DL1202 (1) Maths
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Devoir libre n◦ 02
à rendre le 12/10/2017
On note C([0, 1]), l’espace vectoriel des fonctions continues du segment [0, 1] dans R. Pour tout λ ∈ R+ , on note
ϕλ , l’élément de C([0, 1]) défini par
∀x ∈ [0, 1], ϕλ (x) = xλ .
Par convention, la fonction ϕ0 est la fonction constante égale à 1.
Soit (λk )k∈N , une suite de réels positifs et deux à deux distincts. On note W, le sous-espace vectoriel de C([0, 1])
engendré par la famille (ϕλk )k∈N .
Le but du problème est d’établir des critères de densité de l’espace W dans C([0, 1]) pour l’une ou l’autre des normes
classiques définies par
kfk∞ = sup |f(x)|
x∈[0,1]
et par
Z1 ! 21
kfk2 = |f(x)| dx
2
.
0
1. Démontrer que la famille (ϕλ )λ≥0 est une famille libre de l’espace vectoriel C([0, 1]).
Soit n ∈ N∗ . On considère deux familles (ak )1≤k≤n et (bk )1≤k≤n de réels tels que
∀1 ≤ i, j ≤ n, ai + bj 6= 0.
Q
n−1
(X − ak )
k=1
R= ∈ R(X).
Q
n
(X + bk )
k=1
alors
An Dn = R(an )Dn−1 .
On pourra considérer le déterminant obtenu à partir de Dn en remplaçant la dernière colonne par
R(a1 )
R(a2 )
.
..
.
R(an )
3. En déduire que Q
(aj − ai )(bj − bi )
1≤i<j≤n
Dn = Q .
(ai + bj )
1≤i,j≤n
Soit (E, k.k), un espace vectoriel normé. On rappelle que la distance d’un point x ∈ E à une partie non vide A ⊂ E
est le réel d(x, A) défini par
d(x, A) = inf kx − yk.
y∈A
B = {y ∈ E : ky − xk ≤ kxk}.
Démontrer que
d(x, A) = lim d(x, An ).
n→∞
d(x, V) = kx − yk.
Dans cette partie, E est un espace vectoriel réel de dimension finie, muni d’un produit scalaire (.|.) et de la norme
associée à ce produit scalaire.
8. Soit V, un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. Démontrer que, pour tout x ∈ E, le projeté orthogonal
de x sur V est l’unique élément y ∈ V tel que
d(x, V) = kx − yk.
Pour toute famille (x1 , ..., xn ) de vecteurs de E, on désigne par G(x1 , ..., xn ), le déterminant de la matrice de Gram
définie par
M(x1 , ..., xn ) = ((xi |xj ))1≤i,j≤n .
9. Démontrer que G(x1 , ..., xn ) = 0 si, et seulement si, la famille (x1 , ..., xn ) est liée.
10. On suppose que la famille (x1 , ..., xn ) est libre et on note V, le sous-espace vectoriel de E engendré par cette
famille. Démontrer que
2 G(x1 , ..., xn , x)
[d(x, V)] =
G(x1 , ..., xn )
pour tout x ∈ E.
15. En déduire qu’un sous-espace vectoriel V de C([0, 1]) est dense pour la norme k.k2 si, et seulement si,
2
∀m ∈ N, ϕm ∈ V .
(ϕλk )0≤k≤n .
16. Démontrer que le sous-espace vectoriel W est dense dans C([0, 1]) pour la norme k.k2 si, et seulement si,
λk + µ + 1 k∈N
tend vers 1 si, et seulement si, (λk )k∈N tend vers +∞.
On pourra étudier les variations de la fonction
µ−x
x 7→
x+µ+1
est divergente.
F IN DE L’ ÉPREUVE