M 08 Pi 2 e
M 08 Pi 2 e
M 08 Pi 2 e
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NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la
concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il est amené à prendre.
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Exercice
+∞ x a -1
On pose I (a,b) = ∫ 0 1+xb dx , où a et b sont réels.
1. Énoncer le ou les critères de convergence qui vous semblent adaptés à l’étude de cette intégrale.
2. Déterminer l’ensemble des couples (a,b) pour lesquels l’intégrale I (a,b) converge.
3. Représenter graphiquement ce domaine de convergence dans le plan (a,b).
Problème
Toutes les parties de ce sujet sont indépendantes entre elles et peuvent être traitées dans n’importe
quel ordre.
Partie I
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3.1 Montrer que les points de (C) d’abscisse x tels que f ′( x) = 0 sont situés sur deux droites dont
on précisera les équations.
3.2 Construire la courbe (C) pour x ∈ [ −2π ; 2π ] (échelle : π = 2 carreaux sur les axes).
4.1 Montrer que l’équation f ( x) = 0 admet dans tout intervalle I n une solution unique.
On note xn cette solution, qu’on ne cherchera pas à calculer.
π
4.2 Montrer que ∀ n ∈ N, xn < ( 2n +1) .
2
4.3 Donner un équivalent de xn quand n → + ∞ .
Partie II
Soit g une fonction réelle de variable réelle, de classe C1 par morceaux, de période T .
2π
On note ω = la pulsation de g , et Δ un intervalle de longueur T .
T
Pour n entier naturel, on note an et bn les coefficients de Fourier trigonométriques de g , donnés par :
1 2 2
T ∫Δ T ∫Δ T ∫Δ
a0 = g (t ) dt , an = g (t ) cos(nωt ) dt , bn = g (t ) sin(nωt ) dt pour n ≥1.
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2.3 Écrire le développement en série de Fourier de g .
2.4 Quelle est la somme de cette série ? (on énoncera de façon précise le théorème utilisé)
2.5 Exprimer rn et ϕn si elle existe.
( − 1) p
3. On considère la série numérique de terme général u p = pour p ≥ 0.
2p +1
3.1 Montrer que cette série est convergente.
3.2 Déduire de la question 2. la somme ∑u
p ≥0
p .
1
4.3 En déduire la valeur de ∑ 2 .
n ≥1 n
Partie III
4. Déterminer les solutions non nulles de (U) admettant une limite finie quand r tend vers 0.
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5. On ne conserve pour la suite que les solutions obtenues à la question 4 ci-dessus.
On impose de plus u' (1) = 0. Déterminer l’équation (Ω) que doit vérifier ω pour que cette
condition supplémentaire soit satisfaite.
6. Montrer graphiquement que l’équation (Ω) admet une solution et une seule dans tout intervalle
⎤π π ⎡
⎥⎦ 2 +nπ ; 2 + ( n+1) π ⎢⎣ où n est un entier naturel.
On notera ωn cette solution, qu’on ne cherchera pas à calculer.
7. Si n et p sont deux entiers naturels distincts, on note un et u p deux solutions de (U) associées
respectivement aux valeurs ωn et ω p solutions de (Ω).
Montrer que :
1
∫ 0 u (r ) u
n p (r ) r 2 dr = 0 .
Fin de l’énoncé.
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