Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof.

Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

CHAPITRE I
Oscillations libres non amorties : Système à un degré de liberté

I.1 Généralités sur les vibrations

I.1.1 Mouvement périodique :

Définition : C’est un mouvement périodique qui se répète identique à lui même en des intervalles de
temps réguliers égaux de durée (T) qui s’exprime en seconde (s).
La fréquence est le nombre de fois que ce mouvement se répète en 1 seconde: 𝒇 exprimée en Hertz (HZ).

I.1.2 Exemple de systèmes vibratoires

Exemple 1 :
- Système masse-ressort.
Exemple 2 :
- Système masse-fil.
Exemple 3 :
- Circuit L-C

I.1.3. Mouvement vibratoire :

Définition : Un mouvement vibratoire est un mouvement périodique sinusoïdal on dit aussi mouvement
harmonique, lorsque le Corp matériel qui est en mouvement à la même position et avec la même vitesse
au bout d’intervalles de temps réguliers de durée T. On peut aussi définir un mouvement vibratoire par sa
fréquence 𝒇. La fréquence indique le nombre d’oscillations complètes (dans le sens aller retour) se
produisant par seconde.

I.1.4 Mouvement vibratoire sinusoïdal

Définition : un mouvement vibratoire est sinusoïdal, si un point vibrant possède une élongation du type :
x(𝒕) = 𝑨 𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝒕 + 𝝋)
- La grandeur x(𝑡) est appelée l’élongation (ou la position)
à l’instant t, l’élongation maximale ou l’amplitude du
mouvement, elle varie entre –A et +A.
- La quantité 𝝎 est la pulsation du mouvement et exprimée
en (𝑟𝑎𝑑/s ).
- La quantité (𝝎𝒕 + 𝝋) est la phase instantanée, exprimée en
(radian, sans dimension),
- l’angle 𝜑 est la phase initiale, correspond à la phase à l’instant 𝑡= 0.

1
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

I.2 Vibration harmonique

Définition : On appelle vibration harmonique tout système dont le paramètre x(𝑡) qui la caractérise est
une fonction sinusoïdale du temps : x(𝒕) = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕 + 𝝋).

On en déduit l’expression de T en fonction de la pulsation : 𝑻 = 𝟐𝝅/𝝎

- La fréquence f, nombre d’oscillations par seconde correspond à l’inverse de la période T : f = 1/T.
Il existe d’autres expressions équivalentes pour la fonction x(t). En effet, la fonction sinus est équivalente
à la fonction cosinus décalée de π/2. On peut donc écrire :
𝑥(t) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑́)

Donc :
Les grandeurs caractéristiques d’une vibration harmonique sont:
- L’amplitude A,
- La période T, 𝜔 = 2𝜋/T
T = 2𝜋𝑓 ; 𝜔: la pulsation, 𝑓: 𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒.
- La phase 𝜑.

I.3. Oscillateurs harmoniques

Le principe fondamental de la dynamique de corps solides ( 1 iére loi de Newton) s’écrit pour
l’oscillateur harmonique modèle (masse-ressort) ou :
X : est l’élongation :
𝑚𝑥̈= −kx

fr = −kx, où k est la raideur du ressort. (Fr : force élastique)

Qui s’écrit : 𝑚𝑥̈ − (− 𝑘𝑥) = 0

En divisant par m : 𝒙̈ + 𝒌/m =0.

Le rapport 𝑘/𝑚 étant positif et en posant 𝜔0 = √𝑘/𝑚: on obtient l’équation différentielle d’une
vibration harmonique de la forme 𝒙̈ + 𝜔02 = 0.

La pulsation 𝜔0 ne dépend que de la masse 𝑚 et de la raideur 𝑘 du ressort, est appelée « la pulsation

propre » du système.
La masse oscille donc indéfiniment avec une période propre 𝑇0 donnée par la relation suivante:

2
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

𝑻𝟎 = 𝟐𝝅/ 𝝎𝟎 = 𝟐𝝅 √𝑚/𝑘.

