Td5 HJHKHKHKKHKHKHKHHKHKHKKH

Université de Monastir Année universitaire : 2015/2016
IPEIM Sections : P.C.1-T.1

Département de Mathématiques Matière : Algèbre
?????
T.D. N˚5 : Polynômes et fractions rationnelles.
Exercice 1.
Déterminer tous les polynômes vérifiant les équations suivantes :
1. (P 0 )2 = 4P .
2. P ◦ P = P .
3. P (X 2 ) = (X 2 + 1)P (X).
4. (X − 16)P (2X) = 16(X − 1)P (X).
Exercice 2.
On considère la suite de polynômes (Pn )n∈N dans R[X] définie par :

 P0 = 1
1
 Pn+1 = 2XPn − (1 + X 2 )Pn0
n+1
où Pn0 désigne le polynôme dérivé de Pn .
1. (a) Calculer P1 et P2 .
(b) Montrer que ∀n ∈ N, deg(Pn ) 6 n.
n+2
(c) On note an le coefficient de X n dans Pn . Montrer que ∀n ∈ N, an+1 = an .
n+1
(d) En déduire que an = n + 1. Que dire alors du degré de Pn ?
2. (a) Montrer que ∀n ∈ N, Pn (−X) = (−1)n Pn (X). Que dire alors de la parité de Pn ?
0
(b) Montrer que ∀n ∈ N, Pn+1 = (n + 2)Pn .
(c) Montrer que ∀n ∈ N, P2n+1 (0) = 0 et P2n (0) = (−1)n .
Exercice 3.
Dans chacun des cas suivants, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne
de A par B.
1. A = X 4 + 5X 3 + 12X 2 + 19X − 7 et B = X 2 + 3X − 1.
2. A = X 5 − X 2 + 2 et B = X 2 + 1.
3. A = X 3 + iX 2 − X et B = X − 1 + i.
1
Exercice 4.
1. Justifier les divisibilités suivantes :
(a) ∀n ∈ N, X 2 /(X + 1)n − nX − 1
(b) ∀n ∈ N∗ , (X − 1)3 /nX n+2 − (n + 2)X n+1 + (n + 2)X − n
2. Soit n ∈ N∗ . Déterminer la multiplicité de la racine 1 dans le polynôme suivant :
Pn = X 2n+1 − (2n + 1)X n+1 + (2n + 1)X n − 1.
Exercice 5.
1. En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur
(λ, µ) ∈ R 2 pour que X 2 + 2 divise X 4 + X 3 + λX 2 + µX + 2.
2. Soit K = R ou C. Pour a ∈ K et P ∈ K[X], exprimer le reste de la division euclidienne
de P par (X − a)2 en fonction de a, P (a) et P 0 (a).
3. Soit n ∈ N∗ . Déterminer le reste de la division euclidienne de :
(a) X n par (X − 1)(X − 2) et par (X − 1)2 .
n
(b) X sin θ + cos θ par X 2 + 1, où θ ∈ R.
4. Pour quelles valeurs de n ∈ N∗ , le polynôme (X +1)n −X n −1 est divisible par X 2 +X +1 ?
Exercice 6.
Soit P = X 7 − 3X 6 + 4X 4 − 4X 3 + 3X − 1.
1. Vérifier que 1 et −1 sont des racines de P. Préciser les multiplicités respectives m et n
de 1 et −1.
2. En déduire que P s’écrit sous la forme : P = (X − 1)m (X + 1)n P1 , où P1 est un polynôme
vérifiant P1 (1) 6= 0 et P1 (−1) 6= 0 à déterminer.
1
3. Vérifier que, pour tout z ∈ C∗ , on a : P1 (z) = 0 ⇐⇒ Z = z + est une racine d’une
z
équation de degré 2 à préciser.
4. En déduire la factorisation de P en produit de facteurs irréductibles dans C[X].
Exercice 7.
1. Factoriser X 8 + X 4 + 1 dans R[X] puis dans C[X].
2. Soit n ∈ N∗ .
(a) Factoriser X n − 1 dans C[X].
n−1
Y kπ n
(b) En déduire que sin = n−1 .
k=1
n 2
2
Exercice 8.
1. Décomposer ces fractions rationnelles en partie entière et partie polaire puis donner une
décomposition de la partie polaire :
X5 + X4 − X2 + 1 X 4 + 5X 3 + 6X 2 − 3X − 6
F1 = ; F2 = .
X4 + X3 − X − 1 (X + 1)(X + 2)(X + 3)
2. Décomposer en éléments simples dans C(X), puis dans R(X) les fractions rationnelles
suivantes :
X 1 4 3X − 1
H1 = ; H2 = ; H3 = ; H4 = .
(X − 1)3 (X − 2) X(X 2 + 1) 2 X(X + 1)2 X 2 (X 2 + 1)2
3. (a) Décomposer dans R[X] le polynôme X 4 +X 2 +1 en produit de facteurs irréductibles.

(b) En déduire la décomposition en éléments simples dans R(X) puis dans C(X) de la
X
fraction rationnelle suivante : F = 4 .
X + X2 + 1
1
4. (a) En utilisant la décomposition de , décomposer dans R(X) la fraction :
X(X + 1)
1
H= .
X 3 (1 + X 3)
(b) Soit n > 1. Trouver les valeurs des sommes suivantes :

n n
X 1 X 1
Sn = et Tn = .
k=1
k(k + 1) k=1
k(k + 1)(k + 2)
Exercice 9.
1
1. Décomposer en éléments simples dans C(X) la fraction Fn = pour n > 1.
Xn −1
1
2. Décomposer en éléments simples dans C(X) puis dans R(X) la fraction Gn =
X 2n −1
pour n > 1.
X n−1
3. Soit n ∈ N∗ . Décomposer en éléments simples dans C(X) la fraction Hn = .
Xn − 1
Exercice 10.
1
1. Soit F = ∈ C(X).
X2+1
(a) Décomposer F en éléments simples dans C(X).
Pn
(b) Montrer qu’il existe Pn ∈ Rn [X] tel que F (n) = .
+ 1)n+1 (X 2
(X + i)n+1 − (X − i)n+1
2. En déduire que, pour tout entier n ∈ N, on a : ∈ Rn [X].
2i

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T.D. N˚5 : Polynômes et fractions rationnelles.

Pn = X 2n+1 − (2n + 1)X n+1 + (2n + 1)X n − 1.

3. (a) Décomposer dans R[X] le polynôme X 4 +X 2 +1 en produit de facteurs irréductibles.

(b) Soit n > 1. Trouver les valeurs des sommes suivantes :

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