Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées

et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi

que les documents, sont interdits. La qualité de la rédaction sera un
facteur important d’appréciation des copies. Il est possible d’utiliser les
résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant
toutefois à préciser la référence du résultat utilisé.

L’épreuve comporte deux parties :

— Une première partie, composée d’exercices. Les candidats sont invités à
consacrer au moins un tiers du temps de l’épreuve à cette partie en cherchant
à traiter les cinq exercices numérotés 1, 2, 3, 4 et 5.
— Un problème à traiter au choix parmi deux proposés : le Problème 1, plu-
tôt orienté « Algèbre et Géométrie » ou bien le Problème 2, plutôt orienté
« Analyse et Probabilités ». Le candidat devra indiquer clairement sur
sa copie le problème qu’il choisit. Seul ce choix sera pris en compte
dans l’évaluation. Au moins la moitié du temps de l’épreuve devrait être
consacrée à l’un de ces problèmes.
Le barème tient compte de cette répartition indicative du temps à accorder à chaque
partie.

Exercices
Exercice 1
On note C 0 ([0, 1]) l’ensemble des applications continues de [0, 1] dans R et on le munit de la
norme uniforme k·k∞ définie par, pour toute f ∈ C 0 ([0, 1]),

kf k∞ = sup{|f (x)|, x ∈ [0, 1]}.

On introduit, pour toute f ∈ C 0 ([0, 1]), la fonction T (f ) : [0, 1] → R définie par :

(
1 Rx
x 0 f (t)dt si x ∈]0, 1] ;
T (f ) : x 7→
f (0) si x = 0.

On remarquera, et il n’est pas demandé de le justifier, que l’application T est linéaire.

On souhaite montrer que pour toute f ∈ C 0 ([0, 1]), (T n (f ))n∈N converge uniformément.
1. Montrer, pour toute f ∈ C 0 ([0, 1]), que T (f ) ∈ C 0 ([0, 1]).
2. On rappelle que l’on définit |||T |||, lorsque cette quantité existe, par

|||T ||| = sup{kT (f )k∞ , f ∈ C 0 ([0, 1]) et kf k∞ 6 1}.

Montrer que T est continue et que

|||T ||| 6 1.

3. On se donne dans cette question f ∈ C 0 ([0, 1]) puis un réel ε > 0.

a. Justifier l’existence de P ∈ R[X] tel que kf − P k∞ 6 ε.

1
 b. Montrer que

∀ n ∈ N, kT n (f ) − f (0)k∞ 6 kT n (P ) − P (0)k∞ + 2ε.

c. Conclure alors que (T n (f ))n∈N converge uniformément vers f (0).

Exercice 2
On se donne deux matrices A et B dans Mn (C) (avec n entier naturel non nul) et on se
propose de montrer que A et B ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe
M ∈ Mn (C) non nulle telle que M A = BM .
1. Condition suffisante
On suppose dans cette question que M A = BM pour une certaine M ∈ Mn (C) non nulle.
a. Montrer, pour tout P ∈ C[X], que M P (A) = P (B)M .
b. En déduire que A et B ont une valeur propre commune.
On pourra appliquer le résultat précédent avec P égal au polynôme caractéristique de A.
2. Condition nécessaire
On suppose dans cette question que A et B ont une valeur propre commune λ.
a. Montrer que Sp( tA) = Sp(A) (c’est-à-dire que tA et A ont mêmes valeurs propres).
Ainsi, il existe X ∈ Mn,1 (C) et Y ∈ Mn,1 (C) non nulles telles que
t
AX = λX et BY = λY.

b. À l’aide de X et de Y , construire M non nulle telle que M A = BM .

Exercice 3
On considère k·k une norme sur Rn (avec n entier naturel non nul) et C une partie convexe
compacte non vide de Rn .
On rappelle que f : C → C est dite K-lipschitzienne (avec K ∈ R+ ) si

∀ (x, y) ∈ C 2 , kf (y) − f (x)k 6 Kky − xk,

et contractante si elle est K-lipschitzienne pour un certain K ∈ [0, 1[.

