B Oscillateurs Et Ondes

Physique 1reBC
OSCILLATIONS, ONDES ET LUMIÈRE

1 OSCILLATIONS
1.1 DÉFINITIONS
OSCILLATEUR
Un oscillateur mécanique est un système mécanique qui effectue un mouvement d’aller-retour de part
et d’autre de sa position d’équilibre.
Une oscillation est un aller-retour autour de la position d’équilibre.
EXEMPLES
Mouvement des marées, battements du cœur, ...
OSCILLATEUR LIBRE
Un oscillateur est libre si après excitation extérieure il est abandonné à lui-même, c’est-à-dire, si après
l’avoir mis en mouvement on le laisse osciller tout seul.
EXEMPLES
Pendule simple, pendule élastique, ...
OSCILLATEUR FORCÉ
Un oscillateur est forcé s’il est excité par un dispositif extérieur imposant le rythme d’oscillation.
EXEMPLES
Haut-parleurs, pendule d’une horloge, piston d’un moteur.
OSCILLATEUR HARMONIQUE
Un oscillateur est harmonique si son abscisse par rapport à sa position d’équilibre est une fonction
sinusoïdale du temps. Dans ce cas on peut décrire l’évolution de l’abscisse par une fonction du type
𝑥 = 𝑋0 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑).
EXEMPLES
Pendule élastique sans frottement.
Oscillations Physique 1reBC
OSCILLATEUR AMORTI
Un oscillateur est amorti si ses oscillations s’affaiblissent au cours du temps.
EXEMPLES
Tout pendule libre réel ; mouvement d’une corde de piano, diapason.
PÉRIODE, FRÉQUENCE ET PULSATION
La période propre T0 d’un oscillateur mécanique libre est le temps d’une oscillation complète.
Sa fréquence propre f0 représente le nombre d’oscillations complètes effectuées en 1 seconde.
1
On en déduit : f0 = T avec 𝑓0 en hertz (𝐻𝑧) et 𝑇0 en secondes (𝑠)
0
L’amplitude X 0 est la distance maximale par rapport à sa position d’équilibre.
Pour un oscillateur harmonique, l’abscisse suit une fonction sinusoïdale du type : 𝑥 = 𝑋0 cos(𝜔0 𝑡 +
𝜑)
2π
La pulsation propre ω0 = T0
= 2πf0 de l’oscillateur s’exprime en 𝑠 −1 .
La période de la fonction cosinus cos(𝑥) est 2𝜋 : pour que 𝑥 retrouve la même valeur, il faut que x augmente de
2𝜋.
De manière analogue, il faut que 𝜔𝑡 augmente de 2𝜋 pour retrouver la même valeur cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑), or 𝑇0 est la
période du mouvement, donc : 𝜔0 𝑇0 = 2𝜋.
2𝜋
𝜔0 = = 2𝜋𝑓0
𝑇0
La phase initiale d’un oscillateur φ représente la valeur la phase en t= 0, c’est-à-dire, la valeur de

l’argument de la fonction cosinus en 𝑡 = 0
2
Oscillateurs mécaniques Physique 1reBC
2 OSCILLATEURS MÉCANIQUES
2.1.1 OSCILLATIONS LIBRES D’UN PENDULE ÉLASTIQUE HORIZONTAL
D ESCRIPTION
Un solide, de masse 𝑚 et de centre d’inertie 𝐺, peut glisser sans frottements le long d’un rail à
coussin d’air. Il est fixé à l’une des extrémités d’un ressort de raideur 𝑘.
Lorsqu’on n’exerce aucune force sur le solide, le système prend sa position d’équilibre telle que le
ressort ne soit pas tendu ; le centre d’inertie 𝐺 coïncide alors avec le point 𝑂 de la tige (Figure 1).
Figure 1 - Position d’équilibre : le ressort n’est pas tendu
On écarte le solide vers la droite et on le lâche. Le centre d’inertie 𝐺 se met à osciller autour du point
𝑂 : c’est un oscillateur mécanique. L’abscisse du centre d’inertie 𝐺 est 𝑥 sur l’axe horizontale 𝑂𝑥 :
cela revient à dire que l’allongement du ressort vaut également 𝑥 (Figure 2).
Figure 2 - en mouvement : allongement de longueur x du ressort
É QUATION DIFFÉRENTIELLE DU MOUVEMENT
On peut établir l’équation différentielle du mouvement par deux approches différentes suivantes, le
principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) où la conservation de l’énergie.
PRINCIPE FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE
BILAN DES FORCES :
• Le poids 𝑃⃗ = 𝑚 𝑔
3
• La réaction du support 𝑅⃗ = −𝑃⃗

• La force élastique 𝐹 exercée par le ressort sur le solide avec 𝐹𝑥 = −𝑘 ⋅ 𝑥
• Les frottements sont négligeables
P R I N C I P E F O N D A M E N T A L D E L A D Y N A M I Q U E (2 E L O I D E N E W T O N )
∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚 ⋅ 𝑎
𝑃⃗ + 𝑅⃗ + 𝐹 = 𝑚 ⋅ 𝑎
𝐹 =𝑚⋅𝑎
En projetant sur l’axe 𝑂𝑥 :
𝐹𝑥 = 𝑚 ⋅ 𝑎𝑥
−𝑘 𝑥 = 𝑚 𝑥̈
k
ẍ = − x
m
CONSERVATION DE L’ÉNERGIE
Le solide se propageant sur un rail horizontal sans frottement, les seules deux énergies qui
1 1
interviennent sont l’énergie cinétique 𝐸𝑐 = 𝑚𝑣 2 et l’énergie potentielle élastique 𝐸𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡 = 𝑘𝑥 2
2 2
La conservation de l’énergie s’écrit :
𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡 = 𝑐 𝑡𝑒
1 1
𝐸 = 𝑚𝑣 2 + 𝑘𝑥 2 = 𝑐 𝑡𝑒
2 2
En dérivant par rapport au temps 𝑡 :

(on rappelle que la vitesse et la position sont des fonctions du temps et par conséquent (𝑣 2̇ ) = 2𝑣̇ 𝑣 et (𝑥 2̇ ) = 2𝑥̇ 𝑥)
𝐸̇ = 0
1 1
𝑚2𝑣̇ 𝑣 + 𝑘2𝑥̇ 𝑥 = 0
2 2
𝑚𝑣𝑣̇ + 𝑘𝑥𝑥̇ = 0
𝑚𝑥̇ 𝑥̈ + 𝑘𝑥𝑥̇ = 0
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0
𝑚𝑥̈ = −𝑘𝑥
k
ẍ = − x
m
S OLUTION DE L ’ ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
Expérimentalement on constate que la position du centre d’inertie G suit une loi sinusoïdale du type :
𝑥 = 𝑋0 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑)
4
où :
• 𝑋0 est l’amplitude c’est-à-dire la distance maximale par rapport à sa position d’équilibre
• 𝜔0 est la pulsation propre de l’oscillateur
• 𝜑 est la phase initiale d’un oscillateur
𝑘
Vérifions que cette équation est une solution de l’équation différentielle 𝑥̈ = − 𝑚 𝑥.
Dérivons une première fois par rapport au temps 𝑡 :
𝑥̇ = −𝜔0 𝑋0 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)
Dérivons une deuxième fois par rapport au temps 𝑡 :
𝑥̈ = −𝜔02 𝑋0 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = −𝜔02 𝑥
Finalement
𝑘
𝑥̈ = −𝜔02 𝑥 = − 𝑥
𝑚
Dans ces conditions, le mouvement de 𝐺 est sinusoïdal, de pulsation propre 𝜔0 telle que :
k
ω0 = √
m
P ÉRIODE PROPRE ET FRÉQUENCE PROPRE
La période propre T0 de l’oscillateur élastique horizontal s’obtient à partir de sa pulsation propre :
2π m
T0 = = 2π√
ω0 k
La fréquence propre f0 de l’oscillateur élastique horizontal s’obtient à partir de sa pulsation propre :
ω0 1 k
f0 = = √
2π 2π m
Le pendule élastique horizontal constitue un oscillateur harmonique ; sa période propre 𝑇0 et sa

