Les Suites Numeriques Cours Et Exercices Corriges
Les Suites Numeriques Cours Et Exercices Corriges
Les Suites Numeriques Cours Et Exercices Corriges
d) montrer que Sn n 1
2 sociétés.
4- Quelle est la société la plus bénéfique pour la
personne ?
Notation :Si u est une suite numérique définie Solution :on a un 1 5un 7
sur Pour n=0 on a: u01 5u0 7 donc u1 5 2 7
l’image de l’entier n par u se note un et s’appelle le Donc : u1 3
terme de rang n de la suite Pour n=1 on a: u11 5u1 7 donc u2 5 3 7
L’entier n s’appelle l’indice du terme un Donc : u2 8
La suite numérique u se note : un n . ou un n Pour n=2 on a: u21 5u2 7 donc u3 5 8 7
Remarque : On peut aussi définir une suite à partir Donc : u3 33
d’un certain rang.
Remarque :Il faut bien écrire les indices : un 1 n’est
1
Exemple :1/ un n définie sur par un un 1
n2 pas
1
2) un1 un 2 n 1 3 2n 3 Montrer que : n : un 1
2
un 1 un 2n 2 3 2n 3 2 un 1 ??
Solution :1)Montrons que :
b) Une suite définie par : une expression
récurrente 1 un 1
n 1
2n 1 n 1
n
0
Ces suites s’appellent des suites récurrentes, elles 2n 1 2n 1 2n 1
sont définies par le (ou les) premier (s) terme (s) et Donc un 1 n
une relation entre deux ou plusieurs termes
consécutifs.
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 2
2)Montrons que :
1
un ?? 1étapes : l’initialisation :Pour n=0 nous avons u0 0
2
donc u0 2 .
1 n 1 1 2 n 1 2n 1 1
un 0 Donc la proposition est vraie pour n=0
2 2n 1 2 2n 1 2n 1
1 2étapes : d’hérédité ou Hypothèse de récurrence :
Donc un n
2 Supposons que: un 2
Par suite : : n :
1
un 1 3étapes : Montrons alors que : un 1 2 ??
2
un 2 donc un 2 4 un 2
On dit que la suite un n est majorée par 1 car
on a : 4
un 1 2
un 1 n
donc : n : 0 un
On dit que la suite un n est minorée par
1
car
2 Par suite : : n : 0 un 2
1
2
un n On dit que la suite un n est majorée par 0 car
Solution :1)on a un 1 un 2
On dit que la suite un nI est minorée s’il existe un
réel 𝑚 tel que : n I m un
Pour n=0 on a: u1 u0 2 donc u1 2
On dit que la suite ( un nI est bornée si elle est
Pour n=1 on a: u2 u1 2 donc u2 22 majorée et minorée.
vn n 1 n n
2) Montrons par récurrence que : n : 0 un
1étapes : l’initialisation :Pour n=0 nous avons u0 0 1)Montrer que vn n1 est minorée par 0
donc 0 u0 . 2)Montrer que vn n1 est majorée par 1
2
Donc la proposition est vraie pour n=0 3)Que peut-on déduire ?
2étapes : d’hérédité ou Hypothèse de récurrence :
Solution :1)Montrons que : n
0 vn ??
Supposons que: 0 un
3étapes : Montrons alors que : 0 un 1 ?? vn n 1 n
n 1 n n 1 n (Le conjugué)
n 1 n
Or on a : un 1 un 2 0
n
2 2
n 1 n 1 n 1
donc : n : 0 un vn 0
n 1 n n 1 n n 1 n
3) Montrons par récurrence que : n : un 2 Donc : 0 vn n
1
n : 0 vn
un 3 n 1 7
2
2
Exercice1:Soit la suite récurrente un n définie par :
on a : n n 1
2
0
un 1 un 2un 2
2
donc : 3 n 1 0 donc n 1 7 7
2 2
n
u0 1
donc : un 7 par suite un n est minorée par -7
Calculer u1 et montrer que un n est minorée par 1
Solutions :
Exercice4 :Soit la suite récurrente un n définie
donc un 1 n
Théorème :Soit un nI une suite numérique. (𝕀 ⊂ ℕ)
donc : un n est bornée
La suite un nI est croissante si et seulement si:
4) Monotonie d’une suite. n I un 1 un : (P)
Activité 1 : Soit la suite récurrente un n définie La suite un nI est décroissante si et seulement
n si: n I un 1 un
par : u n n
n 2 Démonstration :
Montrer que : un 1 un 0 n On suppose que la suite un nI est croissante donc
Solutions :Soit n on a : n I m I : m n um un
n 1 n
n 1 n d’où (et puisque 𝑛 + 1 ≥ 𝑛) alors : un 1 un
un 1 un
n 1 2 n 2 n 3 n 2
Inversement : On suppose que la suite un nI vérifie
un1 un
n 1 n 2 n n 3 2
0 la propriété (P).
n 3 n 2 n 3 n 2 Soit 𝑛 et m deux entiers tels que 𝑛 ≥ m on a :
Donc : un 1 un 0 donc un 1 un n um um1 um 2 ... un Donc la suite : un nI
On dira que la suite un n est décroissante est croissante.
u0 1; u1 1
u0 1 par : : n
par : n un 2 2un 1 un 2
un1 un 2
Montrer que suite : un nI est croissante.