I.3.1. Pendule pesant simple

Un pendule simple est constitué d’un solide de petite dimension de masse m suspendu à un point fixe O
par un fil inextensible de longueur L. Ecarté de sa position d’équilibre, il oscille dans le champ de
pesanteur terrestre g.

Les coordonnées du système :

𝑚 𝑥 = 𝑙 sin 𝜃 ⟹ 𝑥 = 𝑙𝜃cos 𝜃
𝑦 = 𝑙 cos 𝜃 ⟹ 𝑦 = −𝑙𝜃sin 𝜃
_

𝑔
On aura donc : . 𝑙.2 𝜃̈+ 𝑚. 𝑔. 𝑙. 𝜃 = 0, en divisant par 𝑚. 𝑙2 on trouve : 𝜃 .. + 𝜃=0
𝑙
𝑔
Avec 𝜔0 = √ , et on retrouve bien le même résultat.
𝑙

I.3.2 Solution de l’équation différentielle du mouvement

L’équation différentielle (EDF) du mouvement est de la forme :

𝒙̈ + 𝜔0 𝑥 = 0
C’est une équation différentielle du second ordre sans second membre dont la solution sous la forme
complexe est de la forme : x(𝑡) = 𝐴𝑒𝛼𝑡
La dérivée première de la fonction x(𝑡)) (la vitesse) : 𝑥(𝑡) = 𝐴𝛼𝑒𝛼𝑡.

La dérivée seconde de la fonction 𝑥..(𝑡) (L’accélération) : x(𝑡) = 𝐴𝛼2𝑒𝛼𝑡

On remplace dans l’EDF : 𝐴𝛼2𝑒𝛼𝑡 + 𝜔02𝐴𝛼𝑒𝛼𝑡 = 0 ⟹ (𝛼2 + 𝜔02)=0

or 𝐴𝑒𝛼𝑡 ≠ 0 ⟹ 𝛼2 + 𝜔02 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝛼 = ±𝑗𝜔0

Donc la solution aura la forme: x(𝑡) = 𝐴1 𝑒𝑗𝜔0𝑡 + 𝐴2 𝑒−𝑗𝜔0𝑡.

Selon la relation d’Euler : 𝑒±𝑗𝜔0𝑡 = cos 𝜔0𝑡 ± 𝑗𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑡

→ x(𝑡) = 𝐴1 (cos 𝜔0𝑡 + 𝑗𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑡) + 𝐴2 (cos 𝜔0𝑡 − 𝑗𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑡)
x(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2 ) cos 𝜔0t + 𝑗(𝐴1 − 𝐴2 )𝑠𝑖𝑛 𝜔0(t) = (C cos 𝜔0𝑡 + 𝑗𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑡)
Tels que : C =(A1 + A2 ) et D = J(A1 − A2 ).
Donc : x(t) = C cos 𝜔 0t + D 𝑠𝑖𝑛 𝜔0 , est aussi une solution de l’équation différentielle.
Si on pose : 𝐶 = 𝑎. 𝑐𝑜𝑠 𝜃 et 𝐷 = 𝑎.sin , on aura : 𝑥(𝑡) = 𝑎. 𝑐𝑜𝑠 𝜃 cos 𝜔0t + 𝑎.sin 𝜃 𝑠𝑖𝑛
𝜔0𝑡.

3
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

(𝑥 − 𝑦) ≡ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 donc : (𝑡) = a cos( 𝜔0t − 𝜃) = a cos( 𝜔0t + 𝜑) ,
𝜑 = 𝜃 + 𝜋/2
𝐷
donc : x(𝒕) = 𝐚 ( x𝟎𝐭 + 𝝋), Tels que : 𝒂 = √𝐶 2 + 𝐷2 et, 𝜽 = 𝐚𝐫𝐜 𝐭𝐚𝐧𝐠 𝐴

I.4. La force dans le mouvement harmonique

C’est le cas d’une masse 𝑚 accrochée à l’extrémité libre

d’un ressort et se déplaçant sans frottement suivant une
direction 𝑂𝑥 vertical (voir figure).