fréquence propre 𝑓0 dépendent de la masse 𝑚 du solide en oscillation et de la raideur 𝑘 du
ressort, mais elles sont indépendantes de l’amplitude 𝑋0 des oscillations.
V ITESSE
Le mouvement d’un pendule élastique horizontal ne s’effectuant que le long de l’axe 𝑂𝑥 (Figure 1 et
Figure 2), il suffit de tenir compte de la composante 𝑣𝑥 = 𝑥̇ du vecteur vitesse 𝑣 :
𝑣𝑥 = −𝑉0 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)
avec 𝑉0 = 𝜔0 𝑋0
5
A CCÉLÉRATION
Le mouvement d’un pendule élastique horizontal ne s’effectuant que le long de l’axe 𝑂𝑥 (Figure 1 et
Figure 2), il suffit de tenir compte de la composante 𝑎𝑥 = 𝑥̈ du vecteur vitesse 𝑎 :
𝑎𝑥 = −𝜔02 𝑋0 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = −𝜔02 𝑥
C ONDITIONS INITIALES
À partir des conditions initiales on peut déterminer l’amplitude 𝑋0 et la phase initiale φ en 𝑡 = 0 :

𝑥(𝑡 = 0) = 𝑋0 cos 𝜑 et 𝑣𝑥 (𝑡 = 0) = −𝜔0 𝑋0 sin 𝜑.
On se limitera aux cas particuliers où en 𝑡 = 0 soit 𝑣𝑥 = 0, soit 𝑥 = 0.
P O S I T I O N I N I T I A L E E X T R É M A L E E T V I T E S SE I NI T I AL E NU L L E :
En 𝑡 = 0 : 𝑥 = ±𝑋0 et 𝑣𝑥 = 0
𝜑=0
De 𝑣𝑥 = 0 ⟹ −𝜔0 𝑋0 sin 𝜑 = 0 ⟹ { ou
𝜑=𝜋
Si 𝜑 = 0 ⟹ cos 𝜑 = cos 0 = 1 ⟹ 𝑥 = 𝑋0
Si 𝜑 = 𝜋 ⟹ cos 𝜑 = cos 𝜋 = −1 ⟹ 𝑥 = −𝑋0
P O S I T I O N I N I T I A L E N U L L E E T V I T E S S E I N I T I AL E E X T R É M AL E :
En 𝑡 = 0 : 𝑥 = 0 et 𝑣𝑥 = ±𝑉0
𝜋
sin 𝜑 = −1 ⟹ 𝜑 = − 2
De 𝑣𝑥 = 𝑉0 ⟹ −𝜔0 𝑋0 sin 𝜑 = 𝑉0 ⟹ { et
𝑉
𝜔0 𝑋0 = 𝑉0 ⟹ 𝑋0 = 0
𝜔0
𝜋
sin 𝜑 = 1 ⟹ 𝜑 = 2
De 𝑣𝑥 = −𝑉0 ⟹ −𝜔0 𝑋0 sin 𝜑 = −𝑉0 ⟹ { et
𝑉
𝜔0 𝑋0 = 𝑉0 ⟹ 𝑋0 = 𝜔0
0
6
R EPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE LA POSITION , DE LA VITESSE ET DE L ’ ACCÉLÉRATION
Considérons le solide lancé à partir de 𝑥 = 𝑋0 et 𝜑 = 0. À l’instant 𝑡 la position est donné par

𝑥 = 𝑋0 cos(𝜔0 𝑡) , la vitesse par 𝑣𝑥 = −𝑉0 sin(𝜔𝑡) avec 𝑉0 = 𝜔0 𝑋0 et l’accélération par 𝑎𝑥 =
− 𝐴0 cos(𝜔0 𝑡) avec 𝐴0 = 𝜔02 𝑋0
Figure 3 - Représentation graphique de la position, la vitesse et l’accélération
2.1.2 OSCILLATEUR AMORTI – PENDULE HORIZONTAL AVEC FROTTEMENTS
L’amplitude 𝑋0 diminue au cours du temps à

cause des frottements.
L’énergie mécanique diminue au cours du temps

et se transforme en énergie calorifique.
L’amplitude diminue à chaque oscillation,

l’oscillateur n’est donc pas périodique. Toutefois
la régularité des passages par la position
d’équilibre persiste caractérisé par la pseudo-
Figure 4 - Oscillation amortie
période 𝑇.
7
2.1.3 OSCILLATIONS FORCÉES - RÉSONANCE
É TUDE EXPÉRIMENTALE
Afin d’étudier des oscillations forcées, on relie

le système solide-ressort à un moteur
électrique qui sert d’excitateur externe (Figure
5).
On fait varier la fréquence 𝑓 de rotation du
moteur de part et d’autre de la fréquence
propre 𝑓0 de l’oscillateur et étudier
l’évolution de l’amplitude des oscillations du
solide.
On mesure et représente la variation de

l’amplitude 𝐴 des oscillations en fonction de
la fréquence.
OBSERVATIONS : Figure 5 - Résonance
• L’amplitude 𝑋0 dépend de la
fréquence de l’excitateur et
de l’intensité de
l’amortissement.
• L’amplitude 𝑋0 passe par un
maximum : c’est la résonance.
La fréquence de résonance 𝑓𝑟
est presque égale à la
fréquence propre 𝑓0 du
résonateur. Figure 6 - courbes de réponse du résonateur
• Lorsque l’intensité des frottements est faible, l’amortissement faible, la résonance est aiguë la
courbe est pointue
• Lorsque l’intensité des frottements est fort, l’amortissement est important, la résonance est
floue, la courbe est aplatie
• Lorsque l’amortissement est faible et 𝑓 ≈ 𝑓0 , on peut avoir 𝑋0 → ∞ (catastrophe de
résonance)
• Lorsque l’amortissement est important la fréquence de résonance 𝑓𝑅 est légèrement
inférieur à 𝑓0
8
E XEMPLES DE RÉSONANCES MÉCANIQUES
Le phénomène de résonance peut être utile ou destructif, comme le montrent les exemples suivants :
• La suspension d’une automobile peut être modélisée

par un ressort vertical fixé entre le châssis et l’axe, ce
qui constitue un oscillateur. Il arrivait, sur les
modèles anciens, que pour certaines vitesses et
certaines irrégularités dans la chaussée, l’oscillateur
entre en résonance. Cela se traduisait par une forte
augmentation de l’amplitude verticale du
mouvement de la caisse et pouvait présenter des dangers : les roues décollaient de la route et
perdaient toute adhérence. Afin de limiter cet effet, on ajoute des amortisseurs, généralement
à huile, qui permettent de diminuer l’amplitude du mouvement en cas de résonance.
• Le pont de Tacoma aux États-Unis s’effondra
en 1940 après être entré en résonance sous
l’action de bourrasques de vent périodiques
jouant le rôle d’excitateur. Les tabliers des
ponts actuels sont tous liés au sol par
l’intermédiaire d’amortisseurs qui
permettent de limiter le phénomène de
résonance.
• La d’une guitare permet de renforcer les sons produits par la vibration des
cordes. Les cordes jouent le rôle de l’excitateur, la caisse de résonance
celui du résonateur.
9
Ondes et Lumière Physique 1reBC
3 ONDES ET LUMIÈRE
3.1 PROPAGATION D’UNE ONDE MÉCANIQUE
3.1.1 SIGNAL ET ONDE
Un signal mécanique est une déformation de courte durée d’un milieu élastique. Cette déformation
ne reste pas localisée à l’endroit où elle est produite, mais elle se déplace dans le milieu élastique : elle
se propage. Après le passage du signal le milieu reprend son état initial.
Le point de départ du signal est la source 𝑆 ; la direction et le sens dans lesquels le signal se déplace
constituent la direction et le sens de propagation.
Selon le sens de la déformation du milieu on distingue entre signaux longitudinal et transversaux.
Figure 7 - Signal transversal en différents instants Figure 8 - Signal longitudinal en différents instants
Si, lors du passage de la déformation, les différents points du milieu se déplacent

