1s Ex Prod Scal
1s Ex Prod Scal
1s Ex Prod Scal
Exercice 1. A
Exercice 2.
ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm, I est le milieu de [BC].
I
Calculer les produits scalaires suivants :
1) BA BC
2) CA CI
A B
3) AB AC AI .
Exercice 3. M N
MNPQ est un carré avec MN = 6, I est le centre du carré.
Calculer les produits scalaires suivants :
1) MN QP I
2) MN PN
3) IN IP
4) QI NI .
Q P
Exercice 4.
ABC est un triangle direct tel que AB = 2, AC = 3 et AB AC = 4.
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B (calculer BC 2 …)
Exercice 5.
ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7.
Calculer AB AD . En déduire BD.
Exercice 6.
ABCD est un losange de sens direct de centre O. On donne AC = 10 et BD = 6.
1) Calculer AB AD .
2) On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (AB). Calculer AP.
Exercice 7. ABCD est un rectangle tel que AD = 3 et AB = 5. E est le milieu de [AB].
D C
A E B
2
2
Exercice 8. A quelles conditions sur les points A, B, C, D a-t-on AB AC AB AC ?
Justifier avec tous les arguments et calculs nécessaires.
Exercice 9.
2 2 2 2 2 2
1) Démontrer que : 4 u v = u v u v et u v u v =2 u v .
Exercice 10. C est un cercle de centre O, de rayon r et A est un point fixé du plan.
Q
P
A
P'
Exercice 11.
Le but de cet exercice est de démontrer, à l’aide du produit scalaire, que les hauteurs d’un triangle sont
concourantes.
Soit ABC un triangle. On note A’, B’ et C’ les projetés orthogonaux respectifs de A, B et C sur (BC),
(AC) et (AB). On note H le point d’intersection de (AA’) et (BB’) (on ne sait pas encore que H (CC’)).
1) Justifier les valeurs des produits scalaires BH AC et CH AB .
2) Calculer AH BC (indication : décomposer BC avec le point A, puis développer…)
3) Conclure.
AB AC
4) En déduire que .
AB' AC'
Exercice 12.
ABCD est un tétraèdre régulier (toutes arêtes sont de même longueur) de côté a, I est le milieu du côté
[AB] et J est le milieu du côté [CD].
1) Calculer (en fonction de a) les produits scalaires suivants : AB AC et AB DA .
2) Calculer et interpréter le produit scalaire suivant : AB DC .
3) Calculer et interpréter le produit scalaire suivant : AB IJ
1
[ indication : démontrer d’abord que IJ BC AD …]
2
4) Que représente le plan (IJCD) par rapport au segment [AB] ? Justifier.
Géométrie analytique.
Exercice 13.
Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle, et si c’est le cas, préciser le centre et le
rayon du cercle.
1) x 2 + y 2 – 2 x – 6 y + 5 = 0.
2) x 2 + y 2 – x – 3 y + 3 = 0.
Exercice 14.
On considère un triangle ABC dans un repère orthonormal avec A (– 1 ; 2), B (3 ; 1) et C (2 ; 4).
1) Déterminer une équation de la médiatrice de [AB].
2) Déterminer une équation de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
Exercice 15.
Dans un repère orthonormal O , i , j , on donne un point I (2 ; – 3).
1) Déterminer l’équation du cercle C de centre I et de rayon R = 5.
2) Démontrer que le point A (– 2 ; 0) est un point du cercle C.
3) Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle C.
Exercice 16*.
Dans un repère orthonormal, on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).
Toutes les questions suivantes sont indépendantes.
1) Calculer les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B, 2) et (C, – 4).
2) Déterminer une équation de la médiatrice de [BC].
3) Calculer AB AC . L’angle
A est-il droit ?
Exercice 17.
Soient A (3 ; 1) et B (– 2 ; 4).
Déterminer l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient :
(x – 3) (x + 2) + (y – 1) ( y – 4) = 0.
Exercice 18.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal O , i , j .
Déterminer l’équation du cercle C passant par A (2 ; 1) et B (1 ; 3) et dont le centre est situé sur la
droite d d’équation x + y + 1 = 0 [indication : trouver d’abord l’équation de la médiatrice de [AB]…]
Exercice 19.
Les vecteurs u (4 876 ; – 4 898 873) et v (317 019 173 ; 315 539) sont-ils orthogonaux ? Justifier.
Exercice 20.
L’équation suivante est-elle l’équation d’une sphère ? Si oui, préciser son centre et son rayon.
1
x2 + y2 + z2 – y + 2 z + = 0.
2
Exercice 21.
Dans un repère orthonormal O , i , j , on donne A (– 2 ; 2) et B (2 ; 2).
1) Calculer les coordonnées du milieu I de [AB].
2) Démontrer que pour tout point M du plan, on a :
2 2 2 AB 2
MA + MB = 2 MI + .