A l’équilibre : il y a deux forces qui agissent sur la masse m ; son poids et la force de rappel du ressort
tension due au ressort :
𝑓⃗= 𝑃⃗⃗+ 𝑇
⃗⃗= ⃗0⃗ ----- mg-K∆l=0

𝑃⃗⃗: 𝑝𝑜𝑖𝑑𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒

𝑇⃗⃗: 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑑𝑢 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙 𝑑𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡.

En mouvement : La deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique), nous permet

d’écrire :
∑𝐹⃗ = 𝑚𝛾⃗

Pour un système qui a une dimension :

𝑑2 𝑥
𝐹=𝑚 = 𝑚 𝑥̈
𝑑 𝑡2
Après projection on obtient :

𝑚 𝑥̈ = mg- 𝑘(∆𝑙 + 𝑥), En utilisant la condition d’équilibre précédente on

obtient :
𝑚𝑥̈ = -𝑘𝑥 ------ 𝑚𝑥̈ = 𝑘𝑥
𝑘
Or : 𝜔02 = 𝑚, 𝑥̈ + 𝜔02 𝑥 = 0.
𝑘
Ou : 𝜔02 = 𝑚= coste

Donc, la force dans les mouvements harmoniques simples est proportionnelle et opposée au
déplacement et constitue une force de rappel.

4
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

I.5 Energie d’un oscillateur harmonique

Nous voulons montrer que l’énergie totale (mécanique), E=T+U, est constante et déduire la valeur de
cette constante. Pour cela prenons : x(t) = (𝜔0𝑡 + 𝜑), alors :

1 1
𝐸 = 𝑇 + 𝑈 = 𝑚 𝑥 .2 + 𝑘 𝑥2
2 2
L’énergie mécanique de l’oscillateur :
1
𝐸𝑚 = 2 𝐾 𝑥02 , ou : 𝐸𝑚 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑒

I.6 Analogie entre le système mécanique " Masse-ressort" et le système électrique "L-C".

5
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

CHAPITRE II
Oscillations libres amorties : Systèmes à un degré de liberté

II.2.1 Les systèmes libres amortis

En pratique, un oscillateur est soumis à des forces qui sont en phase ou en opposition de phase avec la
vitesse du point matériel. Le système n’est pas conservatif ; il est dissipatif. L’énergie mécanique décroit
avec le temps. La présence de frottements implique une dissipation d’énergie sous forme de chaleur ; on
observe alors :
• soit des oscillations dont l’amplitude diminue au cours du temps,
• soit un retour à l’équilibre sans oscillation.
On parle alors d’amortissement. L'expression de la force de frottement visqueux est la suivante :

𝐹𝑓 = - 𝛽𝜗⃗
⃗⃗⃗⃗
(𝛽 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 à 𝑧é𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑖 𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑 𝑑𝑢 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑢𝑖).
Tels que :

β : est le coefficient de frottement visqueux. β : [𝑁. 𝑠/𝑚].

⃗⃗⃗⃗ la vitesse généralisée du système.
𝑣:

Le signe moins (-) vient du fait que cette force s'oppose au mouvement en agissant dans la direction et le
sens contraire à la vitesse.

II.2.2 L’équation du mouvement

D’après la 1 iére loi de Newton on a :

𝑚𝑥̈ = ∑ 𝐹𝑖 = 𝐹𝑟 + 𝐹𝑓 = -𝑘 𝑥 − 𝛽𝑖
𝑚𝑥̈ + 𝛽 𝑥 + 𝑘𝑥 = 0
̈2 𝛽 𝑘
𝑥+ 𝑥+ 𝑥=0
2𝑚 𝑚
𝛽
On pose : 𝛼 = : coefficient d’amortissement.
2𝑚
𝑘
𝜔0 = √𝑚 : Pulsation propre de l’oscillateur harmonique non –amorti.

𝑥̈ + 2 𝛼𝑥 + 𝜔02 𝑥 = 0

II.2.3 La solution de l’équation différentielle : Système masse-ressort-amortisseur

L’équation différentielle du mouvement s’écrit sous la forme : 𝑥̈ + 2 𝛼𝑥 + 𝜔02 𝑥 = 0

6
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants sans second
membre.
La fonction 𝑥(𝑡) = 𝐷 𝑒 𝑟𝑡 est une solution particulière de cette équation différentielle à condition que 𝑟
soit une des deux racines 𝑟1 et 𝑟2 de l’équation du second degré, appelée équation caractéristique.
𝑟 2 + 2 𝛼𝑟 + 𝜔02 = 0

La solution générale de l’équation prend la forme : 𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝑟1 𝑡 + 𝐶2 𝑒 𝑟2𝑡 .