perpendiculairement à la direction de propagation, la déformation est un signal
transversal.
Si, lors du passage de la déformation, les différents points du milieu se déplacent dans la
direction de propagation, la déformation est un signal longitudinal.
Une onde est une série de signaux qui se suivent à des intervalles de temps réguliers ; elle
peut être transversale ou longitudinale.
10
3.1.2 CÉLÉRITÉ
On appelle célérité 𝑐 la vitesse de propagation d’un signal ou d’une onde.
PROPRIÉTÉS :
• La célérité 𝑐 ne dépend pas de la forme du signal.

• Dans un milieu homogène donné la célérité 𝑐 est constante.
• Pour atteindre le point 𝑀, l’onde met un temps Δ𝑡 tel
que 𝑂𝑀 = 𝑐 Δ𝑡. Le point 𝑀 reproduit le mouvement de
𝑂𝑀
la source avec un retard : 𝛥𝑡 = c’est-à-dire le
𝑐
mouvement de 𝑀 à l’instant 𝑡 est identique au Figure 9 - célérité d’un signal
mouvement de 𝑆 à l’instant 𝑡 − Δ𝑡.
• Dans un milieu homogène à 2 ou à 3 dimensions, la célérité 𝑐
est la même dans toutes les directions (Figure 10).
• La célérité 𝑐 dépend de la nature et de l’état du milieu de
propagation (voir tableau ci-dessous).
• Le long d’une corde tendue, la célérité 𝑐 augmente avec la
tension 𝐹𝑇 de la corde et diminue avec la masse linéaire μ (ou
masse linéique : masse par unité de longueur) suivant la
𝐹
relation : 𝑐 = √ 𝜇𝑇
Figure 10 - célérité 2D
Signal Milieu de propagation 𝒄 (m/s)

son air 0°C 330,7
air 20°C 342,6
air 40°C 354,1
eau de mer 15°C 1500
acier 5000
hydrogène 20°C 1300
lumière vide 3·108
eau 2,25·108
verre ordinaire 2·108
3.1.3 PROPAGATION D’UNE ONDE SINUSOÏDALE LE LONG D’UNE CORDE
O BSERVATION STROBOSCOPIQUE
Si la fréquence des éclairs est égale à la fréquence de l’oscillateur, alors entre deux éclairs successifs l’oscillateur fait
exactement une oscillation ; à chaque éclair on l’observe exactement dans la même position : on observe un repos apparent.
Si la fréquence des éclairs est égale à un sous-multiple de la fréquence de l’oscillateur, alors entre deux éclairs successifs
l’oscillateur fait un nombre entier d’oscillations ; à chaque éclair il se retrouve dans la même position : on observe un repos
apparent.
11
Si la fréquence des éclairs est légèrement inférieure à la fréquence de l’oscillateur, alors entre deux éclairs successifs
l’oscillateur fait un peu plus d’une oscillation : on observe un mouvement ralenti apparent.
L ONGUEUR D ’ ONDE
Nous considérons une source 𝑆 dont le mouvement est sinusoïdal de période 𝑇.
Pour comprendre comment la corde se déforme progressivement, il est commode de la représenter à

différentes dates :
• 𝑡 = 0 : la source commence son mouvement ;
Figure 11 - Propagation du signal en 𝑡 = 0

𝑇
• 𝑡 = 4 : la source a fait un quart d’oscillation ; le front d’onde atteint le point 𝑀1 , tel que
𝑇
𝑂𝑀1 = 𝑐 ⋅ 4 ;
𝑇
Figure 12 - Propagation du signal en 𝑡 =
4
2𝑇 𝑇
• 𝑡= = : la source a fait une demi-oscillation ; le front d’onde atteint le point 𝑀2 , tel que
4 2
𝑇
𝑂𝑀2 = 𝑐 ⋅ 2 ;
𝑇
2
3𝑇
• 𝑡= 4
: la source a fait trois quarts d’oscillation ; le front d’onde atteint le point 𝑀3 , tel que
3𝑇
𝑂𝑀3 = 𝑐 ⋅ 4
;
3𝑇
4
12
4𝑇
• 𝑡= 4
= 𝑇 : la source a effectué une oscillation complète ; la déformation atteint une
longueur de corde qu’on appelle longueur d’onde : 𝜆 = 𝑐 ⋅ 𝑇 ;
Figure 15 - Propagation du signal en 𝑡 = 𝑇
• 𝑡 = 2𝑇 : la source a effectué deux oscillations complètes ; la déformation atteint une longueur

de corde 2𝜆 = 𝑐 ⋅ 2𝑇 = 2 𝑐 ⋅ 𝑇.
Figure 16 - Propagation du signal en 𝑡 = 2𝑇
La longueur d’onde 𝜆 est la distance parcourue par l’onde en une période 𝑇 . La

longueur d’onde dépend à la fois de la période 𝑇, donc de la source, et de la célérité 𝑐,
donc du milieu de propagation.
𝝀=𝒄⋅𝑻
La fréquence 𝑓 = 1/𝑇 de la source permet d’écrire l’expression de la longueur d’onde :

𝑐
𝜆 =
𝑓
3.1.4 DOUBLE PÉRIODICITÉ DU PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION
P ÉRIODICITÉ TEMPORELLE
Un point 𝑀 donné du milieu exécute, comme la source, une vibration sinusoïdale qui se
reproduit identiquement à elle-même après le temps 𝑇 : 𝑇 est la période dans le temps.
La sinusoïde qui représente les variations de l’élongation d’un point en fonction du temps est appelée
sinusoïde des temps. Elle est représentée dans le repère (𝑂𝑡𝑦) :
13
• La projection du point 𝑆 sur 𝑂𝑦 est appelée élongation de la source 𝑆 et est notée 𝑦𝑆 .
Figure 17 - yS(t)
• La projection du point 𝑀 sur 𝑂𝑦 est appelée élongation du point 𝑀 et est notée 𝑦𝑀 . La