On se donne f : C → C 1-lipschitzienne et on veut montrer que f admet un point fixe.
Pour cela, on fixe x0 ∈ C et on pose, pour tout n ∈ N∗ , fn : C → C définie par :
1  1
fn : x 7→ x0 + 1 − f (x).
n n

1. Montrer, pour tout n ∈ N∗ , que fn est bien définie et qu’elle admet un unique point fixe
xn . On montrera que fn est contractante, et on énoncera précisément le théorème utilisé.
2. En déduire que f admet un point fixe.
3. Ce résultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus C compacte ? si on ne suppose plus C
convexe ?

Exercice 4
On se donne P et Q dans Z[X] premiers entre eux dans Q[X] et on pose, pour tout n ∈ N,

un = P (n) ∧ Q(n)

2
où la notation x ∧ y désigne le plus grand commun diviseur de x et y. Le but de l’exercice est
de montrer que (un )n∈N est périodique.
1. Montrer qu’il existe d ∈ N∗ tel que pour tout n ∈ N, un divise d.
On pourra utiliser le théorème de Bézout.
2. Montrer, pour tous R ∈ Z[X] et n ∈ N, que R(n + d) − R(n) est divisible par d.
3. Conclure.

Exercice 5
On se donne p ∈]0, 12 [ et on suppose que (Xn )n∈N∗ est une suite de variables aléatoires
indépendantes valant 1 ou −1 avec probabilité respectivement p et 1 − p.
On pose alors S0 = 0 et, pour tout n ∈ N∗ ,

Sn = X1 + · · · + Xn .

1. Montrer qu’il existe t0 > 0 tel que pet0 + (1 − p)e−t0 < 1.

2. Montrer qu’il existe α et β dans ]0, 1[ tels que

∀ n ∈ N, ∀ k ∈ Z, P (Sn > k) 6 αk β n .

On pourra remarquer que ∀ t > 0, Sn > k ⇔ etSn > etk .

3. Montrer que Sn tend vers −∞ presque sûrement quand n → ∞.

3
 Problème d’algèbre et géométrie

Étant donné un entier d > 2, on considère D : Rd → Rd défini par

D : (a1 , . . . , ad ) 7−→ (|a2 − a1 |, . . . , |ad − ad−1 |, |a1 − ad |).

Quitte à indexer les d-uplets modulo d, on peut écrire :

D : (ak )k∈{1,...,d} 7−→ (|ak+1 − ak |)k∈{1,...,d} .

On appelle suite de Ducci les suites (Dn (a))n∈N pour a ∈ Rd (où Dn = D ◦ · · · ◦ D). Le but
de ce problème est d’étudier ces suites.

Plus précisément, on se propose de montrer qu’elles stationnent à 0 quel que soit a ∈ Zd si

et seulement si d est une puissance de 2, d’étendre ce résultat quand a ∈ Rd et d’étudier le
cas où d n’est pas une puissance de 2.

Pour cela, on considère ∆ : (Z/2Z)d → (Z/2Z)d défini par

∆ : (α1 , . . . , α2 ) 7−→ (α1 + α2 , . . . , αd−1 + αd , αd + α1 ),

ce qu’on pourra également écrire :

∆ : (αk )k∈{1,...,d} 7−→ (αk + αk+1 )k∈{1,...,d}

On remarquera que ∆ est linéaire et a pour matrice dans la base canonique I d + J d où Id

désigne la matrice identité de Md (R),
 
0 1 ··· 0
. . . .. 
 .. .. .. .
Jd =   ∈ Md (R),

0 0 · · · 1

1 0 ··· 0

n désigne la classe de n ∈ Z dans Z/2Z, a celle de a ∈ Zd dans (Z/2Z)d et A celle de

A ∈ Md (Z) dans Md (Z/2Z). Enfin, pour tout a ∈ Rd , on note

kak∞ = max{|a1 |, . . . , |ad |}.

I. Étude du cas entier

1. Préliminaires
d , que kD(a)k
Justifier, pour tout a ∈ R+ ∞ 6 kak∞ .
On montre alors par récurrence, et il n’est pas demandé de le faire, que

∀ n ∈ N, kDn (a)k∞ 6 kak∞ .

2. Justifier, pour toutes A et B dans Md (Z/2Z) telles que AB = BA, que

(A + B)2 = A2 + B 2 ,

4
 n
et en déduire une expression, pour tout n ∈ N, de (A + B)2 .
3. Justifier, pour tout a ∈ Zd , que
D(a) = ∆(a).
On montre alors par récurrence, et il n’est pas demandé de le faire, que

∀ n ∈ N, Dn (a) = ∆n (a).