Montrer par récurrence que un un 1 n
Solutions :montrons par récurrence que un 1 un
Solutions :1étapes :on a u1 u0 2 2
1étapes :on a u1 u0
Pour n=0 nous avons u0 1 donc u0 u1 . Donc la proposition est vraie pour n=0
Donc la proposition est vraie pour n=0 2étapes :Supposons que: un 1 un
2étapes :Supposons que: un un 1
3étapes : Montrons alors que : un 2 un 1 ??
3étapes : Montrons alors que : un 1 un 2 ??
on a : un 2 un 1 2un 1 un 2 un 1
on a : un un 1 donc un 2 un 1 2
donc un 2 un 1 un 1 un 2 et on a : un 1 un 0
donc : un 2 un 1 2 donc un1 un 2
donc : un 1 un 2 0 donc un 2 un 1 0
Par suite : : n : un un 1 Par suite : : n : un 1 un
On dit que la suite un n est croissante un n est décroissante
Donc la suite
Définition :Soit un nI une suite numérique. (𝕀 ⊂ ℕ) Exemple2 :soit un n la suite définie par :
m I : m n um un k 1 k
n 1 Donc : un 2 0 et un 2 0
donc la suite un n est strictement croissante
Donc : un 1 2 0
Exemple3 :soit un n la suite définie par : donc 2 un n
n
un
1
n 2) Montrons que un 4 n ؟؟؟؟
k 1 n k
1étapes : n=0 on a : u0 4 car 3 4
Etudier la monotonie de la suite un n Donc la proposition est vraie pour n=0
n 1 n
1 1
n 1 k n k
2étapes : Hypothèse de récurrence :
Solutions : un 1 un
k 1 k 1 Supposons que: un 4
n 1 n2
1 1 3étapes : Montrons alors que : un 1 4 ??
Et on a :
k 1 n 1 k
k 2 n k
on pose k k 1
8 un 1 4 un 2 8 un 1 4un 16
Et puisque k est un variable on peut l’appeler k 4 un 1 4
n 1 n2 n2
un 2 un 2 un 2
1 1 1
k 1 n 1 k
k 2 n k
k 2 n k
4 4 un 4 4 un
4 un 1 et puisque on a :
Donc : un 2 un 2
n2
un 4
n
1 1 1 1 1
un 1 un
k 2 n k k 1 n k 2n 1 2n 2 n 1
Donc : 4 un 0 et un 2 0
1
un1 un 0 n
Donc un 1 4 par suite un 4 n
2 n 1 2n 1
8 un 1 8 un 1 un un 2 un 2 6un 8
2n 1 3) un 1 un un
un 1 un 0 n
un 2 un 2 un 2
n 1
un n est strictement croissante
donc la suite On va factoriser un2 6un 8 : 36 32 4 0
6 2
Exercice5 :soit un n la suite récurrente définie x1 2 et x2 6 2 4 donc :
2 2
8 un 1 un 6un 8 un 2 un 4
2
un 1
par : un 2 n
un 2 un 4
u 3 Donc : un 1 un
0 un 2
1) Montrer que un n est minorée par 2 Or on a : un 2 et un 4
et de premier terme u0 2
2) v0 2; v1 3; v2 6
Ainsi : v1 v0 1 et v2 v1 3
La suite vn n n’est donc pas arithmétique
1.2 propriété caractéristique d’une suite En faisant la somme membre à membre on obtient :
arithmétique
Trois termes consécutifs d’une suite arithmétique. D’où : un u p n p r
un n p est suite arithmétique si et seulement si Propriété :Soit un nI une suite arithmétique de
2un 1 un un 2 n p raison 𝑟 et up l’un de ses termes
3 3
2 2
Preuve :Soient un n une suite arithmétique de raison
un n n r et 𝑝 un entier naturel et
2 2
sn u p u p1 u p2 ... un2 un1 un
Exercice6 :soit un n la suite récurrente définie
Donc : sn un un1 un2 ... u p2 u p1 u p
2un 1
un 1 En faisant la somme membre à membre on obtient :
par : un n
2sn un u p un1 u p1 ... un1 u p 1 un u p
et on considère la suite
u 2
0
vn n définie par :
Et on a : unk u p k u p kr u p n k p r
1 Donc : un k u p k u p u p n p r
vn n
un 1 Donc : un k u p k u p un
un Donc : 2sn n p 1 un u p
un 1
vn 1 vn 1 n p 1
un 1 un 1 Donc : sn
2
u p un
Donc vn n est une suite arithmétique de raison Remarque :On note la somme :
1
n q et de premier terme u0 2
Donc : sn 1 n 2
2
Exemple2 : soit la suite vn n définie par :
1)on pose : vn 2n 1
3 9
n n
1) Montrer que un 1
1 2
un n 2 n 1 1 1
Puisque : un vn donc un
9 3
n
9 3 3
1 1 u0 2
donc : 1 un 2 2 donc : 1
2 un 2 u0
Donc : un n
n
u n u0 2
et puisque : 0 un 1 alors : 0 1
un 2
un
donc : 1 0 donc 1 un 1 0
un 2
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 12
