = (−1)k Cn2k ,
    considère plusieurs équations d’inconnue réelle x
    k=0
    √ √ √
    x = a−x+ b−x (4) E( n−1
    2 )
    X
    Bn = (−1)k Cn2k+1
    p
    3x − (a + b) = 2 (a − x)(b − x) (5)
    k=0
    a. Démontrer que toute solution de (1) est solution de n
    (2). 12. Montrer que ∀n ∈ N∗ , ∀(a1 , · · · , an ) ∈ [1, +∞[ ,
    b. Étudier la fonction 2n−1 (a1 a2 · · · an + 1) ≥ (a1 + 1) · · · (an + 1).
    √ √ √
    x→ x− a−x− b−x

    c. On se fixe b. Discuter, suivant les valeurs de a, de


    l’existence et du nombre de solutions de (1).
    3. Exprimer les sommes suivantes en fonction de n (n ≥ 2) :
    n
    X n
    X
    kCnk , (−1)k kCnk ,
    k=1 k=1
    X X
    kCnk , kCnk
    k pair ∈{0,··· ,n} k impair ∈{1,··· ,n}

    4. Démontrer, pour tous les entiers n non nuls


    X 1 n(n + 3)
    =
    k(k + 1)(k + 2) 4(n + 1)(n + 2)
    k∈{1,··· ,n}
    X k 1
    = 1−
    (k + 1)! (n + 1)!
    k∈{1,··· ,n}
    n
    2!4! · · · (2n)! ≥ ((n + 1)!)
    4n n 4n
    √ ≤ C2n ≤ 1.
    2 n n3
    Soit n et p deux entiers (0 ≤ n ≤ p). Montrer que
    p
    X
    n+1
    Ckn = Cp+1 .
    k=n

    5. Déterminer les réels m tels que l’équation

    (2m − 1)x2 + 2(m + 1)x + m + 3 = 0

    ait deux racines réelles inférieures ou égales à 1.


    √ √
    6. Résoudre dans R : 3 − x − x + 1 > 21 .
    7. Soit a, b, c des réels strictement positifs, montrer que
    1 1
    (a + b)( + ) ≥ 4
    a b
    (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc.
    r q r q
    8. Soit a = 3 3 + 9 + 12527 , b = 3
    −3 + 9 + 125
    27 ,

    d = a − b, p = ab. Exprimer a3 − b3 en fonction de d et


    de p. En déduire la valeur de d.

    Cette création est mise à disposition selon le Contrat 1 document produit par maquisdoc.net le 24 août 2009
    Paternité-Pas d’utilisation commerciale-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France
    disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/

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