ISFA - L3 Actuariat lerouvillois@math.univ-lyon1.

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Probabilités - Automne 2020 math.univ-lyon1.fr/homes-www/lerouvillois/
Éléments de correction TD 4
Tribus et Mesures

1 Tribus
Exercice 1.
Soit Ω un univers, et A, B des parties de Ω.
1. Quelle est la tribu engendrée par A ?
2. Quelle est la tribu engendrée par A et B ?
* 3. (à faire uniquement si on a ni le TD) : Soit Ω un univers, et A1 , . . . , An des parties de Ω.
Quel est le nombre maximal d'éléments que peut avoir la tribu engendrée par {A1 , . . . , An }?
Exercice 2. Entraînement QCM .
Soient (Ω, A) et (Ω0 , A0 ) deux espaces probabilisables, et f : Ω → Ω0 . Lesquelles des armations
ci-dessous sont vériées ?
a) {f −1 (A0 ), A0 ∈ A0 } est une tribu sur Ω.
b) {f (A), A ∈ A} est une tribu sur f (Ω).
c) {A0 ⊂ Ω0 , f −1 (A0 ) ∈ A} est une tribu sur Ω0 .
Exercice 3. Entraînement QCM .
Par quelles collections d'ensembles la tribu borélienne de R est-elle engendrée ?
a) Les intervalles ] − ∞, b] où b ∈ Z.
b) Les intervalles ouverts de R.
c) Les intervalles fermés de R.
d) Les intervalles ] − ∞, b] où b ∈ Q.
e) Les singletons {a} pour a ∈ R.
Par quelles collections de sous-ensembles de R2 la tribu borélienne de R2 est-elle engendrée ?
a) La collection des rectangles [a, a + s] × [b, b + t], pour a, b ∈ Q et s, t ∈ Q+
b) La collection des droites de R2
c) La collection des carrés [a, a + s] × [b, b + s], pour a, b ∈ Q et s ∈ Q+
d) La collection des singletons {x}, pour x ∈ R2
e) La collection des ouverts de R2
f) La collection des disques ouverts de R2
g) La collection des fermés de R2

1
2 Mesures
Exercice 4.
Montrer que les parties de R2 suivantes sont des Boréliens et calculer leur mesure de Lebesgue.
1. ∆ = {(x, x) ∈ R2 , x ∈ R}
2. A = {(x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 ≤ 1 et x ∈
/ Q}.

Correction exercice 4 :

1. On remarque que ∆ est fermé donc est un Borélien. Pour le montrer, on peut soit utiliser la
caractérisation séquentielle des fermés, soit remarquer que ∆ = f −1 ({0}) avec f : (x, y) 7→
x − y qui est une application continue et {0} un ensemble fermé.

Ensuite, pour calculer sa mesure de Lebesgue, nous allons revenir à la dénition en ap-
prochant ∆ par une union de rectangles dont on sait que la mesure de Lebesgue sur R2 est
égale à l'aire. On peut écrire G
∆= ∆n
n∈Z
avec
∆n = {(x, x) ∈ R2 , x ∈ [n, n + 1[}.
Or, pour tout M ∈ N∗ ,
M
[ k−1 k
∆n ⊆ [n + , n + ]2
k=1
M M
d'où,
M
X k−1 k
λ2 (∆n ) ≤ λ2 ([n + , n + ]2 )
k=1
M M
 2
1
=M×
M
1
= .
M
Ceci étant vrai pour tout entier M , on en déduit que
λ2 (∆n ) = 0
puis que
P
λ2 (∆) = n∈Z λ2 (∆n ) = 0.

2. On peut écrire
A=B∩C
avec
B = {(x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 ≤ 1} C = {(x, y) ∈ R2 , x ∈
/ Q} = Q × R.
On a que B = g −1 ([0, 1]) avec g : (x, y) 7→ x2 + y 2 qui est une fonction continue et [0, 1] qui
est fermé donc B est fermé. C'est donc un Borélien de R2 . Ensuite, Q est dénombrable donc
est un borélien de R car

2
 Toute partie dénombrable est mesurable par rapport à la tribu borélienne.

En eet, si D est dénombrable, D peut s'écrire comme

[
D= {x}
x∈D

et les singletons sont des boréliens donc une union dénombrable également. Par stabilité par
complémentaire, on en déduit que l'ensemble des irrationnels Q est également un borélien de
R.
On en déduit donc que
C = Q × R ∈ B(R) ⊗ B(R) = B(R2 )
où la dernière égalité a été vue en cours. Finalement,

A est un borélien de R2 comme intersection de deux boréliens B et C .

