Mesure et Intgration

TD et Exercies (2012/2013)
S5-Licence Math

TD : Quelques Rappels

Exercice 0.1 Dcider si les proprits suivantes sont vraie ou fausse :

i) A

B ) P (A)

P (B)

ii) P (A [ B) = P (A) [ P (B)

iii) P (N) = [1
k=1 P (f1; 2;

; kg)

iv) Que vaut A \ P (A) ?

Exercice 0.2 E et F deux ensembles, f : E ! F une application. (Ai )i2I et (Bj )j2I deux
familles densembles respectivment dans E et F . Montrer les relations suivantes :
f

[ Ai

f
f

i2I

\ Ai

\ f (Ai ) ; (pourquoi on a pas lgalit),

i2I

i2I

[ f (Ai ) ;

i2I

\ Bj

j2I

\f

j2I

(Bj ) ; f

(B c ) = f

(B)

Exercice 0.3 Dmontrer que les fonctions caractristiques vrier les proprits suivantes :
i) 1IAc = 1
ii) si A

1IA ;
B; alors 1IA

iii) a quoi corespond j1IA

1IB ;
1IB j ;

iv) si A = \i2I Ai ; alors 1IA = mini2I (1IAi ) ;

v) si A = [i2I Ai ; alors 1IA = maxi2I (1IAi ) ;
vi) si Si (Ai )i2I est une partition de E on a

i2I

1IAi = 1 (i.e.

i2I

1IAi (x) = 1; 8x 2 E):

Exercice 0.4 Soit (An )n2N une suite de parties dun ensemble E. On note
lim inf An =

n!1

[ \

n2N p n

Ap et

lim sup An =

n!1

\ [

n2N p n

Ap :

i) Montrer que
lim sup An = fx 2 E j x 2 An pour un nombre inni dindices n 2 Ng ;
8
9
<
=
x 2 An pour tous les indices n 2 N
lim inf An =
x2E
:
n!1
:
lexception dun nombre ni dentre eux ;

n!1

ii) On suppose que la suite (An )n2N monotone, cest--dire que An

ou que An+1

An+1 , pour tout n 2 N,

An , pour tout n 2 N. Que sont les limn!1 inf An et limn!1 sup An :

iii) Mme question que prcdement si la suite est dnie par A2p = A et A2p+1 = B; p 2 N; A
et B tant deux parties donnes de E.
iv) Montrer que :
1Ilimn!1 sup An

lim inf An

lim sup An :

n!1

lim sup 1IAn ;

n!1

n!1

TD : Espaces Mesurables et Mesures

Exercice 1.1 i) Dcrire la tribu sur un ensemble X engendre par une seule partie A.
ii) Soit (X; M) un espace mesurable., E

X et E 2 M. Montrer que ME = fA \ E j A 2 Mg

est une tribu sur E (tribu trace de M sur E).

Exercice 1.2 Soit X = fa; b; c; dg et T = ffa; bg; fb; c; dg; fdgg:
i) Dterminer la topologie engendre par T ; (i.e. la plus petite topologie qui contient T ).
ii) Trouver la tribu borlienne B(X); (i.e. la tribu engendre par T ).
iii) Existe-il des sous ensembles qui nappartient pas B(X)?
Exercice 1.3 i) Soit Card : P (N) ! [0; +1]
A 7! Card(A) = le nombre dlments de A:
Montrer que Card est une mesure sur (N; P (N)).
ii) Soit X un ensemble inni non dnombrable. Pour toute partie A de X, on pose
8
< 0, si A est au plus dnombrable,
m(A) =
: +1 sinon.

Lapplication m est-elle une mesure sur P (X) ?

Exercice 1.4 Soit (X; M; ) un espace mesur. Dmontrer que pour A; B 2 M :

(A [ B) + (A \ B) = (A) + (B):
Si (A) < +1; dduire que (A [ B) = (A) + (B)

(A \ B):

Exercice 1.5 Soit (X; M) un espace mesurable.

i) Si

est une mesure sur (X; M) et si B 2 M, la formule

A 2 M dnit une nouvelle mesure

ii) Si

et

B (A)

= (A \ B) pour tout

B.

sont deux mesures sur (X; M), la formule (A) = (A) + (A) pour tout A 2 M

dnit une nouvelle mesure .

iii) Si

est une mesure sur (X; M) et si a 2 R+ , la formule (A) = a (A) pour tout A 2 M

dnit une nouvelle mesure .

