DS 2 Mathematiques

DEVOIR SURVEILLÉ de MATHÉMATIQUES numéro 2
PSI2 2023-2024 Durée: 4 heures 07/10/2023
PROBLÈME 1
Étude du commutant d’un endomorphisme ou d’une matrice carrée
Ce problème contient de nombreuses études d’exemples, et les questions sont très largement
indépendantes les unes des autres.
On note E un IK-espace vectoriel de dimension n.
Pour tout endomorphisme f de l’espace vectoriel E, on note C(f ) l’ensemble des endomor-
phismes de E qui commutent avec f :

C(f ) = g ∈ L(E) | g ◦ f = f ◦ g .
De la même façon, si A est une matrice carrée d’ordre n, on notera C(A) l’ensemble des
matrices carrées d’ordre n qui commutent avec A :

C(A) = M ∈ Mn (IK) | AM = M A .
1. Soient u et v deux endomorphismes de E qui commutent (u ◦ v = v ◦ u). Montrer que les
sous-espaces vectoriels Ker u et Im u sont stables par v.
2. Montrer que, pour tout f ∈ L(E), l’ensemble C(f ) est un sous-espace vectoriel de L(E).
3. Dans cette question, on se donne une matrice A = (ai,j ) ∈ Mn (IK), et on suppose qu’elle
commute avec toutes les matrices carrées de même format, i.e. on suppose que
C(A) = Mn (IK). L’objectif de cette question est de montrer que A est une matrice scalaire,
i.e. est de la forme A = λ In avec λ ∈ IK.
a. Soit la matrice diagonale D = diag(1, 2, · · · , n). Calculer les produits DA et AD. En déduire
que A est une matrice diagonale.
b. Pour tout j ∈ [[1, n]], on note E1,j la matrice élémentaire ayant un coefficient 1 à l’intersection
de la première ligne et de la j-ième colonne, les autres coefficients étant nuls. Calculer les
produits AE1,j et E1,j A.
c. Conclure.
d. Quels sont les endomorphismes f ∈ L(E) vérifiant C(f ) = L(E) ? Comment les
nomme-t-on ?
4. Cas d’un projecteur
Dans cette question, p ∈ L(E) est un projecteur (c’est-à-dire un endomorphisme tel que
p ◦ p = p), on note r son rang.
a. Montrer que E = Im p ⊕ Ker p (c’est une propriété du cours, mais on demande ici de
détailler la démonstration).
b. Montrer qu’un endomorphisme g de E appartient à C(p) si et seulement sa matrice,dans
A 0
une base de E adaptée à la décomposition E = Im p ⊕ Ker p, est de la forme , où
0 D
A et D sont des matrices carrées dont on précisera l’ordre.
c. En déduire que dim C(p) = r2 + (n − r)2 .

5. Cas d’un endomorphisme nilpotent d’indice n

On suppose dans cette question que l’endomorphisme f ∈ L(E) est nilpotent d’indice n,
c’est-à-dire que f n−1 6= 0 et f n = 0.
a. Montrer qu’il existe un vecteur x0 de E tel que la famille B = x0 , f (x0 ), f 2 (x0 ), · · · , f n−1 (x0 )

soit une base de E.

b. Écrire la matrice A de l’endomorphisme f dans une telle base B.
c. Représenter les matrices Ak , pour k entier de 0 à n − 1.
d. Montrer que la famille (In , A, A2 , · · · , An−1 ) est libre dans Mn (IK).
e. Montrer que C(f ) = Vect(idE , f, f 2 , · · · , f n−1 ). Quelle est la dimension de l’espace vectoriel
C(f ) ?
6. Cas d’une matrice triangulaire supérieure
Dans cette partie, on note Tn l’ensemble des matrices triangulaires supérieures d’ordre n
à coefficients dans IK, et Tn∗ l’ensemble des matrices triangulaires supérieures d’ordre n dont
tous les coefficients diagonaux sont nuls. On se donne par ailleurs une matrice T appartenant
à Tn .
a. Montrer que Tn et Tn∗ sont des sous-espaces vectoriels de Mn (IK). Préciser leur dimension.
b. Montrer que Tn est stable par produit, i.e. le produit de deux matrices triangulaires
supérieures et encore une matrice triangulaire supérieure.
(
Mn (IK) → Mn (IK)
On introduit maintenant l’application ϕT : .
M 7→ T M − M T
c. Montrer que ϕT est un endomorphisme de l’espace vectoriel Mn (IK), et que le sous-espace
Tn est stable par ϕT .
d. Montrer plus précisément que ϕT (Tn ) ⊂ Tn∗ .
e. En déduire que dim C(T ) ≥ n.
f. Soit M ∈ Mn (IK) une matrice “trigonalisable”, i.e. semblable à une matrice triangulaire
supérieure. Montrer que dim C(M ) ≥ n.
PROBLÈME 2
PARTIE A. Définition d’une suite de polynômes.
1. Soit n un entier naturel non nul, on définit une application ∆n de IRn [X] vers IRn [X] par
∀P ∈ IRn [X] ∆n (P ) = Q , avec Q(X) = P (X + 1) − P (X) .
a. Montrer que ∆n est un endomorphisme de IRn [X].
b. Déterminer Ker(∆n ).
c. Montrer que Im(∆n ) = IRn−1 [X].
2. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, il existe un et un seul polynôme Bn de
IRn [X] tel que
Z 1
X n−1
Bn (X + 1) − Bn (X) = et Bn (t) dt = 0 .
(n − 1)! 0
On posera par ailleurs B0 = 1 (polynôme constant).

