Résumé5 Théorie Du Signal
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Résumé5 Théorie Du Signal
Théorie Du Signal
1. Généralités
Le traitement du signal est une discipline indispensable de nos jours. Il a pour objet l'élaboration ou
l'interprétation des signaux porteurs d'informations. Son but est donc de réussir à extraire un maximum
d'information utile sur un signal perturbé par du bruit en s'appuyant sur les ressources de l'électronique
et de l'informatique. Le traitement du signal est utilisé dans différents secteurs : télécommunication,
électronique, automobile, spatial, militaire et industrie.
1.1. Définitions
1.1.1 Signal
Un signal est la représentation physique de l'information, qu'il convoie de sa source à son destinataire.
La description mathématique des signaux est l'objectif de la théorie du signal. Elle offre les moyens
d'analyser, de concevoir et de caractériser des systèmes de traitement de l'information.
1.1.2 Bruit
Un bruit correspond à tout phénomène perturbateur gênant la transmission ou l'interprétation d'un
signal.
1
CUT : L2 ELN ELT Théorie Du Signal
On dit qu’un signal 𝑥(𝑡) est un signal à énergie finie s’il possède une puissance moyenne nulle et une
énergie finie.
+∞
Energie du signal 𝑥(𝑡) : 𝑊𝑥 = ∫−∞ | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡= Constante.
1 +𝑇 ⁄2
Puissance du signal 𝑥(𝑡) : 𝑃𝑥 = lim𝑇→∞ 𝑇 ∫−𝑇⁄2 | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 = 0.
Exemple :
+∞ 𝑡
𝑥(𝑡)
𝑊𝑥 = ∫−∞ | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡= ∫𝑡 1 𝐴2 𝑑𝑡
0
A
𝑊𝑥 = 𝐴2 (𝑡0 − 𝑡1 )
1 +𝑇 ⁄2
𝑃𝑥 = lim𝑇→∞ 𝑇 ∫−𝑇⁄2 | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 .
1 𝑡
𝑃𝑥 = lim𝑇→∞ 𝑇 ∫𝑡 1 𝐴2 𝑑𝑡
0
𝑡0 𝑡1 t
1
𝑃𝑥 = lim𝑇→∞ 𝑇(𝐴2 (𝑡0 − 𝑡1 ))=0
+∞
Energie du signal 𝑥(𝑡) : 𝑊𝑥 = ∫−∞ | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡=∞.
1 +𝑇 ⁄2
Puissance du signal 𝑥(𝑡) : 𝑃𝑥 = lim𝑇→∞ ∫−𝑇⁄2 | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 = constante.
𝑇
𝑥(𝑡)
Exemple : A
𝑥(𝑡) = 𝐴
+∞
𝑊𝑥 = ∫−∞ | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡
+∞
𝑊𝑥 = ∫ | 𝐴|2 𝑑𝑡 = ∞ t
−∞
2
CUT : L2 ELN ELT Théorie Du Signal
1 +𝑇 ⁄2
𝑃𝑥 = lim𝑇→∞ ∫−𝑇⁄2 | 𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 .
𝑇
1 +𝑇 ⁄2
𝑃𝑥 = lim 𝑇→∞ ∫−𝑇⁄2 | 𝐴|2 𝑑𝑡 .
𝑇
𝑃𝑥 = 𝐴2 .
On distingue les signaux à variable continue des signaux à variable discrète ainsi que ceux dont
l'amplitude est discrète ou continue.
𝑥(𝑡 + 𝑇) = 𝑥(𝑥)
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𝑥𝑛+𝑁 = 𝑥𝑛
Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules obtenues, certains signaux fréquemment
rencontrés en traitement du signal dispose d'une modélisation propre.
1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡≥0
𝑢(𝑡) = {
0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡<0
1
Si on prend une fonction porte d'amplitude , de largeur T et si on suppose que la durée temporelle T
𝑇
est brève, on retrouve la définition de la fonction de Dirac. Elle présente les propriétés suivantes :
1 𝑇
𝑝𝑜𝑢𝑟 |𝑡| ≤ 2
𝑇
+∞
∫−∞ 𝜋𝑇 (𝑡)𝑑𝑡 = 1 avec 𝜋𝑇 (𝑡) = {
𝑇
0 𝑝𝑜𝑢𝑟 |𝑡| > 2
∞ 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 = 0
lim 𝜋𝑇 = {
𝑇→0
0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 ≠ 0
+∞
δ(t) = lim𝑇→0 𝜋𝑇 et ∫−∞ δ(t)𝑑𝑡 = 1
∞ 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 = 0
δ(t) = {
0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 ≠ 0
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Le 1 marqué sur la flèche pleine représente l’aire de cette impulsion (et non l’amplitude de
l’impulsion).
+∞
sinc(t) 1
sin(𝜋𝑡)
𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡) = )
𝜋𝑡
Cette fonction joue un rôle très important en
traitement du signal.
