FSR TD-Mécanique des Milieux Continus 2023/2024

Série 1

I. Notation indicielle et Tenseurs

Soient 𝑓 et 𝑣⃗ respectivement une application linéaire et un vecteur.
1. En utilisant le symbole de Lévi Civita, donner une formule indicielle permettant
d’exprimer le vecteur rotationnel d’un vecteur, en déduire 𝑟𝑜𝑡𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 0 ⃗⃗ et 𝑑𝑖𝑣𝑟𝑜𝑡𝑣⃗ = 0
2. Ecrire la trace d’une matrice en utilisant la convention d’Einstein.
3. En adoptant la convention d’Einstein, a-t-on le droit d’écrire les formules suivantes ?
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 + 𝑏𝑘𝑙 𝑥𝑘 𝑥𝑙 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 )𝑥𝑖 𝑥𝑗
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 + 𝑏𝑘𝑙 𝑥𝑘 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 )𝑥𝑖

4. Montrer que la symétrie est une propriété tensorielle, c'est-à-dire que si un tenseur 𝑆 est
symétrique 𝑆𝑖𝑗 = 𝑆𝑗𝑖 dans une base 𝐵 = (𝑒⃗1 , 𝑒⃗2 , 𝑒⃗3 ) alors cette propriété est également vraie
dans toute autre base 𝐵 ′ = (𝑒⃗1′ , 𝑒⃗2′ , 𝑒⃗3′ ). De même pour l’antisymétrie.
5. Soit 𝑆 un tenseur symétrique, 𝐴 un tenseur antisymétrique et 𝑇untenseur quelconque,
montrer que l’on a toujours 𝑆: 𝐴 = 0 𝑆: 𝑇 = 𝑆: 𝑇 𝑠 où 𝑇 𝑠 est la partie symétrique de 𝑇

II. Dérivée matérielle et eulérienne

On considère la transformation d’une barre, de longueur initiale 2, donnée par 𝑥 = (1 + 𝑡)𝑋.
Cette barre est soumise à une élévation de température donnée par 𝑇 = 𝑋𝑡 2 .
1- Calculer la dérivée matérielle de la température, sa dérivée temporelle eulérienne et la
dérivée convective
2- Vérifier que la somme des dérivées eulérienne et convective rend bien la dérivée
lagrangienne.

III. Transformations des vecteurs de base et déformations

Exercice 1 :
On considère un domaine 2𝐷 rapporté à un repère (𝑂, 𝐸⃗⃗1 , 𝐸⃗⃗2 ) qui se déforme selon la
transformation 𝑥⃗ = 𝑓(𝑋⃗, 𝑡) qui s'écrit :