sinusoïde des temps du point 𝑀 d’abscisse 𝑥 se déduit de la sinusoïde des temps de la
𝑥
source par une translation Δ𝑡 = 𝑐 le long de l’axe des temps.
Figure 18 - yM(t)=yS(t+x/c)
P ÉRIODICITÉ DANS L ’ ESPACE
À un instant 𝑡 donné on retrouve le même état vibratoire le long de la corde à une distance
égale à la longueur d’onde 𝜆 : 𝜆 est la période dans l’espace.
La sinusoïde qui représente les variations de l’élongation dans l’espace, à un instant donné, est
appelée sinusoïde des espaces. Elle se confond avec l’image qu’on obtiendrait en photographiant la
corde à l’instant t considéré. Elle est représentée dans le repère (𝑂𝑥𝑦).
La sinusoïde des espaces progresse au cours du temps, avec une vitesse 𝑐 égale à la célérité : la
vibration de la source engendre dans le milieu une onde progressive.
14
Figure 19 - Sinusoïdes des espaces
E N PHASE ET EN OPPOSITION DE PHASE
Deux points 𝑀 et 𝑁 de la corde, séparés des distances 𝜆, 2𝜆, …, 𝑛𝜆 (𝑛 ∈ ℤ), ont à tout
instant même élongation : ils vibrent en phase.
𝜆
𝛥𝑥 = 𝑥𝑁 − 𝑥𝑀 = 𝑛𝜆 = 2𝑛
2
La longueur d’onde 𝜆 représente donc aussi la distance entre 2 points voisins qui vibrent en phase,
en particulier la distance entre 2 crêtes voisines.
𝜆 𝜆 𝜆
Deux points 𝑀 et 𝑃 de la corde, séparés des distances 2, 3 2, …, (2𝑛 + 1) 2 (𝑛 ∈ ℤ),
ont à tout instant des élongations opposées : ils vibrent en opposition de phase.
𝜆
𝛥𝑥 = 𝑥𝑃 − 𝑥𝑀 = (2𝑛 + 1)
2
15
3.1.5 ÉQUATION D’ONDE
É QUATION HORAIRE D ’ UN POINT QUELCONQUE
L’équation horaire de la source 𝑆 peut s’écrire sous la forme :
yS(t) = Y0 sin(ωt + φ)
• 𝑦𝑆(𝑡) est l’élongation de la source 𝑆 à l’instant 𝑡,

• 𝑌0 est l’amplitude de la source
• 𝜔 est la pulsation de la source
• 𝜑 est la phase initiale de la source déterminée par la position de la source en 𝑡 = 0.
2𝜋
La période 𝑇 et la pulsation 𝜔 sont reliées par la relation : 𝜔 = .
𝑇
On suppose que la propagation se fait sans amortissement dans le sens des 𝑥 positifs. Pour atteindre
le point 𝑀 situé à la distance 𝑥 de la source 𝑆, l’onde met le temps :
𝑥
𝛥𝑡 =
𝑐
Figure 20 – Retard de l’élongation de M sur S
L’élongation 𝑦𝑀 du point 𝑀(𝑥) à l’instant 𝑡 est la même que l’élongation 𝑦𝑆 de la source 𝑆(𝑥 =
0) à l’instant antérieure 𝑡 − 𝛥𝑡 :
𝑦𝑀(𝑡) = 𝑦𝑆 (𝑡 − Δ𝑡)
= 𝑌0 sin[𝜔(𝑡 − 𝛥𝑡) + 𝜑]
𝑥
= 𝑌0 sin [𝜔 (𝑡 − ) + 𝜑]
𝑐
2𝜋 𝑥
= 𝑌0 sin [ (𝑡 − ) + 𝜑]
𝑇 𝑐
16
𝑡 𝑥
= 𝑌0 sin [2𝜋 ( − ) + 𝜑]
𝑇 𝑐𝑇
𝑡 𝑥
𝑦𝑀(𝑡) = 𝑌0 sin [2𝜋 ( − ) + 𝜑]
𝑇 𝜆
Tous les points ont même amplitude et même pulsation que la source, mais ils n’effectuent pas le
même mouvement en même temps.
L’équation de l’onde progressive en fonction des variables 𝑥 et 𝑡 s’écrit :
𝑡 𝑥
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑌0 sin [2𝜋 ( − ) + 𝜑]
𝑇 𝜆
D OUBLE PÉRIODICITÉ ET ÉQUATION D ’ ONDE

𝑡 𝑥
L’élongation 𝑦𝑀 reprend la même valeur chaque fois que l’argument 2𝜋 (𝑇 − 𝜆 ) change d’un
multiple entier de 2𝜋.
Pour trouver la période temporelle il faut déterminer la variation 𝑡’ de 𝑡 pour qu’en un point 𝑀(𝑥)
donné, l’angle varie de 2𝜋.
𝑡 + 𝑡′ 𝑥 𝑡 𝑥
2𝜋 ( − ) = 2𝜋 ( − ) + 2𝜋
𝑇 𝜆 𝑇 𝜆
′
(𝑡 + 𝑡 ) 𝑥 𝑡 𝑥
− = − +1
𝑇 𝜆 𝑇 𝜆
𝑡 𝑡′ 𝑡
+ = +1
𝑇 𝑇 𝑇
𝑡 + 𝑡′ = 𝑡 + 𝑇
𝑡′ = 𝑇
𝑇 est la période temporelle.
Pour trouver la période spatiale il faut déterminer la variation 𝑥’ de 𝑥 pour qu’en un point 𝑀(𝑥)
donné, l’argument varie de 2𝜋.
𝑡 𝑥 + 𝑥′ 𝑡 𝑥
2𝜋 ( − ) = 2𝜋 ( − ) + 2𝜋
𝑇 𝜆 𝑇 𝜆
𝑡 𝑥 + 𝑥′ 𝑡 𝑥
− = − +1
𝑇 𝜆 𝑇 𝜆
𝑥 𝑥′ 𝑥
+ = −1
𝜆 𝜆 𝜆
𝑥 + 𝑥′ = 𝑥 − 𝜆
𝑥 ′ = −𝜆
𝜆 est la période spatiale.
17
3.2 INTERFÉRENCES MÉCANIQUES
3.2.1 CONDITIONS D’INTERFÉRENCES
L’interférence est un phénomène qui résulte de la superposition de deux ondes.

Les sources émettrices de ces ondes doivent être cohérentes, c’est-à-dire, les ondes doivent
• être de même nature ;
• avoir même fréquence et même amplitude ;
• présenter l’une sur l’autre un déphasage constant.
CAS PARTICULIER :
Si le déphasage entre les deux sources est nul, donc si les sources sont en phase, on dit que les sources
sont synchrones.
3.2.2 SUPERPOSITION DE PETITS MOUVEMENTS
Quand deux signaux se rencontrent, ils se croisent sans se gêner ; leur propagation et leur forme ne
sont pas modifiées après le croisement.
Figure 22 - Signaux de même signe Figure 22 - Signaux de signes opposés
Pendant le croisement l’élongation résultante est donnée par la règle de superposition des petits
mouvements :
Lorsque deux signaux colinéaires de faible amplitude se superposent en un point M, l’élongation