2
3) Démontrer que l’ensemble E des points M du plan tels que : MA 2 + MB 2 = 40 est un cercle C de
centre I et de rayon 4.
4) Déterminer une équation du cercle C .
5) Déterminer les coordonnées des (éventuels) points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
6) Soit λ un réel négatif. Comment choisir λ pour que le point Z ( 7 ; λ ) soit sur C ?
7) Déterminer une équation de la tangente d à C en Z.
Exercice 22.
Soit un triangle ABC et K le projeté orthogonal de A sur (BC). On donne AB = 6, BK = 4 et KC = 7.
1) I est le milieu de [BC] et G le centre de gravité du triangle ABC. Faire une figure.
2) Calculer les produits scalaires suivants : BA BC , BC CA , IG IB , ainsi que la somme :
GA AC GB AC GC AC .
3) Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan tel que : BM BC = 44.
4) Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan tel que : MA MB MC AC = 0.
Exercice 23.
[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.
1) Démontrer que, pour tout point M du plan : MA 2 – MB 2 = 2 IM AB .
2) Trouver et représenter l’ensemble des points M du plan tels que : MA 2 – MB 2 = 14.
Exercice 24.
On considère un segment [AB] avec AB = 10 cm.
Déterminer l’ensemble des points M tels que :
1) MA MB = 1.
2) MA 2 + MB 2 = 5.
Exercice 25.
1) Soit ABCD un rectangle de centre I et M un point quelconque du plan. Démontrer que :
MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2.
2) Soit ABCD un parallélogramme. A quelle condition sur le quadrilatère ABCD on t-on
MD 2 – MC 2 = MA 2 – MB 2 pour tout point M du plan.
Divers.
C. Applications.
1. Calculs de distances.
Calculer dans chaque cas, la distance de M à le droite D.
a. M (1, 4) et D : 2 x – y – 6 = 0 b. M = O et D : 5 x – 3 y + 7 = 0
c. M (– 5, 7) et D : y = – 3 x + 2 d. M (– 1, 4) et D : 2 x – 5 = 0.
2. Tangente à un cercle.
a. Donner l’équation du cercle de centre (5, 1) et tangent à la droite D d’équation x + y – 4 = 0.
b. A chaque réel m, on associe la droite m d’équation réduite y = m x + 1 m2 .
Montrer que les droites m (m R) sont tangentes à un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
3. Bissectrices de deux droites.
a. Représenter graphiquement les droites D1 : 3 x + 4 y – 2 = 0 et D2 : 4 x + 3 y + 5 = 0.
b. Calculer la distance d’un point M (x, y) à D1 puis à D2 en fonction de x et y.
On note d1 et d2 ces distances.
c. A l’aide de la relation d 1 d 2 , montrer que l’ensemble des points M
2 2
d2 d1 d2 d1
équidistants de D1 et D2 est la réunion de deux droites 1 et 2 dont on précisera les équations.
d. Montrer, à l’aide de leur vecteur normal, que les droites 1 et 2 sont orthogonales.
A
Diverses expressions du produit scalaire et calcul de grandeurs.
Données :
AIB = 60°, BI = CI = 2 et AI = 3. Calculons :
1) AB AC = AI IB AI IC = AI IB AI IB
B I C
= AI AI IB IB = AI 2 – IB 2 = 3 2 – 2 2 = 9 – 4 = 5.
2 2 2 2
2) AB 2 + AC 2 = AI IB AI IC = AI IB AI IC
= AI AI 2 AI IB IB IB AI AI 2 AI IC IC IC
= 2AI 2 2 AI IB IC IB 2 IC 2
0
2 2 2
= 2 3 + 2 + 2 = 18 + 4 + 4 = 26.
Ou on peut utiliser directement la formule de la médiane :
AB 2 + AC 2 = 2 AI 2 + 12 AB 2 = 2 9 + 12 4 2 = 18 + 8 = 26.
2 2
3) AB 2 – AC 2 = AI IB AI IC = AI AI 2 AI IB IB IB AI AI 2 AI IC IC IC
= AI 2 2 AI IB IC IB 2 AI 2 IC 2
= 2 AI IB IC = 2 AI CI IB
= 2 AI CB = 2 AI CB cos AI , CB
=2 3 4 cos 23π = 2 3 4 1
2
= – 12.
L 1 AB 2 AC 2 26
4) D’après les questions précédentes,on a : 2 2
.
L 2 AB AC 12
C
En faisant L1 + L2, on obtient 2 AB 2 = 14 donc AB 2 = 7 et AB = 7.
En faisant L1 – L2, on obtient 2 AC 2 = 38 donc AC 2 = 19 et AC = 19 .
I
Exercice 2. ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm, I est le milieu de [BC].