3. Vérifier, pour tout n ≥ 2, la relation Bn (1) = Bn (0).
4. Montrer que l’on a Bn0 = Bn−1 pour tout entier naturel n non nul. On pourra traiter à part
le cas n = 1.
1 X2 X 1
5.a. Vérifier que B1 = X − et B2 = − + .
2 2 2 12
b. Déterminer B3 et B4 .
6. Pour tout entier naturel n, prouver la relation Bn (X) = (−1)n Bn (1 − X).
7. Pour tout n entier naturel, on pose bn = Bn (0).
a. Donner les valeurs de b0 , b1 , b2 , b3 , b4 .
b. Montrer que pour tout entier n impair tel que n ≥ 3, on a bn = 0.
PARTIE B. Application aux séries de Riemann

+∞
X 1
Pour tout réel x > 1, on pose ζ(x) = (somme de la série de Riemann d’exposant x).
kx
k=1
Les questions 8., 9., 10., 11. et 12. peuvent se traiter indépendamment. La question 13. les
utilise toutes.
+∞
X (−1)k−1
8. Pour x > 0, on pose µ(x) = . Montrer l’existence de µ(x) pour x > 0 et, pour m
kx
k=1
entier naturel non nul, exprimer µ(2m) à l’aide de ζ(2m).
9. Montrer que
n
∗
X sin (2n + 1)πt
∀n ∈ IN ∀t ∈ ]0, 1[ 1+2 cos(2kπt) = .
sin(πt)
k=1
10.a. Montrer que, si g est une fonction de classe C 2 sur [0, 1[ vérifiant g(0) = 0, alors la fonction
g(t)
ϕ définie sur ]0, 1[ par ϕ(t) = est prolongeable en une fonction de classe C 1 sur
sin(πt)
[0, 1[ (que l’on notera toujours ϕ), et préciser les valeurs de ϕ(0) et de ϕ0 (0) en fonction de
g 0 (0) et de g 00 (0).
B2m (t) − b2m
b. Pour tout m ∈ IN∗ , on définit la fonction ϕm sur ]0, 1[ par ϕm (t) = .
sin(πt)
Montrer que la fonction ϕm est prolongeable par continuité à [0, 1] et que ce prolongement
est de classe C 1 sur [0, 1].
11. En utilisant une intégration par parties, montrer que, pour toute fonction f de classe C 1 sur
[0, 1], on a Z 1
lim f (t) sin(λt) dt = 0 .
λ→+∞ 0
Z 1
12. Pour k ∈ IN∗ et n ∈ IN∗ , on pose In,k = Bn (t) cos(2kπt) dt. Trouver une relation entre
0
In,k et In−2,k pour n ≥ 3 et en déduire, selon la parité de n, l’expression de In,k en fonction
de n et k.
1
On pourra admettre que I1,k = 0 et I2,k = 2 2 pour tout k entier naturel non nul.
4k π
Z 1
∗ ∗

13.a. Soient m ∈ IN , n ∈ IN . En développant l’expression ϕm (t) sin (2n + 1)πt dt
0
à l’aide de la question 9., démontrer la relation
ζ(2m) = (−1)m−1 π 2m 22m−1 b2m .

+∞ +∞
X 1 X 1
b. Calculer les nombres ζ(2) = et ζ(4) = .
k2 k4
k=1 k=1
c. En déduire les sommes
+∞ +∞
X (−1)k−1 X (−1)k−1
µ(2) = et µ(4) = .
k2 k4
k=1 k=1

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5. Cas d’un endomorphisme nilpotent d’indice n

soit une base de E.

On posera par ailleurs B0 = 1 (polynôme constant).

PARTIE B. Application aux séries de Riemann

ζ(2m) = (−1)m−1 π 2m 22m−1 b2m .

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