Tels que : 𝐶1 , et 𝐶2 sont des constantes déterminées par les conditions initiales, dépendent des valeurs de
𝛼 2 par rapport à 𝜔02 , cette solution prend l’allure suivante :

On distingue donc :
a) 𝛼 2 > 𝜔02 : c’est un amortissement fort. Les racines de l’équation caractéristique sont réelles :

𝑟1,2 = − 𝛼 +
−𝜔
𝜔 = √𝑎2 − 𝜔02 réelle,
On obtient la solution suivante:
𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛼𝑡 ( 𝐴1 𝑒 𝜔𝑡 + 𝐴2 𝑒 −𝜔𝑡 )

Remarques :
- x(𝒕) tend vers 0 sans oscillation quand le temps augmente.
- x(𝒕) est un mouvement non sinusoïdal.

b) 𝛼 2 < 𝜔02, on a un amortissement faible ; 𝑟1,2 = −𝛼 + 𝑗𝜔

𝑥(𝑡) = 𝑒 − 𝛼𝑡 (𝐴1 𝑒 𝑗𝜔𝑡 + 𝐴2 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 )

Ceci est équivalent à : 𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑒 −𝛼𝑡 cos (𝜔𝑡 − 𝜑)
Les constantes A et 𝜑 sont définies par les conditions initiales : 𝑥(𝑡) = 0, 𝑥 (𝑡) =0, 𝑥(0) = 𝑥0 , 𝑥(0) = 0

Remarques :
• x(𝒕) représente un mouvement vibratoire.
• L’amplitude 𝑪 𝒆−𝜹𝒕 est décroissante : x(𝒕)

7
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

tend vers 0 quand t augmente.

• l’élongation x(t) va osciller en restant comprise
entre – 𝑪 𝒆−𝜹𝒕et 𝑪 𝒆−𝜹𝒕.Ces deux exponentielles
représentent l’enveloppe du mouvement de
l’oscillateur c’est-à-dire les positions extrémales
prises par x lorsque le temps s’écoule.

On définit la pseudo-pulsation comme :

𝜔 = √𝜔02 − 𝛼 2
2𝜋
𝑇 = 𝜔 , c’est la pseudo- période.
On peut déterminer directement a partir des conditions initiales : A et 𝜑 :
𝑥0 𝛼
𝐴= , 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝜔,
cos 𝜑

c) 𝛼 2 = 𝜔02 Amortissement critique.

𝑂𝑛 𝑑é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛼𝑡 ( 𝐶1+ 𝐶2 𝑡)
𝑎𝑣𝑒𝑐: 𝐶1 = 𝑥0 , 𝐶2 = 𝛼𝑥0
𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑜𝑛 𝑎: 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛼𝑡 ( 𝑥0 + 𝛼𝑥0 𝑡)
𝐷𝑜𝑛𝑐, 𝑐 ′ 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑 ′ 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡.

Remarques :
• x(𝒕) n’est pas oscillatoire car il ne contient pas un
terme sinusoidal.
• x(𝒕) tend vers 0 sans oscillation quand le temps
augmente.
• Le système revient à sa position d’équilibre le plus
Rapidement possible.

II.3 L’oscillateur harmonique électrique

Nous allons voir maintenant qu'il existe un autre type d'oscillateur harmonique amorti dans un autre
domaine de la physique : l'électricité.
Soit un circuit électrique, constitué des 3 éléments de base misent en série :
• un résistor de résistance R ;
• un condensateur de capacité C ;
• et une bobine d'inductance L.

Selon la loi de Kirchhoff on a :

Selon la loi de Kirchoff :

Le circuit électrique suivant RLC obéit pour la tension électrique
𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑡) à la même équation différentielle qu’un oscillateur mécanique amorti et forcé.