4. On suppose dans cette question que d = 2k avec k ∈ N∗ .

On se donne a ∈ Zd et on veut montrer qu’il existe n ∈ N tel que Dn (a) = 0Rd .
a. Montrer que pour tout b ∈ Zd , il existe n ∈ N tel que Dn (b) a toutes ses coordonnées
paires.
b. En déduire que pour tout p ∈ N, il existe n ∈ N tel que Dn (a) a toutes ses coordonnées
divisibles par 2p . On rédigera une récurrence soignée, en précisant bien son hypothèse.
c. Conclure.
5. Déterminer, pour tout entier d > 2, le polynôme minimal de J d .
6. On suppose dans cette question que d = 2k m avec k ∈ N∗ et m > 3 impair.
a. Montrer que ∆ n’est pas nilpotente. [On pourra supposer ∆ nilpotente et aboutir à
k
une absurdité en montrant que (X 2 + 1)m = X d + 1.]
b. Montrer alors qu’il existe α ∈ (Z/2Z)d tel que

∀ n ∈ N, ∆n (α) 6= 0(Z/2Z)d ,

puis qu’il existe a ∈ Zd tel que

∀ n ∈ N, Dn (a) 6= 0Rd .

II. Étude des longueurs

Pour tout a ∈ Rd , on note Λ(a) le plus petit n ∈ N, s’il existe, tel que Dn (a) = 0Rd et on
l’appelle longueur de a. Dans le cas contraire, on pose Λ(a) = +∞.
On suppose désormais dans cette partie que d = 2k avec k ∈ N∗ . Ainsi, d’après la partie
précédente, tout a ∈ Zd est de longueur finie.
On dit que f : Rd → Rd est K-lipschitzienne si

∀ (x, y) ∈ (Rd )2 , kf (y) − f (x)k∞ 6 Kky − xk∞ ,

et lipschitzienne s’il existe un réel K tel que f est K-lipschitzienne. On remarquera qu’une
fonction lipschitzienne est continue.
7. Déterminer le plus petit réel K tel que D est K-lipschitzienne.
8. Exemple d’une longueur infinie
On pose  
−1 1 0 ··· 0
 .. .. 

 0 −1 1 . .

 .. .. .. .. 
C= . . . . 0 ∈ Md (R)
 
 
0 ··· 0 −1 1
 

 
−1 0 ··· 0 1

5
et
Q = det(XI − C).

a. Calculer Q.
b. Justifier que Q(0) = 0, Q0 (0) < 0 et Q(1) > 0.
En déduire qu’il existe λ ∈]0, 1[ tel que Q(λ) = 0.
c. Montrer qu’il existe un vecteur propre u ∈ Rd de C à coordonnées positives.
d. On fixe dans cette question un vecteur u ∈ Rd donné par la question précédente.
Montrer que u est de longueur infinie.
9. Application
Montrer que les longueurs des vecteurs à coordonnées entières ne sont pas uniformément
bornées, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’entier N tel que

∀ a ∈ Zd , Λ(a) 6 N.

III. Étude du cas réel

10. Lemme fondamental

d . On suppose que la suite (kD n (a)k )
On se donne un entier d > 2 et a ∈ R+ ∞ n∈N est constante
égale à c > 0. Montrer que
a ∈ {0, c}d .

11. On suppose dans cette question que d = 2k avec k ∈ N∗ . On se donne a ∈ Rd et on se

propose de montrer que
lim kDn (a)k∞ = 0.
n→∞

a. Justifier que la suite (kDn (a)k∞ )n∈N converge.

b. Soit v ∈ Rd une valeur d’adhérence de (Dn (a))n∈N .
i. Montrer que
lim kDn (a)k∞ = kvk∞ .
n→∞

ii. En déduire que

∀ n ∈ N, kDn (v)k∞ = kvk∞ .

iii. Montrer alors que v = 0Rd .

c. Conclure.

IV. Étude des périodes

Pour tout a ∈ Rd , si la suite (Dn (a))n∈N est périodique à partir d’un certain rang, on dit
qu’un entier n > 1 est une période de a si

∃ r ∈ N, Dr+n (a) = Dr (a)

ou, de façon équivalente, si

∃ r ∈ N, ∀ k > r, Dk+n (a) = Dk (a).