1
𝑥1 = (18𝑡 + 4𝑋1 + 6𝑡𝑋2 )
{ 4
1
𝑥2 = (14𝑡 + (4 + 2𝑡)𝑋2 )
4
1- Calculer le gradient de la transformation
2- Donner les transformés de des deux vecteurs 𝐸⃗⃗1 𝑒𝑡 𝐸⃗⃗2 à l’instant 𝑡 = 1
3- On considère deux vecteurs 𝑒⃗1 𝑒𝑡 𝑒⃗2 , actuellement, orientés parallèlement aux axes,
quelle était leurs orientations dans la configuration initiale.
4- Calculer les déformations pour 𝑡 = 1 d’abord pour les tenseurs droit et gauche de Cauchy-
Green et ensuite pour les déformations de Green-Lagrange et Euler-Almansi.
Exercice 2 : Etat de déformation homogène triaxiale
 On considère une déformation homogène triaxiale définie par les relations suivantes
𝑥1 = 𝜆1 𝑋1
: {𝑥2 = 𝜆2 𝑋2
𝑥3 = 𝜆3 𝑋3
1- Déterminer alors les composantes, dans la base orthonormée directe (𝐸⃗⃗1 , 𝐸⃗⃗2 , 𝐸⃗⃗3 ) des
tenseurs suivants :
𝐹 Tenseur gradient 𝑑𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝑑𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
𝐶 Tenseur de Cauchy Green Droit.
𝐸 Tenseur de déformation de Green Lagrange.
𝐵 Tenseur de Cauchy Green Gauche.
A Tenseur de déformation d’Euler Almansi.
2- Constater que l’on a bien la relation : 𝐴 = 𝐹 −𝑡 . 𝐸. 𝐹 −1 .
3- Donner les composantes du tenseur de Green Lagrange dans la base orthonormée
(𝑒⃗1 , 𝑒⃗2 , 𝑒⃗3 ) définie par :
√2
𝑒⃗1 = (𝐸⃗⃗ + 𝐸⃗⃗2 )
2 1
√2
𝑒⃗2 = (−𝐸⃗⃗1 + 𝐸⃗⃗2 )
2
{ 𝑒⃗3 = 𝐸⃗⃗3
Exercice 3 :
On considère le champ de déplacement donné par les relations suivantes : 𝑢 ⃗⃗(𝑋𝑗 , 𝑡) = 𝑥⃗ − 𝑋⃗ =
𝑘𝑋2 𝐸⃗⃗1
1- Déterminer alors les composantes, dans la base orthonormée directe (𝐸⃗⃗1 , 𝐸⃗⃗2 , 𝐸⃗⃗3 ) des
tenseurs suivants :
𝐹 Tenseur gradient ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑥 = 𝐹𝑑𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
𝐶 Tenseur de Cauchy Green Droit.
𝐸 Tenseur de déformation de Green Lagrange.
𝐵 Tenseur de Cauchy Green Gauche.
A Tenseur de déformation d’Euler Almansi.
2- Constater que l’on a bien la relation : 𝐴 = 𝐹 −𝑡 . 𝐸. 𝐹 −1
On se place au point 𝑀0 de coordonnées (1,1,0). Soient 𝑎⃗ le vecteur représentant la
bissectrice du plan (𝐸⃗⃗1 , 𝐸⃗⃗2 ) et 𝑏⃗⃗ le vecteur représentant la trisectrice du trièdre : 𝑎⃗ = 𝐸⃗⃗1 +
𝐸⃗⃗2 𝑏⃗⃗ = 𝐸⃗⃗1 + 𝐸⃗⃗2 + 𝐸⃗⃗3 .
Calculer la dilatation linéaire en 𝑀0 dans les directions 𝐸⃗⃗1 , 𝐸⃗⃗2 , 𝑎⃗ 𝑒𝑡 𝑏⃗⃗.
Calculer les distorsions angulaires suivantes : 𝛾(𝑀0 , 𝐸⃗⃗1 , 𝐸⃗⃗2 ) 𝛾(𝑀0 , 𝐸⃗⃗1 , 𝑎⃗).
−3
3- On a 𝑘 = 10 , en admettant la linéarisation, définir les composantes du tenseur de
déformation et du tenseur antisymétrique :
1 1
𝜀 = (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 ⃗⃗ + 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑡 𝑢 ⃗⃗) 𝜔 = (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 ⃗⃗ − 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑡 𝑢
⃗⃗)
2 2
Déterminer les composantes du vecteur associé au tenseur antisymétrique.
4- Tracer le tricercle de Mohr des déformations en 𝑀. Représenter sur ce tricercle les
vecteurs déformations purs dans les directions 𝐸⃗⃗1 , 𝐸⃗⃗2 , 𝑎⃗ 𝑒𝑡 𝑏⃗⃗ :
𝐷⃗⃗𝑝 (𝑀, 𝐸⃗⃗1 ) 𝐷 ⃗⃗𝑝 (𝑀, 𝐸⃗⃗2 ) 𝐷 ⃗⃗𝑝 (𝑀, 𝑏⃗⃗)