8
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

𝑉𝑙 = 𝐿𝑞̈
𝑞
𝑉𝑐 = 𝑐
𝑉𝑅 = 𝑅𝑞
𝑉𝑒𝑥𝑡 = 𝑉0 cos 𝛺𝜔𝑡
𝑉𝐿 + 𝑉𝐶 + 𝑉𝑅 = 𝑉𝑒𝑥𝑡 = 𝑉0 cos 𝛺𝑡

On charge :
̈ 2𝑅 𝑞 𝑉
𝑞 + 2𝐿 𝑞 + 𝐿𝐶 = 𝐿 cos 𝛺𝑡
Donc on peut écrire cette équation sous la forme :
𝑥̈ + 2 𝛼𝑥 + 𝜔02 𝑥 = 0

II.4 Décrément logarithmique

Définition : C’est le logarithme du rapport de 2 amplitudes successives des oscillations amorties.

∆= 𝛼T, c’est le décrément logarithmique.

9
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

CHAPITRE III
Oscillations forcées amorties : Systèmes à un degré de liberté

III.1. Oscillateur linéaire amorti et forcé

Si on plus des forces de rappel et de frottement, on applique une force extérieure de type :
⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑒 = 𝐹𝑒 cos(𝛺𝑡)𝑖⃗.
Avec :
𝑖⃗: 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡é 𝑠𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑥
𝐹𝑒 : 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑒𝑥𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟𝑒 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑞𝑢𝑒
𝛺: 𝑃𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑒𝑥𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟𝑒 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑞𝑢𝑒.

L’équation différentielle devient avec une force de frottement de type visqueux :

𝑥̈ + 2 𝛼𝑥 + 𝜔02 𝑥 = 𝐹 cos 𝛺𝑡.

Avec :
𝑘 𝛽 𝐹𝑒
𝜔02 = , 𝛼= , 𝑓= .
𝑚 2𝑚 𝑚

La solution de l’équation (1) est : 𝑥(𝑡) = 𝑥𝐻 (𝑡) + 𝑥𝑝 (𝑡),

𝑥𝐻 (𝑡): 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙 ′ 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑡 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖 𝑞𝑢𝑖 𝑑é𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑙𝑒 𝑚𝑜𝑢𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑜𝑖𝑟𝑒, 𝑎𝑝𝑟é𝑠
Enclenchement de la force extérieure, ⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑒 , et
𝑥𝑝 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑎𝑖𝑟𝑒, 𝑐 ′ 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑑𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑚𝑜𝑢𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 périodique permanent du système. Donc
la solution est :

𝑥(𝑡) = 𝐴(𝜔) cos(𝛺𝑡 + 𝜑)

𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛼𝑡 ( 𝐴1 𝑒 𝜔𝑡 + 𝐴2 𝑒 −𝜔𝑡 ), pour un amortissement fort.

𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛼𝑡 ( 𝑥0 + 𝛼𝑥0 𝑡), pour un amortissement critique.

𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑒 −𝛼𝑡 cos(𝜔𝑡 − 𝜑), pour un amortissement faiblement amorti.

III.2.1 Solution homogène :

La solution homogène correspond à la solution de l’équation différentielle sans second membre :

𝑥̈ + 2 𝛼𝑥 + 𝜔02 𝑥 = 0
Il apparaît que la solution de l'équation différentielle homogène est tout simplement la solution trouvée
pour l'oscillateur harmonique amorti en régime libre dans le cas des oscillations faiblement amorties :
𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑒 −𝛼𝑡 cos(𝜔𝑡 − 𝜑), pour un amortissement faiblement amorti.
10
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

Remarque :
• La solution générale de l’équation sans second membre correspond à un régime transitoire (qui ne dure
qu’un certain temps).