Calculons les produits scalaires suivants :
1) BA BC = BA BC cos BA , BC = 5 5 cos π3 = 25 1
2
= 12,5.
A B
2 2 2
2) CA CI = CI par projection sur (CI) donc CA CI = CI = 2,5 = 6,25.
3) AB AC AI = CA AB AI = CB AI = 0 car (AI) (CB).
= BA 2 – 2 AB AD + AD 2 = 4 2 – 2 4 + 5 2 = 16 – 8 + 25 = 33 donc BD = 33 .
A O C
1) Calculons AB AD = AO OB AO OD = AO OB AO OB
= AO 2 – OB 2 = 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16.
2) On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (AB). Calculons AP.
On calcule d’abord AB avec le théorème de Pythagore, on trouve AB = 34 .
D’après la propriété de projection orthogonale d’un vecteur :
AB AD = AB AP = AB AP = 34 AP.
On a donc (avec la question précédente) : AB AD = 16 = 34 AP.
16 16 34 8 34
Donc AP = = = .
34 34 17
A E B
2 AB AC 2 AB AC
2 AB AC cos AB , AC = 2 AB AC
cos AB , AC = 1
AB , AC = 0 [2 π ]
Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre ou dans l’ordre A, C, B.
2
2
AB AC AB AC 2 AB AC 2 AB AC
AB AC AB AC
AB AC
1
AB AC
cos AB , AC = 1
AB , AC = 0 [2 π ]
Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre ou dans l’ordre A, C, B.
Exercice 9.
2 2 2 2 2 2
1) Démontrons que : 4 u v = u v u v et u v u v =2 u v . Nous avons :
2 2 2 2 2 2 2 2
u v u v = u v u v =u 2u v v u 2u v v
= 2u v 2u v = 4 u v .
2 2 2 2 2 2 2 2
u v u v = u v u v =u 2u v v u 2u v v
2 2 2 2 2 2
=u v u v = 2u 2v
2 2 2 2
= 2 u v =2 u v .
2 2 2 2
2) Interprétons l’égalité u v u v =2 u v à l’aide d’un parallélogramme.
A B
D C
2 2 2 2
Ainsi, l’égalité u v u v =2 u v signifie que la somme des carrés des diagonales est
2 2
3) Démontrons que : u v u v = u v .
2 2
u v u v = u u u v v u v v = u u v v = u v .
4) On considère encore le parallélogramme ABCD et on prend les mêmes notations que précédemment.
2 2
Alors : u v u v =0 u v = 0.
Autrement dit, un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires c’est un losange il a deux
côtés consécutifs de même longueur.
Géométrie analytique.
Exercice 13. Examinons si les équations suivantes sont des équations de cercle, et si c’est le cas, préciser
le centre et le rayon du cercle.
1) x 2 + y 2 – 2 x – 6 y + 5 = 0 x2 – 2 x + 1 + y2 – 6 y + 9 – 5 = 0 (x – 1) 2 + (y – 3) 2 = 5.
Ceci est bien l’équation d’un cercle, le cercle de centre (1, 3) et de rayon 5.
2) x 2 + y 2 – x – 3 y + 3 = 0 (x 2 – x + 1
4
) + (y 2 – 3 y + 9
4
)– 1
4
– 9
4
+3=0
(x – 1
2
) 2 + (y – 3
2
)2 = 2
4
1
2
.
Donc ce n’est pas l’équation d’un cercle (aucun point n’a ces coordonnées vérifiant cette équation).
Exercice 14.
On considère un triangle ABC dans un repère orthonormal avec A (– 1 ; 2), B (3 ; 1) et C (2 ; 4).
1) Déterminons une équation de la médiatrice de [AB].
Un point M (x, y) appartient à la médiatrice de [AB]
(MI) (AB) avec I milieu de [AB]
MI AB = 0 avec I milieu de [AB] et avec I (1, 3
2
), M I (1 – x, 3
2
– y) et AB (4, – 1)
(1 – x) 4 + ( 32 – y) (– 1) = 0
4–4x– 3
2
+y=0 –4x+y+ 5
2
=0 – 8 x + 2 y + 5 = 0.
3) Calculons AB AC . L’angle
A est-il droit ?
( 32 – x) (– 1) + (2 – y) 2=0
x– 3
2
+4–2y=0 x–2y+ 5
2
= 0 (équation de la médiatrice de [AB]).
Ensuite, comme (x, y) appartient à la médiatrice de [AB] et aussi à la d d’équation x + y + 1 = 0, alors
3
L1 x y 1 0 L1 L2 3y 2
0
ces coordonnées vérifient le système : 5 5
L2 x 2y 2
0 L2 x 2y 2
0
1 1 1
L1 L2 y 2 L1 L2 y 2 L1 L2 y 2
5 5 3
.