6
On note alors τ (a) la plus période de a et on l’appelle la période de a. Dans le cas contraire,
on pose τ (a) = +∞.
On suppose désormais dans cette partie que d = 2k m avec k ∈ N∗ et m > 3 impair. On se
propose de montrer que les vecteurs à coordonnées entières ont des périodes finies, uniformé-
ment bornées, et d’étudier la plus grande d’entre elles. Pour cela, on note (ed1 , . . . , edd ) la base
canonique de Rd ((ed1 , . . . , edd ) celle de (Z/2Z)d ), et

Td = τ (ed1 ).

12. Soit a ∈ Zd .
a. Justifier que (Dn (a))n∈N est périodique à partir d’un certain rang.
Ainsi, τ (a) < +∞.
b. Montrer qu’il existe n ∈ N, c ∈ N∗ et v ∈ {0, 1}d tels que Dn (a) = cv.
Ainsi, τ (a) = τ (v).
c. Justifier, pour tout u ∈ {0, 1}d , qu’un entier n > 1 est une période de u si et seulement
si
∃ r ∈ N, ∆r+n (u) = ∆r (u).

d. En déduire que τ (a) divise Td .

Ainsi, Td est la plus grande période des éléments de Zd .
13. On se donne dans cette question un entier q > 3. On note (X q + 1) l’idéal principal
engendré par X q + 1 dans (Z/2Z)[X] et on pose

Eq = (Z/2Z)[X]/(X q + 1).

On note P la classe de P ∈ (Z/2Z)[X] dans Eq et on définit Φq : Eq → Eq par

Φq : P 7−→ (X + 1)P .

q−1
a. Montrer que (X , . . . , X, 1) est une base de Eq , que l’on note Bq .
b. Déterminer la matrice de Φq dans la base Bq .
c. En déduire qu’un entier n > 1 est une période de eq1 si et seulement si

∃ r ∈ N, X q + 1 | ((X + 1)r+n − (X + 1)r )

où la notation P | Q signifie que P divise Q (dans Z/2Z[X]).

14. Application
a. On suppose dans cette question qu’un entier n > 1 est une période de ed1 . En utilisant
la question précédente, montrer que 2n est une période de e2d
1 .
b. Réciproquement, on suppose dans cette question qu’un entier p > 1 est une période
de e2d
1 . On souhaite alors montrer que p est pair et, en notant n = p/2, que n est une période
de ed1 .
i. Montrer qu’il existe Q ∈ Z/2Z[X] et r un entier naturel pair tels que
k+1
(X m + 1)2 Q = (X + 1)r+n − (X + 1)r .

ii. Supposer que p est impair et aboutir à une absurdité. [On pourra dériver la relation
précédente puis montrer que X m + 1 = (X + 1)m .]

7
 iii. En notant n = p/2, montrer que n est une période de ed1 .

On en déduit alors, et il n’est pas demandé de le rédiger, que T2d = 2Td . En itérant ce résultat,
on obtient :
T2k m = 2k Tm ,
ce qui permet de ramener le calcul de Td à celui de Tm .

15. Étude de Tm
On suppose désormais que k = 0, c’est-à-dire que d = m (avec m impair et m > 3). On pose

Hm = Im + Jm .

a. Montrer que Tm est le plus petit entier n > 1 tel que

r+n r
∃ r ∈ N, H m = H m.

b. Justifier l’existence d’un sur-corps K de Z/2Z dans lequel X m + 1 est scindé.

c. Montrer alors que H m est diagonalisable dans K.
d. Une première expression
Déduire des résultats précédents que
n+1
Tm = min{n ∈ N∗ | H m = H m }.

e. Une deuxième expression

On considère la forme linéaire f : (Z/2Z)m → Z/2Z définie par

f : (α1 , . . . , αm ) 7→ α1 + · · · + αm .

i. Montrer que
Im∆ = Kerf.

ii. Donner une base de Ker∆.

iii. En déduire que ∆ induit un endomorphisme de Kerf , et que cet endomorphisme
ˆ
est un isomorphisme, que l’on note ∆.
iv. On pose εm m m m m m m m
1 = e1 + e2 , . . . , εm−1 = em−1 + em . Montrer que (ε1 , . . . , εm−1 ) est une
base de Kerf , et déterminer la matrice Γm de ∆ ˆ dans cette base.
v. Montrer enfin que
Tm = ord(Γm ),
où ord(Γm ) désigne l’ordre de Γm en tant qu’élément du groupe multiplicatif GLm−1 (Z/2Z).