résultante y est égale à la somme algébrique des élongations y1 et y2 que provoqueraient en
M les deux signaux en se propageant seuls :
y = y1 + y2
Les deux signaux peuvent ainsi se renforcer lors de leur croisement ou bien se détruire.
18
3.2.3 INTERFÉRENCES DANS UN MILIEU À UNE DIMENSION
R ÉFLEXION D ’ UN SIGNAL À L ’ EXTRÉMITÉ DU MILIEU
Lors de la réflexion sur une extrémité fixe, l’élongation change de signe.
Figure 23 - Extrémité fixe
La réflexion à l’extrémité libre se fait sans changement de signe.
Figure 24 - Extrémité libre
E XPÉRIENCE DE M ELDE
ÉTUDE EXPÉRIMENTALE
EXPÉRIENCE
Un vibreur anime l’extrémité 𝑆 d’une corde tendue d’un mouvement vibratoire sinusoïdal.
Figure 25 - Dispositif expérimental
À l’extrémité 𝐸, au contact de la poulie, une onde réfléchie de même fréquence prend naissance et
se propage en sens inverse. On peut varier la longueur utile 𝑆𝐸 = ℓ de la corde, la tension 𝐹𝑇 de la
corde mesurée par un dynamomètre et la fréquence 𝑓 du vibreur.
OBSERVATIONS :
Pour un réglage convenable, la corde vibre en plusieurs fuseaux d’égale longueur.
19
Figure 26 - Aspect stroboscopique de la corde
Les extrémités des fuseaux sont appelées nœuds Ni (𝑖 ∈ ℕ), les milieux des fuseaux sont appelés
ventres de vibration Vi (𝑖 ∈ ℕ).
L’extrémité 𝐸 fixe est un nœud ; en première approximation l’extrémité 𝑆 fixée au vibreur peut être
assimilée à un nœud.
Vu de loin, le système paraît immobile ; il n’y a pas de progression le long de la corde : le phénomène
est appelé onde stationnaire.
L’éclairage stroboscopique permet de voir que la corde se déforme sur place. L’amplitude de vibration
est nulle aux nœuds, elle est maximale aux ventres.
𝜆
La longueur d’un fuseau est égale à 2.
L’aspect de la corde dépend
• de la tension 𝐹𝑇 de la corde ;
• de la longueur ℓ la corde ;
• de la fréquence 𝑓 du vibreur.
L’apparence en fuseaux n’est obtenue que pour des valeurs discrètes de ces paramètres.
Le nombre 𝑛 de fuseaux
• diminue quand on augmente la tension 𝐹𝑇 de la corde (sans modifier sa longueur ℓ ni la

fréquence 𝑓) ;
20
• augmente quand on augmente la longueur ℓ utile de la corde (sans modifier sa tension 𝐹𝑇

ni la fréquence 𝑓) ;
• augmente lorsqu’on augmente la fréquence 𝑓 du vibreur (sans modifier ni la longueur ℓ ni
la tension 𝐹𝑇 ).
INTERPRÉTATION :
Une onde stationnaire résulte de l’interférence de deux ondes qui se propagent suivant la même
direction, mais en sens contraires : l’onde incidente 𝑦1 (𝑥, 𝑡) issue de la source en 𝑆 et l’onde
réfléchie 𝑦2 (𝑥, 𝑡) qui prend naissance à l’extrémité fixe 𝐸. Ces deux ondes ont même fréquence et
même amplitude.
Aux ventres ces deux ondes arrivent à tout instant en phase, il y a interférence constructive. D’après
le principe de superposition, l’amplitude résultante est égale à la somme des amplitudes des ondes
composantes.
Aux nœuds ces deux ondes arrivent à tout instant en opposition de phase, il y a interférence
destructive. D’après le principe de superposition, l’amplitude résultante est nulle.
É T U D E T H É O R I Q U E D E S O N D E S S T A T I O N N AI R E S
Soit 𝑇 la période du vibreur, la vibration de la source 𝑆 est décrite par l’équation :
𝑡
𝑦𝑆 (𝑡) = 𝑌0 sin (2π )
𝑇
Le point 𝑀 se trouvant à l’abscisse 𝑥 est sollicité à la fois par deux ondes : l’onde incidente 𝑦1 (𝑥, 𝑡)
issue de S et l’onde 𝑦2 (𝑥, 𝑡) réfléchie en 𝐸.
En adaptant maintenant l’équation d’onde à l’onde incidente 𝑦1 (𝑥, 𝑡) :
𝑡 𝑥
𝑦1(𝑥,𝑡) = 𝑌0 sin [2𝜋 ( − )]
𝑇 𝜆
En adaptant l’équation horaire à l’onde réfléchie 𝑦2 (𝑥, 𝑡) en tenant compte que le signal a parcouru
la distance 2ℓ − 𝑥 et qu’il subit un saut de phase à l’extrémité fixe 𝐸 :
𝑡 2ℓ − 𝑥
𝑦2 (𝑥, 𝑡) = 𝑌0 sin [2𝜋 ( − ) + 𝜋]
𝑇 𝜆
Remarque :
Le mouvement résultant de 𝑀 sera calculé en appliquant la relation trigonométrique :
𝑝+𝑞 𝑝−𝑞
sin 𝑝 + sin 𝑞 = 2 sin cos
2 2
La superposition des deux mouvements vibratoires en un point se traduit par :
𝑦𝑀 = 𝑦1 + 𝑦2
𝑡 𝑥 𝑡 2ℓ − 𝑥
= 𝑌0 sin [2𝜋 ( − )] + 𝑌0 sin [2𝜋 ( − ) + 𝜋]
𝑇 𝜆 𝑇 𝜆
21
2𝑡 2l 𝜋 2ℓ − 2𝑥 𝜋
= 2 𝑌0 sin [𝜋 ( − ) + ] ⋅ cos [𝜋 ( )− ]
𝑇 𝜆 2 𝜆 2
2ℓ − 2𝑥 2𝑡 2ℓ 𝜋
= 2 𝑌0 sin [𝜋 ( )] ⋅ sin [𝜋 ( − ) + ]
𝜆 𝑇 𝜆 2
ℓ−𝑥 𝑡 2𝜋ℓ 𝜋
= 2 𝑌0 sin (2𝜋 ) ⋅ sin (2𝜋 − + )
𝜆 𝑇 𝜆 2
𝑡
= 𝐴 sin (2𝜋 + Φ)
𝑇
L’amplitude résultante 𝐴𝑀 = |𝐴| au point 𝑀(𝑥), indépendante de 𝑡, vaut :
ℓ−𝑥
𝐴𝑀 = |2 𝑌0 sin (2𝜋 )|
𝜆
𝜋 2𝜋ℓ
Le point 𝑀 d’abscisse 𝑥 suit un mouvement de période 𝑇, de phase Φ = 2 − 𝜆
et d’amplitude
𝐴𝑀 .
Si 𝑀 est situé sur un nœud, l’amplitude 𝐴𝑀 est nulle :
ℓ−𝑥
2𝜋 = 0 + 𝑘 𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)
𝜆
𝜆
ℓ−𝑥 =𝑘
2
𝜆
𝑥 =ℓ−𝑘
2
Puisque les nœuds d’une onde stationnaire sont répartis de façon symétrique le long de la corde,
l’abscisse du kième nœud s’écrit :
λ
x Nk = k (k ∈ ℤ)
2
Si 𝑀 est situé sur un ventre, l’amplitude 𝐴𝑀 est maximale donc :
2𝜋(ℓ − 𝑥) 𝜋
= (2𝑘 ′ + 1) (𝑘′ ∈ ℤ)
𝜆 2
𝜆
ℓ − 𝑥 = (2𝑘 ′ + 1)
4
𝜆
𝑥 = ℓ − (2𝑘 ′ + 1)
4
À partir d’une des extrémités de la corde, les ventres sont répartis de la manière suivante :
λ
xVk′ = (2k ′ + 1) (k ′ ∈ ℤ)
4
22
A PPLICATION AUX INSTRUMENTS À CORDES
La corde, tendue entre deux points fixes, vibre avec un nombre entier de fuseaux, donc sa longueur
est égale à un multiple de la demi-longueur d’onde :
𝜆 𝑐 𝑛 𝐹𝑇
ℓ =𝑛 =𝑛 = √
2 2𝑓 2𝑓 𝜇
Avec
• ℓ : longueur de la corde
• 𝑛 : nombre de fuseaux
• 𝐹𝑇 : tension de la corde
• 𝜇 : masse linéaire de la corde
𝑐
• 𝑓 : fréquence de la vibration 𝑓 =
𝜆
𝐹
• 𝑐 : célérité le long de la corde 𝑐 = √ 𝜇𝑇
Soit ℓ la longueur de la corde, 𝑛 le nombre de fuseaux, 𝐹𝑇 la tension de la corde, 𝜇