III.2.2 Solution particulière:

Lorsque la composante x(𝒕) devient vraiment négligeable, il ne reste plus que la solution particulière,
qui est la solution imposée par la fonction d'excitation. Nous disons que nous sommes en régime forcé ou
régime permanent. La force excitatrice oblige le système mécanique à suivre une évolution temporelle
équivalente à la sienne. Donc si 𝐹𝑒𝑥𝑡 est une fonction sinusoïdale de pulsation 𝝎; alors la solution
particulière x(𝒕) sera une fonction sinusoïdale de même pulsation 𝝎. Les oscillations de la masse ne sont
pas forcément en phase avec la force excitatrice et présente un déphasage noté 𝜑. La solution particulière
correspondant au régime permanent s’écrit dont :

𝑥𝑝(𝑡) = 𝐴(𝜔) cos(𝛺𝑡 + 𝜑)

Pour trouver : 𝐴(𝛺), 𝑒𝑡 𝜑(𝛺), de la solution stationnaire, on utilise les nombres complexe pour calculer
le module et l’argument on aura :

𝑓
𝐴(𝜔) =
√(𝜔02 − 𝜔 2 ) 2 + (2𝛼𝜔 2 )

2𝛼𝜔
𝑡𝑔 𝜑 = − =𝑘
(𝜔02 − 𝜔 2 )
D’où : 𝑡𝑔𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑘.

La solution générale de l’équation différentielle s’écrit : x(𝒕) = 𝑥ℎ (𝒕) + 𝑥𝑝 (𝒕).

• 𝑥ℎ (𝒕) est appelée solution homogène caractérisant un régime transitoire qui disparaît exponentiellement
avec le temps. Quand le régime transitoire disparaît
• 𝑥𝑝 (𝒕). est appelée solution particulière d’amplitude :
𝑓
𝐴(𝜔) =
√(𝜔02 − 𝜔 2 ) 2 + (2𝛼𝜔 2 )
caractérisant un régime permanent (stationnaire) car il subsiste aussi longtemps que la force extérieure
(𝐹𝑒𝑥𝑡) est appliquée. Nous notons la dépendance de l'amplitude A de la pulsation 𝝎.
• La solution x(𝑡) aura donc souvent une allure caractéristique comme celle présentée sur la figure
ci-dessous.

11
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

III.2.3 Etude de 𝑨(𝜴), 𝒆𝒕 𝝋(𝜴) :

𝒇
1er cas : 𝜴 = 𝟎, 𝑨(𝜴)= 𝝎𝟐
𝟎

2 iéme cas : 𝑨(𝜴) = 𝟐𝜴𝒇(𝝎𝟐𝟎 − 𝝎𝟐 ) − 𝟐 𝜶𝟐 )/ ((𝝎𝟐𝟎 − 𝝎𝟐 ) 𝟐

+ 𝟒 𝜶𝟐 )).

𝑑𝐴
Dérivée nulle : 𝑑𝜴 = 0, ce qui implique que : (𝝎𝟐𝟎 − 𝝎𝟐 ) − 𝟐 𝜶𝟐 = 𝟎.

On distingue deux types de fonction :

𝝎𝟎
1. (𝝎𝟐𝟎 − 𝝎𝟐 ) − 𝟐 𝜶𝟐 < 0, donc la fonction 𝑨(𝜴) est fonction décroissante correspond à 𝜶 >
√𝟐
2. (𝝎𝟐𝟎 − 𝝎𝟐 ) − 𝟐 𝜶𝟐 > 0, donc la fonction 𝑨(𝜴) est une fonction croissante correspond à 𝜶 <
𝝎𝟎
.
√𝟐

III.3 .3 Phénomène de résonance et Facteur de qualité

Dans les systèmes électriques, ce phénomène permet de calculer le facteur de qualité 𝑄 qui augmente
𝐴
lorsque l’amplitude maximale augmente : 𝑄 = 𝑚𝑎𝑥 .
𝐴 0

𝜔0
- Une autre méthode pratique pour déterminer le facteur de qualité : 𝑄 = .
𝜔2 − 𝜔1

- Pour caractériser l’acuité (intensité) de la réponse d’un oscillateur en fonction de la pulsation, on

définit une bande passante : 𝝎𝟐 − 𝝎𝟏 .