8
 Problème d’analyse et probabilités

∗
On note S l’ensemble RN des suites réelles indexées par N∗ . On s’intéresse dans ce problème
aux fonctions f : R → R qui, pour une certaine suite r ∈ S , vérifient la propriété suivante :
n−1  k
∀ n ∈ N∗ ,
X
∀ x ∈ R, f x+ = rn f (nx). (Rr )
k=0
n

On dit alors que r est une résolvante de f . On désigne par Er l’ensemble des fonctions
f : R → R vérifiant (Rr ).
On remarquera, et on pourra l’utiliser sans justification, que Er est un R-espace vectoriel.
On note également E l’ensemble des f : R → R pour lesquelles il existe r ∈ S telle que f
vérifie (Rr ). On se propose ici d’étudier quelques propriétés de E . On déterminera notamment
les éléments de E qui sont C ∞ .

I. Quelques exemples et premières propriétés

1. On se donne dans cette question f dans E non identiquement nulle. Montrer que f a une
unique résolvante r et que r1 = 1.
2. Montrer que les fonctions constantes sont dans E et déterminer les réels c tels que x 7→ x+c
est dans E .
3. L’ensemble E est-il un R-espace vectoriel ?
4. Soient C : R → R et S : R → R définies par :
C : x 7→ cos(2πx) et S : x 7→ sin(2πx).
Montrer que les fonctions C et S sont dans E et en préciser les résolvantes.
5. Exemple de solution continue non dérivable
Soit ϕ : R → R définie par :
∞
X 1
ϕ : x 7→ sin(2j+1 πx).
j=0
2j

a. Justifier que ϕ est bien définie et continue.

b. Montrer que ϕ est dans E et en préciser la résolvante.
c. Montrer enfin que ϕ n’est pas dérivable. [On pourra étudier 2k ϕ(2−k ) pour k ∈ N.]
6. On se donne dans cette question f dans E dérivable et non constante. Montrer que f 0 est
dans E et en préciser la résolvante.
7. Exemple de solution non continue
Soit ψ : R → R définie par :
ψ : x 7→ bxc
(où bxc désigne la partie entière de x, c’est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à x).
a. Montrer que ψ est dans E et en préciser la résolvante.
b. Dans cette question seulement, on étend la relation (Rr ) aux distributions. Déterminer
la dérivée ψ 0 de ψ et une suite r telle que ψ 0 vérifie (Rr ).

9
II. Étude des solutions C ∞ et 1-périodiques
On rappelle que si f : R → R est une fonction C ∞ et 2π-périodique, alors, pour tout n ∈ Z,
Z 2π
1
cn (f ) = f (t)e−ınt dt
2π 0

est le n-ième coefficient de Fourier de f .

8. Préliminaires
On se donne dans cette question f : R → R une fonction C ∞ et 2π-périodique.
a. Calculer cn (f (k) ) pour tous n ∈ Z et k ∈ N. On exprimera le résultat en fonction de
cn (f ).
b. En déduire, pour tout k ∈ N, que limn→∞ nk cn (f ) = 0.
9. On se donne dans cette question f dans E . On suppose que f est C ∞ , 1-périodique et
non constante, et on note r sa résolvante. On définit f˜ : R → R par :
x

f˜ : x 7→ f .
2π
On remarque alors que f˜ est 2π-périodique et on pose

cn = cn (f˜).

a. Montrer que pour tous p ∈ Z et n ∈ N∗ ,

ncpn = rn cp .

b. Montrer que c1 6= 0.
c. On se donne dans cette question un entier q > 2. Montrer que
 c n
q
∀ n ∈ N, cqn = c1 ,
c1
et en déduire que cq = 0.
10. Déterminer enfin les éléments de E qui sont C ∞ et 1-périodiques.

III. Polynômes de Bernoulli

11. Montrer, pour toute f : R → R continue et tout réel t, que

1 n−1
X t Z 1
k
lim f + = f (x)dx.
n→∞ n n n 0
k=0

12. En déduire, pour toute f dans E continue et non constante, que

Z 1
f (x)dx = 0.
0

13. On se donne dans cette question f dans E continue, non identiquement nulle, de résol-
vante r.
R1
a. Justifier l’existence d’une unique F : R → R C 1 telle que F 0 = f et 0 F (x)dx = 0.