la masse linéaire de la corde
Pour 𝐹𝑇 , 𝜇 et ℓ donnés, on obtient une onde stationnaire seulement pour les
fréquences 𝑓 vérifiant la relation :
𝑛 𝐹𝑇
𝑓= √ (𝑛 ∈ ℕ*)
2ℓ 𝜇
Ces fréquences sont appelées fréquences propres de la corde vibrante.
La valeur n = 1 correspond au son le plus grave que la corde puisse émettre : c’est le son
fondamental. La corde vibre alors en un seul fuseau.
Aux valeurs n = 2,3, ⋯ correspondent des sons plus aigus, appelés harmoniques.
La formule des cordes vibrantes montre que :
• la fréquence du son fondamental augmente avec la tension de la corde, propriété utilisée pour
accorder les instruments ;
• plus la masse linéaire est grande, plus la fréquence du son émis est faible, donc plus le son est
grave, pour une tension et une longueur données ;
• plus la corde est courte, plus la fréquence est élevée, donc plus le son émis est aigu, pour une
tension et une masse linéaire données.
23
3.2.4 INTERFÉRENCES DANS UN MILIEU À DEUX DIMENSIONS
Une fourche munie de deux pointes est fixée à l’extrémité d’un vibreur.
Les pointes 𝑂1 et 𝑂2 ont ainsi même fréquence et constituent deux
sources cohérentes. Elles font naître à la surface de l’eau des ondes
circulaires. Figure 27 - Cuve à eau
OBSERVATIONS :
À la surface libre du liquide on observe des rides fixes, bien nettes entre 𝑂1 et 𝑂2 . Elles ont la forme
d’arcs d’hyperboles dont les foyers sont 𝑂1 et 𝑂2 . On les appelle des lignes d’interférences ou des
franges d’interférences. Elles disparaissent si l’une des pointes vibre sans toucher l’eau.
Figure 28 - Franges d’interférences
INTERPRÉTATION
Supposons que les deux pointes frappent l’eau exactement au même instant. 𝑂1 et 𝑂2 constituent
alors deux sources non seulement cohérentes, mais synchrones. Supposons de plus qu’elles pénètrent
à la même profondeur dans l’eau : 𝑂1 et 𝑂2 constituent alors deux sources synchrones de même
amplitude. Avec un choix convenable de l’origine des temps leur équation horaire peut s’écrire :
𝑡
𝑦𝑂1 = 𝑦𝑂2 = 𝑌0 sin 2𝜋
𝑇
24
Soit 𝑀 un point de la surface de l’eau situé à la distance 𝑑1 de 𝑂1 et à la distance 𝑑2 de 𝑂2 .
L’onde venant de 𝑂1 impose au point 𝑀 le mouvement d’équation :
𝑡 𝑑1
𝑦1 = 𝑌0 sin [2π ( − )]
𝑇 λ
L’onde venant de 𝑂2 impose au point M le mouvement d’équation :
𝑡 𝑑2
𝑦2 = 𝑌0 sin [2π ( − )] Figure 29 - Distances entre
𝑇 λ sources et point d’observation
Le mouvement résultant en M est la superposition des signaux issus de 𝑂1 et de 𝑂2 :
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2
INTERFÉRENCE CONSTRUCTIVE :
L’amplitude du mouvement résultant est maximale et égale à 2𝑌0 aux points où les 2 vibrations 𝑦1
et 𝑦2 sont en phase.
𝑦1 = 𝑦2
𝑡 𝑑1 𝑡 𝑑2
sin [2π ( − )] = sin [2π ( − )]
𝑇 λ 𝑇 λ
2𝜋 ( − ) = 2𝜋 ( − ) + 2𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)
𝑇 𝜆 𝑇 𝜆
− = − +𝑘
𝑇 𝜆 𝑇 𝜆
𝜆
𝑑2 − 𝑑1 = 𝑘𝜆 = 2𝑘
2
D’où la condition que doit vérifier un point 𝑀 d’une frange d’amplitude maximale :
λ
d2 − d1 = kλ = 2k (k ∈ ℤ)
2
À chaque valeur de 𝑘 correspond une hyperbole. Les points qui obéissent à la condition 𝑛 = 0 sont
ceux appartenant à la médiatrice de [𝑂1 𝑂2 ] . Les points qui obéissent à la condition 𝑘 ≠ 0
appartiennent à une famille d’hyperboles de foyers 𝑂1 et 𝑂2 .
INTERFÉRENCES DESTRUCTIVE :
L’amplitude du mouvement résultant est minimale et nulle aux points où les 2 vibrations 𝑦1 et 𝑦2
sont en opposition de phase. L’application de la relation :
𝑦1 = −𝑦2
sin [2π ( − )] = sin [2π ( − )]
𝑇 λ 𝑇 λ
2𝜋 ( − ) = 2𝜋 ( − ) + (2𝑘′ + 1)𝜋 (𝑘′ ∈ ℤ)
𝑇 𝜆 𝑇 𝜆
25
𝑡 𝑑1 𝑡 𝑑2 2𝑘′ + 1
− = − +
𝑇 𝜆 𝑇 𝜆 2
𝜆
𝑑2 − 𝑑1 = (2𝑘′ + 1)
2
D’où la condition que doit vérifier un point 𝑀 d’une frange d’amplitude minimale (frange
d’amplitude nulle) :
λ
d2 − d1 = (2k′ + 1) (k ∈ ℤ)
2
À chaque valeur de 𝑘′ correspond une hyperbole. Les points qui obéissent à cette condition
appartiennent à une autre famille d’hyperboles de foyers 𝑂1 et 𝑂2 qui s’intercalent entre celles des
interférences constructives.
POINTS INTERMÉDIAIRES :
L’état vibratoire en un point 𝑀 dépend donc de la différence des distances de ce point aux deux
sources : 𝛿 = 𝑑2 − 𝑑1 est appelée différence de marche.
Figure 30 - Construction des franges d’interférences
26
CONCLUSIONS
Soit deux sources 𝑆1 et 𝑆2 , on appelle différence de marche 𝜹 de l’état vibratoire en un

point 𝑀 la différence des distances de ce point aux deux sources :
𝛿 = |𝑀𝑆1 − 𝑀𝑆2 |
Les conditions d’interférences constructives ou destructives peuvent se résumer comme suit :
• Si la différence de marche en 𝑀 est égale à un nombre pair de demi-longueurs d’onde, c’est-