Exercice 1.6 R est muni de sa tribu borlienne et de la mesure de Lebesgue .
S
i) Soit x0 ; x1 ; x2 ;
2 R, calculer ( n 0 fxn g); (utiliser la proprit de sous-additivit). En
dduire que (Q) = 0. Calculer ([0; 1]nQ).

ii) Soit B un ensemble mesurable born de R: Montrer que B est de mesure nie.
iii) Soit
C=

1
[

k; k +

k=1

1
:
2k

Vrier que C nest pas born. Calculer sa mesure.

TD : Fonctions mesurables

Exercice 2.1 (Image dune mesure par une application) : (X; M) et (Y; N ) deux espaces mesurs et f : X ! Y est une application mesurable et
B 2 N on pose
(B) = (f
Dmontrer que

est une mesure sur (X; M). Si pour tout

(B)):

dnit une mesure sur (Y; N ).

Exercice 2.2 On munit R (au dpart et a larrive) de la tribu borlienne.

La fonction g : [0; 2] ! R dnie par

est-elle mesurable ?

8
< 1 si x 2 [0; 1[
g (x) =
: 2 si x 2 [1; 2]

Si f est une fonction mesurable sur de R dans R; montrer que f 2 est mesurable.
Si f est une fonction drivable sur ]0; 1[ : Montrer que f 0 est mesurable.
Si f est une fonction croissante de R dans R: Montrer que f est mesurable.
Exercice 2.3 i) Soit (X; M) un espace mesur, on suppose quil existe A 2 M dont les sousensembles ne soient pas tous mesurables. i.e. il existe B
1IB

A t.q. B 2
= M: Montrer que h =

1IAnB nest pas mesurable (de X dans R), alors que jhj lest.
ii) Donner dautres exemples de fonctions non-mesurables.

Exercice 2.4 Soit f : (X; M) ! [0; +1] une fonction mesurable. On veut demontrer quil existe
une suite croissante de fonctions tages qui converge ponctuellement vers f:
Pour tout n 2 N; on dnit la fonction tage 'n : [0; +1] ! [0; +1[ par
8
< 2 n E (2n t) si 0 t < n;
'n (t) =
: n
si
t n:

o E(x) dsigne la partie entire de x.

i) Dmontrer que 0

'n (t)

'n+1 (t) ; 8t 2 [0; +1] :

ii) On pose fn = 'n f; n 2 N. Vrier que fn est tage et dmontrer que 8n 2 N; fn

fn+1

ii) Dmontrer que

f (x) < +1 ) f (x)

fn (x)

f (x)

pour n su samment grand et dduire que limn!1 fn (x) ! f (x); 8x 2 X:

TD : Fonctions integrables

Exercice 3.1 Dmontrer ou donner un contre-exemple :

f et g sont deux fonctions intgrables, la somme f + g est-elle intgrable ?
f est une fonction intgrable, la fonction f 2 est-elle intgrable ?
Si f 2 est intgrable, la fonction f est-elle intgrable ?
f et g sont deux fonctions intgrables, la compose f

g est-elle intgrable ?

Exercice 3.2 (X, M, ) est uspace mesur. Soit (fn ) une suite de fonctions mesurables positives
qui converge simplement vers f . On suppose que
Z
+
9K 2 R ;
fn d
Montrer que

f d

K;

K:

8n 2 N:

Exercice 3.3 .(Application du TCM). Soit f : [0; 1] ! R une fonction mesurable. Dterminer la limite de

d
f (t)2 +

:
1
n

Exercice 3.4 .(Mesures densit). Soit (X; M; ) est un espace mesur, et f : X ! [0; +1]
une fonction mesurable. On dnit une application : M ! [0; +1] par
Z
Z
(A) =
f d = f 1IA d :
A

i) Dmontrer que

est une mesure sur (X; M) (vrier que si A1 \ A2 = ? alors 1IA1 [A2 =

1IA2 + 1IA2 ):
ii) Montrer que, si g : X ! [0; +1] est mesurable tage, alors
Z
Z
g d = gf d :
iii) Dmontre que lgalit est vraie si on suppose seulement que g est mesurable (utiliser le
TCM).
Exercice 3.5 .(Ingalit de Fatou stricte). Notons

la mesure de Lebesgue sur lintervalle

[ 1; 1]. Soit g la fonction dnie sur [ 1; 1] par

8
< 1; si x 2 [0; 1];
g(x) =
: 0
si non.

Soit encore (fn )n2N la suite de fonctions dnie par

8
< g(x);
si n est pair;
fn (x) =
: g( x); si n est impair.
Montrer que lim inf fn = 1If0g et que
n!+1

lim inf fn d < lim inf

n!+1

n!+1

fn d :

TD : Thormes de convergences et Thormes de Fuibini

Dans tous les exercices, R est muni de sa tribu borlienne et de la mesure de Lebesgue .

Exercice 4.1 a) Soit fn = 1I[0;n] ; n 2 N; f = 1I[0;+1[ :

i) Vrier que la suite fn est monotone croissante et que limn!+1 fn = f:
R
R
ii)Vrier que les intgrales des R fn dx sont nis alors que R f dx nest pas nis.

Est-ce que cela conterdit le thorme de convergence monotone ?

b) Soit gn = n1 1I[0;+1[ ; n 2 N; g = 0:
i) Vrier que la suite gn est monotone dcroissante et converge uniformment vers g:
R
R
ii) Vrier que limn!1 R gn dx = +1 alors que R g dx = 0:
Est-ce que cela contredit le thorme de convergence monotone ?

Exercice 4.2 Calculer les limites des intgrales suivantes :

Z 1
1 + nx3
dx,
(rappel : (1 + y)n 1 + ny; si y 0);
i) lim
2 n
n!+1
0 (1 + x )
Z n
x n 2x
ii) lim
1+
e dx,
(rappel : ey > 1 + y; si y > 0);
n!+1
n
0
Z +1
sin ( x)
dx:
iii) lim
n!+1
1 + xn
0
Exercice 4.3 Soit f 2 L1 (R). Calculer
Z
i) lim
f (x)dx;

ii)

n!+1 jxj>n

Exercice 4.4 Montrer que la fonction (x; y) 7! e

Lebesgue sur [0; 1]

lim

n!+1
y

]0; +1[, en dduire la valeur de

Z +1
1
(sin y)2 e
y
0

+1

f (x) cosn ( x) dx:

sin (2xy) est intgrable pour la mesure de

dy:

Exercice 4.5 i) Montrer que pour tout y > 0 :

Z +1
1
1
dx = p
:
2
(1 + y)(1 + x y)
2 y(1 + y)
0
ii) Montrer que :

+1 Z +1
0

2
1
dxdy
=
:
(1 + y)(1 + x2 y)
2

iii) Montrer que pour tout x > 0; x 6= 1 :

Z +1
0

iv) En dduire

+1

log x
dx:
x2 1

1
2 log x
dy = 2
:
2
(1 + y)(1 + x y)
x
1

TD : Espaces de Lebesgue

Exercice 5.1 Montrer que L2 (R) * L1 (R) et que L1 ([0; 1]) * L2 ([0; 1]) :
Exercice 5.2 Soit ` > 0:Dmontrer que: Si f 2 Lp ([0; `]);alors pour tous q 2 [1; p] ; f 2

Lq ([0; `])et on a :

1
p

kf kq

`q

kf kp :

(Utiliser linegalit de Hlder).