10
On définit alors, pour tout n ∈ N∗ , Gn , Hn : R → R par :
n−1
X  k
Gn : x 7→ F x+ et Hn : x 7→ F (nx).
k=0
n

Z 1 Z 1
n n
b. Calculer, pour tout n ∈ N∗ , Gn (x)dx et Hn (x)dx.
0 0
c. En déduire que F est dans E et en préciser la résolvante.

Ainsi, on peut définir une suite (Bp )p∈N d’éléments de E par :

(
B0 = 1 ;
∀ p ∈ N∗ , Bp0 = pBp−1 et 01 Bp (x)dx = 0.
R

On remarquera que c’est une suite de polynômes, appelés polynômes de Bernoulli.

14. Déterminer, pour tout p ∈ N, le degré, le coefficient dominant et la résolvante de Bp .

IV. Étude des solutions C ∞ et non 1-périodiques

On définit, pour toute f : R → R, ∆(f ) : R → R par :

∆(f ) : x 7−→ f (x + 1) − f (x).

15. On se donne dans cette question P = pk=0 ak X k un polynôme réel de degré p > 1.
P

Calculer le degré et le coefficient dominant de ∆(P ).

16. On se donne dans cette question f dans E continue, de résolvante r. Montrer que

∀ n ∈ N∗ , ∀ x ∈ R, rn (∆(f ))(nx) = (∆(f ))(x).

17. On se donne dans cette question g : R → R C ∞ et on suppose qu’il existe α ∈ R tel

que
∀ x ∈ R, αg(2x) = g(x).

a. Montrer que x

∀ x ∈ R, ∀ k ∈ N, αk g(x) = g .
2k
b. Montrer, si |α| > 1, que g est nulle.
c. On suppose dans cette question que 0 < |α| 6 1. Montrer qu’il existe p ∈ N tel que
g (p)est nulle.
d. En déduire enfin que g est polynomiale.
18. On se donne dans cette question f dans E . On suppose que f est C ∞ , non 1-périodique,
et on note r sa résolvante.
a. Montrer que ∆(f ) est une fonction polynomiale non identiquement nulle. On note
alors q son degré.
b. Montrer que
1
∀ n ∈ N∗ , rn =
nq

11
et qu’il existe a ∈ R∗ tel que

∀ x ∈ R, (∆(f ))(x) = axq .

c. En déduire, pour tout p ∈ N∗ , que

∀ x ∈ R, (∆(Bp ))(x) = pxp−1 .

d. Montrer alors qu’il existe λ ∈ R∗ et p ∈ N∗ tels que f − λBp est dans E , C ∞ et

1-périodique, et en préciser une résolvante.
19. Déterminer enfin les éléments de E qui sont C ∞ et non 1-périodiques.

V. Étude des solutions L1

On rappelle que si f : R → C est dans L1 , sa transformée de Fourier est fb : R → C définie
par : Z +∞
fb : ξ 7−→ f (x)e−2ıπxξ dx.
−∞

20. Rappeler, pour toute f : R → R élément de L1 , pourquoi fb est bornée et continue.

21. On se donne une fonction f : R → R intégrable et on définit, pour tout n ∈ N∗ ,
gn , hn : R → R par :
n−1
X  k
gn : x 7−→ f x+ et hn : x 7−→ f (nx).
k=0
n

a. Calculer, pour tous ξ ∈ R et n ∈ N∗ , gbn (ξ) et h

b n (ξ). On exprimera les résultats en
fonction de fb(ξ).
1b
b. Calculer, pour tous ξ ∈ R, les limites de n gn (ξ)
b n (ξ) quand n → ∞.
et nh
22. On se donne dans cette question f dans E de résolvante r, et on suppose que f est L1 .
On suppose également que kfbk∞ 6= 0.
a. Montrer que fb(0) = 0.
b. Montrer que ∀ n ∈ N∗ , |rn | 6 n2 .
c. Aboutir à une absurdité.

Ainsi, si f est dans E et dans L1 , alors fb = 0 : on peut ensuite déduire des propriétés de la
transformation de Fourier, et il n’est pas demandé de le faire, que f est nulle presque partout.

23. Donner un exemple de fonction qui est élément de E , et de L1 et non identiquement

nulle (on notera que cette fonction est nécessairement nulle presque partout, en vertu de la
remarque précédente). [On pourra s’inspirer de la question 7.(b).]

12