à-dire la différence de marche est un nombre entier de longueurs d’onde, l’amplitude en 𝑀
est maximale de valeur 2𝑌0 .
• Si la différence de marche en 𝑀 est égale à un nombre impair de demi-longueurs d’onde,
l’amplitude en 𝑀 est nulle.
• Si aucune de ces conditions n’est remplie, l’amplitude en 𝑀 est comprise entre 0 et 2𝑌0 .
3.2.5 INTERFÉRENCES DANS UN MILIEU À TROIS DIMENSIONS
D ÉTECTION DES ONDES ACOUSTIQUES
Les ondes sonores ou acoustiques sont des ondes longitudinales qui se propagent dans tout milieu
élastique, en particulier dans l’air. L’onde se propage dans toutes les directions de l’espace à partir de
la source.
L’oreille mise à part, le détecteur de choix est le microphone. Sa pièce maîtresse est une membrane
élastique que l’onde sonore met en vibration. Les vibrations mécaniques de la membrane sont ensuite
transformées en vibrations électriques, c’est-à-dire en tension alternative qu’on peut visualiser sur
l’écran d’un oscilloscope.
I NTERFÉRENCE DE DEUX ONDES ACOUSTIQUES
Deux haut-parleurs 𝑃1 et 𝑃2 , alimentés

par un même générateur basse fréquence
𝑓 = 1500 Hz, sont placés l’un à côté de
l’autre. Un microphone mobile est relié à
un oscilloscope.
Figure 31 - Interférence d’ondes acoustiques
OBSERVATIONS
Quand on déplace le microphone parallèlement à l’alignement des deux haut-parleurs, l’amplitude de

la vibration sonore qu’il détecte passe alternativement par un minimum et par un maximum. Ces
variations de l’amplitude du son détecté peuvent être observées non seulement dans le plan des deux
haut-parleurs, mais dans tout l’espace compris entre eux.
27
INTERPRÉTATION :
L’onde sonore détectée résulte de l’interférence des deux ondes acoustiques cohérentes émises par
les deux haut-parleurs.
En tout point 𝑀 où l’amplitude est maximale, la différence de marche des deux ondes acoustiques
est telle que :
𝜆
𝑃1 𝑀 − 𝑃2 𝑀 = 𝑘𝜆 = 2𝑘 (𝑘 ∈ ℤ)
2
En tout point 𝑁 où l’amplitude est minimale (nulle), la différence de marche des deux ondes
acoustiques est telle que :
𝜆
𝑃1 𝑁 − 𝑃2 𝑁 = (2𝑘′ + 1) (𝑘′ ∈ ℤ)
2
3.2.6 LE PHÉNOMÈNE DE DIFFRACTION
On étudiera le comportement d’une onde lorsqu’elle rencontre un obstacle.
EXPÉRIENCE
À l’aide d’une lame rectiligne on crée une onde progressive rectiligne à la surface de l’eau dans une
cuve à ondes. On interpose sur le parcours de l’onde un écran muni d’une fente étroite ou un obstacle
étroit.
Figure 32 - Diffraction d’une onde rectiligne par une fente étroite
La photographie montre l’onde après le passage d’une fente de largeur inférieure à la longueur d’onde.
On remarque que l’onde pénètre dans la « zone derrière la fente » : la fente se comporte comme une
source secondaire d’ondes circulaires. On dit qu’il y a diffraction de l’onde rectiligne par la fente.
Le phénomène de diffraction est également observé lorsqu’une onde rencontre un obstacle étroit.
28
Figure 33 - Diffraction d’une onde rectiligne par un obstacle étroit
Des ondes pénètrent dans la « zone derrière l’obstacle ». Derrières l’obstacle se créent des ondes
circulaires.
La diffraction est le phénomène par lequel une onde est déviée de sa trajectoire initiale
lorsqu’elle rencontre une ouverture ou un obstacle dont la dimension est de l’ordre de la
longueur d’onde.
29
3.3 INTERFÉRENCES LUMINEUSES
3.3.1 EXPÉRIENCE DES FENTES DE YOUNG
Une source monochromatique intense éclaire un écran percé d’une fente 𝑂 . Cette fente donne
naissance à un faisceau divergeant qui éclaire un second écran percé de deux fentes très fines et
parallèles, 𝑂1 et 𝑂2 , distantes de quelques millimètres. Un écran 𝐸, placé parallèlement au plan des
fentes, recueille la lumière issue de 𝑂1 et 𝑂2 .
Figure 34 - Expérience des fentes de Young
Ce dispositif a permis au physicien britannique Thomas Young (1773--1829) de démontrer la nature

ondulatoire de la lumière.
OBSERVATIONS
Sur l’écran on observe une série de raies parallèles, de même largeur, alternativement brillantes et
sombres : ce sont des franges d’interférences. Elles sont observables quelle que soit la position de
l’écran E, à condition qu’il traverse la partie commune aux faisceaux issus de 𝑂1 et 𝑂2 .
Il est surprenant de voir qu’en certains points de l’espace :
• lumière + lumière ⟶ obscurité
INTERPRÉTATION
Cette expérience rappelle l’expérience des interférences mécaniques où en certains points de

l’espace :
• mouvement + mouvement ⟶ immobilité

• son + son ⟶ silence
Par analogie, il faut admettre qu’une lumière monochromatique est une vibration sinusoïdale qui se
propage à partir de la source lumineuse. La fréquence de l’onde lumineuse est caractéristique de la
couleur de la lumière.
30
La lumière issue de 𝑂 éclaire les deux fentes fines 𝑂1 et 𝑂2 . Celles-ci se comportent comme deux
nouvelles sources identiques de lumière. Dans la région où les deux faisceaux divergents se
superposent, les ondes lumineuses interfèrent :
• il y a lumière en 𝑀 si l’interférence y est constructive