IV. Cinématique et déformations (à faire chez soi)

A. RTIBI Page 2
Problème 1
On considère un mouvement défini dans la base 𝐵 = (𝑒⃗1 , 𝑒⃗2 , 𝑒⃗3 ) par sa représentation
lagrangienne (𝜔 est une constante positive) :
𝑥1 = 𝑋1 cos(𝜔𝑡) − 𝑋2 sin(𝜔𝑡)
{𝑥2 = 𝑋1 sin(𝜔𝑡) + 𝑋2 cos(𝜔𝑡)
𝑥3 = 𝑋3
1. Calculer le tenseur gradient 𝐹 le tenseur des dilatations 𝐶 et le tenseur des déformations 𝐸
de ce mouvement au point 𝑋⃗ et à l'instant 𝑡.
2. A quelle classe particulière ce mouvement appartient-il ?
3. Pour un instant 𝑡 donné, calculer la dilatation en un point 𝑋⃗ et dans une direction ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑑𝑋.
⃗
4. Pour un instant 𝑡 donné, calculer le glissement en un point 𝑋 et pour deux directions
𝑑𝑋 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
orthogonales ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑋′.
5. On considère un milieu animé de ce mouvement, muni d'une masse volumique homogène
𝜌0 à l'instant 𝑡0 = 0 . Calculer le jacobien de la transformation, ainsi que la masse volumique
du milieu à l'instant 𝑡.
6. Calculer le champ de vitesse 𝑉 ⃗⃗ (𝑋⃗, 𝑡) et le champ d'accélération 𝛾⃗(𝑋⃗, 𝑡) en coordonnées
lagrangiennes.
7. Exprimer les coordonnées initiales à partir des coordonnées actuelles. Calculer le champ
de vitesse 𝑉⃗⃗ (𝑥⃗, 𝑡) et le champ d'accélération 𝛾⃗(𝑥⃗, 𝑡) en coordonnées eulériennes.
8. Calculer les tenseurs des taux de déformations eulériens 𝐷(𝑥⃗, 𝑡) et des taux de rotation
Ω(𝑥⃗, 𝑡).
9. On définit les coordonnées polaires lagrangiennes (𝑅, Θ, 𝑋3 ) par le changement de
variables (𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ) = (𝑅𝑐𝑜𝑠Θ, 𝑅𝑠𝑖𝑛Θ, 𝑋3 ) et les coordonnées eulériennes (𝑟, θ, 𝑥3 ) par le
changement de variables (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = (𝑟𝑐𝑜𝑠θ, 𝑟𝑠𝑖𝑛θ, 𝑥3 ). Expliciter les fonctions 𝑋𝑟 et 𝑋θ
définissant une nouvelle représentation lagrangienne du mouvement de la forme :
𝑟 = 𝑋𝑟 (𝑅, Θ, 𝑋3 , 𝑡)
{
θ = 𝑋θ (𝑅, Θ, 𝑋3 , 𝑡)
10. On définit une base curviligne polaire 𝐵 ′ = (𝑒⃗𝑟 , 𝑒⃗θ , 𝑒⃗3 ), telle que :

𝑒⃗𝑟 = 𝑒⃗1 𝑐𝑜𝑠θ + 𝑒⃗2 𝑠𝑖𝑛θ

{
𝑒⃗θ = −𝑒⃗1 𝑠𝑖𝑛θ + 𝑒⃗2 𝑐𝑜𝑠θ

On note alors le champ de vitesse dans cette nouvelle base :

⃗⃗ (𝑥⃗, 𝑡) = 𝑉𝑟 (𝑟, θ, 𝑥3 , 𝑡)𝑒⃗𝑟 + 𝑉θ (𝑟, θ, 𝑥3 , 𝑡)𝑒⃗θ + 𝑉3 (𝑟, θ, 𝑥3 , 𝑡)𝑒⃗3
𝑉
Indiquer l'expression des composantes polaires 𝑉𝑟 , 𝑉θ et 𝑉3 du champ de vitesse eulérien.
11. Calculer l'accélération centrifuge 𝛾𝑟 (𝑟, θ, 𝑡) et l'accélération tangentielle 𝛾θ (𝑟, θ, 𝑡) du
mouvement étudié.
12. Définir les trajectoires associées à ce mouvement

Problème 2 : Etude cinématique d'un tourbillon.

On considère un mouvement, défini dans la base orthonormée 𝐵 = (𝑒⃗1 , 𝑒⃗2 , 𝑒⃗3 ) par la
représentation eulérienne suivante :

