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    Serie 4 Mni 20

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    Méthodes Numériques pour

    Ingénieurs
    Pr. B. Radi

    Série de TD n◦ 6
    Intégration numérique

    Exercice 1
    Soit Tn+1 la matrice (n + 1) × (n + 1) dénie par :
     
    1 t0 t20 · · · tn0
    1 t1 t21 · · · tn1 
     

    1 t2 t22 · · · tn2 
     
    Tn+1 =

    .. .. .. .. ..

    . . . . .
     
     
     
    1 tn t2n · · · tnn

    La matrice Tn+1 est appelée matrice de Vandermonde associé aux points


    t0 ,t1 ,t2 . . . tn .
    Montrer que : Y
    det Tn+1 = (tj − ti )
    0≤i≤j≤n

    Exercice 2
    Utiliser la méthode de Newton-Cotes pour :
    1. retrouver la méthode des trapèzes
    2. retrouver la méthode de Simpson.
    Exercice 3
    1. Utiliser la méthode des trapèzes avec n = 5 pour calculer une valeur
    approchée de l'intégrale Z 2 1
    I= dx
    1 x
    2. Calculer par la méthode de Simpson avec n = 10 une valeur approchée
    de I .

    1
    Exercice 4
    1. Déterminer les trois constantes a, b et k de façon que la formule de
    quadrature (1) soit exacte sur l'espace des polynômes de degré le plus
    élevé possible Z 1
    f (x)dx ≈ k(f (a) + f (b)) (1)
    −1

    2. Préciser l'ordre de la méthode.


    2
    Z 1 e−x
    3. Donner une valeur approchée par la formule (1) de l'intégrale dx.
    −1 1 + x2
    Exercice 5
    Soit 0 < α ≤ 1 un nombre réel donné, soit x1 = −α, x2 = 0, x3 = α et soit
    ω1 , ω2 , ω3 , trois nombres réels. Nous considérons la formule de quadrature
    dénie par
    3
    X
    J(f ) = ωj f (xj )
    j=1

    où f est une fonction continue donnée sur [−1,1].

    1. Trouver ω1 , ω2 , ω3 en fonction de α de sorte que J(p) = −1


    1
    p(t)dt, pour
    R

    tout polynôme p de degré 2.


    2. Montrer qu'avec de tels poids J(p) = −1 p(t)dt, pour tout polynôme p
    R1

    de degré 3.
    3. Existe t-il α tel que la formule de quadrature soit exacte pour les po-
    lynômes de degré ≤ 5 ?

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