• il y a obscurité en 𝑀 si l’interférence y est destructive
3.3.2 CALCUL DE LA DIFFÉRENCE DE MARCHE
L’état vibratoire en un point 𝑀 dépend de la différence de marche de ce point aux deux sources 𝑂1
et 𝑂2 :
𝛿 = 𝑑2 − 𝑑1 = 𝑂2 𝑀 − 𝑂1 𝑀
Figure 35 - Calcul de la différence de marche
Le triangle 𝑂1 𝑀𝐾 est rectangle en 𝐾 : 𝑂1 𝑀2 = O1 K 2 + KM 2
Le triangle 𝑂2 𝑀𝐿 est rectangle en 𝐿 : 𝑂2 𝑀2 = 𝑂2 𝐿2 + 𝐿𝑀2 .
La différence de deux carrés permet d’écrire :
𝑂2 𝑀2 − 𝑂1 𝑀2 = (𝑂2 𝑀 − 𝑂1 𝑀)(𝑂2 𝑀 + 𝑂1 𝑀)
Soit 𝐷 la distance séparant le plan des fentes du plan de l’écran, 𝑎 la distance séparant les deux
fentes et 𝑥 l’abscisse du point M de l’écran repéré par rapport à la médiatrice de [𝑂1 𝑂2 ].
Avec ces notations et en tenant compte de la Figure 35 :
𝑂1 𝐾 = 𝑂2 𝐿 = 𝐷
𝑎
𝐾𝑀 = 𝑥 −
2
𝑎
𝐿𝑀 = 𝑥 +
2
L’expression de la différence des carrés des distances séparant M des sources lumineuses suggère
d’écrire :
𝑂2 𝑀2 − 𝑂1 𝑀2 = (𝑂2 𝐿2 + 𝐿𝑀2 ) − (𝑂1 𝐾 2 + 𝐾𝑀2 )
31
𝑎 2 𝑎 2
𝑑2 2 − 𝑑1 2 = 𝐷 2 + (𝑥 + ) − 𝐷 2 − (𝑥 − )
2 2
2 2 𝑎 2 𝑎 2
𝑑2 − 𝑑1 = (𝑥 + ) − (𝑥 − )
2 2
𝑎 𝑎 2 𝑎 𝑎 2
(𝑑2 − 𝑑1 )(𝑑2 + 𝑑1 ) = 𝑥 2 + 2𝑥 + ( ) − 𝑥 2 + 2𝑥 − ( )
2 2 2 2
𝑎 𝑎
(𝑑2 − 𝑑1 )(𝑑2 + 𝑑1 ) = 2𝑥 + 2𝑥
2 2
(𝑑2 − 𝑑1 )(𝑑2 + 𝑑1 ) = 2𝑎𝑥
Les distances 𝑎 et 𝑥 sont très faibles devant 𝐷 (𝑎 et 𝑥 sont de l’ordre du millimètre, tandis que
𝐷 est de l’ordre du mètre). Les rayons 𝑂1 𝑀 et 𝑂2 𝑀 sont donc peu inclinés par rapport à la
médiatrice 𝐼𝐽.
On pourra faire l’approximation suivante : 𝑑2 + 𝑑1 ≈ 2𝐷 (valable uniquement pour la somme et non
pas pour la différence !).
En introduisant dans la dernière relation :
2𝑎𝑥 2𝑎𝑥
𝑑2 − 𝑑1 = =
𝑑2 + 𝑑1 2𝐷
L’expression de la différence de marche s’écrit
ax
δ=
D
3.3.3 POSITION DES MAXIMA ET DES MINIMA
P OSITIONS DES FRANGES BRILLANTES
On observe une frange brillante en 𝑀 si l’interférence y est constructive, c’est-à-dire si :
𝜆
𝛿 = 2𝑘 (𝑘 ∈ ℤ)
2
𝑎𝑥
Or la différence de marche s’écrit : 𝛿 = 𝐷
𝜆 𝑎𝑥
2𝑘 =
2 𝐷
𝜆𝐷
𝑥=𝑘
𝑎
𝜆𝐷 𝜆𝐷 𝜆𝐷
Les abscisses des franges brillantes sont donc : 0 ; ± 𝑎
; ±2 𝑎
; ±3 𝑎
;…
La frange centrale est brillante.
𝜆𝐷
Deux franges brillantes voisines sont séparées par la distance constante 𝑎
.
32
P OSITIONS DES FRANGES OBSCURES
On observe une frange obscure en 𝑀 si l’interférence y est destructive, c’est-à-dire si :
𝜆
𝛿 = (2𝑘′ + 1) (𝑘′ ∈ ℤ)
2
𝑎𝑥
Or la différence de marche s’écrit : 𝛿 =
𝐷
𝜆 𝑎𝑥
(2𝑘′ + 1) =
2 𝐷
2𝑘′ + 1 𝜆𝐷
𝑥= ⋅
2 𝑎
1 𝜆𝐷 3 𝜆𝐷 5 𝜆𝐷
Les abscisses des franges obscures sont donc : ± 2 𝑎
; ±2 𝑎
; ±2 𝑎
;…
𝜆𝐷
Deux franges obscures voisines sont séparées par la distance constante 𝑎
Figure 36 - Positions et numéros des franges
I NTERFRANGE ET LONGUEUR D ’ ONDE DE LA LUMIÈRE
L’interfrange 𝑖 est la distance constante qui sépare deux franges voisines de même
nature :
𝜆𝐷
𝑖=
𝑎
Pour une lumière monochromatique donnée les franges sont d’autant moins serrées que les fentes
sont rapprochées ou que l’écran se trouve loin des fentes. L’interfrange dépend de la longueur d’onde
de la lumière. La mesure de l’interfrange permet de déterminer la longueur d’onde de la lumière
utilisée. Pour la lumière visible, on trouve des longueurs d’onde comprises entre 0,40 μm (lumière
bleue) et 0,80 μm (lumière rouge).
Figure 37 -Diffraction de la lumière blanche
33

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Physique 1reBC

OSCILLATIONS, ONDES ET LUMIÈRE

Un oscillateur est amorti si ses oscillations s’affaiblissent au cours du temps.

PÉRIODE, FRÉQUENCE ET PULSATION

Sa fréquence propre f0 représente le nombre d’oscillations complètes effectuées en 1 seconde.

L’amplitude X 0 est la distance maximale par rapport à sa position d’équilibre.

La phase initiale d’un oscillateur φ représente la valeur la phase en t= 0, c’est-à-dire, la valeur de

2.1.1 OSCILLATIONS LIBRES D’UN PENDULE ÉLASTIQUE HORIZONTAL

Figure 1 - Position d’équilibre : le ressort n’est pas tendu

Figure 2 - en mouvement : allongement de longueur x du ressort

É QUATION DIFFÉRENTIELLE DU MOUVEMENT

PRINCIPE FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE

BILAN DES FORCES :

• La réaction du support 𝑅⃗ = −𝑃⃗

En projetant sur l’axe 𝑂𝑥 :

La conservation de l’énergie s’écrit :

En dérivant par rapport au temps 𝑡 :

S OLUTION DE L ’ ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

Dérivons une première fois par rapport au temps 𝑡 :

Dérivons une deuxième fois par rapport au temps 𝑡 :

𝑥̈ = −𝜔02 𝑋0 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = −𝜔02 𝑥

P ÉRIODE PROPRE ET FRÉQUENCE PROPRE

La période propre T0 de l’oscillateur élastique horizontal s’obtient à partir de sa pulsation propre :

La fréquence propre f0 de l’oscillateur élastique horizontal s’obtient à partir de sa pulsation propre :

Le pendule élastique horizontal constitue un oscillateur harmonique ; sa période propre 𝑇0 et sa

𝑎𝑥 = −𝜔02 𝑋0 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = −𝜔02 𝑥

À partir des conditions initiales on peut déterminer l’amplitude 𝑋0 et la phase initiale φ en 𝑡 = 0 :

On se limitera aux cas particuliers où en 𝑡 = 0 soit 𝑣𝑥 = 0, soit 𝑥 = 0.

Si 𝜑 = 𝜋 ⟹ cos 𝜑 = cos 𝜋 = −1 ⟹ 𝑥 = −𝑋0

R EPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE LA POSITION , DE LA VITESSE ET DE L ’ ACCÉLÉRATION

Considérons le solide lancé à partir de 𝑥 = 𝑋0 et 𝜑 = 0. À l’instant 𝑡 la position est donné par

Figure 3 - Représentation graphique de la position, la vitesse et l’accélération

2.1.2 OSCILLATEUR AMORTI – PENDULE HORIZONTAL AVEC FROTTEMENTS

L’amplitude 𝑋0 diminue au cours du temps à

L’énergie mécanique diminue au cours du temps

L’amplitude diminue à chaque oscillation,

2.1.3 OSCILLATIONS FORCÉES - RÉSONANCE

Afin d’étudier des oscillations forcées, on relie

On mesure et représente la variation de

OBSERVATIONS : Figure 5 - Résonance

E XEMPLES DE RÉSONANCES MÉCANIQUES

• La suspension d’une automobile peut être modélisée

3.1 PROPAGATION D’UNE ONDE MÉCANIQUE

3.1.1 SIGNAL ET ONDE

Selon le sens de la déformation du milieu on distingue entre signaux longitudinal et transversaux.

Si, lors du passage de la déformation, les différents points du milieu se déplacent

On appelle célérité 𝑐 la vitesse de propagation d’un signal ou d’une onde.

• La célérité 𝑐 ne dépend pas de la forme du signal.

Signal Milieu de propagation 𝒄 (m/s)

3.1.3 PROPAGATION D’UNE ONDE SINUSOÏDALE LE LONG D’UNE CORDE

Nous considérons une source 𝑆 dont le mouvement est sinusoïdal de période 𝑇.

Pour comprendre comment la corde se déforme progressivement, il est commode de la représenter à

• 𝑡 = 0 : la source commence son mouvement ;

Figure 11 - Propagation du signal en 𝑡 = 0

Figure 15 - Propagation du signal en 𝑡 = 𝑇

• 𝑡 = 2𝑇 : la source a effectué deux oscillations complètes ; la déformation atteint une longueur

Figure 16 - Propagation du signal en 𝑡 = 2𝑇

La longueur d’onde 𝜆 est la distance parcourue par l’onde en une période 𝑇 . La

La fréquence 𝑓 = 1/𝑇 de la source permet d’écrire l’expression de la longueur d’onde :