Exercice 5.3 Soit f et g deux fonctions positives dnies sur [0; 1], intgrables et telles que
f (x) g (x)

1;

8x 2 [0; 1] :

Montrer, en utilisant linegalit de Cauchy-Schwarz, que

Z 1
Z 1
f dx
g dx 1:
0

Exercice 5.4 Soit p 2 [1; +1] :

i) Soient (fn ) une suite de Lp (X) ; X

R; telle que fn ! f dans Lp (X) : Montrer que

jfn j ! jf j dans Lp (X) :

ii) Soit f; g 2 Lp (X) : Verier que
h = max (f; g) 2 Lp (X) :
(rappel : max (a; b) =

1
2

(a + b + ja

bj) ; pour a; b 2 R ).

iii) Soient (fn ) et (gn ) deux suites de Lp (X) ; telles que fn ! f dans Lp (X) et gn ! g dans

Lp (X) : On pose hn = max (fn ; gn ) : Montrer que

hn ! h dans Lp (X) :
Exercice 5.5 (Convergence simple et convergence dans Lp ).
Soit f une fonction de L1 (R) et (fn ) une suite de L1 (R) telle que
Z
Z
lim
fn dx =
f dx:
n!+1 R

i) On suppose que 8n

1; fn est positive et fn converge p.p. vers f:

On note gn = min (fn ; f ) ; montrer que gn converge p.p. vers f et que (par T.C.M)
Z
Z
lim
gn dx =
f dx:
n!+1 R

Dduire que

R jfn

f j dx ! 0; (rappel : min (a; b) =

1
2

(a + b

ja

bj) ; pour a; b 2 R ).

ii) On considre maintenant la suite dnie par

fn = n1I]0;1=n[

n1I]

1=n;0[ ;

Montre que (fn ) converges vers 0 et que limn!+1

8n

1:

R fn dx

= 0:

La suite (fn ) converge-t-elle vers 0 dans Lp ; p 2 [1; +1[ ?

Exercice 5.6 (Ingalit dinterpolation). Soit p; q 2 [1; +1] avec q < p:

Si f 2 Lp (X; M; ) \ Lq (X; M; ); Montrer que f 2 Lr (X; M; ) pour tout r 2 [p; q] ; et on

a:
kf kq kf kp1

kf kr
o

2 [0; 1] est deni par

1
r

; (Utiliser lingalit de Hlder pour

Exercice 5.7 Soit f 2 Lp ([0; +1[) et g 2 Lq ([0; +1[) o 1

Calculer
1
T !+1 T
lim

p; q

q
r

et

p
r(1

) ).

+1; sont conjugus.

f (s) g (s) ds:

Exercice 5.8 Soit f : [0; A] ! R une fonction sannulant lorigine et admettant une drive
continue. Montrer que, 8p

1; on a
kf kp

A
f0
p1=p

Lgalit est-elle possible ?

Exercice 5.9 Soit f et g 2 L2 (R) : Montrer que
kf k22 + kgk22 =

1
kf
2

gk22 + kf

gk22

(identit du paralllogramme).
Exercice 5.10 Soit 1 < p < +1: On dnit les fonctions sur R;
fp (x) = x
fp (x) =

1
p

1I]0;1[ (x) ;

x 1 + ln2 x

gp (x) = x
1
p

1I]0;1[ (x) ;

1
p

1I]1;+1[ (x) ;
lp (x) = x 1 + ln2 x

1
p

1I]1;+1[ (x) :

Donner pour ces fonctions et laide de p les valeurs de q pour lesquelles elles appartiennent
Lq :
Exercice 5.11 Soit (X; M; ) un espace mesur ni (i.e.
1

+1; on a L1

est ncessaire.

Lq

Lp

(X) < +1). Montrer que pour

L1 : Montrer par exemple que lhypothse

(X) < +1

Exercice 5.12 Soit 1 < p < +1 et (fn ) une suite de Lp (X; M; ) qui converge
f: Montrer que :
lim kfn

n!1

f kp = 0 ,

lim kfn kp = kf kp

n!1

(Appliquer le lemme de Fatou une suite convenablement choisie.)

Exercice 5.13 (Manque de compacit).
i) Montrer que la suite de fonctions
fn (x) = sin (n x) ;

1;

est borne dans lespace L2 ([ 1; 1]).

ii) Pour n 6= m; calculer
ksin (n x)

sin (m x)kL2 ([

en dduire que (fn ) nadmet aucune sous-suite convergente.

1;1]) ;

p:p: vers