Pour calculer sa mesure de lebesgue, on utilise que

A=B\Q×R

donc
λ2 (A) = λ2 (B) − λ2 (B ∩ Q × R)

Or
λ2 (B) = π
car il s'agit de l'aire de la boule unité de R2 et

λ2 (B ∩ Q × R) ≤ λ2 (Q × R)
= λ1 (Q) × λ1 (R)
= 0 × +∞
= 0,

par règle de multiplication des mesures dans R+ ∪ ∞.

Finalement

λ2 (A) = π .

Remarque : le fait que Q soit de mesure de Lebesgue nulle vient encore du fait que Q est
dénombrable et donc
!
G X X
λ1 (Q) = λ1 {q} = λ1 ({q}) = 0 = 0.
q∈Q q∈Q q∈Q

3
Exercice 5. Un ensemble de Cantor.
Pour n ∈ N, on note
Cn = {x ∈ [0, 1], x n'a que des 0 ou des 9 dans son développement décimal jusqu'à l'ordre n},
c'est à dire l'ensemble des nombres qui s'écrivent x = 0, x1 · · · xn · · · avec (x1 , · · · xn ) ∈ {0, 9}. et
\
C= Cn
n∈N

1. Écrire Cn comme une union d'intervalles disjoints.

2. Calculer λ(Cn ) pour tout n puis λ(C).
Bonus : Montrer que l'ensemble C est indénombrable.

Correction exercice 5 :

1. On peut montrer que : G

Cn = Ix1 ,··· ,xn
(x1 ,...,xn )∈{0,9}n
avec
Ix1 ,··· ,xn := [0, x1 · · · xn , 0, x1 · · · xn + 10−n [,
et ces intervalles sont bien deux à deux disjoints.
2. On en déduit donc quelle
X
λ(Cn ) = λ(Ix1 ,··· ,xn )
(x1 ,...,xn )∈{0,9}n
X
= 10−n
(x1 ,...,xn )∈{0,9}n

= 2n × 10−n = 5−n .
Maintenant, comme les ensembles Cn sont décroissants (Cn+1 ⊆ Cn ) et de mesure nie, on
en déduit que \
λ(C) = λ( Cn ) lim λ(Cn ) = 0.
n→∞
n∈N

Bonus : Pour montrer que C est indénombrable, on peut utiliser le fait que C est en bijection avec
{0, 9}N qui est indénombrable (pour le montrer, on peut utiliser l'argument diagonal de Cantor).

Exercice 6.
Dans R, muni de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue notée λ, construire une suite
décroissante de boréliens (An )n∈N tels que
!
\
λ An 6= lim λ(An ).
n→∞
n∈N

Indication : à quelle condition sur la suite (An )n∈N a-t-on toujours l'égalité ? Il faut trouver une
suite qui ne vérie pas cette condition.

4
Correction exercice 6 : Si les An sont de mesure ni, alors l'égalité est bien vrai. Il faut donc
considérer une suite de An décroissantes de mesure inni. Prenons par exemple

An = [n, +∞[.

On a An = ∅ et donc
T
n∈N !
\
λ An = 0.
n∈N

Par contre,
lim λ(An ) = +∞.
n→∞

Exercice 7.
Soit µ une mesure positive sur (R, B(R)), invariante par translation, et telle que µ(I1 ) = 1, où on
note Ix le segment ]0, x] pour x ∈ R.
1. Calculer µ(In ) pour n ∈ N.
2. Calculer µ(Iq ) pour q ∈ Q+ .
3. Déterminer µ.

Correction exercice 7 : Notons Ix,y =]x, y] pour tout réels x < y .

1. On a pour tout n ∈ N,
n−1
!
G
µ(In ) = µ Ik,k+1
k=0
n−1
X
= µ (Ik,k+1 )
k=0
n−1
par invariance par translation de µ
X
= µ (I1 )
k=0
= n.