𝑉1 = −𝐴(𝑥1 , 𝑥2 )𝑥2
{ 𝑉2 = 𝐴(𝑥1 , 𝑥2 )𝑥1
𝑉3 = 0

A. RTIBI Page 3
Dans cette représentation, 𝐴 est une fonction scalaire des deux coordonnées 𝑥1 , 𝑥2 définie par
𝛼
l'expression 𝐴(𝑥1 , 𝑥2 ) = 2𝜋 (𝑥12 + 𝑥22 )−1 où 𝛼 est une constante positive. Ce mouvement est
donc uniquement défini pour ‖𝑥12 + 𝑥22 ‖ > 0.
1. De quel type de mouvement s'agit-il ?
2. Montrer que la matrice du tenseur gradient de vitesse 𝐿 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑉 dans la base 𝐵 =
(𝑒⃗1 , 𝑒⃗2 , 𝑒⃗3 ) s'exprime par :
2 2
𝐴(𝑥1 , 𝑥2 ) 2𝑥1 𝑥2 𝑥1 − 𝑥2 0
𝐿= 2 ( 2 2 )
𝑥1 + 𝑥22 𝑥1 − 𝑥2 −2𝑥1 𝑥2 0
0 0 0
3. En déduire immédiatement les matrices du tenseur des taux de rotation Ω(𝑥⃗, 𝑡) et du
tenseur des taux de déformation eulériens 𝐷(𝑥⃗, 𝑡)
4. On considère un milieu continu de masse volumique 𝜌0 à l'instant 𝑡0 = 0 et animé de ce
mouvement. Calculer la divergence du champ de vitesse, et en déduire la masse volumique en
tout point et à tout instant 𝑡 > 0.
5. Montrer que l'accélération 𝛾⃗(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑡) en coordonnées eulériennes cartésiennes (c'est-
à-dire dans la base 𝐵 = (𝑒⃗1 , 𝑒⃗2 , 𝑒⃗3 ) s’exprime par :
−𝑥1
𝛾⃗(𝑥⃗, 𝑡) = 𝐴2 (𝑥1 , 𝑥2 ). |−𝑥2
0
6. On définit les coordonnées polaires lagrangiennes (𝑅, Θ, 𝑋3 ) par le changement de
variables (𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ) = (𝑅𝑐𝑜𝑠Θ, 𝑅𝑠𝑖𝑛Θ, 𝑋3 ) et les coordonnées eulériennes (𝑟, θ, 𝑥3 ) par le
changement de variables (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = (𝑟𝑐𝑜𝑠θ, 𝑟𝑠𝑖𝑛θ, 𝑥3 ). On définit également une base
curviligne polaire 𝐵 ′ = (𝑒⃗𝑟 , 𝑒⃗θ , 𝑒⃗3 ), telle que :

𝑒⃗𝑟 = 𝑒⃗1 𝑐𝑜𝑠θ + 𝑒⃗2 𝑠𝑖𝑛θ

{
𝑒⃗θ = −𝑒⃗1 𝑠𝑖𝑛θ + 𝑒⃗2 𝑐𝑜𝑠θ

Calculer l'accélération 𝛾⃗(𝑟, θ, 𝑥3 , 𝑡) en coordonnées eulériennes polaires.

7. Exprimer le champ de vitesse en coordonnées eulériennes polaires. En déduire que les
particules ont des trajectoires circulaires autour de l'origine, de vitesse angulaire :
𝛼
𝑉θ =
2𝜋𝑟
Donner sans calcul l'expression de la représentation polaire lagrangienne du mouvement sous
la forme 𝑟 = 𝑋𝑟 (𝑅, Θ, 𝑋3 , 𝑡) et θ = 𝑋θ (𝑅, Θ, 𝑋3 , 𝑡).
8. Démontrer que la représentation lagrangienne du mouvement dans la base cartésienne
sous la forme 𝑥⃗ = 𝑥⃗(𝑋⃗, 𝑡) s'exprime par :
cos(𝜔𝑡) −sin(𝜔𝑡) 0
𝑥⃗ = ( sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡) 0) 𝑋⃗
0 0 1
𝑉
Montrer que, dans cette expression, on a : 𝜔 = 𝑅θ = 𝐴(𝑥1 , 𝑥2 ).
9. Définir les trajectoires associées à ce mouvement, ainsi que les champs de vitesse et
d'accélération.
10. On considère le point de vecteur position 𝑥⃗ = 𝑟𝑒⃗2 . Calculer la matrice du tenseur des taux
de déformations eulériens en ce point. De quel type de déformation s'agit-il ? En déduire les
valeurs propres et les vecteurs propres du tenseur des taux de déformations eulériens en ce
point.

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