Propriétés 1
t
+∞
∫−∞ 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)𝑑𝑡 = 1
+∞
∫−∞ 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)2 𝑑𝑡 = 1
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1.5 Convolution
Signal continu :
+∞
z(t) = x(t) ∗ y(t) = ∫ x(t)y(t − τ) dτ
−∞
Signal discret :
𝑛=+∞
Propriétés
Commutativité
Distributivité
Associativité
1.6 Corrélation
1.6.1 Intercorrélation
Si on intéresse aux signaux à temps continu et d'énergie finie, intercorrélation est définie par l’expression
suivante :
+∞ +∞
𝐶𝑥𝑦 (τ) = ∫−∞ x(t)y(t − τ) dt ou 𝐶𝑥𝑦 (t) = ∫−∞ x(τ)y(τ − t) dτ
1.6.2 Autocorrélation
+∞ +∞
𝐶𝑥𝑥 (τ) = ∫−∞ x(t)x(t − τ) dt ou 𝐶𝑥𝑥 (t) = ∫−∞ x(τ)x(τ − t) dτ
𝑛=+∞
avec
2𝜋
𝜔0 =
𝑇0
1
𝑥0 = ∫ x(t)𝑑𝑡
𝑇0
(𝑇0 )
2
𝑎𝑛 = ∫ x(t) cos(𝑛𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡
𝑇0
(𝑇0 )
2
𝑏𝑛 = ∫ x(t) sin(𝑛𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡
𝑇0
(𝑇0 )
Remarque :
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L'écriture précédentes des séries de Fourier présente en fait peu d'intérêt physique, en effet si la
fonction f(t) subit une simple translation suivant l'axe des temps alors les coefficients An et Bn seront
modifiés. En conséquence, on cherche donc une nouvelle écriture des séries de Fourier dans laquelle
la puissance est conservée après une translation suivant l'axe des temps et où cette translation
apparaîtra sous la forme d’un déphasage.
𝑎𝑛
Posant tan 𝜑𝑛 = 𝑏𝑛
𝑛=+∞
𝑛=+∞
𝑎𝑛 𝑏𝑛
x(t) = 𝑥0 + ∑ √𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 [ cos(𝑛𝜔0 𝑡) + sin(𝑛𝜔0 𝑡)]
𝑛=1
√𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 √𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
1 1 𝑏𝑛
cos 𝜑𝑛 = = =
√1 + (tan 𝜑𝑛 )2 𝑎 √𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
√1 + (𝑏𝑛 )2
𝑛
𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛
sin 𝜑𝑛 = cos 𝜑𝑛 tan 𝜑𝑛 = =
√𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 𝑏𝑛 √𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
𝑛=+∞
𝑛=+∞
x(t) = 𝑥0 + ∑ 𝑐𝑛 sin(𝑛𝜔0 𝑡 + 𝜑𝑛 )
𝑛=1
𝑎
Avec 𝑐𝑛 = √𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 et 𝜑𝑛 = tan−1 ( 𝑏𝑛)
𝑛
2.1.2 Propriétés
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C’est une généralisation de la décomposition de série de Fourier à tous les signaux déterministes. Elle
permet d’obtenir une représentation en fréquence (représentation spectrale) de ces signaux. Elle
exprime la répartition fréquentielle de l’amplitude, de la phase et de l’énergie (ou de la puissance) des
signaux considérés.
On appelle Transformée de Fourier d’un signal x(t) la fonction X(f) définie par :
+∞
+∞
2.2.1 Propriétés
s(t) → S(f)
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δ(t) → 1
δ(t-τ) → e−j2πfτ
e−j2πf0 t → δ(f+ f0 )
Pour un signal d’énergie finie, l’énergie du signal est identique dans les domaines temporel et
fréquentiel.
+∞ +∞
∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑖 = ∫ |𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓
−∞ −∞
3 Numérisation
Les systèmes numériques de traitement de l’information sont utilisés dans plusieurs domaines (radio,
télévision, téléphone, instrumentation…). Ce choix est souvent justifié par des avantages techniques
tels que la grande stabilité des paramètres, une excellente reproductibilité des résultats. Le monde
extérieur étant par nature ‘’analogique’’, une opération préliminaire de conversion analogique
numérique est nécessaire. La conversion analogique numérique est la succession de trois effets sur le
signal analogique de départ :
3.1 Echantillonnage :
L’échantillonnage consiste à prélever les valeurs instantanées d’un signal continu. . En pratique,
l’échantillonnage est effectué à période constante (fréquence d’échantillonnage fe). et le signal est
représenter par un ensemble de valeur discrètes :
se(t) = s(n.Te) avec n entier
Te : période d’échantillonnage.
Cette opération est réalisée par un échantillonneur souvent symbolisé par un interrupteur.
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L’échantillonnage idéal est modélisé par la multiplication du signal continu s(t) et d’un peigne de
Dirac de période Te.
+∞ +∞
On obtient donc un spectre infini qui provient de la périodisation du spectre du signal d’origine autour
des multiples de la fréquence d’échantillonnage.
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Le théorème de SHANNON montre que la reconstitution correcte d’un signal nécessite que la
fréquence d’échantillonnage fe soit au moins deux fois plus grande que la plus grande des fréquences
fM du spectre du signal
fe > 2fM
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+∞
τ
Se (f) = S(f) ∗ y(f) = S(f) ∗ sinc(τf) ∑ δ(f + nfe )
Te
n→−∞
+∞ +∞
τ τ
Se (f) = sinc(τf) ∑ S(f) ∗ δ(f + nfe ) = sinc(τf) ∑ S(f + nfe )
Te Te
n→−∞ n→−∞
On retrouve la même allure de spectre modulé en amplitude par une fonction en sinus cardinale.
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