L2 x 2y 2
0 L2 x 1 2
0 L2 x 2
3 1
Donc a pour coordonnées ( 2
, 2
).
3 1
Le rayon du cercle de centre ( 2
, 2
) passant par A (2 ; 1) est :
3 2 1 2 7 2 1 2 49 1 50
A= 2 2
1 2
= 2 2
= 4 4
= 4
.
L’équation du cercle de centre ( 3
2
, 1
2
) passant par A (2 ; 1) est :
(x + 3
2
) 2 + (y – 1
2
)2 = 50
4
.
Exercice 19. Les vecteurs u (4 876 ; – 4 898 873) et v (317 019 173 ; 315 539) sont-ils orthogonaux ?
Non ils ne sont pas orthogonaux, car le dernier chiffre de – 4 898 873 315 539 est un 7 et le dernier
chiffre de 4 876 317 019 173 est un 8.
2 2
= 2 MI 2 IA
= 2 MI 2 2 IA 2
2
2 AB
= 2 MI 2
2
AB 2
= 2 MI 2 + .
2
AB 2 42
3) MA 2 + MB 2 = 40 2 MI 2 + = 40 2 MI 2 + = 40 2 MI 2 + 8 = 40
2 2
2 MI 2 = 32 MI 2 = 16 MI = 8.
Donc l’ensemble E des points M du plan tels que : MA 2 + MB 2 = 40 est un cercle C de centre I et de
rayon 4.
4) Déterminons une équation du cercle C .
M (x, y) C IM 2 = 16 x 2 + (y – 2) 2 = 16.
5) Déterminons les coordonnées des (éventuels) points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
L’équation du cercle C est x 2 + (y – 2) 2 = 16, l’équation de l’axe des abscisses est y = 0.
2 2
x2 y 2 16 x2 2 16
Donc un point M (x, y) appartient à C et à (Ox)
y 0 y 0
x2 4 16 x2 12 x 12 ou x 12
.
y 0 y 0 y 0
Les deux points M1 ( 12 , 0) et M2 ( 12 , 0) sont les intersection de C et (Ox).
6) Soit λ un réel négatif.
2
Le point Z ( 7 ; λ ) est sur C 7 + ( λ – 2) 2 = 16 7 + ( λ – 2) 2 = 16 ( λ – 2) 2 = 9
λ – 2 = 3 ou λ – 2 = – 3 λ = 5 ou λ = – 1.
Comme on cherche λ < 0, il n’y a qu’une solution λ = – 1, pour que le point Z ( 7 ; λ ) soit sur C .
7) Déterminons une équation de la tangente d à C en Z.
M (x, y) d (MZ) IZ) MZ IZ x 7 7 y 1 3 =0
x 7 7 3y 3 =0 x 7 3y 4 = 0.
Exercice 22.
Soit un triangle ABC et K le projeté orthogonal de A sur (BC). On donne AB = 6, BK = 4 et KC = 7.
1) I est le milieu de [BC] et G le centre de gravité du triangle ABC. Faisons une figure.
B K I C
GA AC GB AC GC AC = GA
GB GC
AC = 0.
0
3) Déterminons et représentons l’ensemble des points M du plan tel que : BM BC = 44.
BM BC = 44 BM BC = BA BC BM BC BA BC 0 BM BA BC 0
BM AB BC 0 AM BC 0.
Donc l’ensemble des points M du plan tel que BM BC = 44 est la droite (AK).
4) Déterminons et représentons l’ensemble des points M du plan tel que : MA MB MC AC = 0.
MA MB MC AC = 0 3 MG AC = 0 MG AC = 0.
Donc l’ensemble des points M du plan tel que MA MB MC AC = 0 est la droite perpendiculaire à
(AC) passant par G.
2) MA 2 – MB 2 = 14 2 IM AB = 14 IM AB = 7.
Soit H le point de [IB] situé à 3,5 cm de I, on a :
IH AB = IH AB = 3,5 2 = 7.
Ainsi, MA 2 – MB 2 = 14 IM AB = 7 IM AB = IH AB IM AB IH AB = 0
IM IH AB = 0 IM HI AB = 0 HM AB = 0.
L’ensemble des points M du plan tels que : MA – MB 2 = 14 est la droite perpendiculaire à (AB)
2
passant par H.
2 2
2) MA 2 + MB 2 = 5 MI IA MI IB = 5 où I est le milieu de [AB].
2 2 2 2 2 2
MI IA MI IB =5 MI 2 MI IA IA MI 2 MI IB IB = 5
2 2 2 2
2 MI 2 MI IA
IB 2 IA =5 2 MI 50 = 5 2 MI = – 45 IM 2 = – 22,5.
0
FE BA = 0.
Ceci est lorsque (AB) et (EF) sont perpendiculaires, donc lorsque le parallélogramme ABCD est un
rectangle.