12
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

CHAPITRE IV

Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté

IV.1 Systèmes à 2 degrés de liberté : Régime libre sans frottement

Le plus simple des systèmes formés par deux masses m1 et m2 pouvant glisser sans frottement sur un
plan horizental. On néglige les masses des ressorts, les déplacements des masses sont 𝑥1 𝑒𝑡 𝑥2 .
Un système à 2 degrés de liberté possède 02 coordonnées généralisées, 02 équations différentielles et 02
pulsations propres ( 𝜔1, 𝜔2).

IV.1 .1 Les type de couplages

a) Couplage Elastique :

Le couplage dans les systèmes mécaniques est assuré par élasticité. Dans les systèmes électriques, on
trouve les circuits couplés par capacité, ce qui est équivalent au couplage
par élasticité.

Les équations différentielles correspondant :

𝑚1 𝑥1̈ = −𝑘1 𝑥1 − 𝑘 (𝑥1 − 𝑥2 )

𝑚2 𝑥2̈ = −𝑘2 𝑥2 − 𝑘 (𝑥2 − 𝑥1 )

13
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

Donc :

̈ 𝑘1 𝑘
𝑥1 = − 𝑥1 − ( 𝑥1 − 𝑥2 )
𝑚1 𝑚1

̈ 𝑘2 𝑘
𝑥2 = − 𝑥2 − ( 𝑥2 − 𝑥1 )
𝑚2 𝑚2

Dans le cas général, la résolution analytique de ce système est complexe.

Envisageons le système simplifié dans lequel les masses et les raideurs de ressorts sont identiques et
𝑘
posons : 𝜔02 = 𝑚 , on a donc :

𝑥1 + 𝜔02 (2̈ 𝑥1 − 𝑥2 ) = 0

𝑥2 + 𝜔02 (2̈ 𝑥2 − 𝑥1 ) = 0

Par analogie avec l’oscillateur harmonique on suppose que les solutions sont de la forme :

̃1 𝑒 𝑗𝜔𝑡
̌1 = 𝐴
𝑥
𝑥 ̃2 𝑒 𝑗𝜔𝑡
̌2 = 𝐴

L’introduction de ces solutions dans le système précédent donne :

(−𝜔2 + 2 𝜔02 )𝑥1̌− 𝜔02 𝑥

̌2 = 0
− 𝜔02 ̌
𝑥1 + 𝑥
̌(
2 2 𝜔 2
0 − 𝜔2 ) = 0

La première solution de ces deux équations conduit à trouver :

̌
𝑥2 = −̃ ̌1 = − 𝐴
𝑥1 ce qui donne 𝐴 ̌2
Et la deuxiéme solution conduit à : 𝑥2̌= ̃𝑥1

Donc, si le systéme oscille avec la pulsation 𝜔1, on a la solution antisymétrique.

Et si : 𝜔1 = 𝜔2 , on obtient la solution symétrique.

14
Université Hadj - Lakhdar-Batna-Prof. Youb Lamia Faculté de technologie 2013-2014

Dans le cas générale, la solution est une combinaison linéaire de solutions harmoniques de pulsations 𝜔1
et 𝜔2

𝑥1 (𝑡) = 𝐴 cos(𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ) + 𝐴 cos(𝜔2 𝑡 + 𝜑2 )

𝑥2 (𝑡) = −𝐴 cos(𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ) + 𝐴 cos(𝜔2 𝑡 + 𝜑2 )

VI.2. Phénomène de battement :

Lorsque le couplage est faible (k faible), les pulsations propres des 2 oscillateurs (𝜔1 𝑒𝑡 𝜔2) sont
voisines 𝜔1 ~𝜔2 avec :
∆𝜔 = 𝜔2 − 𝜔1 est faible, il se produit un phénomène de battement. Les 2 oscillateurs se transmettent de
l’énergie entre eux et vibres avec une pulsation 𝜔 égal à la moyenne des deux pulsations propres : 𝜔 =
1 2𝜋 4𝜋
( 𝜔2 + 𝜔1 ), avec une période qui est égale : 𝑇 = 𝜔 = (𝜔 + 𝜔 ) ; Tandis que la pulsation
2 2 1
1 4𝜋
du battement est égale à : 𝜔𝑏 = ( 𝜔2 − 𝜔1 ), avec une période de : 𝑇𝑏 =
2 (𝜔2 − 𝜔1)

15