2. Maintenant pour tout rationnel q = m/n avec m ∈ N et n ∈ N? ,

m−1
!
G
µ (Iq ) = µ Ik/n,(k+1)/n
k=0
m−1
X

= µ Ik/n,(k+1)/n
k=0
par invariance par translation de µ


= mµ I1/n

5
 Maintenant,
n−1
!
G
1 = µ (I1 ) = µ Ik/n,(k+1)/n
k=0


= nµ I1/n

et donc

µ I1/n = 1/n.
Finalement pour tout q ∈ Q+ ,


µ (Iq ) = mµ I1/n = m/n = q.

3. D'après la question précédente et par invariance par translation, on en déduit que pour tous
rationnels a < b,
µ(]a, b]) = µ(]0, b − a]) = b − a,
et on peut montrer facilement (par invariance par translation) que µ(]−a, b]) = ∞ si a = −∞
ou b = +∞. La mesure µ coïncide avec la mesure de Lebesgue sur le semi-anneau formé par
les intervalles de la forme ]a, b] avec a, b ∈ R ∪ {±∞} qui engendre la tribu borélienne. Par
unicité du prolongement donné par le théorème de Carathéodory, on en déduit nalement
que µ est la mesure de Lebesgue.

La mesure de Lebesgue est l'unique mesure sur B(R) invariante par translation
et telle que l'intervalle ]0, 1] a mesure 1.

Exercice 8.
On lance un dé à six faces sans s'arrêter. Construire un espace probabilisé représentant cette
expérience. Calculer la probabilité des événements suivants :
• A :  On n'obtient que des 6. 

• B :  À partir d'un certain rang, on n'obtient que des 6. 

• C :  On obtient au moins un 6. 

• D :  On obtient une innité de 6. 

Correction exercice 8 : On peut modéliser un lancer de dé par l'espace probabilisé (J1, 6K, P (J1, 6K) , µ)
où µ est la mesure uniforme. Pour modéliser une innité de lancers de dés, on considère l'espace
probabilisé produit (c.f le cours) :
 ∗ ∗ ∗

(Ω, A, P) = J1, 6KN , P (J1, 6K)⊗N , µ⊗N .

Notons Xn l'événement "le n ième lancer donne 6" que l'on peut écrire mathématiquement comme

Xn = J1, 6Kn−1 × {6} × J1, 6KN\J1,nK .

6
1. On a
!
\
P (A) = P Xn
n∈N∗
N
! N
! N
!
car et est décroissant
\ \ \ \ \
= lim P Xn Xn = Xn Xn
N →∞
n=1 n∈N∗ N ∈N∗ n=1 n=1 N ∈N∗
N


= lim P {6} × J1, 6K N\J1,N K
N →∞
 N
1
= lim par dénition de la mesure produit
N →∞ 6
= 0.

2.

P (B) = P (lim inf Xn )

!
[ \
=P Xn
k∈N n≥k
!
X \
≤ P Xn
k∈N n≥k
N
!
X \
= lim P Xn
N →∞
k∈N n=k
 N −k+1
X 1
= lim
k∈N
N →∞ 6
X
= 0
k∈N
= 0.

3.

P (C) = 1 − P (On obtient aucun 6)

= 1 − P {1, 2, 3, 4, 5}N
!
\
=1−P {1, 2, 3, 4, 5}N × J1, 6KN\J1,N K
N ∈N∗

= 1 − lim P {1, 2, 3, 4, 5}N × J1, 6KN\J1,N K

N →∞
 N
5
= 1 − lim
N →∞ 6
= 1 − 0 = 1.

7
4.

P (D) = P (lim sup Xn )

!
\ [
=P Xn
k∈N∗ n≥k
!
[
= lim P Xn
k→∞
n≥k
!
\
= lim 1 − P X̄n
k→∞
n≥k
N
!
\
= 1 − lim lim P X̄n
k→∞ N →∞
n=k

N −k+1
= 1 − lim lim P X̄n
k→∞ N →∞
 N −k+1
5
= 1 − lim lim
k→∞ N →∞ 6
= 1 − 0 = 1.