Activités sur les suites La célèbre suite du mathématicien italien
Activité 1 : Fibonacci
Jeu d'échec et suite géométrique. La suite de Fibonacci tient son nom du mathématicien
Le jeu d'échec fut inventé par un mathématicien italien Leonardo Fibonacci, qui a vécu à Pise au XIIème
indien. le Roi le communiqua en fut si émerveillé qu'il siècle (1175-1240), d'où son nom de Léonard de Pise, en
dit à l'inventeur de choisir lui-même la récompense référence à Léonard de Vinci.
qu'il désirait.
Or l'échiquier se compose de 64 case. La suite de Fibonacci se construit facilement : chaque
Le mathématicien demanda 1 grain de blé pour la terme de la suite, à partir du rang 2, s'obtient en
première case, 2 grains pour la deuxième, 4 grains additionnant les deux précédents, les deux premiers
pour la troisième et ainsi de suite en doublant toujours termes étant 0 et 1. Le troisième terme est donc
le nombre de grains d'une case à la suivante jusqu'à 1 (0 + 1 = 1), le quatrième terme 2 (1 + 1 = 2), le
la dernière. cinquième 3 (1 + 2 = 3), le sixième 5 (2 + 3 = 5), et ainsi
de suite. Le début de la suite du célèbre mathématicien
Tout le monde fut étonné de la modicité d'une pareille Fibonacci est donc : 0, 1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13, 21 ...
demande ; mais on fut bien plus surpris quand le
Appelons (un) la suite de Fibonacci. On a donc u0 = 0 ; u1
mathématicien, ayant fait son calcul, prouva au roi que
= 1 et pour tout n entier naturel,
son royaume ne suffirait pas à produire en plusieurs
on a alors un+2 = un+1 + un.
années tout le blé qu'il demanderait.
Chaque terme de cette suite, à partir du rang 2, est donc
En effet, si on se sert de la formule pour avoir le la somme des deux termes précédents.
nombre de grains, on obtient La suite de Fibonacci n'est ni arithmétique, ni
géométrique.
S = 264 - 1 = 18 446 774 073 709 551 615.
En effet, u1 − u0 = 1 − 0 = 1 et u2 − u1 = 1 − 1 = 0. La
On peut savoir à peu prés combien il a de grains dans
différence entre deux termes consécutifs de cette suite
un kilo de blé et combien un hectare de terrain produit
n'est pas constante donc la suite de Fibonacci n'est pas
en moyenne de kilogrammes et donc combien
arithmétique.
d'hectares il faudrait pour produit le nombre demandé.
Son premier terme étant 0, elle ne peut être géométrique.
On trouve que la surface entière de la terre
On remarque également par exemple que u4/u3 = 3/2 et
ensemencée ne serait pas suffisante.
que u5/u4 = 5/3. En définissant une suite en prenant les
On a aussi calculé que cette quantité de grains
termes de la suite de Fibonacci à partir du terme de rang
couvrirait à la hauteur de 1 m la surface de la france
2, on obtient donc une suite qui n'est pas géométrique :
considérée comme plane.
Activité 2 : le rapport entre 2 termes consécutifs de cette suite n'est
1) La population d’un village de montagne diminue pas constant.
tous les ans de 20 %. Sachant qu’en 1996 elle était de
1 875 habitants, compléter le tableau suivant : C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un
proverbe.
Année 1996 1997 1998 1999 2000
Nombre C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et
d’habitants exercices Que l’on devient un mathématicien
2) Montrer que les nombres d’habitants sont des
termes d’une suite dont on déterminera la nature et la
raison.
3) À l’aide de la calculatrice ou d’un tableur :
a) Déterminer la population de ce village en 2010
b) Donner l’année d’extinction de ce village si on
suppose la diminution de la population constante