M 19 MP 1 e
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CONCOURS 2019
MATHÉMATIQUES I - PSI
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les
raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Comportement asymptotique de sommes de séries entières
Soit p un entier naturel non nul et r un nombre réel strictement positif. On considère la
fonction
+Œ
ÿ (pn)r
Sr,p : z œ C ‘æ z pn .
n=1
(pn)!
L’objectif du problème est d’établir la validité de l’énoncé suivant :
1 r x
Sr,p (x) ≥ x e (Hr,p )
xæ+Œ p
Cet objectif sera atteint dans la partie II pour le cas particulier p = 1, et dans la partie III
pour le cas p Ø 2. Dans la partie IV, on étudie une application de ce résultat au comportement
asymptotique d’une solution particulière d’une certaine équation différentielle d’ordre 2.
Dans tout le sujet, on note ÂxÊ la partie entière du nombre réel x, c’est-à-dire l’unique entier
k tel que k Æ x < k + 1. On rappelle que par convention 00 = 1, tandis que 0r = 0 pour tout
réel r > 0.
2. Pour x réel, expliciter S0,1 (x) et S0,2 (x), et en déduire la validité des énoncés H0,1 et H0,2 .
! "
3. Soit x œ R+
ú . Montrer que (Z )r admet une espérance, et exprimer E (Z )r à l’aide de
x x
Sr,1 (x).
1
5. Montrer que pour tout réel x > 1,
! "r ! "
1 ≠ x≠1/3 P(Zx Ø 1 ≠ x≠1/3 ) Æ E (Zx )r .
6. Soit N œ Nú et x œ R+
ú . Montrer que Y
x,N admet une espérance et que
E(Yx,N ) = xN .
On pourra introduire la famille (Hj )jœN de polynômes à coefficients réels définie par
j≠1
Ÿ
H0 = 1 et ’j œ Nú , Hj = (T ≠ i),
i=0
’t œ R+ , ts Æ s(t ≠ 1) + 1,
et en déduire
’x > 0, (Zx )r Æ (1 ≠ s) (Zx )N + s (Zx )N +1 .
nr n
un (x) := x .
n!
2
10. On fixe un réel x > 0. Étudier le signe de la fonction
11. Soit – œ R. Déterminer la limite de Ïx (x + –) quand x tend vers +Œ. En déduire que
tx ≠ x ≠ r ≠æ 0.
xæ+Œ
puis que
Mx = oxæ+Œ (xr ex ).
En vue de ce dernier résultat, on pourra commencer par démontrer que, pour x assez grand,
Mx = uÂxÊ+i (x) pour un entier i compris entre ÂrÊ ≠ 1 et ÂrÊ + 2.
15. Dans cette question et la suivante, on fixe un nombre complexe z tel que |z| = 1 et z ”= 1.
Pour n œ Nú , on pose
n≠1
ÿ
Dn := zk .
k=0
Montrer que
2
’n œ Nú , |Dn | Æ
|1 ≠ z|
q q
et que les séries Dn un≠1 (x) et Dn un (x) sont absolument convergentes.
n n
3
16. On conserve le nombre complexe z introduit dans la question précédente. Montrer que
+Œ
ÿ ! "
’x œ R+
ú
, Dn un≠1 (x) ≠ un (x) = Sr,1 (zx)
n=1
-Sr,1 (zx)- Æ 4 Mx ,
- -
|1 ≠ z|
et conclure à la relation
Sr,1 (zx) = oxæ+Œ (xr ex ).
1 2
2ifi
17. On pose › := exp p . Pour tout réel x, montrer que
p≠1
ÿ
Sr,1 (› k x) = p Sr,p (x)
k=0
18. Montrer que, parmi les solutions de (E) sur R à valeurs réelles, il en existe une et une
seule, notée f , qui soit la somme d’une série entière et vérifie f Õ (0) = 1. Expliciter la suite
(cn )nœN telle que
+Œ
ÿ
’t œ R, f (t) = cn tn .
n=0
4
q
Alors la série entière an z n a pour rayon de convergence +Œ et
n
+Œ
ÿ +Œ
ÿ
an xn ≥ bn xn .
xæ+Œ
n=0 n=0
20. En exploitant la validité de Hr,p pour un couple (r, p) bien choisi, démontrer l’équivalent
t1/4 2Ôt
f (t) ≥ Ô e .
tæ+Œ 2 fi
Fin du problème