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    TD2 Mécanique Quantique 2020

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    sakhir sarr
    Le document présente deux exercices sur les paquets d'ondes. L'exercice 1 décrit une superposition de trois ondes planes et demande de calculer la fonction d'onde résultante et la vitesse de groupe. L'exercice 2 s'intéresse à l'étalement d'un paquet d'ondes au cours du temps, en reliant la dispersion en impulsion à la dispersion spatiale, et demande de calculer le temps nécessaire pour que la largeur du paquet soit doublée pour un électron et une gouttelette d'eau.

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    FST Mohammedia Année universitaire 2020-2021

    Département de Physique
    Pr. HABBOU

    Travaux dirigés de Mécanique Quantique


    Série n°2 : Les paquets d’ondes

    Exercice n°1 : Superposition de trois d’ondes (paquet d’ondes)

    On associe à une particule se déplaçant suivant O𝐱, un paquet d’ondes planes d’amplitude F(k).
    Chacune de ces ondes s’écrit : 𝜳​n​(𝐱,t) = F(k​n​) exp[𝓲(k​n​𝐱 - 𝝎​n​t)]
    On s'intéresse à 3 ondes particulières du paquet d’ondes de vecteurs d’ondes :
    k​0​ , k​0​ - ∆k/2 , k​0​ + ∆k/2
    L’onde de vecteur d’onde k​0 ​est d’amplitude F(k​0​) et les 2 autres ondes sont d’amplitudes F(k​0​)/2.
    1) Déterminer la fonction d’onde 𝜳(𝐱,t) somme des 3 ondes précédentes.
    2) Calculer la position du maximum de 𝜳(𝐱,t).
    En déduire la vitesse de propagation de ce maximum 𝓿​g​ lorsque ∆k devient très petit.

    Exercice n°2 : Étalement du paquet d’ondes

    On considère une particule quantique libre de masse m

    1) Retrouver la relation de dispersion correspondante.


    2) On considère que l’état de la particule quantique est représenté par un paquet d’ondes formé
    d’ondes planes progressives, dont les vecteurs d’ondes sont distribués autour d’une valeur
    moyenne k​0 avec une dispersion ∆k, qui détermine l’extension spatiale initiale ∆𝐱​0 du paquet
    d’ondes à l’instant t=0. La pulsation moyenne correspondant à k​0​ est notée 𝝎​0​.
    a) Rappeler la définition de la vitesse de groupe (𝓿​g0​), et déterminer son expression.
    b) Montrer en utilisant la relation de dispersion qu’à la largeur ∆k correspond une dispersion de
    la vitesse de groupe ∆𝓿​g​, autour de la valeur moyenne (𝓿​g0​).
    Exprimer ∆𝓿​g fonction
    ​ de ħ, m et ∆𝐱​0​ .
    c) En déduire la largeur du paquet d’ondes ∆𝐱(t) après un déplacement d’une durée t depuis
    l’origine. Déterminer l’instant t​0​ pour lequel la largeur du paquet d’ondes a doublé.
    d) Application numérique ​: Calculer t​0​ pour :
    ● Un électron, de masse m = 10​-30​ Kg, initialement confiné dans un atome ∆𝐱​0 =
    ​ 10​
    -10​
    m.
    ● Une gouttelette d’eau, de rayon égal à 10 𝝁m et de masse m = 4 x 10​-12​ Kg.
    Commenter les valeurs numériques obtenues.

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