TD2 SuitesSériesFonctions
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Analyse 2 - TD 2
Suites et séries de fonctions
1. Suites de fonctions
Exercice 1. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions à valeurs réelles qui converge simplement vers une
fonction f sur un intervalle I de R. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :
(1) Si les fn sont croissantes sur I, alors f est aussi croissante sur I.
(2) Si les fn sont strictement croissantes sur I, alors f est aussi strictement croissante sur I.
(3) Si les fn sont continues en a ∈ I, alors f est continue en a.
Exercice 4. Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de fonctions (fn )n∈N
suivantes :
nx
(1) fn (x) = 1+nx
sur R+ , puis sur R+∗ et sur [a, +∞[ avec a > 0.
(
nxn ln(x) si x ∈]0, 1]
(2) fn (x) = , sur [0, 1].
0 si x = 0
(3) fn (x) = e−nx sin(2nx) sur R+ puis sur [a, +∞[, avec a > 0.
Exercice 5. Pour n ≥ 1 et x ∈]0, +∞[, on définit la suite de fonctions (fn )n∈N par
fn (x) = n| ln x|n .
(1) Déterminer le domaine de convergence simple D de cette suite de fonctions.
(2) Étudier la convergence uniforme de cette suite de fonctions sur D et sur les intervalles fermés
bornés de D.
Exercice 6. On pose pour x ∈ R,
2 2
fn (x) = ne−n x .
(1) Déterminer le domaine de convergence simple de (fn )n∈N .
(2) Montrer la convergence uniforme sur [a, +∞[, avec a > 0.
(3) Étudier la convergence uniforme sur ]0, +∞[.
Indication : Calculer fn (1/n).
Exercice 7. Soit (fn )n≥1 la suite de fonctions définies sur [0, 1] par
2n x
fn (x) = .
1 + 2n nx2
(1) Étudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
R1
(2) Calculer In = 0 fn (t)dt et limn→+∞ In . En déduire que la suite (fn )n n’est pas uniformément
convergente sur [0, 1].
(3) Donner une preuve directe du fait que la suite (fn )n ne converge pas uniformément sur [0, 1].
2. Séries de fonctions
Exercice 11. Étudier
P la convergence simple, la convergence uniforme et la convergence normale des
séries de fonctions n≥0 fn (x) dans les cas suivants :
nx2
(1) fn (x) = n3 +x2
sur R+ puis sur [0, A] pour A > 0.
x
(2) fn (x) = 1+n2 x2
sur R+ puis sur [a, A] pour 0 < a < A.
P
Exercice 12. On considère la série de fonctions n≥2 un , avec
xe−nx
un (x) =
.
P ln n
(1) Montrer que n≥2 un converge simplement sur R+ .
(2) Montrer que la convergence n’est pas normale sur R+ .
P
(3) Pour x ∈ R+ , on pose Rn (x) = k≥n+1 uk (x). Montrer que, pour tout x > 0,
xe−x
0 ≤ Rn (x) ≤ ,
ln(n + 1)(1 − e−x )
et en déduire que la série converge uniformément sur R+ .